intTypePromotion=1

Bài giảng Đại số tuyến tính (ĐH Bách khoa Tp.HCM) - Chương 6 Ánh xạ tuyến tính

Chia sẻ: Ho Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:43

0
891
lượt xem
219
download

Bài giảng Đại số tuyến tính (ĐH Bách khoa Tp.HCM) - Chương 6 Ánh xạ tuyến tính

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung cần tìm hiểu trong chương này gồm: Định nghĩa và ví dụ. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính. Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cặp cơ sở. Ma trận chuyển cở sở, đồng dạng.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Đại số tuyến tính (ĐH Bách khoa Tp.HCM) - Chương 6 Ánh xạ tuyến tính

  1. Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng ------------------------------------------------------------------------- ------------ Đại số tuyến tính Chương 6: Ánh xạ tuyến tính Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh Email : dangvvinh@hcmut.edu.vn Website: www.tanbachkhoa.edu.vn; www2.hcmut.edu.vn/~dangvvinh
  2. Nội dung --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I – Định nghĩa và ví dụ. II – Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính III – Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cặp cơ sở IV –Ma trận chuyển cở sở, đồng dạng
  3. I. Định nghĩa và ví dụ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa ánh xạ Cho hai tập hợp tùy ý X và Y khác rỗng. Ánh xạ giữa hai tập X và Y là một qui tắc sao cho mỗi x thuộc X tồn tại duy nhất một y thuộc y để y = f(x) f : X Y x  X , ! y  Y : y  f ( x) Ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) Ánh xạ f được gọi là toàn ánh nếu y  Y , x  X : y  f ( x) Ánh xạ f được gọi là song ánh nếu đơn ánh và toàn ánh.
  4. I. Định nghĩa và ví dụ ----------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------- Hàm số mà ta học ở phổ thông là ví dụ về ánh xạ. Cho ánh xạ tức là chỉ ra qui luật, dựa vào đó có thể biết ảnh của mọi phần tử thuộc X. Có rất nhiều cách cho ánh xạ: bằng đồ thị, bằng biểu đồ, bằng biểu thức đại số, bằng cách liệt kê,…
  5. I. Định nghĩa và ví dụ ------------------------------------------------------------------------ Định nghĩa ánh xạ tuyến tính Cho V và W là hai không gian véctơ trên cùng trường số K. Ánh xạ tuyến tính f : V  W giữa hai không gian véctơ V, W là một ánh xạ thỏa 1. (v1 , v2 V ) f (v1  v2 )  f (v1 )  f (v2 ) 2. (  K , v  V ) f ( v )   f (v )
  6. I. Định nghĩa và ví dụ ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------- Ví dụ Chứng tỏ ánh xạ f : R3  R2 cho bởi x  ( x1 , x2 , x3 ); f ( x)  ( x1  2 x2  3 x3 , 2 x1  x3 ) là ánh xạ tuyến tính. x  ( x1, x2 , x3 ); y  ( y1, y2 , y3 )  R3 f ( x  y )  f ( x1  y1, x2  y2 , x3  y3 ) f ( x  y )  ( x1  y1  2 x2  2 y2  3 x3  3 y3 , 2 x1  2 y1  x3  y3 ) f ( x  y )  ( x1  2 x2  3x3 , 2 x1  x3 )  ( y1  2 y2  3 y3 , 2 y1  y3 ) f ( x  y )  f ( x)  f ( y ) Tương tự chứng minh điều kiện thứ hai, suy ra f là ánh xạ tuyến tính.
  7. I. Định nghĩa và ví dụ ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------- Cho f : V  W là ánh xạ tuyến tính. Cho E ={e1, e2, …, en} là tập sinh của V. Giả sử biết f(e1), f(e2), …, f(en). x  V  x  x1e1  x2e2    xn en f ( x)  f ( x1e1  x2e2    xn en ) f ( x)  f ( x1e1 )  f ( x2 e2 )    f ( xn en ) f ( x)  x1 f (e1 )  x2 f (e2 )    xn f (en ) Ánh xạ tuyến tính được xác định hoàn toàn nếu biết được ảnh của một tập sinh của V.
  8. I. Định nghĩa và ví dụ ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------- Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R 3  R 2 , biết f (1,1,0)  (2, 1), f (1,1,1)  (1, 2), f (1, 0,1)  (1,1); 1. Tìm f (3,1,5) 2. Tìm f (x) 1. Giả sử (3,1,5)   (1,1, 0)   (1,1,1)   (1, 0,1)       3     1    2,   3,   2     5   f (3,1,5)  f ( (1,1,0)   (1,1,1)   (1,0,1))  f (3,1,5)   f (1,1,0)   f (1,1,1)   f (1,0,1) f (3,1,5)  2(2, 1)  3(1, 2)  2( 1,1)  (3,10)
  9. I. Định nghĩa và ví dụ ----------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ ---------------------- Cho ánh xạ tuyến tính f : R 3  R 2 , biết f (1,1,0)  (2, 1), f (1,1,1)  (1, 2), f (1, 0,1)  (1,1); 1. Tìm f (3,1,5) 2. Tìm f (x) 2. Giả sử x  ( x1 , x2 , x3 )   (1,1,0)   (1,1,1)   (1,0,1)       x1   x1  x3      x2     x1  x2  x3     x3   x1  x2    f ( x)  f ( x1, x2 , x3 )   f (1,1,0)   f (1,1,1)   f (1,0,1) f ( x)  ( x1  x3 )(2, 1)  ( x1  x2  x3 )(1, 2)  ( x1  x2 )(1,1) f ( x)  (2 x2  x3 , 2 x1  x2  3x3 )
  10. I. Định nghĩa và ví dụ ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------- Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính là phép quay trong không gian 0xyz quanh trục 0z một góc 30o ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ hướng dương của trục 0z. Tìm f(x). Đây là ánh xạ f : R3  R3 z Ánh xạ f được xác định hoàn toàn nếu biết được ảnh của một cơ sở của R3. Chọn cơ sở chính tắc 3 1 o f (1, 0, 0)  ( , , 0) y 2 2 1 3 x f (0,1,0)  ( , ,0) 2 2 3 1 1 3 f (0,0,1)  (0, 0,1)  f ( x)  ( x1  x2 , x1  x2 , x3 ) 2 2 2 2
  11. I. Định nghĩa và ví dụ ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------- Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính là phép đối xứng trong không gian 0xyz qua mặt phẳng 2 x  y  3 z  0 . Tìm f(x). Tương tự ví dụ trước, đây là ánh xạ f : R3  R3 Ánh xạ f được xác định hoàn toàn nếu biết được ảnh của một cơ sở của R3. Nếu chọn cơ sở chính tắc thì việc tìm ảnh qua mặt phẳng đã cho phức tạp. Ta chọn cơ sở của R3 là: pháp véctơ của mặt phẳng và cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng. f (1, 2, 0)  (1, 2,0) f (0,3,1)  (0,3,1) f (2, 1,3)  (2,1, 3)  f ( x)
  12. I. Định nghĩa và ví dụ ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------- Ví dụ Ánh xạ nào sau đây là ánh xạ tuyến tính? 1. f : R2  R2 ; f ( x1, x2 )  (2 x1  3 x2 , x1 ) 2. f : R2  R2 ; f ( x1, x2 )  ( x1  2 x2 ,0) 3. f : R2  R2 ; f ( x1, x2 )  (2 x1  x2 , x1  1) 4. f : R2  R2 ; f ( x1 , x2 )  (1, x1  x2 ) 2 5. f : R2  R2 ; f ( x1, x2 )  ( x1  x2 , x1 ) 6 f : R2  R2 ; f ( x1, x2 )  ( x2 , x1 )
  13. II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa nhân của ánh xạ tuyến tính Cho ánh xạ tuyến tính. f : V  W Nhân của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp tất cả các vectơ x của không gian véctơ V, sao cho f(x) = 0. Kerf  x V | f ( x)  0 V W Kerf 0
  14. II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa ảnh của ánh xạ tuyến tính Cho ánh xạ tuyến tính. f : V  W Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp tất cả các phần tử y của không gian véctơ W sao cho tồn tại x  V để y = f(x). Im f  y  W | x  V : y  f ( x) V W Imf
  15. II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------- Định lý Cho ánh xạ tuyến tính f : V  W 1. Nhân của ánh xạ tuyến tính f là không gian con của V. 2. Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là không gian con của W. 3. dim(kerf) +dim(Imf) = dim (V) Chứng minh.
  16. II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------- Chứng minh. 3. dim(kerf) +dim(Imf) = dim (V) Giả sử dim(Kerf) = m.Tồn tại cơ sở của nhân E  { e1, e2 ,..., em} Bổ sung vào E để được cơ sở của V: E1  { e1,..., em , v1 ,..., vn } Ta chứng tỏ cơ sở của Imf là: E2  { f (v1 ),..., f (vn )} 1) E2 là tập sinh: y  Im f  x  V : y  f ( x)  y  f (1e1  ...   mem  1v1  ...   n vn )  y  1 f (e1 )  ...   m f (em )  1 f (v1 )  ...   n f (vn )  y  1 f (v1 )  ...   n f (vn ). Vậy E2 là tập sinh của Imf.
  17. II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------- 2) Chứng minh E2 độc lập tuyến tính. Giả sử 1 f (v1 )  ...   n f (vn )  0  f (1v1  ...   nvn )  0  1v1  ...   nvn  K erf .  1v1  ...   nvn  1e1  ...   mem  1v1  ...   n vn  1e1  ...   mem  0 Vì E1 độc lập tt nên 1   2  ...   m  0 Suy ra E2 độc lập tuyến tính. Vậy E2 là cơ sở của Imf. dim(Imf ) = n. Hay dim(Imf ) + dim(Kerf ) = m + n = dim(V).
  18. II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------- Mệnh đề Ảnh của ánh xạ tuyến tính là không gian con được sinh ra bởi ảnh của một tập sinh của V. Chứng minh. Giả sử tập sinh của V là E  { e1 , e2 ,..., en} y  Im f  x V : y  f ( x) Vì x thuộc V nên x là thtt của E. y  f ( x1e1  x2e2  ...  xn en ) Ánh xạ f là tuyến tính nên ta có y  x1 f (e1 )  x2 f (e2 )  ...  xn f (en ) F  { f (e1 ), f (e2 ),..., f (en )} sinh ra y.  Im f  f (e1 ), f (e2 ),..., f (en )  Lập ma trận, dùng bđsc đối với hàng đưa về bậc thang, kết luận:
  19. II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------- Các bước tìm ảnh của ánh xạ tuyến tính. 1. Chọn một cơ sở của V là E  { e1 , e2 ,..., en} 2. Tìm f (e1 ), f (e2 ),..., f (en ) 3. Im f  f (e1 ), f (e2 ),..., f (en )  Chú ý: a) Còn có nhiều cách giải khác. b) Tùy theo đề bài mà ta chọn cơ sở (ở bước 1) phù hợp, để việc tìm ảnh của cơ sở đó nhanh.
  20. II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính ----------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------- Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R 3  R 3 , biết x  ( x1 , x2 , x3 )  R 3 : f ( x)  f ( x1, x2 , x3 )  ( x1  x2  x3 , 2 x1  3 x2  x3 ,3 x1  5 x2  x3 ) 1. Tìm cơ sở và chiều của Kerf. x  ( x1 , x2 , x3 )  Kerf  f ( x)  0  ( x1  x2  x3 , 2 x1  3 x2  x3 ,3 x1  5 x2  x3 )  (0, 0, 0)  x1  x2  x3  0  x1  2 ; x2   ; x3      2 x1  3 x2  x3  0  x  (2 ,  ,  ) 3x  5 x  x  0  x   (2, 1,1)  1 2 3 Vậy E={(2,-1,1)} là tập sinh và cũng là cơ sở của Kerf dim(Kerf) = 1.

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản