Bài giảng Tích phân bất định

Chia sẻ: Lan Lan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST

Báo xấu

219
lượt xem 36
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bước tới: menu, tìm kiếm Tích phân xác định được định nghĩa như diện tích S được giới hạn bởi đường cong y=f(x) và trục hoành, với x chạy từ a đến b Tích phân (Integral (Anh), 積分 (Trung)) là một khái niệm toán học,và cùng với nghịch đảo của nó vi phân (differentiation) đóng vai trò là 2 phép tính cơ bản và chủ chốt trong lĩnh vực giải tích (calculus). Có thể hiểu đơn giản tích phân như là diện tích hoặc diện tích tổng quát hóa. Giả sử cần tính diện tích một hình phẳng được bao bởi...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Tích phân bất định

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK ------------------------------------------------------------------------------------- BGĐT – TOÁN 1 BÀI 7: TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH – XÁC ĐỊNH – SUY RỘNG TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2006) 1
NỘI DUNG ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 1- NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 2- TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ 3- TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ 4- TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC 5- T/PHÂN X/ĐỊNH. Đ/HÀM T/PHÂN THEO CẬN TRÊN 6- TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1 & LOẠI 2 7- TIÊU CHUẨN SO SÁNH 1, 2. HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI 2
1. NGUYÊN HÀM --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tích phân bất định: ò f ( x) dx = F ( x) + C Û F ' ( x) = f ( x) Bảng nguyên hàm cơ bản : Bổ sung hàm lượng giác ngược Hàm số Cơ bản Tổng quát dx dx 1 x Lượng giác ò x 2 + 1 = arctgx + C ò x 2 + a 2 = a arctg a + C ngược dx dx x ò 1 - x 2 = arcsin x + C ò a 2 - x 2 = arcsin a + C Hyperbolic ò sinh xdx = cosh x + C ò cosh xdx = sinh x + C dx dx ò cosh 2 x = tanh x + C ò sinh 2 x = - coth x + C 3
1. KỸ NĂNG CƠ BẢN --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ø Phương pháp : Biến đổi về tổng Ø Kỹ năng : Đổi biến 1 – 2 Ø Kỹ năng : Đổi biến 1 – 2 ò f (u ( x)u ' ( x)dx = ò f (u )du Ø Đổi biến 2: Phát hiện x(t) ò f ( x) dx = ò f ( x(t )) x' (t )dt Ø Tích phân từng phần: v = Phần khó tìm nguyên hàm Ø Tích phân hàm hữu tỷ é A1 Cx + D ù P( x) B1 B2 ò Q( x) dx = ò ê x - a + K + ( x - b ) + +K+ 2 ú ( x - b1 )2 x + px + q û ë 1 1 Ø Tích phân hàm vô tỷ (căn thức) + Lượng giác 4
2. PHÂN THỨC HỮU TỶ. BẬC TỬ ³ BẬC MẪU --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Phân thức hữu tỷ: P(x)/Q(x), P và Q: đa thức. Phân thức hữu tỷ thực sự: Bậc P(x) < Bậc Q(x). Bậc P(x) ³ Bậc Q(x): Chia P(x) cho Q(x) ® đa thức thương số h(x), đa thức dư r(x) Þ P(x) = h(x)Q(x) + r(x) Þ h( x )Q( x ) + r ( x ) r(x) P ò h( x )dx + ò Q( x ) dx , baäc r < baäc Q òQ = ò dx = Q( x ) VD: Tính tích phân x3 3 2 é x 2 - x + 1 - 1 ù dx = x x ò x + 1 dx = òê - + x - ln x + 1 + C ú x + 1û ë 32 5
2. PHÂN THỨC HỮU TỶ. NGUYÊN TẮC TỔNG QUÁT --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1/ Phân tích đa thức mẫu số Q thành tích (bậc 1 hoặc bậc 2) 2/ Phân tích P/Q ® tổng (thêm bớt, hoặc hệ số bất định) 1 + x4 - x4 1- x2 dx x VD: Tính a / ò 3 5 =ò 3 ò x3 dx + ò 1 + x 2 dx dx = x +x x (1 + x ) 2 é Ax + B + Cx + D ù dx ( x 2 - 1) ò ê x 2 + 5 x + 1 x 2 - 3x + 1ú b/ I = ò 2 dx = ( x + 5 x + 1)( x - 3x + 1) 2 ë û 2x + 5 2 x - 3 ù 1 é u ' v' ù 1 x 2 - 3x + 1 1é = ò ê- 2 ú = 8 ò ê- u + v û = 8 ln x 2 + 5 x + 1 + C +2 ú 8 ë x + 5 x + 1 x - 3x + 1û ë Đại số: Mọi đa thức hệ số thực bậc n luôn phân tích được thành tích các nhị thức bậc 1 và tam thức bậc 2 có D < 0 6
2. PHÂN TÍCH PHÂN THỨC P(X)/Q(X) ® TỔNG --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1/ Giải Q(x) = 0 Þ Đưa Q(x) về tích bậc 1 & bậc 2 (D < 0) ( x - a 2 ) K (x 4424q13 (x 4424q2 3 K + p1 x + ) + p2 x + ) Q( x ) = a ( x - a1 ) n1 n2 m1 m2 2 2 1 41 4 2 2 p1 - 4 q1 < 0 p2 - 4 q2 < 0 2/ Phân tích P(x)/Q(x) thành tổng các phân thức cơ bản: Am1 B1 x + C1 B2 x + C2 A1 A2 +K+ +K+ 2 +K + + (14 2x441 ) g1 ( x ) x - a1 ( x - a1 ) ( x4a14 -) x + p1 + q 2 m1 2 4 3 144444 2444 4 3 4 g1 ( x ) m1 thöøa soá 3/ Quy đồng mẫu số; Đồng nhất 2 vế; Giải hệ p/trình tìm Ak … 1/ Tích ở mẫu số chứa bao nhiêu thừa số ® Tổng chứa bấy nhiêu 2/ Mẫu bậc 1® Tử: hằng số. Mẫu bậc 2 (lũy thừa k) ® Tử bậc 1 7
2. TÍCH PHÂN CÁC PHÂN THỨC CƠ BẢN --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bậc 1 / Bậc 2, mẫu số vô nghiệm: Thêm bớt tạo dạng u’/u mx + n 2ax + b m æ mb ö 1 =×2 + çn - ÷× 2 ax + bx + c 2a ax + bx + c è 2a ø ax + bx + c 2 Bậc 1 / (Bậc 2)n: Thêm bớt tạo u’/un & Đưa về C/(x2 + a2)n mx + n 2ax + b m æ n - mb ö × 1 × 1 =× +ç ÷ (ax + bx + c ) 2a (ax + bx + c ) è 2a ø a (x 2 + a 2 )r r r 2 2 2n - 1 1 1 x Từng phần: I n +1 = + × 2 In dx 2na ( x + a ) 2 2 2n 2n a In = ò 2 ( x + a 2 )n Lượng giác hóa: x = atgt Þ I n ® ò cos 2 n - 2 t dt 8
2. VÍ DỤ TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Đưa các tích phân sau về phân thức hữu tỷ cơ bản ( x + 2)2 dx Þ ( x + 2)2 = A + B + C a. ò x( x - 1) x( x - 1) x x - 1 ( x - 1)2 2 2 Þ ( x + 2 ) = A( x - 1) + Bx( x - 1) + Cx x = 0 Þ A = … ; x = 1 Þ C 2 2 Dx + E dx 1 1 AB C b. ò 5 Þ5 =2 = + 2+ +2 x ( x - 1)(x + x + 1) x x x - 1 x + x + 1 x -x x -x 2 2 2 dx 1 c. ò = ??? : Không thể phân tích (mẫu: Þ (x + x + 1) (x + x + 1) 3 3 2 2 bất khả quy, tử: bậc £ 1 )!!! 1 1 1 3 tgu Þ I = K ò cos 4 u = = t= [( x + 1 2) ] (t (x + x + 1) ) 3 3 23 2 +a 2 2 2 +3 4 9
3. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ- CĂN PHÂN THỨC BẬC 1 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tích phân chứa căn bậc n, trong căn chứa phân thức bậc 1 æ n ax + b ö ax + b ò Rç x, cx + d ÷ dx Þ t = cx + d n è ø ( ) Đặc biệt: Tích phân ò R x, n ax + b dx Þ t = n ax + b x + 1 dx dx = ò3 × VD: I = ò x -1 x + 1 ( x - 1)( x + 1)2 3 t3 +1 6t 2 dt x +1 Giải: Đổi biến t = 3 Þx= 3 Þ dx = - ( ) x -1 2 t -1 3 t -1 æ n ax + b m ax + b ö ax + b s L÷ dx Þ =t Tổng quát: ò Rç x, , cx + d cx + d ø cx + d 10 è
3. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ – CĂN CỦA TAM THỨC --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tích phân chứa căn bậc 2, trong căn chứa tam thức bậc hai ® Đưa về bình phương đúng k ± x2 & Sử dụng ( ) dx = ln x + x 2 + k + C ò 2 x +k ( ) 1 k x 2 + k dx = x x 2 + k + ln x + x 2 + k + C ò 2 2 dx x ò 2 2 = arcsin a + C a -x 2 1 2a x 2 2 2 ò a - x dx = 2 x a - x + 2 arcsin a + C 11
3. TÍCH PHÂN ĐA THỨC – CĂN CỦA TAM THỨC ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Pn ( x) dx 2 dx = Qn-1 ( x) ax + bx + c + l ò ò 2 ax 2 + bx + c ax + bx + c x3 - x + 1 dx = VD: ò x2 + 2x + 2 (ax ) dx 2 2 x + 2x + 2 + l ò + bx + c x2 + 2x + 2 dx 1 ò Đổi biến: x - a = ( x - a )k ax 2 + bx + c t - dt t 2 1 dx Đổi biến: x = Þ I = ò VD: I = ò 122 t x 2x2 - 2x +1 - +1 2 tt t 12
3. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ – CĂN CỦA TAM THỨC --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Căn tam thức ® Lượng giác hoá (hoặc hyperbolic hóa): ( ) ò R x, a 2 - x 2 dx Þ x = a sin t é x = atgt Þ a 2 + x 2 = a cos t ( ) ò R x, a 2 + x 2 dx : ê ê x = a sinh t Þ a 2 + x 2 = a cosh t ë é x = a cos t Þ a 2 + x 2 = a tgt ( ) ò R x, x 2 - a 2 dx : ê ê x = a cosh t Þ x 2 - a 2 = a sinh t ë 2 ì1 + x 2 = cosh t 1+ x Þ I = ò coth 2 tdt ? VD: I = ò dx x = sinh t Þ í x2 îdx = cosh tdt æ-p , p ö Þ I = dt ò cos t sin 2 t 13 Quen thuộc hơn: x = tgt , t Î ç ÷ è 2 2ø
3. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ – PHÉP THẾ EULER --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ( ) Tính ò R x, ax 2 + bx + c dx (Giới thiệu ý tưởng. Minh hoạ) a > 0 : ax 2 + bx + c = t - a x D > 0 : ax 2 + bx + c = a( x - l )( x - m ) : ax 2 + bx + c = t ( x - l ) dx VD: I = ò x2 + k t 2 -1 dx x2 - x +1 = t - x Þ x = VD: I = ò 2t - 1 x + x2 - x + 1 14
4. HÀM LƯỢNG GIÁC – PHÂN THỨC HỮU TỶ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Hàm hữu tỷ theo sinx, cosx: R(sinx, cosx) sin 3 x tg 2 x sin x + cos x 1 VD: , , , 1 + sin x + cos x 2 + cos x 1 + sin 3 x 3 cos 2 x ( ) ìsin x = 2t 1 + t 2 xï ( )( ) ï R(sin x, cos x )dx : t = tg Þ ícos x = 1 - t 2 1 + t 2 ò 2ï () dx = 2 dt 1 + t 2 ï î dx dx dx VD: ò ò sin x ò cos x 1 + sin x + cos x 15
4. LƯỢNG GIÁC – BẬC 1/BẬC 1 – KHAI THÁC u’/u --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Trường hợp riêng: A sin x + B cos x + C = u A' sin x + B ' cos x + C ' v u v' 1 Tách thành tổng: u = a + bv + lv' Þ = b + l + a v v v Vài dạng khác: ò sina x cos b xdx ò sin ax cos bx dx Hạ bậc, biến tích ® tổng & phối hợp tính chẵn lẻ: R(- sin x, cos x ) = - R (sin x, cos x) Þ t = cos x R(sin x,- cos x ) = - R (sin x, cos x) Þ t = sin x R(- sin x,- cos x ) = R (sin x, cos x) Þ t = tgx 16
5. Ý NGHĨA PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bài toán thực tế: Diện tích hình thang cong: y = f(x), x = a … Diện tích hình thang cong » y = f (x) Tổng diện tích các hình chữ nhật xấp xỉ f (x 0 )( x1 - x0 ) + f (x1 )D x1 + K 123 44 x1 - x0 D x0 Chia càng nhỏ càng tốt Þ x = a x 0 x1 x=b x2 x3 b n -1 Diện tích hình thang å (1 24 ) f (c ) = ò f ( x)dx x -x lim 43 k +1 k k max ( Dxk )®0 cong: lim tổng (Rieman) k =0 a D xk 17
5. KẾT QUẢ CƠ BẢN --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lặp lại quy trình với nhiều bài toán: Thể tích vật thể tròn xoay, độ dài dây cung, công của lực biến thiên … Þ Khái niệm tích phân xác định, định nghĩa bởi tổng Rieman của hàm f(x) trên đoạn [a, b]: b n -1 n -1 å f (x )( x å f (x )Dx = ò f ( x)dx - xk ) = lim lim k +1 k k k max ( Dxk )®0 max ( Dxk )®0 k =0 k =0 a x éx ù d ê ò f (t ) dt ú = f ( x) Þ ò f (t )dt = F ( x ) + C , F : Nguyeân haøm dx ëa û a b f ( x )dx = [F ( x)]a ò b Tìm C Þ Công thức Newton – Lebnitz: 18 a
5. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Hàm f(x) xác định, bị chặn trên đoạn [a, b]. Phân hoạch: a = x0 < x1 < K < xn = b ; x k Î [xk , xk +1 ] ; d = max xk +1 - xk k Tphân xđịnh: Giới hạn tổng Rieman khi d ® 0 " cách phân hoạch [a, b], " cách chọn điểm chia xk Î [xk, xk+1]: b n -1 lim å ( xk +1 - xk ) f (x k ) = ò f ( x) dx d ®0 k = 0 a Định lý: Hàm liên tục trên 1 đoạn thì khả tích (Rieman) 2 n -1 1 VD: lim å k n ®¥ k = n 19
5. ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bất đẳng thức tích phân: b b f ( x) £ g ( x) " x Î [a, b] Þ ò f ( x) dx £ ò g ( x)dx a a Hay sử dụng: b m £ f ( x) £ M " x Î [a, b] Þ m(b - a ) £ ò f ( x) dx £ M (b - a ) a Định lý giá trị trung bình: Hàm f(x) liên tục trên [a, b] Þ b 1b $ x Î [a, b] : ò f ( x)dx = f (x )(b - a ) Û f (x ) = ò f ( x)dx b-aa a 20