Bài giảng Dạng lượng giác của số phức (phần 1)

Chia sẻ: Le Van Nhan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

83
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Dạng lượng giác của số phức (phần 1) sẽ giới thiệu tới các bạn một số vấn đề cơ bản về lý thuyết về chuyển một số phức sang dạng lượng giác; cách chuyển một số phức sang dạng lượng giác; bên cạnh đó sẽ giới thiệu tới các bạn một số ví dụ và bài tập cụ thể để các bạn tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Dạng lượng giác của số phức (phần 1)

DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC -----------Phần 1--------- A. CHUYỂN MỘT SỐ PHỨC SANG DẠNG LƯỢNG GIÁC I. Tóm tắt lí thuyết 1. Định nghĩa - Acgument của số phức: Cho số phức z  0 . Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z . Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox , tia cuối OM được gọi là một acgument của z . - Dạng lượng giác của số phức: Dạng z  r  cos  i sin   , trong đó r  0 , được gọi là dạng lượng giác của số phức z  0. Còn dạng z  a  bi  a, b   được gọi là dạng đại số của số phức z. 2. Cách chuyển một số phức sang dạng lượng giác - Cho một số phức z  a  bi  a, b   khác 0 , để chuyển z về dạng lượng giác z  r  cos  i sin   ta cần tìm các đại lượng sau:  Tìm r : r  a 2  b2 . Số r được gọi là môđun của z và r cũng là khoảng cách từ gốc O đến điểm M biểu diễn số z trong mặt phẳng phức. a  Tìm  : Số  là một acgument của z ,  là một số thực sao cho cos  và r b sin   . Số  cũng là số đo một góc lượng giác tia đầu Ox , tia cuối OM . r - Cách làm như sau: Bằng việc đồng nhất biểu thức tổng quát của số phức dạng dạng đại số và dạng lượng giác ta có   r  a  b 2 2 r  a 2  b 2   a a a  r cos   cos   1 b  r sin   r a 2  b2   b b sin     2.  r a 2  b2 Hệ phương trình trên cho phép chúng ta thực hiện việc chuyển đổi dễ dàng từ dạng đại số sang dạng lượng giác. Chú ý - Từ các hệ thức 1 ,  2  , kết hợp với kiến thức lượng giác về cung và góc ta xác định được góc  . - Trong các biểu thức cho phép xác định  thì thường có hai giá trị  chấp nhận được, tùy thuộc vào chiều quay mà ta chọn để lấy  theo chiều dương hay chiều âm.
- Khi z  0 thì z  r  0 nhưng acgument của z không xác định, đôi khi coi acgument của 0 là số thực tùy ý và vẫn viết 0  0  cos  i sin   . - Cần để ý đòi hỏi r  0 trong dạng lượng giác r  cos  i sin   của số phức z  0. II. Một số ví dụ 1 z 3 Ví dụ 1. Viết dạng lượng giác của số phức z sao cho z  và một acgument của là  . 3 1 i 4 Giải 1 1 Do z  nên z   cos  i sin   . 3 3  cos  i sin     cos     i sin    . 1 1 Suy ra z 3 3  2 2    Ta có 1 i  2  i   2  cos  i sin   2 2   4 4 z 1       nên   cos      i sin      . 1 i 3 2   4  4   3  Do đó     2k     2k , k  Z . 4 4 2 1   Vậy dạng lượng giác của số phức z là z   cos  i sin . 3 2 2   Ví dụ 2. Cho số phức z  1  cos  i sin . Tìm môđun, acgument của z và viết z dưới dạng 7 7 lượng giác. Giải Ta có      2  z  1  cos   sin 2  1  2cos  cos 2  sin 2  7 7 7 7 7    8  4  2 1  cos   2 1  cos   2cos .  7  7  7
8   sin sin Gọi  là một acgument của z thì tan   7  7  cot 4  tan     .  4   1  cos 2sin 2 7  14  7 7  Suy ra     k , k  . 14    Vì phần thực 1  cos  0 , phần ảo  sin  0 nên ta chọn một acgument là  . 7 7 14 4  Vậy môđun của z là z  2cos , acgument của z là     k , k  , 7 14 4        dạng lượng giác của z là z  2cos  cos     i sin     . 7   14   14   Ví dụ 3. Viết số phức z dưới dạng lượng giác, biết z  1  z  3i và iz có một acgument là  . 6 Giải Đặt z  r  cos  i sin    r  0,  . Khi đó z  r  cos  isin  .       iz  r  sin   i cos    r cos      i sin      .  2  2     Theo giả thiết thì     . 2 6 3 r 3r r r  Khi đó z  1  z  3i  1 i   3   1 2 2 2 2  2 2 2  r  3r r  r  2 r2    1    3   1  r 2  4   1  r  1. 2  4 4 2  2    Vậy dạng lượng giác của số phức z là z  cos  isin . 3 3
   Ví dụ 4. Tìm một acgument của số phức z  1  i 3 , biết một acgument của z bằng 3 . Giải  1 3  Vì z có một acgument bằng nên z  z    i . 3  2 2  1 3    Do đó z  1  i 3   z  2    i . 2 2   Khi z  2 một acgument của z  1  i 3 là   3 . 4 Khi 0  z  2 một acgument của z  1  i 3 là   3 .   Khi z  2 thì z  1  i 3 =0 nên acgument không xác định.  4 Vậy một acgument của z là , . 3 3 III. Bài tập tự luyện Bài 1. Tìm dạng lượng giác của các số phức sau 1 i 2    a. z . Đáp số: z  cos  i sin  . 3 i 2  12 12  5 1  7 7  b. z  tan  i. Đáp số: z   cos  i sin . 8 3  8 8  cos 8 Bài 2. Tìm z ,arg z,arg z,arg   z  của các số phức sau a. z  1  i  6  6i  . Đáp số: z  12,arg z  0. 11  b. z  7  7 3i  1  i  . Đáp số: z  14 2,arg z  12 . Bài 3. Cho số phức z có môđun  1 và  là một acgument của nó. z a. Tìm một acgument của số phức . Đáp số: 2. z
b. Tìm một acgument của số phức z  z nếu cos  0.  Đáp số: Nếu cos  0 thì arg z  z  0.   Nếu cos  0 thì arg z  z   .    Bài 4. Cho số phức z  1  sin   icos ,  0     . Tìm một acgument của z.  2   Đáp số:  . 4 2 3 i Bài 5. Xác định dạng lượng giác của số phức z  . 1 i 3 5 5 Đáp số: z  cos  i sin . 2 2 Bài 6. Tìm số phức z sao cho z  z  2 và một acgument của z  2 bằng một acgument của  z  2 cộng với . Đáp số: z  1  3i. 2 z 1 Bài 7. Tìm tất cả các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho là số zi thực. Đáp số: Là tập hợp các điểm thuộc Ox , Oy trừ điểm I  0,1 . Bài 8. Viết dạng lượng giác của mỗi số phức sau: 1 3 1   a. z   i . Đáp số: z   cos  i sin . 4 4 2 3 3 1 3 4 4 b. z  i . Đáp số: z  cos  i sin . 2 2 3 3 5