Bài giảng Giới hạn của hàm số, hàm số liên tục - Bài 4: Định nghĩa và một số định lí về giới hạn hàm số

Chia sẻ: Phan Văn Quỳnh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:18

Thêm vào BST

Báo xấu

200
lượt xem 18
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Giới hạn của hàm số, hàm số liên tục - Bài 4: Định nghĩa và một số định lí về giới hạn hàm số trình bày về giới hạn của hàm số tại một điểm; giới hạn hàm số tại vô cực; bài tập luyện tập.Mời các bạn tham khảo bài giảng để bổ sung thêm kiến thức về hàm số cũng như kiến thức về hàm số liên tục.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giới hạn của hàm số, hàm số liên tục - Bài 4: Định nghĩa và một số định lí về giới hạn hàm số

B. Giíi h¹n cña hµm sè. Hµm sè liªn tôc Bµi 4: §Þnh nghÜa vµ mét sè ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n hµm sè ?
B. Giíi h¹n cña hµm sè. Hµm sè liªn tôc Bµi 4: §Þnh nghÜa vµ mét sè ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n hµm sè 1. Giíi h¹n cña hµm sè t¹i mét ®iÓm a. Giíi h¹n h÷u h¹n: XÐt bµi to¸n: 2 x 2 −8 f ( x) = Cho hµm sè x−2vµ mét d·y bÊt k× x1 , x2 ,..., xn ,... nh÷ng sè thùc kh¸c 2 (tøc xn ≠ 2lµ ∀ víi∈ * n N sao cho lim xn = 2 H·y x¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ t¬ng øng f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ),... cña hµm sè vµ tÝnh lim f ( xn ) ?
1. Giíi h¹n cña hµm sè t¹i mét ®iÓm a. Giíi h¹n h÷u h¹n: Gi¶i :TX§: R \ { 2} 2( xn2 − 4) V× xn ≠ 2 nªn f ( xn ) = xn − 2 = 2( xn + 2) víi mäi n. Do ®ã: f ( x1 ) = 2( x1 + 2) ; f ( x2 ) = 2( x2 + 2) ;..., f ( xn ) = 2( xn + 2);... Ta cã: lim f ( xn ) = lim 2( xn + 2) = 2 lim( xn + 2) = 8
Bµi 4: §Þnh nghÜa vµ mét sè ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n hµm sè §Þnh nghÜa 1: Gi¶ sö (a; b) lµ kho¶ng chøa ®iÓm x0 vµ f lµ mét hµm sè x¸c ®Þnh trªn (a; b) \ { x0 } . Ta nãi r»ng hµm sè f cã giíi h¹n lµ sè thùc L khi x dÇn tíi x0(hay t¹i ®iÓm x0 ) nÕu víi mäi d·y sè ( xn ) trong tËp hîp (a; b) \ { x0 } (tøc lµ xn ∈ (a; b) vµ xn ≠ x0 víi mäi n) mµ lim xn = x0 ta ®Òu cã lim f ( xn ) = L Khi ®ã ta viÕt: hoÆc khi lim f ( x) = L f ( x) → L x → x0 x → x0
Bµi 4: §Þnh nghÜa vµ mét sè ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n hµm sè 1 VÝ dô 1: T×m lim( x sin ) x →0 x ? Gi¶i
Bµi 4: §Þnh nghÜa vµ mét sè ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n hµm sè 1 VÝ dô 1: T×m lim( x sin ) x →0 x 1 Gi¶i: XÐt hµm sè f ( x ) = x sin x TX§: R \ { 0} Víi mäi ( xn ) mµxn ≠ 0 víi mäi n vµ lim xn = 0 ta cã 1 1 f ( xn ) = xn sin . V× f ( xn ) = xn sin ≤ xn vµ lim x = 0 xn n xn nªn lim f ( xn ) = 0 Do ®ã: lim f ( x) = lim  x sin 1  = 0  ÷ x →0 x →0  x
Bµi 4: §Þnh nghÜa vµ mét sè ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n hµm sè • VÝ dô 2: T×m x 2 + 3x + 2 lim x →−1 x +1 ? Gi¶i
Bµi 4: §Þnh nghÜa vµ mét sè ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n hµm sè x2 + 3x + 2 VÝ dô 2: T×m lim x →−1 x +1 x 2 + 3x + 2 Gi¶i: XÐt hµm sè f ( x) = x +1 TX§: R \ { −1} Víi mäi ( xn ), xn ≠ −1 vµ lim xn = −1 xn2 + 3xn + 2 Ta cã: f ( xn ) = = xn + 2 xn + 1 Do ®ã lim ( f ( xn ) = lim ( xn + 2) = 1 x 2 + 3x + 2 VËy xlim =1 →−1 x +1
f ( x) = c f ( x) = x lim f ( x) = ? x → x0 lim f ( x) = ? x → x0
NhËn xÐt: 1. NÕu f ( x) = c víi ∀ x ∈ R, trong ®ã c lµ h»ng sè th× víi ∀ x0 ∈ R lim f ( x) = c x → x0 2. NÕu f ( x) = x víi ∀ x∈ R , th× víi ∀ x0 ∈ R lim f ( x) = x0 x → x0
Bµi 4: §Þnh nghÜa vµ mét sè ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n hµm sè • 1. Giíi h¹n cña hµm sè t¹i mét ®iÓm b. Giíi h¹n v« cùc: * §Þnh nghÜa 2: Cho (a; b) lµ mét kho¶ng chøa ®iÓm x0 vµ f lµ mét hµm sè x¸c ®Þnh trªn (a; b) \ { x0 } • lim f ( x) = +∞ ⇔ ∀ ( xn ), xn ∈ (a; b) \ { x0 } x → x0 mµ lim xn = x0 th× lim f ( xn ) = + ∞ • lim f ( x) = − ∞ ⇔ ∀ ( xn ) , xn ∈ (a; b) \ { x0 } x → x0 mµ lim xn = x0 th× lim f ( xn ) = − ∞
dô 3 vÝ 3 T×m lim x →1 ( x − 1) 2 ? Gi¶i
ô 3 v Ý d 3 lim T×m x →1 ( x − 1) 2 3 f ( x) = Gi¶i: XÐt hµm sè ( x − 1) 2 Víi mäi d·y sè ( xn )mµ xn ≠ 1 víi mäi n vµ lim xn = 1 3 Ta cã: f ( xn ) = ( xn − 1)2 V× lim3 > 0 , lim( xn − 1) 2 = 0 vµ ( x − 1) 2 > 0 víi mäi n nªn lim f ( xn ) = + ∞ 3 Do ®ã lim f ( x) = lim = +∞ x → 1 ( x − 1) x→ 1 2
ô 4 v Ý d −5 T×m lim x → −2 ( x + 2) 2 ? Gi¶i
−5 4 T×m lim Ý d ô x → −2 ( x + 2) 2 v −5 Gi¶i: T¬ng tù vÝ dô 3 ta cã: lim =−∞ x →−2 ( x + 2) 2
Bµi 4: §Þnh nghÜa vµ mét sè ®Þnh lÝ vÒ giíi h¹n hµm sè 2. Giíi h¹n cña hµm sè t¹i v« cùc: §Þnh nghÜa 3: Gi¶ sö hµm sè f x¸c ®Þnh trªn (a; + ∞) . Ta thÊy râ rµng hµm sè f cã giíi h¹n lµ sè thùc L khi x dÉn ®Õn + ∞ nÕu víi mäi d·y sè ( xn ) trong kho¶ng (a; + ∞) (tøc lµ xn  a ) mµ lim xn = + ∞ ta ®Òu cã lim f ( xn ) = L Khi ®ã ta viÕt: C¸c giíi h¹n lim f (,x) =+ ∞ , lim f ( x) = −∞, x →+∞ x →+∞ lim f ( x) = L , lim f ( x =+ ∞) , lim f ( x =− ∞) x →−∞ x →−∞ x →−∞ ®îc ®Þnh nghÜa t¬ng tù
ô 5 v Ý d 1 a. lim x = + ∞ c. lim =0 x →+∞ x →+∞ x 1 b. lim x = − ∞ lim =0 x →−∞ d. x →−∞ x NhËn xÐt: k a. lim x = + ∞ x →+∞ k  +∞ nÕu k ch½n b. lim x = x →−∞  −∞ nÕu k lÎ 1 c. xlim k =0 →+∞ x 1 d. lim k =0 x →−∞ x
LuyÖn tËp TÝnh c¸c giíi h¹n sau:  1 a. lim  x 2 . cos ÷ x → x0  n b. 2 x2 − 5x + 3 lim x →1 x −1 x−2 lim 2 c. x →+∞ x − 2 x