intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng môn học phần Xác suất thống kê

Chia sẻ: Nguyễn Văn Quân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

Thêm vào BST
Báo xấu
693
lượt xem 320
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo về bài giảng xác suất thống kê...

Chủ đề:

Bình luận(1) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng môn học phần Xác suất thống kê

  1. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK XÁC SU T VÀ TH NG KÊ (ð i h c và Cao ñ ng) Tài li u tham kh o: 1. Giáo trình Xác su t – Th ng kê và ng d ng – Nguy n Phú Vinh – NXB Th ng kê. 2. Ngân hàng câu h i Xác su t – Th ng kê và ng d ng – ðHCN TP.HCM. 3. Lý thuy t Xác su t và Th ng kê – ðinh Văn G ng – NXB Giáo d c. 4. Lý thuy t Xác su t và Th ng kê toán – Nguy n Thanh Sơn, Lê Khánh Lu n – NXBTKê. 5. Xác su t – Th ng kê – Lý thuy t và các bài t p – ð u Th C p – NXB Giáo d c. 6. Lý thuy t Xác su t và Th ng kê – ðinh Văn G ng – NXB Giáo d c. 7. Xác su t – Th ng kê và ng d ng – Lê Sĩ ð ng – NXB Giáo d c. 8. Xác su t và Th ng kê – ð ng H n – NXB Giáo d c. 9. Giáo trình Xác su t và Th ng kê – Ph m Xuân Ki u – NXB Giáo d c. 10. Giáo trình Lý thuy t Xác su t & Th ng kê Toán–Nguy n Cao Văn–NXB Kt Qu c dân. PH N I. LÝ THUY T XÁC SU T TÚC ð I S B T HP 1. Tính ch t các phép toán ∩ , ∪ 2. Quy t c nhân Gi s m t công vi c nào ñó ñư c chia thành k giai a) Tính giao hoán: ño n. Có n1 cách th c hi n giai ño n th 1, có n2 cách A ∩ B = B ∩ A, A ∪ B = B ∪ A. th c hi n giai ño n th 2,..., có nk cách th c hi n giai b) Tính k t h p: ño n th k. Khi ñó ta có n = n1.n2…nk cách th c hi n (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) , toàn b công vi c. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) . c) Tính phân ph i: 3. Quy t c c ng A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) , Gi s m t công vi c có th th c hi n ñư c k cách (trư ng h p) lo i tr l n nhau: cách th nh t cho m1 k t A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) . qu , cách th hai cho m2 k t qu , …, cách th k cho mk d) Tính ñ i ng u (De–Morgan): k t qu . Khi ñó vi c th c hi n công vi c trên cho A ∩ B = A ∪ B, A ∪ B = A ∩ B. m = m1 + m2 + … + mk k t qu . 5. Các công th c thư ng dùng 4. M u l p, m u không l p 5.1. Hoán v ð nh nghĩa: Hoán v c a n ph n t là m t nhóm có th t g m ñ m t n ph n t ñã cho. S hoán v c a n ph n − M u không l p: các ph n t c a m u ch có m tm t t ñư c ký hi u là Pn , Pn = n ! . l n (các ph n t khác nhau t ng ñôi m t). − M u có l p: các ph n t c a m u có th l p l i nhi u l n trong m u. 5.2. Ch nh h p l p (có th t ) − M u không th t : khi thay ñ i v trí các ph n t ð nh nghĩa: Ch nh h p l p k c a n ph n t (k ≤ n) là khác nhau c a m u ta không nh n ñư c m u m i. m t nhóm (b ) có th t g m ph n k t không nh t thi t − M u có th t : khi thay ñ i v trí các ph n t khác khác nhau ch n t n ph n t ñã cho. S các ch nh h p nhau c a m u ta nh n ñư c m u m i. l p k c a n ph n t là nk. 5.4. T h p (m u không l p, không có th t ) ð nh nghĩa: T h p ch p k c a n ph n t (k ≤ n) là 5.3. Ch nh h p (m u không l p, có th t ) ð nh nghĩa: Ch nh h p ch p k c a n ph n t (k ≤ n) là m t nhóm (b ) không phân bi t th t g m k ph n t khác nhau ch n t n ph n t ñã cho. m t nhóm (b ) có th t g m ph n k t khác nhau ch n t n ph n t ñã cho. S ch nh h p ch p k c a n ph n t S t h p ch p k c a n ph n t ký hi u là Ck và n Ak ký hi u là . n n! Ck = . Quy ư c: 0! = 1. k !( n − k )! n n! . Ak = n(n − 1)...(n − k + 1) = n (n − k)! Tính ch t: Ck = Cn−k ; Ck = Ck−1 + Cn−1 . k n−1 n n n ---------------------------------------------- Trang 1
  2. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK Chương 1. CÁC KHÁI NI M CƠ B N C A XÁC SU T §1. BI N C NG U NHIÊN 1.1. Phép th và bi n c 1.2. Các lo i bi n c a) Không gian m u và bi n c sơ c p • Phép th là vi c th c hi n 1 thí nghi m hay quan sát m t hi n tư ng nào ñó ñ xem có x y ra hay không. • Trong m t phép th , t p h p t t c các k t qu có th Hi n tư ng có x y ra hay không trong phép th ñư c g i x y ra ñư c g i là không gian m u ký hi u là . • M i ph n t ω ∈ không th phân nh thành hai bi n là bi n c ng u nhiên. Bi n c ng u nhiên thư ng ñư c ký hi u A, B, C… c ñư c g i là bi n c sơ c p. VD 1. + Tung ñ ng ti n lên là m t phép th , bi n c là VD 2. Xét phép th gieo 3 h t lúa. “m t s p xu t hi n” hay “m t ng a xu t hi n”. G i Ai là bi n c “có i h t n y m m” (i = 0, 1, 2, 3). + Ch n ng u nhiên m t s s n ph m t m t lô hàng ñ Khi ñó các Ai là các bi n c sơ c p và ki m tra là phép th , bi n c là “ch n ñư c s n ph m = {A0, A1, A2, A3}. t t” hay “ch n ñư c ph ph m”. G i B là “có ít nh t 1 h t n y m m” thì B không là + Gieo m t s h t lúa là phép th , bi n c là “h t lúa n y bi n c sơ c p. m m” hay “h t lúa không n y m m”. • Trong m t phép th mà m i bi n c sơ c p ñ u ñ ng b) Bi n c ch c ch n và bi n c không th kh năng thì s ph n t c a không gian m u ñư c g i • Trong m t phép th , bi n c nh t ñ nh x y ra là ch c là s trư ng h p ñ ng kh năng c a phép th . ch n, ký hi u là . VD 4. • Bi n c không th là bi n c không th x y ra khi th c hi n phép th , ký hi u ∅ . G i ng u nhiên m t h c sinh trong l p ñ ki m tra thì m i h c sinh trong l p ñ u có kh năng b g i như nhau. VD 3. T m t nhóm có 6 nam và 4 n ch n ra 5 ngư i. d) Các phép toán • T ng c a A và B là C, ký hi u C = A ∪ B hay Khi ñó, bi n c “ch n ñư c 5 ngư i n ” là không th , bi n c “ch n ñư c ít nh t 1 nam” là ch c ch n. C = A + B, x y ra khi ít nh t 1 trong hai bi n c A, B x y ra. VD 5. B n hai viên ñ n vào 1 t m bia. G i A1: “viên th c) S trư ng h p ñ ng kh năng • Hai hay nhi u bi n c trong m t phép th có kh năng nh t trúng bia”, A2: “viên th hai trúng bia” và x y ra như nhau ñư c g i là ñ ng kh năng. C: “bia b trúng ñ n” thì C = A1 ∪ A2 . • Tích c a A và B là C, ký hi u C = AB = A ∩ B , x y • Ph n bù c a A, ký hi u: \ A = {ω ∈ ω ∉ A} . ra khi và ch khi c A và B cùng x y ra. A= VD 6. VD 8. M t ngư i ch n mua áo. G i A: “ch n ñư c áo màu B n l n lư t 2 viên ñ n vào 1 t m bia. xanh”, B: “ch n ñư c áo sơ–mi” và G i Ai: “có i viên ñ n trúng bia” (i = 0, 1, 2), C: “ch n ñư c áo sơ–mi màu xanh” thì C = AB. B: “có không quá 1 viên ñ n trúng bia”. VD 7. Khi ñó B = A2 , A0 ≠ A2 và A1 ≠ A2 . Ch n ng u nhiên 10 linh ki n trong 1 lô ra ki m tra. G i Ai: “ch n ñư c linh ki n th i t t” và 1.3. Quan h gi a các bi n c C: “ch n ñư c 10 linh ki n t t” thì a) Bi n c xung kh c 10 • Hai bi n c và B ñư c g i là xung kh c n u chúng C = A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ A10 = ∩ Ai . không ñ ng th i x y ra trong m t phép th . i =1 • H các bi n c A1, A2,…, An ñư c g i là xung kh c VD 10. Tr ng 1 cây b ch ñàn. G i A: “cây b ch ñàn (hay ñôi m t xung kh c) khi m t bi n c b t kỳ trong h s ng”, B: “cây b ch ñàn ch t” thì A và B là ñ i l p. x y ra thì các bi n c còn l i không x y ra. • H các bi n c {Ai} (i = 1,…, n) ñư c g i là h ñ y ñ Nghĩa là Ai ∩ A j = ∅, ∀i ≠ j . các bi n c n u th a mãn 2 ñi u sau: VD 9. M t h p có 3 viên ph n màu ñ , xanh và tr ng. 1) H xung kh c, nghĩa là Ai ∩ A j = ∅, ∀ i ≠ j . Ch n ng u nhiên 1 viên. G i A: “ch n ñư c viên màu ñ ”, B: “ch n ñư c viên màu tr ng” và C: “ch n ñư c 2) Ph i có ít nh t 1 bi n c trong h x y ra, viên màu xanh” thì A, B, C là xung kh c. nghĩa là A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = . b) Bi n c ñ i l p • Hai bi n c A và B ñư c g i là ñ i l p nhau n u chúng VD 11. H {A, B, C} trong VD 9 là ñ y ñ . th a mãn 2 ñi u sau: { A, A } là ñ y ñ Chú ý. H v i bi n c A tùy ý. 1) A và B xung kh c v i nhau. 2) Ph i có ít nh t m t trong 2 bi n c x y ra. Trang 2
  3. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK §2. XÁC SU T C A BI N C VD 2. M t h p có 10 s n ph m trong ñó có 4 ph ph m. 2.1. ð nh nghĩa xác su t d ng c ñi n L y ng u nhiên t h p ñó ra 3 s n ph m (l y 1 l n), tính • Trong m t phép th có t t c n bi n c sơ c p ñ ng kh xác su t ñ : năng, trong ñó có m kh năng thu n l i cho bi n c A a) C 3 s n ph m ñ u t t; b) Có ñúng 2 ph ph m. xu t hi n thì xác su t c a A là: VD 3. M t l p có 60 h c sinh trong ñó có 28 em gi i Soá bieán coá thuaän lôïi cho A toán, 30 em gi i lý, 32 em gi i ngo i ng , 15 em v a m P(A) = = . gi i toán v a gi i lý, 10 em v a gi i lý v a gi i ngo i Soá taát caû caùc bieán coá coù theå n ng , 12 em v a gi i toán v a gi i ngo i ng , 2 em gi i c 3 môn. Ch n ng u nhiên m t h c sinh c a l p. Tính VD 1. M t h p ch a 10 s n ph m trong ñó có 3 ph xác su t: ph m. Tính xác su t: a) Ch n ñư c em gi i ít nh t 1 môn. a) Ch n ng u nhiên 1 s n ph m t h p ñư c ph ph m. b) Ch n ñư c em ch gi i toán. b) Ch n ng u nhiên 1 l n t h p ra 2 s n ph m ñư c 2 c) Ch n ñư c em gi i ñúng 2 môn. ph ph m. VD 7. Hai ngư i b n h n g p nhau t i 1 ñ a ñi m theo Ưu ñi m và h n ch c a ñ nh nghĩa d ng c ñi n • Ưu ñi m: Tính ñư c chính xác giá tr c a xác su t mà quy ư c như sau: – M i ngư i ñ c l p ñi ñ n ñi m h n trong kho ng t 7 không c n th c hi n phép th . ñ n 8 gi . • H n ch : Trong th c t có nhi u phép th vô h n các bi n c và bi n c không ñ ng kh năng. – M i ngư i ñ n ñi m h n n u không g p ngư i kia thì ñ i 30 phút ho c ñ n 8 gi thì không ñ i n a. Tìm xác su t ñ hai ngư i g p nhau. 2.3. ð nh nghĩa theo hình h c Cho mi n . G i ñ ño c a là ñ dài, di n tích, th 2.4. Tính ch t c a xác su t 1) 0 ≤ P(A) ≤ 1 , v i m i bi n c A; là ñư ng cong, mi n ph ng, kh i). tích ( ng v i G i A là bi n c ñi m M ∈ S ⊂ . 2) P(∅) = 0 ; 3) P( ) = 1 . ñoä ño S 2.5. Ý nghĩa c a xác su t Ta có P(A) = . ñoä ño • Xác su t là s ño m c ñ tin ch c, thư ng xuyên x y ra VD 6. Tìm xác su t c a ñi m M rơi vào hình tròn n i c a 1 bi n c trong phép th . ti p tam giác ñ u c nh 2 cm. Chú ý. Xác su t ph thu c vào ñi u ki n c a phép th . §3. CÔNG TH C TÍNH XÁC SU T c) Bi n c ñ i l p 3.1. Công th c c ng xác su t () a) Bi n c xung kh c P A = 1 − P(A) . • A và B xung kh c thì: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) . • H {Ai} (i = 1, 2,…, n) thì: VD 1. M t h p ph n có 10 viên trong ñó có 3 viên màu P ( A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) =P(A1 )+P(A2 )+...+P(An ) . ñ . L y ng u nhiên t h p ra 3 viên ph n. Tính xác su t ñ l y ñư c ít nh t 1 viên ph n màu ñ . b) Bi n c tùy ý • A và B là hai bi n c tùy ý thì: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB) . VD 2. Có 33 h c sinh tham d kỳ thi ch n h c sinh gi i g m 2 vòng thi. Bi t r ng có 17 h c sinh thi ñ vòng 1; • H {Ai} (i = 1, 2,…, n) các bi n c tùy ý thì: 14 h c sinh thi ñ vòng 2 và 11 h c sinh trư t c hai n  n   P  ∪ Ai  = ∑ P(Ai ) − ∑ P(Ai A j ) vòng thi. Ch n ng u nhiên m t h c sinh trong danh sách     i =1  i =1  d thi. Tìm xác su t ñ h c sinh ñó ch thi ñ duy nh t 1  i< j . ∑ trong 2 vòng thi. n−1 + P(Ai A jAk )+...+(−1) P(A1A2 ...An ) i < j 0 . Xác su t có ñi u ki n c a A v i ñi u ki n B Ngư i th nh t ñã b c 1 vé không trúng thư ng. Tính ñã x y ra ñư c ký hi u và ñ nh nghĩa: xác su t ñ ngư i th 2 b c ñư c vé trúng thư ng (m i P(AB) ngư i ch b c 1 vé). P( A B ) = . b) Công th c nhân P(B) • A và B là 2 bi n c ñ c l p n u B có x y ra hay không • Xác su t có ñi u ki n cho phép chúng ta s d ng thông cũng không nh hư ng ñ n kh năng x y ra A và ngư c tin v s x y ra c a 1 bi n c ñ d báo xác su t x y ra l i, nghĩa là P ( A B ) = P(A) và P ( B A ) = P(B) . bi n c khác. • Tính ch t: 1) 0 ≤ P ( A B ) ≤ 1 ; Khi ñó ta có P(AB) = P(A).P(B) . ( ) • V i A, B không ñ c l p (ph thu c) thì: 2) P ( B B ) = 1 ; 3) P A B = 1 − P ( A B ) ; P(AB) = P(B)P ( A B ) = P(A)P ( B A ) . Trang 3
  4. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK VD 4. M t lô hàng có 100 s n ph m trong ñó có 10 ph 3.3. Công th c xác su t ñ y ñ và Bayes. a) Công th c xác su t ñ y ñ ph m. Ki m tra liên ti p không hoàn l i 5 s n ph m, n u có ít nh t 1 ph ph m thì không nh n lô hàng ñó. Tính • Cho h các bi n c {Ai} (i = 1, 2,…, n) ñ y ñ và B là xác su t ñ nh n lô hàng. bi n c b t kỳ trong phép th , ta có: VD 5. M t lô hàng g m 12 s n ph m trong ñó có 8 s n n ∑ P(Ai )( B Ai ) P(B) = ph m t t và 4 ph ph m. Rút ng u nhiên 1 s n ph m t . i =1 lô hàng và không ñ ý t i s n ph m ñó, sau ñó rút ti p = P(A1 )P ( B A1 ) + ... + P(An )P ( B An ) s n ph m th 2. Tính xác su t ñ s n ph m th hai là t t. VD 6. M t c u th bóng r có 4 qu bóng ñang ném t ng qu vào r . N u bóng vào r ho c h t bóng thì c u VD 7. M t ñám ñông có s ñàn ông b ng n a s ñàn bà. th ng ng ném. Bi t xác su t vào r c a qu bóng th 1, Xác su t ñ ñàn ông b b nh tim là 0,06 và ñàn bà là 2, 3 và 4 l n lư t là 90%, 80%, 85% và 70%. 0,0036. Ch n ng u nhiên 1 ngư i t ñám ñông, tính xác Tính xác su t c u th ném ñư c bóng vào r . su t ñ ngư i này b b nh tim. VD 9. Có 3 bao lúa cùng lo i. Bao 1 n ng 20kg ch a 1% b) Công th c Bayes • Cho h các bi n c {Ak} (k = 1, 2,…, n) ñ y ñ và B là h t lép, bao 2 n ng 30kg ch a 1,2% h t lép và bao 3 bi n c b t kỳ trong phép th . Xác su t ñ xu t hi n Ak n ng 50kg ch a 1,5% h t lép. Tr n c 3 bao l i r i b c sau khi ñã xu t hi n B là: ng u nhiên 1 h t thì ñư c h t lép. P(Ak )P ( B Ak ) Tính xác su t ñ h t lép này là c a bao th ba. P ( Ak B ) = . n VD 10. Ba ki n hàng ñ u có 20 s n ph m v i s s n ∑ P(Ai )P ( B Ai ) ph m t t tương ng là 12, 15, 18. L y ng u nhiên 1 ki n i =1 hàng (gi s 3 ki n hàng có cùng kh năng) r i t ki n ñó l y tùy ý ra 1 s n ph m. VD 8. T s ôtô t i và ôtô con ñi qua ñư ng có tr m a) Tính xác su t ñ s n ph m ch n ra là t t. bơm d u là 5/2. Xác su t ñ 1 ôtô t i ñi qua ñư ng này b) Gi s s n ph m ch n ra là t t, tính xác su t ñ s n vào bơm d u là 10%; ôtô con là 20%. Có 1 ôtô qua ph m ñó thu c ki n hàng th hai. ñư ng ñ bơm d u, tính xác su t ñ ñó là ôtô t i. Chương II. BI N (ð I LƯ NG) NG U NHIÊN §1. BI N NG U NHIÊN VÀ LU T PHÂN PH I XÁC SU T 1.1. Khái ni m và phân lo i bi n ng u nhiên b) Phân lo i bi n ng u nhiên • Bi n ng u nhiên (bnn) ñư c g i là r i r c n u các giá a) Khái ni m • M t bi n s ñư c g i là ng u nhiên n u trong k t qu tr có th có c a nó l p nên 1 t p h p h u h n ho c ñ m ñư c. c a phép th nó s nh n m t và ch m t trong các giá tr có th có c a nó tùy thu c vào s tác ñ ng c a các • Bi n ng u nhiên ñư c g i là liên t c n u các giá tr có th có c a nó l p ñ y 1 kho ng trên tr c s . nhân t ng u nhiên. • Các bi n ng u nhiên ñư c ký hi u: X, Y, Z, …còn các VD 2. + Bi n X trong VD 1 là bnn r i r c (t p h u h n). + G i Y là s ngư i ñi qua 1 ngã tư trên ñư ng ph thì Y giá tr c a chúng là x, y, z,… là bnn r i r c (t p ñ m ñư c). VD 1. Khi ti n hành gieo n h t ñ u ta chưa th bi t có bao VD 3. + B n 1 viên ñ n vào bia, g i X là “kho ng cách t ñi m ch m c a viên ñ n ñ n tâm c a bia” thì X là nhiêu h t s n y m m, s h t n y m m có th là 0, 1, …, n. K t thúc phép th gieo h t thì ta bi t ch c ch n có bao bi n ng u nhiên liên t c. + G i Y là “sai s khi ño 1 ñ i lư ng v t lý” thì Y là nhiêu h t n y m m. G i X là s h t n y m m thì là X bi n ng u nhiên và X = {0, 1, 2, …, n}. bi n ng u nhiên liên t c. Trong ñó: 1.2. Lu t phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên ∞ • Lu t phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên là m t n ∑ pi = 1 ; ∑ pi pi ≥ 0 ; = 1 (vô h n); cách bi u di n quan h gi a các giá tr c a bi n ng u i =1 i =1 nhiên v i các xác su t tương ng mà nó nh n các giá ∑ P(a < X < b) = tr ñó. pi . 1.2.1. Phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên a
  5. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK VD 5. Xác su t ñ 1 ngư i thi ñ t m i khi thi l y b ng Chú ý lái xe là 0,3. Ngư i ñó thi cho ñ n khi ñ t m i thôi. 1) Nhi u khi ngư i ta dùng ký hi u fX(x) ñ ch hàm m t G i X là s l n ngư i ñó d thi. ñ xác su t c a X. Tìm phân ph i xác su t c a X và tính xác su t ñ ngư i a ∫ f(x)dx = 0 ñó ph i thi không ít hơn 2 l n. 2) Do P(X = a) = nên ta không quan b) Trư ng h p liên t c a • Cho bi n ng u nhiên liên t c X. Hàm f(x), x ∈ ℝ tâm ñ n xác su t ñ X nh n giá tr c th . Suy ra ñư c g i là hàm m t ñ xác su t c a X n u th a: P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b) +∞ b ∫ . 1) f(x) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ ; 2) f(x)dx = 1 ; ∫ f(x)dx = P(a < X < b) = −∞ a b 3) V m t hình h c, xác su t bi n ng u nhiên (bnn) X ∫ f(x)dx 3) P(a < X < b) = (a < b). nh n giá tr trong (a; b) b ng di n tích hình thang cong gi i h n b i x = a, x = b, y = f(x) và tr c Ox. a 1.2.2. Hàm phân ph i xác su t +∞ ∫ 4) N u f(x) th a f(x) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ và f(x)dx = 1 • Hàm phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên X, ký hi u F(x) ho c FX(x), là xác su t ñ X nh n giá tr nh −∞ hơn x (v i x là s th c b t kỳ). F(x) = P(X < x), thì f(x) là hàm m t ñ xác su t c a 1 bnn nào ñó. ∀x ∈ ℝ . 4x 3 , x ∈ (0; 1) VD 6. Ch ng t f (x) =  – Hàm phân ph i xác su t cho bi t t l ph n trăm giá tr là hàm m t ñ  0, x ∉ (0; 1) c a X n m bên trái c a s x. – V i bi n ng u nhiên r i r c X = {x1, x2, …, xn}: xác su t c a bi n ng u nhiên X. F(x) = ∑ P(X = x i ) = ∑ pi . VD 7. Cho bnn X có hàm m t ñ xác su t: x
  6. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK b) Trư ng h p nhi u bi n 1.3. Phân ph i xác su t c a hàm c a bi n ng u nhiên • Trong th c t , ñôi khi ta xét bnn ph thu c vào 1 hay VD 13. Cho b ng: nhi u bnn khác ñã bi t lu t phân ph i. Y –1 0 1 X Bài toán. Cho hàm ϕ(x) và bnn r i r c X có phân ph i 1 0,1 0,15 0,05 2 0,3 0,2 0,2 xác su t cho trư c. Tìm phân ph i xác su t c a ϕ(x) . a) Trư ng h p 1 bi n L p b ng phân ph i xác su t c a: VD 12. L p b ng phân ph i xác su t c a a) Y = 2X2 + X − 1 . Y = ϕ(X) = X2 + 2 , bi t: b) Z = ϕ(X, Y) = 2X − Y + 5 . X –1 0 1 2 c) Z = ϕ(X, Y) = X2 − Y 2 . P 0,1 0,3 0,4 0,2 b) B ng phân ph i xác su t ñ ng th i c a (X, Y) 1.4. Phân ph i xác su t c a bnn 2 chi u (X, Y) r i r c a) ð nh nghĩa Y y1 y2 … yj … yn PX • C p 2 ñ i lư ng ng u nhiên r i r c ñư c xét ñ ng th i X (X, Y) ñư c g i là 1 vector ng u nhiên r i r c. x1 p11 p12 … p1j … p1n p1 Ký hi u bi n c (X < x).(Y < y) = (X < x; Y < y). x2 p21 p22 … p2j … p2n p2 • Hàm phân ph i xác su t ñ ng th i c a X và Y là: …. .................................................. ... F(x, y) = P(X < x; Y < y), ∀x, y ∈ ℝ . xi pi1 pi2 … pij … pin pi …. ……………………………….. … • X và Y ñư c g i là ñ c l p n u: xm pm1 pm2 … pmj … pmn pm F(x, y) = FX (x).FY (y), ∀x, y ∈ ℝ . PY q1 q2 … qj … qn 1 Chú ý Pij = P(X = xi, Y = yj) (i = 1,…,m; j = 1,…,n) là xác su t 1) N u X, Y ñ c l p thì hàm phân ph i ñ ng th i c a X, m n ∑ ∑ pij = 1 . Y ñư c xác ñ nh qua các hàm phân ph i c a X, c a Y. ñ X = xi, Y = yj và 2) Chương trình ch xét hàm phân ph i biên c a X, Y. i =1 j=1 c) Phân ph i xác su t biên (l ) Tính ch t. X và Y ñ c l p ⇔ pij = p i .q j, ∀i, j . T b ng phân ph i xác su t ñ ng th i c a X, Y ta có: VD 14. • Phân ph i xác su t biên c a X Cho b ng phân ph i xác su t ñ ng th i c a X và Y: X x1 x2 … xi … xm Y P X p1 p2 … pi … pm 10 20 30 40 X n n ∑ pij = ∑ p(X = xi , Y = y j ) = p(X = xi ) = pi . 10 0,2 0,04 0,01 0 20 0,1 0,36 0,09 0 j=1 j=1 30 0 0,05 0,1 0 • Phân ph i xác su t biên c a Y 40 0 0 0 0,05 Y y1 y2 … yi … yn P Y q1 q2 … qi … qn a) Tìm phân ph i biên c a X, c a Y. m m ∑ pij = ∑ p(X = x i , Y = y j ) = p(Y = y j ) = q j . b) Xét xem X và Y có ñ c l p không ? c) Tìm phân ph i xác su t c a Z = X + Y. i =1 i =1 §2. CÁC ð C TRƯNG S ð C TRƯNG) C A BI N NG U NHIÊN (THAM S • Nh ng thông tin cô ñ ng ph n ánh t ng ph n v bi n 2.1. Kỳ v ng toán ng u nhiên giúp ta so sánh gi a các ñ i lư ng v i nhau 2.1.1. ð nh nghĩa ñư c g i là các ñ c trưng s . a) Bi n ng u nhiên r i r c Có ba lo i ñ c trưng s : • Cho X = {x1, x2,…, xn} v i xác su t tương ng là p1, p2,…, pn thì kỳ v ng toán (g i t t là kỳ v ng) c a X, ký – Các ñ c trưng s cho xu hư ng trung tâm c a bnn: hi u EX hay M(X), là: Kỳ v ng toán, Trung v , Mod,… n ∑ x i pi . EX = x1p1 + x2 p2 + ... + x n pn = i =1 – Các ñ c trưng s cho ñ phân tán c a bnn: VD 1. M t lô hàng g m 10 s n ph m t t và 2 ph ph m. Phương sai, ð l ch chu n, H s bi n thiên,… L y ng u nhiên 2 s n ph m t lô hàng ñó, g i X là s ph ph m trong 2 s n ph m l y ra. – Các ñ c trưng s cho d ng phân ph i xác su t. L p b ng phân ph i xác su t và tính kỳ v ng c a X. Trang 6
  7. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK VD 3. Th i gian ch mua hàng c a khách là bi n ng u b) Bi n ng u nhiên liên t c nhiên liên t c T (ñơn v : phút) có hàm m t ñ xác su t +∞ 4 3 ∫ • Bnn X có hàm m t ñ là f(x) thì: EX =  x.f(x)dx .  t , t ∈ (0; 3) f(t) =  81  . Tính th i gian trung bình −∞  0,  t ∉ (0; 3) VD 2. Tìm kỳ v ng c a bi n ng u nhiên X có hàm m t   3 2   (x + 2x), x ∈ (0; 1) ch mua hàng c a 1 khách hàng. ñ xác su t f(x) =  4  . VD 4. Cho bi n ng u nhiên X có hàm m t ñ xác su t  0,  x ∉ (0; 1)  ax + bx 2 , x ∈ (0; 1)    f(x) =  .  0, Chú ý x ∉ (0; 1)   1) N u X = {x ∈ A} , X liên t c thì EX ∈ A .  1 Cho bi t EX = 0,6 hãy tính P  X <  .  2) N u X = {x1,…, xn} thì:  2     EX ∈ [min{x1,..., x n }; max{x1,..., x n }] . 2.1.2. Ý nghĩa c a EX • Kỳ v ng là giá tr trung bình (theo xác su t) c a bi n VD 6. M t d án xây d ng ñư c vi n C thi t k cho c 2 bên A và B xét duy t m t cách ñ c l p. Xác su t (kh ng u nhiên X, nó ph n ánh giá tr trung tâm c a phân năng) ñ A và B ch p nh n d án này khi xét duy t thi t ph i xác su t c a X. • Trong th c t s n xu t hay kinh doanh n u c n ch n k là 70% và 80%. N u ch p nh n d án thì bên A ph i phương án cho năng su t (hay l i nhu n) cao, ngư i ta tr cho C là 400 tri u ñ ng, còn ngư c l i thì ph i tr ch n phương án sao cho năng su t kỳ v ng (hay l i 100 tri u ñ ng. N u ch p nh n d án thì bên B ph i tr nhu n kỳ v ng) cao. cho C là 1 t ñ ng, còn ngư c l i thì ph i tr 300 tri u VD 5. Theo th ng kê, m t ngư i M 25 tu i s s ng ñ ng. Bi t chi phí cho thi t k c a C là 1 t ñ ng và 10% thêm trên 1 năm có xác su t là 0,992 và ngư i ñó ch t thu doanh thu. trong vòng 1 năm t i là 0,008. M t chương trình b o H i vi n C có nên nh n thi t k hay không? hi m ñ ngh ngư i ñó b o hi m sinh m ng cho 1 năm v i s ti n chi tr là 10000 USD, phí b o hi m là 100 USD. H i công ty ñó có lãi không? 2.1.3. Tính ch t c a EX VD 7. Tính EY v i Y = ϕ(X) = X2 − 3 , bi t X có 1) E(C) = C v i C là h ng s . b ng phân ph i xác su t: 2) E(CX) = C.EX. X –1 0 1 2 3) E(X ± Y) = EX ± EY, v i X và Y là hai bi n ng u P 0,1 0,3 0,35 0,25 nhiên. VD 8. Cho bnn X có hàm m t ñ xác su t: 4) E(XY) = EX.EY n u X và Y là hai bnn ñ c l p. 2  5) N u Y = ϕ(X) thì:  , x ∈ [1; 2] f(x) =  x2  .  ∑ ϕ(x i )p i ,   neáu X rôøi raïc   0, x ∉ [1; 2] i    EY =  +∞  . a) Tính EX.  ϕ(x)f(x)dx, neáu X lieân tuïc ∫  2  −∞ b) Tính kỳ v ng c a Y = X5 − .   X VD 9. Tính phương sai c a bi n ng u nhiên X có b ng 2.2. Phương sai 2.2.1. ð nh nghĩa phân ph i xác su t: • Phương sai c a bi n ng u nhiên X, ký hi u VarX hay X 1 2 3 VX hay D(X), ñư c xác ñ nh: P 0,2 0,7 0,1 VD 10. VarX = E ( X − EX ) = E(X2 ) − ( EX ) 2 2 Tính phương sai c a bi n ng u nhiên X trong VD 2.   2    ∑ x i2 .p i −  ∑ x i .pi  ,   neáu X rôøi raïc    VD 11. Cho bi n ng u nhiên X có hàm m t ñ xác su t:  i i    3  =  +∞  (1 − x 2 ), x ≤ 1 2  +∞  f(x) =  4     , neáu X lieân tuïc   .   ∫ x .f(x)dx −  ∫ x.f(x)dx   2   0,    x >1    −∞  −∞      Tìm phương sai c a bi n ng u nhiên Y = 2X2. Trang 7
  8. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK 2.2.2. Ý nghĩa c a VarX • Do X – EX là ñ l ch gi a giá tr c a X so v i trung VD 12. Năng su t c a hai máy tương ng là các bnn X, bình c a nó nên phương sai là trung bình c a bình Y (ñơn v : s n ph m/phút) có b ng phân ph i xác su t: phương ñ l ch ñó. Phương sai dùng ñ ño m c ñ phân tán c a X quanh kỳ v ng. Nghĩa là: phương sai nh thì X 1 2 3 4 ñ phân tán nh nên ñ t p trung l n và ngư c l i. P 0,3 0,1 0,5 0,1 • Trong k thu t, phương sai ñ c trưng cho ñ sai s c a và thi t b . Trong kinh doanh, phương sai ñ c trưng cho ñ Y 2 3 4 5 r i ro ñ u tư. P 0,1 0,4 0,4 0,1 • Do ñơn v ño c a VarX b ng bình phương ñơn v ño c a X nên ñ so sánh ñư c v i các ñ c trưng khác ngư i N u ph i ch n mua 1 trong 2 lo i máy này thì ta nên ta ñưa vào khái ni m ñ l ch tiêu chu n ch n máy nào? σ(X) = VarX . – N u X r i r c thì medX = xi v i 2.2.3. Tính ch t c a VarX 1) VarX ≥ 0 ; VarC = 0, v i C là h ng s . 1 F(x i ) ≤ ≤ F(x i +1 ) . σ(CX) = C .σX . 2) Var(CX) = C2.VarX; 2 – N u X liên t c thì medX = m v i 3) N u a và b là h ng s thì Var(aX + b) = a2.VarX. m 4) N u X và Y ñ c l p thì: ∫ F(m) = f(x)dx = 0, 5 . Var(X ± Y) = VarX + VarY ; −∞ σ(X ± Y) = σ2 (X) + σ2 (Y) . VD 13. Cho bnn X có b ng phân ph i xác su t: 2.3. Trung v và Mod 2.3.1. Trung v • Trung v c a bi n ng u nhiên X, ký hi u medX, là s m X 1 2 3 5 4 P 0,1 0,2 0,15 0,45 0,3 1 1 th a P(X < m) ≤ và P(X > m) ≤ . Khi ñó ta có medX = 4. 2 2 VD 14. Tìm med c a bnn X có b ng phân ph i xác su t: VD 16. Cho bnn X có b ng phân ph i xác su t: X –1 0 1 2 P 0,25 0,15 0,30 0,30 X 0 1 4 5 8 2 4  P 0,1 0,2 0,3 0,05 0,25 0,1  , x≥1 VD 15. Cho hàm f(x) =  x 5 Khi ñó ta có modX = 2.  .  VD 17. Tìm medX và modX v i bi n ng u nhiên X có  0, x
  9. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK VD 3. M t bà m sinh 2 con (m i l n sinh 1 con) v i xác 3.1.2. Phân ph i nh th c su t sinh con trai là 0,51. G i X là s con trai trong 2 l n a) Công th c Bernoulli • Dãy phép th Bernoulli là dãy n phép th th a 3 ñi u sinh. L p b ng phân ph i xác su t c a X. VD 4. M t máy s n xu t l n lư t t ng s n ph m v i xác ki n: 1) Các phép th c a dãy ñ c l p v i nhau. su t 1 ph ph m là 1%. 2) Trong m i phép th ta ch quan tâm ñ n 1 bi n c A, a) Cho máy s n xu t ra 10 s n ph m, tính xác su t có 2 ph ph m. nghĩa là ch có A và A xu t hi n. b) Máy c n s n xu t ít nh t bao nhiêu s n ph m ñ xác 3) Xác su t xu t hi n A trong m i phép th c a dãy luôn su t có ít nh t 1 ph ph m nh hơn 3%. là h ng s :  4x 3 , x ∈ (0; 1)  () VD 5. Cho X có hàm m t ñ f(x) =  P(A) = p, P A = 1 − p = q, (0 < p < 1) .  .   0, x ∉ (0; 1)  • Cho dãy n phép th Bernoulli, xác su t xu t hi n k l n Tính xác su t ñ trong 3 phép th ñ c l p có 2 l n X bi n c A là: pk = Ck pk q n−k , p = P(A) . nh n giá tr trong kho ng (0, 25; 0,5) . n VD 6. M t nhà vư n tr ng tr ng 5 cây lan quý, v i xác b) ð nh nghĩa su t n hoa c a m i cây trong 1 năm là 0,8. • Phân ph i nh th c là phân ph i c a bi n ng u nhiên r i r c X = {0; 1; 2; …; n} v i xác su t tương ng là: a) L p b ng phân ph i xác su t c a s cây lan trên n hoa trong 1 năm. pk = P(X = k) = Ck p k q n−k . n b) Giá 1 cây lan n hoa là 1,2 tri u ñ ng. Gi s nhà Ký hi u: X ∈ B(n, p) hay X ~ B(n, p). vư n bán h t nh ng cây lan n hoa thì m i năm nhà Chú ý vư n thu ñư c ch c ch n nh t là bao nhiêu ti n? • Khi n = 1 thì X ∈ B(1, p) ≡ B(p), khi ñó X còn ñư c c) N u mu n trung bình m i năm có 10 cây lan n hoa g i là có phân ph i không – m t hay Bernoulli. thì nhà vư n ph i tr ng m y cây lan? VD 7. M t lô hàng ch a 20 s n ph m trong ñó có 4 ph c) Các s ñ c trưng ph m. Ch n liên ti p 3 l n (có hoàn l i) t lô hàng, m i EX = np; VarX = npq; l n ch n ra 4 s n ph m. Tính xác su t ñ trong 3 l n có . ModX = x 0 , np − q ≤ x 0 ≤ np + p ñúng 1 l n ch n có nhi u nh t 3 ph ph m. Ch ng h n, s xe qua 1 tr m ho c s cu c ñi n tho i t i 3.1.3. Phân ph i Poisson a) Bài toán d n ñ n phân ph i Poisson 1 tr m công c ng… có phân ph i Poisson. • G i X là s l n xu t hi n bi n c A t i nh ng th i ñi m b) ð nh nghĩa ng u nhiên trong kho ng th i gian (t1; t2) th a mãn hai ñi u ki n: • Bi n ng u nhiên X có phân ph i Poisson v i tham s λ > 0 (trung bình s l n xu t hi n A) n u X nh n các 1) S l n xu t hi n bi n c A trong kho ng (t1; t2) không nh hư ng ñ n xác su t xu t hi n A trong kho ng th i giá tr 0, 1, 2,…, n,… v i xác su t tương ng là: gian k ti p. e−λ .λ k pk = P(X = k) = . 2) S l n xu t hi n bi n c A trong 1 kho ng th i gian k! b t kỳ t l v i ñ dài c a kho ng ñó. c) Các s ñ c trưng Khi ñó X có phân ph i Poisson, ký hi u X ∈ P(λ) v i EX = VarX = λ; ModX = x 0 , λ − 1 ≤ x 0 ≤ λ . λ = c(t2 − t1 ) > 0 , c: cư ng ñ xu t hi n A. VD 8. Trung bình c 3 phút có 1 khách ñ n qu y mua 3.2. Phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên liên t c hàng. Tính xác su t ñ trong 30 giây có 2 khách ñ n 3.2.1. Phân ph i chu n a) ð nh nghĩa qu y mua hàng. • Bnn X ñư c g i là có phân ph i chu n v i tham s µ VD 9. M t tr m ñi n tho i trung bình nh n ñư c 300 cu c g i trong 1 gi . và σ2 (σ > 0) , ký hi u X ∈ N ( µ, σ2 ) , n u hàm m t a) Tính xác su t ñ tr m nh n ñư c ñúng 2 cu c g i ñ phân ph i xác su t c a X có d ng: trong 1 phút. b) Tính xác su t ñ tr m nh n ñư c ñúng 5 cu c g i (x −µ )2 − 1 trong 3 phút. f(x) = , x ∈ ℝ. 2σ2 e σ 2π c) Tính xác su t ñ 2 trong 3 phút liên ti p, m i phút tr m nh n ñư c nhi u nh t 1 cu c g i. VD 10. Trung bình 1 ngày (24 gi ) có 10 chuy n tàu vào Các s ñ c trưng c ng Cam Ranh. Ch n ng u nhiên liên ti p 3 gi trong 1 ModX = MedX = EX = µ; VarX = σ2 . ngày. Tính xác su t ñ 2 trong 3 gi y có ñúng 1 tàu vào c ng. Trang 9
  10. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK b) Phân ph i chu n ñơn gi n x t2 − 1 ∫ Hàm ϕ(x) = ( x ≥ 0 ) ñư c g i là hàm X−µ 2 dt e • Cho X ∈ N ( µ, σ2 ) , ñ t T = thì T có phân 2π σ 0 Laplace (giá tr ñư c cho trong b ng B). ph i chu n ñơn gi n T ∈ N ( 0, 1 ) . • Hàm m t ñ phân ph i xác su t c a T: Tính ch t c a hàm Laplace (dùng ñ tra b ng) 1) ϕ(−x) = −ϕ(x) (hàm l ); t2 − 1 f(t) = (giá tr ñư c cho trong b ng A). e2 2) v i x > 5 thì ϕ(x) ≈ 0, 5 ; 2π 3) P(T < x) = 0, 5 + ϕ(x) . • Công th c xác su t: Phân v m c α b t2 − 1 ∫ P(a < T < b) = e 2 dt . • Ta g i tα là phân v m c α c a T n u: 2π a P ( T > tα ) = α . VD 12. Th ng kê ñi m thi X (ñi m) trong m t kỳ tuy n c) Phương pháp tính xác su t phân ph i chu n t ng sinh ð i h c môn toán c a h c sinh c nư c cho th y X quát • Cho X ∈ N ( µ, σ2 ) , ñ tính P(a < X < b) ta ñ t là bi n ng u nhiên v i X ∈ N(4; 2, 25) . Tính t l ñi m thi X ≥ 5,5. a−µ b−µ α= ,β= σ σ VD 13. Tu i th c a 1 lo i bóng ñèn là X (năm) v i ⇒ P(a < X < b) = ϕ(β) − ϕ(α) , tra b ng B ta ñư c X ∈ N(4, 2; 6, 25) . Khi bán 1 bóng ñèn thì lãi ñư c 100 ngàn ñ ng nhưng n u bóng ñèn ph i b o hành thì l 300 k t qu . VD 11. Th i gian X (phút) c a 1 khách ch ñư c ph c ngàn ñ ng. V y ñ có ti n lãi trung bình khi bán m i v t i 1 c a hàng là bnn v i X ∈ N ( 4, 5; 1,21 ) . bóng ñèn lo i này là 30 ngàn ñ ng thì c n ph i quy ñ nh th i gian b o hành là bao nhiêu? a) Tính xác su t khách ph i ch ñ ñư c ph c v t 3,5 phút ñ n 5 phút; không quá 6 phút. VD 14. Cho X có phân ph i chu n v i EX = 10 và b) Tính th i gian t i thi u t n u xác su t khách ph i ch P ( 10 < X < 20 ) = 0, 3 . Tính P ( 0 < X ≤ 15 ) . vư t quá t là không quá 5%. 3.2.3. Phân ph i χ2(n) (xem giáo trình) VD 15. M t công ty c n mua 1 lo i thi t b có ñ dày t 0,118cm ñ n 0,122cm. Có 2 c a hàng cùng bán lo i thi t b này v i ñ dày là các bi n ng u nhiên có phân ph i 3.2.4. Phân ph i Student T(n) (v i n b c t do) chu n N(µ, σ2). Giá bán c a c a hàng X là 3 • Cho T ∈ N(0, 1) và Y ∈ χ2 (n) thì USD/h p/1000 cái và c a hàng Y là 2,6 USD/h p/1000 T cái. Ch s ñ dày trung bình µ (cm) và ñ l ch chu n σ X= ∈ T(n) có hàm m t ñ xác su t: (cm) ñư c cho trong b ng: Y µ (cm) σ (cm) C a hàng n I 0,12 0,001    n + 1  n +1 Γ II 0,12 0,0015 −  x2  2  2     f(x) = 1 + H i công ty nên mua lo i thi t b này c a hàng nào?  .    n  Chú ý. N u X ∈ N ( µ, σ2 ) thì:  n nπ.Γ    2 aX + b ∈ N ( aµ + b, a σ2 ) . Giá tr ñư c c a t(n) ñư c cho trong b ng C. Chương III. ð NH LÝ GI I H N TRONG XÁC SU T §1. M T S LO I H I T TRONG XÁC SU T VÀ CÁC ð NH LÝ (H ñ i h c) 1.1. H i t theo xác su t – Lu t s l n n 1 ⇔ ∑ ( Xi − EXi )  0 . P → a) ð nh nghĩa n i =1 • Dãy bi n ng u nhiên {Xi} (i = 1, 2,…, n) ñư c g i là h i t theo xác su t ñ n bi n ng u nhiên X n u: b) B t ñ ng th c Tchébyshev ∀ω ∈ , ∀ε > 0 : lim P ( X n (ω) − X(ω) ≥ ε ) = 0 . • N u bi n ng u nhiên X có EX và VarX h u h n thì: n →∞ VarX P Ký hi u: Xn  X (n → ∞) . → ∀ε > 0 : P ( X − EX ≥ ε ) ≤ ε2 • H bi n ng u nhiên {Xi} (i = 1, 2,…, n) ñư c g i là hay tuân theo lu t s l n (d ng Tchébyshev) n u: 1 n  VarX n P ( X − EX < ε ) ≥ 1 −   1 ∀ε > 0 : lim P  ∑ Xi − ∑ EXi < ε  = 1 .    ε2  i =1  n →∞  n n i =1  Trang 10
  11. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK VD (tham kh o). Thu nh p trung bình hàng năm c a c) ð nh lý lu t s l n Tchébyshev dân cư 1 vùng là 700USD v i ñ l ch chu n 120USD. ð nh lý Hãy xác ñ nh m t kho ng thu nh p hàng năm xung • N u h các bi n ng u nhiên {Xi} (i = 1, 2,…, n) ñ c quanh giá tr trung bình c a ít nh t 95% dân cư vùng ñó. l p t ng ñôi có EXi h u h n và VarXi b ch n trên b i Gi i. G i X(USD) là thu nh p hàng năm c a dân cư h ng C thì: 1 n  vùng ñó. Ta có: n   1 ∀ε > 0 : lim P  ∑ Xi − ∑ EXi ≥ ε  = 0 .  n  VarX P ( X − EX < ε ) ≥ 1 −   i =1 n i =1 n →∞   ε2 H qu 1202 • N u h các bi n ng u nhiên {Xi} (i = 1, 2,…, n) ñ c ⇔ P ( X − 700 < ε ) ≥ 1 − = 0, 95 l p t ng ñôi có EXi = µ và VarXi = σ2 thì: ε2 ⇒ ε = 536, 656USD . n 1 ∑ Xi  µ . P → V y ít nh t 95% dân cư vùng ñó có thu nh p hàng năm n i =1 trong kho ng (163,344USD; 1236,656USD). 1.2. H i t y u – ð nh lý gi i h n trung tâm Ý nghĩa a) ð nh nghĩa • Th hi n tính n ñ nh c a trung bình s h c các bi n • Dãy bi n ng u nhiên {Xi} (i = 1, 2,…, n) ñư c g i là ng u nhiên ñ c l p cùng phân ph i và có phương sai h u h i t y u hay h i t theo phân ph i ñ n b.n.n X n u: h n. lim Fn (x) = F(x), ∀x ∈ C(F) . n →∞ Trong ñó, C(F) là t p các ñi m liên t c c a F(x). • ð ño 1 ñ i lư ng v t lý nào ñó ta ño n l n và l y trung bình các k t qu làm giá tr th c c a ñ i lư ng c n ño. d d Ký hi u: Xn → X hay Fn → F .   • Áp d ng trong th ng kê là d a vào m t m u khá nh Chú ý ñ k t lu n t ng th . P d N u Xn  X thì Xn → X . →  §2. CÁC LO I X P X PHÂN PH I XÁC SU T b) ð nh lý Liapounop (gi i h n trung tâm) 2.1. Liên h gi a phân ph i Siêu b i và Nh th c • Cho h các bi n ng u nhiên {Xi} (i = 1, 2,…, n) ñ c • N u n c ñ nh, N tăng vô h n và n n NA ∑ Xi , ∑ EXi , → p (0 ≠ p ≠ 1) l p t ng ñôi. ð t Y = µ= N i =1 i =1 Ck CN−k n n − NA NA ∑ VarXi . N u EXi, VarXi h → Ck p k q n−k . d n σ2 = thì u h n và n CN i =1 3 X p x phân ph i siêu b i b ng Nh th c E Xi − EXi n = 0 thì Y ∈ N ( µ, σ2 ) . ∑ • N u N khá l n và n r t nh so v i N (n < 0,05N) thì lim σ3 n →∞ i =1 N X ∼ B(n; p), p = A . Ý nghĩa N • Dùng ñ nh lý gi i h n trung tâm ñ tính x p x (g n VD 1. M t vư n lan có 10000 cây s p n hoa, trong ñó ñúng) các xác su t. có 1000 cây hoa màu ñ . Ch n ng u nhiên 20 cây lan • Xác ñ nh các phân ph i x p x ñ gi i quy t các v n ñ trong vư n này. c a lý thuy t ư c lư ng, ki m ñ nh,… Tính xác su t ñ ch n ñư c 5 cây lan có hoa màu ñ . 2.3. ð nh lý gi i h n Moivre – Laplace 2.2. Liên h gi a Nh th c và Poisson • N u n → ∞, p → 0, np → λ thì: ð nh lý 1 (gi i h n ñ a phương) e−λ .λ k Ck pk q n−k → d  . n k! • G i pk là xác su t xu t hi n k l n bi n c A trong n X p x phân ph i Nh th c b ng Poisson phép th Bernoulli v i P(A) = p (p không quá g n 0 và • Cho X có phân ph i nh th c B(n, p), λ = np . Khi ñó: npq.Pn (k) a) N u n l n và p khá bé (g n b ng 0) thì X ∼ P(λ) . = 1. không quá g n 1) thì lim n →∞ f(x k ) b) N u n l n và p cũng khá l n (g n b ng 1) thì X ∼ P(λ) . x2 k − np − 1 Trong ñó, f(x) = xk = e 2, h u h n. VD 2. M t lô hàng có 0,1% ph ph m. Tìm xác su t ñ 2π npq khi ch n ra 1000 s n ph m có: a) T t c ñ u t t; b) Không quá 2 ph ph m. Trang 11
  12. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK ð nh lý 2 (gi i h n Moivre – Laplace) X − np VD 3. Trong m t kho lúa gi ng có t l h t lúa lai là • Cho X ∈ B(n, p) và Sn = thì: 13%. Tính xác su t sao cho khi ch n 1000 h t lúa gi ng npq trong kho thì có không quá 15 h t lúa lai. F Sn  N(0, 1) . → VD 4. M t khách s n nh n ñ t ch c a 325 khách hàng X p x Nh th c b ng phân ph i chu n cho 300 phòng vào ngày 1/1 vì theo kinh nghi m c a • Cho X ∈ B(n, p) , n u n khá l n, p không quá g n 0 nh ng năm trư c cho th y có 10% khách ñ t ch nhưng không ñ n. Bi t m i khách ñ t 1 phòng, tính xác su t: và 1 thì X ∼ N(µ; σ2 ) v i µ = np, σ2 = npq . Khi ñó: a) Có 300 khách ñ n vào ngày 1/1 và nh n phòng. 1 k − µ  (tra b ng A, f(–x) = f(x)). 1) P(X = k) = .f     σσ   b) T t c các khách ñ n vào ngày 1/1 ñ u nh n ñư c k − µ  − ϕ  k1 − µ  .  phòng.      2) P(k1 ≤ X ≤ k 2 ) = ϕ  2   σ σ     ………………………………………………………………….. PH N II. LÝ THUY T TH NG KÊ Chương IV. LÝ THUY T M U §1. KHÁI NI M V PHƯƠNG PHÁP XÁC ð NH M U N u t h ñó b t lên 1 con cá r i th xu ng, sau ñó ti p t c b t con khác, ti n hành 10 l n như th ta ñư c m u 1.1. M u và t ng th (ñám ñông) • T p h p có các ph n t là các ñ i tư ng mà ta nghiên có hoàn l i kích thư c 10. c u ñư c g i là t ng th . S ph n t c a t ng th ñư c • Khi m u có kích thư c l n thì ta không phân bi t m u g i là kích thư c c a t ng th . có hoàn hay không hoàn l i. • T t ng th ta ch n ra n ph n t thì n ph n t ñó ñư c 1.2. Phương pháp xác ñ nh m u g i là m t m u có kích thư c (c m u) n. M u ñư c • M u ñ nh tính là m u mà ta ch quan tâm ñ n các ph n ch n ng u nhiên m t cách khách quan ñư c g i là m u t c a nó có tính ch t A nào ñó hay không. VD 2. ði u tra 100 h dân c a m t thành ph v thu ng u nhiên. nh p trong 1 năm. N u h có thu nh p dư i 10 tri u VD 1. Khi nghiên c u v s cá trong m t h thì s cá trong h là kích thư c c a t ng th . T h ñó b t lên 10 ñ ng/năm là h nghèo. Thì trong 100 h ñư c ñi u tra ta con cá thì ñư c 1 m u không hoàn l i kích thư c là 10. quan tâm ñ n h nghèo (tính ch t A). • M u ñ nh lư ng là m u mà ta quan tâm ñ n m t y u t v lư ng (như chi u dài, cân n ng,…) c a các ph n t VD 4. Chi u cao c a cây b ch ñàn là bi n ng u nhiên có trong m u. VD 3. Cân 100 trái dưa gang ñư c ch n ng u nhiên t 1 phân ph i chu n. ðo ng u nhiên 5 cây X1, X2,…, Xn ta cách ñ ng là m u ñ nh lư ng. ñư c X1=3,5m; X2=3,2m; X3=2,5m; X4=4,1m; X5=3m. Khi ñó, {X1, X2,…, Xn} là m u t ng quát có phân ph i • M u có kích thư c n là t p h p c a n bi n ng u nhiên chu n và {3,5m; 3,2m; 2,5m; 4,1m; 3m} là m u c th . ñ c l p X1, X2,…, Xn ñư c l p t bi n ng u nhiên X và • Xác su t nghiên c u v t ng th ñ hi u v m u còn có cùng lu t phân ph i v i X là m u t ng quát. Ti n hành quan sát (cân, ño,…) t ng bi n Xi và nh n ñư c th ng kê thì ngư c l i. các giá tr c th Xi = xi, khi ñó ta ñư c m u c th x1, x2,…, xn. • Xét v lư ng 1.3. S p x p s li u th c nghi m – Trung bình t ng th là µ = EX . 1.3.1. S p x p theo các giá tr khác nhau • Gi s m u (X1, X2,…, Xn) có k quan sát khác nhau là – Phương sai t ng th σ2 = VarX là bi u th cho m c X1, X2,…, Xk ( k ≤ n ) và Xi có t n s ni (s l n l p l i) ñ bi n ñ ng c a d u hi u X. v i n1 + n 2 + ... + n k = n . S li u ñư c s p x p theo • Xét v ch t – ðám ñông ñư c chia thành 2 lo i ph n t : lo i có tính th t tăng d n c a Xi. ch t A ñó mà ta quan tâm và lo i không có tính ch t A. – G i X = 0 n u ph n t không có tính ch t A và X = 1 VD 5. Ki m tra ng u nhiên 50 sinh viên, k t qu : n u ph n t có tính ch t A, p là t l ph n t có tính ch t A thì: X (ñi m) 2 4 5 6 7 8 9 10 Soá phaàn töû coù tính chaát A ni (s SV) 4 6 20 10 5 2 2 1 X ∈ B(p), p = EX = . Soá phaàn töû cuûa toång theå Trang 12
  13. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK 1.3.2. S p x p dư i d ng kho ng VD 6. ðo chi u cao c a n = 100 thanh niên, ta có b ng • Gi s m u (X1, X2,…, Xn) có nhi u quan sát khác nhau, kho ng cách gi a các quan sát không ñ ng ñ u s li u d ng kho ng: ho c các Xi khác nhau r t ít thì ta s p x p chúng dư i d ng kho ng. L p (kho ng) T n s ni ni Xét kho ng ( x min , x max ) ch a toàn b quan sát Xi. T n su t (ñơn v : cm) (s thanh niên) n Ta chia ( x min , x max ) thành các kho ng b ng nhau (còn 148 – 152 5 0,05 152 – 156 20 0,2 g i là l p ) theo nguyên t c: 156 – 160 35 0,35 S kho ng t i ưu là 1 + 3,322lgn, ñ dài kho ng là: 160 – 164 25 0,25 − x min x 164 – 168 15 0,15 h = max . 1 + 3, 322 lg n a i−1 + a i VD 7. Theo dõi m c nguyên li u hao phí ñ s n xu t ra S d ng công th c x i = ta có b ng s li u m t ñơn v s n ph m m t nhà máy, ta thu ñư c các s 2 li u sau (ñơn v : gam). Hãy s p x p s li u dư i d ng d ng b ng (dùng ñ tính toán): b ng? n T n su t i xi T n s ni 20; 22; 21; 20; 22; 22; 20; 19; 20; 22; 21; n 19; 19; 20; 18; 19; 20; 20; 18; 19; 20; 20; 150 5 0,05 21; 20; 18; 19; 19; 21; 22; 21; 21; 20; 19; 154 20 0,2 20; 22; 21; 21; 22; 20; 20; 20; 19; 20; 21; 158 35 0,35 19; 19; 20; 21; 21. 162 25 0,25 166 15 0,15 Chú ý • ð i v i trư ng h p s li u ñư c cho b i cách li t kê thì ta s p x p l i d ng b ng. §2. CÁC ð C TRƯNG M U (tham kh o) 2.1. Các ñ c trưng m u • Gi s t ng th có trung bình EX = µ , phương sai Tính ch t VarX = σ và t l p ph n t có tính ch t A. 2 a) Kỳ v ng c a t l m u b ng t l t ng th : 2.1.1. T l m u Fn  X + ... + X n   M ( Fn ) = M  1 • Cho m u ñ nh tính kích thư c n, ta g i = p.       0 n  n 1 Fn = ∑ Xi , Xi =  là t l m u t ng quát.  1 n i =1   b) Phương sai c a t l m u: • Cho m u ñ nh tính kích thư c n, trong ñó có m ph n t  X + ... + X n  pq  VarFn = Var  1 = có tính ch t A. Khi ñó ta g i:       n n m f = fn = là t l m u c th . (các Xi có phân ph i Bernoulli). n 2.1.2. Trung bình m u • Trung bình m u: Chú ý n 1 ∑X . X = Xn = X1 + ... + X n n i =1 i • T l m u Fn = và trung bình m u n Trung bình m u c th : X1 + ... + X n n Xn = 1 ∑x . khác nhau ch là trong Fn, các x = xn = n n i =1 i Xn ch có phân ph i Bernoulli: Tính ch t  0, neáu phaàn töû khoâng coù tính chaát A  Xi =  σ2  () () . VarX 1, neáu phaàn töû coù tính chaát A E X n = µ = EX , Var Xn = = .   n n Trang 13
  14. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK 2.1.3. Phương sai m u • Trong tính toán ta s d ng công th c: n n n 2 2 ( ) () 2 ɵ2 1 1 2 2 • Phương sai m u: ɵ = ∑ X − Xn  x n − x n  , x n = ∑ x2 . = s2 = S Sn . n − 1   n i =1 i n n i =1 i 2.2. Liên h gi a ñ c trưng c a m u và t ng th n ( ) 2 2 1 2 M u c th : ɵ = ɵn = ∑ x i − x n s s . 2 • Các ñ c trưng m u Fn , Xn , Sn là các th ng kê dùng n i =1 • Phương sai m u hi u ch nh: ñ nghiên c u các ñ c trưng p, µ, σ2 tương ng c a n ( ) 1 2 t ng th . T lu t s l n ta có: ∑ X − Xn S2 = S2 = . n n − 1 i =1 i Fn → p, Xn → µ, S2 → σ2 (theo xác su t). n n ( ) • Trong th c hành, khi c m u n khá l n (c hàng ch c 1 2 ∑ x − xn M u c th : s2 = s2 = . tr lên) thì các ñ c trưng m u x p x các ñ c trưng tương n n − 1 i =1 i 2 ng c a t ng th : x ≈ µ, f ≈ p, ɵ ≈ σ2 , s2 ≈ σ2 .  2 n −1 2 s σ , E ( S2 ) = σ2 . Tính ch t. E  ɵ  = S    n §3. PHÂN PH I XÁC SU T C A CÁC ð C TRƯNG M U (tham kh o) 3.1. Phân ph i xác su t c a t l m u F σ2 • Do EF = p và EX = µ, VarX = nên: pq n • Do EF = p và VarF = nên v i n khá l n thì: n  σ2   hay X − µ n ∈ N 0, 1 . X ∈ N  µ, ()    pq    .  p,   σ F ∈ N   n     n • V i m u c th kích thư c n ñ l n, thì σ2 ≈ s2 . Ta • V i m u c th kích thư c n, t l m u f thì p ≈ f .   X−µ s2  có: X ∈ N  µ, Ta có: n ∈ N ( 0, 1 ) .  hay         n s  p, f (1 − f)  hay (F − p) n ∈ N(0, 1) .  F ∈ N     n f(1 − f) • Khi n < 30 và σ2 chưa bi t thì: 3.2. Phân ph i xác su t c a trung bình m u X−µ n ∈ χ2 (n − 1) có phân ph i Student v i n – 1 3.2.1. Trư ng h p t ng th X có phân ph i chu n s X ∈ N ( µ, σ2 ) b c t do. 3.2.2. Trư ng h p X không có phân ph i chu n b) σ2 chưa bi t thì: • T ñ nh lý gi i h n trung tâm, ta suy ra:  S2  X−µ .  n ≈ N ( 0, 1 ), X ≈ N  µ,  X−µ   n → N ( 0, 1 )   d   n S σ X−µ n → N ( 0, 1 ) . 3.3. Phân ph i xác su t c a phương sai m u d  • Gi s t ng th X ∈ N ( µ, σ2 ) , khi ñó: s • V i n ≥ 30 , ta có các phân ph i x p x chu n: n n −1 2 ( ) n ɵ2 1 a) σ2 ñã bi t thì: 2 ∑ Xi − Xn S= S= s có phân  σ2  σ σ σ2 i =1 2 2 X−µ .  n ≈ N ( 0, 1 ), X ≈ N  µ,      ph i χ2 (n − 1) . σ  n §4. TH C HÀNH TÍNH CÁC ð C TRƯNG M U C TH VD. Xét 10 k t qu quan sát: 4.1. Tính t l m u f • Trong m u có m ph n t có tính ch t A mà ta quan tâm 102, 102, 202, 202, 202, 302, 302, 302, 302, 402. m 1 thì t l m u là f = Ta có: x = (102.2 + 202.3 + 302.4 + 402.1) . . n 10 2 4.3. Tính phương sai m u ɵ 4.2. Tính trung bình m u x s • M u có n giá tr xi thì trung bình m u là: n 12 1 ( x1 + x2 + ... + x2 ) = n ∑ x2 . 2 • Tính x và x = n x + x 2 + ... + x n 1 = ∑ xi . 2 n i x= 1 n i =1 n n i =1 ( ). 2 2 2 • Phương sai m u là: ɵ = x − x • N u xi l p l i ni (i = 1,…, k ≤ n ) l n thì trung bình s k 1 ∑x n . n ɵ2 m u là: x = • Phương sai m u có hi u ch nh là: s2 = s. n i =1 i i n −1 Trang 14
  15. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK TÚI ð TÍNH CÁC ð C TRƯNG C A M U S D NG MÁY TÍNH B LI U ðƠN (không có t n s ) 1. S VD 1. Cho m u có c m u là 5: w = (12, 13, 11, 14, 11). a) Máy fx 500MS • Xóa nh : MODE -> 3 -> = -> = • Vào ch ñ th ng kê nh p d li u – MODE -> 2 (ch n SD ñ i v i fx500MS); MODE -> MODE -> 1 (ch n SD ñ i v i fx570MS) – Nh p các s : 12 M+ 13 M+…. 11 M+ • Xu t k t qu – SHIFT -> 2 -> 1 -> = (xu t k t qu x : trung bình m u) ⌢ – SHIFT -> 2 -> 2 -> = (xu t k t qu s = xσn : ñ l ch chu n c a m u) – SHIFT -> 2 -> 3 -> = (xu t k t qu s = xσn − 1 : ñ l ch chu n c a m u có hi u ch nh) b) Máy fx 500ES • Xóa nh : SHIFT -> 9 -> 3 -> = -> = • Vào ch ñ th ng kê nh p d li u – SHIFT -> MODE -> d ch chuy n mũi tên tìm ch n m c Stat -> 3 (ch ñ không t n s ) – MODE -> 3 (stat) -> 1 (1-var) -> (nh p các s ) 12 = 13 =…. 11 = • Xu t k t qu – SHIFT -> 1 -> 5 (var) -> 1 -> = (n: c m u) – SHIFT -> 1 -> 5 (var) -> 2 -> = ( x : trung bình m u) – SHIFT -> 1 -> 5 (var) -> 3 -> = ( xσn : ñ l ch chu n c a m u) – SHIFT -> 1 -> 5 (var) -> 4 -> = ( xσn − 1 : ñ l ch chu n c a m u có hi u ch nh) 2. S LI U CÓ T N S VD 2. Cho m u như sau xi 12 11 15 ni 3 2 4 a) Máy fx 500MS • Xóa nh : MODE -> 3 -> = -> = • Vào ch ñ th ng kê nh p d li u – MODE -> 2 (ch n SD ñ i v i fx500MS); MODE -> MODE -> 1 (ch n SD ñ i v i fx570MS) – Nh p các s : 12 -> SHIFT -> , -> 3 -> M+ 11 -> SHIFT -> , -> 2 -> M+ 15 -> SHIFT -> , -> 4 -> M+ • Xu t k t qu , làm như 1a) b) Máy fx 500ES • Xóa nh vào ch ñ th ng kê nh p d li u có t n s : – SHIFT -> MODE (SETUP) d ch chuy n mũi tên -> 4 -> 1 – MODE -> 3 (stat) -> 1 (1-var) – Nh p các giá tr và t n s vào 2 c t trên màn hình X FREQ 12 3 11 2 15 4 • Xu t k t qu , làm như 1b) VD 3. ði u tra năng su t c a 100 ha lúa trong vùng, ta có b ng s li u sau: Năng su t (t n/ha) 3 - 3,5 3,5 - 4 4 - 4,5 4,5 - 5 5 - 5,5 5,5 - 6 6 - 6,5 6,5 - 7 Di n tích (ha) 7 12 18 27 20 8 5 3 Nh ng th a ru ng có năng su t ít hơn 4,4 t n/ha là có năng su t th p. a) Tính t l di n tích lúa có năng su t th p. b) Tính năng su t lúa trung bình, phương sai và ñ l ch chu n c a m u có hi u ch nh. …………………………………………………………… Trang 15
  16. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK Chương V. Ư C LƯ NG ð C TRƯNG C A T NG TH (ðÁM ðÔNG) §1. Ư C LƯ NG ðI M VD 1. 1.1. Th ng kê X1 + X2 + ... + Xn • T l mu F= là ư c lư ng • M t hàm c a m u t ng quát T = T(X1, X2,…, Xn) ñư c n g i là 1 th ng kê. ñi m c a t l t ng th p. • Các v n ñ c a th ng kê toán ñư c gi i quy t ch y u X + X2 + ... + Xn nh vào vi c xây d ng các hàm th ng kê ch ph thu c • Trung bình m u X = 1 là ư c vào m u t ng quát, không ph thu c các tham s . n lư ng ñi m c a trung bình t ng th µ . 1.2. Ư c lư ng ñi m 1.3. Ư c lư ng không ch ch (tham kh o) • Ư c lư ng ñi m c a tham s θ (t l , trung bình, • Th ng kê ɵ X ,..., X là ư c lư ng không ch ch c a ( ) θ phương sai,…) là th ng kê ɵ = ɵ( X1,..., X n ) ch ph 1 n θ θ θ n u E  ɵ( X1,..., Xn )  = θ . θ thu c vào n quan sát X1, …, Xn, không ph thu c vào θ .   Ta có: VD 2. • EF = p (t l m u là ư c lư ng không ch ch c a t l 498.40+502.20+506.20+510.20 x= = 502, 8(gr) . t ng th ). 100 () • E X = µ (trung bình m u là ư c lư ng không ch ch D ñoán (ư c lư ng): Tr ng lư ng trung bình c a các s n ph m trong xí nghi p là µ ≈ 502, 8(gr) . c a trung bình t ng th µ ).  2 • E ( S2 ) = E  ɵ  = σ2 (phương sai m u là ư c lư ng S  VD 4 (tham kh o). T m u t ng quát W = (X1, X2) ta   xét hai ư c lư ng c a trung bình t ng th µ sau: không ch ch c a phương sai t ng th σ2 ). 1 1 1 2 X + X và X ′ = X1 + X2 . X= VD 3. Cân 100 s n ph m c a 1 xí nghi p ta có b ng s 21 22 3 3 li u: a) Ch ng t X và X′ là ư c lư ng không ch ch c a µ . x (gr) 498 502 506 510 b) Ư c lư ng nào hi u qu hơn? ni 40 20 20 20 1  Gi i () 1 b) Var X = Var  X1 + X2     2    2 1 1 () 1 1 a) E X = E  X1 + X2  = E ( X1 ) + E ( X2 )   σ2 σ2 σ2 2 1 1 2  Var ( X1 ) + Var ( X2 ) =   = + = 2 2 . 4 4 4 4 2 1 1 1  = µ + µ = µ. () 2 Var X ′ = Var  X1 + X2     2 2   3  3 1 1 () 2 2 E X ′ = E  X1 + X2  = E ( X1 ) + E ( X2 )   3 σ2 4σ2 5σ2 3 1 4  Var ( X1 ) + Var ( X2 ) =   3 3 = + = 9 9 9 9 9 1 2 () () = µ + µ = µ ⇒ (ñpcm). ⇒ Var X < Var X ′ . 3 3 V y ư c lư ng X hi u qu hơn. §2. Ư C LƯ NG KHO NG 2.1. ð nh nghĩa Chú ý ( ) • Kho ng ɵ ; ɵ c a th ng kê ɵ ñư c g i là kho ng • Do t ng th X là bi n ng u nhiên liên t c nên: θθ θ 1 2 ( ) ( ) P ɵ1 < θ < ɵ2 = P ɵ1 ≤ θ ≤ ɵ2 . θ θ θ θ tin c y c a tham s θ n u v i xác su t 1 − α cho trư c ( ) Do ñó, ta có th ghi θ ∈  ɵ1 ; ɵ2  . thì P ɵ1 < θ < ɵ2 = 1 − α . θθ θ θ   • Xác su t 1 − α là ñ tin c y c a ư c lư ng, 2.2. Ư c lư ng kho ng cho t l t ng th p ɵ − ɵ = 2ε là ñ dài kho ng tin c y và ε là ñ chính θ2 θ1 • Gi s t l p các ph n t có tính ch t A c a t ng th ( ) xác c a ư c lư ng. Khi ñó: θ ∈ ɵ ; ɵ . θθ chưa bi t. V i ñ tin c y 1 − α cho trư c, kho ng tin 1 2 c y cho p là ( p1 ; p2 ) th a: • Bài toán tìm kho ng tin c y c a θ là bài toán ư c P ( p1 < p < p2 ) = 1 − α . lư ng kho ng. Trang 16
  17. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK m Trong th c hành v i t l m u f = fn = (n: c m u; VD 1. M t trư ng ðH có 10.000 sinh viên. ði m danh n ng u nhiên 1000 sinh viên th y có 76 ngư i b h c. Hãy m: s ph n t quan tâm), kho ng tin c y cho p là: ư c lư ng s sinh viên b h c c a trư ng v i ñ tin c y f (1 − f ) 95%. ( f − ε; f + ε ) , v i ε = tα . n Trong ñó tα là m c phân v , tìm ñư c t 1−α VD 2. ð ư c lư ng s cá trong 1 h ngư i ta b t lên ϕ(tα ) = b ng cách tra b ng B. 3000 con, ñánh d u r i th l i xu ng h . Sau 1 th i gian 2 b t lên 400 con th y có 60 con có ñánh d u. Chú ý V i ñ tin c y 97%, hãy ư c lư ng s cá có trong h .  t2  • n =  α f ( 1 − f )  + 1 là kích thư c m u c n ch n  ε 2  ng v i ε , 1 − α cho trư c ([x] là ph n nguyên c a x). 2.3. Ư c lư ng trung bình t ng th µ • Gi s t ng th có trung bình µ chưa bi t. V i ñ tin VD 3. L y ng u nhiên 200 s n ph m trong 1 kho hàng th y có 21 ph ph m. c y 1 − α cho trư c, kho ng tin c y cho µ là ( µ1 ; µ 2 ) th a: P ( µ1 < µ < µ 2 ) = 1 − α . a) Ư c lư ng t l ph ph m có trong kho hàng v i ñ tin c y 99%. Trong th c hành ta có 4 trư ng h p sau a) Trư ng h p 1. Kích thư c m u n ≥ 30 và phương b) D a vào m u trên, n u mu n ñ chính xác c a ư c lư ng là ε = 0,035 thì ñ tin c y c a ư c lư ng là bao sai t ng th σ2 ñã bi t. nhiêu ? • Tính x (trung bình m u). 1−α c) D a vào m u trên, n u mu n ñ chính xác là 0,01 v i B T 1−α ⇒ = ϕ(tα )  tα . → ñ tin c y 97% thì c n ki m tra thêm bao nhiêu s n 2 ph m n a ? σ ( ) • Suy ra µ ∈ x − ε; x + ε v i ε = tα . n VD 4. Kh o sát ng u nhiên 100 sinh viên th y ñi m VD 5. ðo ñư ng kính c a 100 tr c máy do 1 nhà máy trung bình môn XSTK là 5,12 ñi m v i ñ l ch chu n s n xu t thì ñư c b ng s li u: 0,26 ñi m. Hãy ư c lư ng ñi m trung bình môn XSTK ðư ng kính (cm) 9,75 9,80 9,85 9,90 c a sinh viên v i ñ tin c y 97%. S tr c máy 5 37 42 16 b) Trư ng h p 2. Kích thư c m u n ≥ 30 và phương a) Hãy ư c lư ng ñư ng kính trung bình c a tr c máy sai t ng th σ2 chưa bi t. v i ñ tin c y 97%. n ⌢2 ⌢ b) D a vào m u trên, v i ñ chính xác 0,006, hãy xác • Tính x, s 2 ⇒ s2 = s ⇒ s (ñ l ch chu n n −1 ñ nh ñ tin c y. m u hi u ch nh). c) D a vào m u trên, n u mu n có ñ chính xác là 0,003 1−α v i ñ tin c y 95% thì c n ph i ño bao nhiêu tr c máy ? B •T 1−α ⇒ = ϕ(tα )  tα (b ng B) → c) Trư ng h p 3. V i n < 30 , phương sai t ng th σ2 2 ñã bi t và X có phân ph i chu n thì ta làm như trư ng ( ) s ⇒ µ ∈ x − ε; x + ε v i ε = tα . h p 1. n m u chưa hi u ch nh là 0,04m. Tìm kho ng ư c lư ng d) Trư ng h p 4. V i n < 30 , phương sai t ng th σ2 chi u dài trung bình c a lo i s n ph m này v i ñ tin c y chưa bi t và X có phân ph i chu n. 95%. n ⌢2 ⌢ VD 7. Năng su t lúa trong 1 vùng là ñ i lư ng ng u • Tính x, s 2 ⇒ s2 = s ⇒ s. n −1 nhiên có phân ph i chu n. G t ng u nhiên 115 ha lúa c a T 1 − α ⇒ α  tn −1 (b ng C) C vùng này ta có s li u: →α Năng su t (t /ha) 40 – 42 42 – 44 44 – 46 ( ) s • Suy ra µ ∈ x − ε; x + ε v i ε = tn−1. Di n tích (ha) 7 13 25 . α Năng su t (t /ha) 46 – 48 48 – 50 50 – 52 n Di n tích (ha) 35 30 5 Chú ý a) Hãy ư c lư ng năng su t lúa trung bình vùng này • Trong th c hành, n u ñ bài không cho X có phân ph i v i ñ tin c y 95%. chu n thì ta b sung vào. b) Nh ng th a ru ng có năng su t không quá 44 t /ha là VD 6. Bi t chi u dài c a 1 s n ph m là ñ i lư ng ng u năng su t th p. Hãy ư c lư ng năng su t trung bình c a nhiên có phân ph i chu n. ðo ng u nhiên 10 s n ph m nh ng th a ru ng có năng su t th p v i ñ tin c y 99%. này thì ñư c trung bình 10,02m và ñ l ch chu n c a Trang 17
  18. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK VD 8. ð nghiên c u nhu c u v lo i hàng A 1 khu 2.4. Ư c lư ng phương sai t ng th σ2 v c ngư i ta ti n hành kh o sát 400 trong toàn b 4000 • Gi s t ng th X có phân ph i chu n v i phương sai gia ñình, k t qu : σ2 chưa bi t. V i ñ tin c y 1 − α cho trư c, kho ng Nhu c u (kg/tháng) 0–1 1–2 2–3 3–4 tin c y cho σ2 là ( σ1 ; σ2 ) th a: 2 2 S gia ñình 10 35 86 132 Nhu c u (kg/tháng) 4–5 5–6 6–7 7–8 P ( σ1 < σ2 < σ2 ) = 1 − α . 2 2 S gia ñình 78 31 18 10 a) Ư c lư ng nhu c u trung bình lo i hàng A c a khu Trong th c hành ta có hai trư ng h p sau v c trên trong 1 năm v i ñ tin c y 95%. b) V i m u kh o sát trên, n u mu n có ư c lư ng v i ñ chính xác 4,8 t n và ñ tin c y 95% thì c n kh o sát t i thi u bao nhiêu gia ñình trong khu v c? a) Trư ng h p 1. Trung bình t ng th µ ñã bi t. b) Trư ng h p 2. Trung bình t ng th µ chưa bi t. • T m u ta tính k ɵ2 ∑ ni ( xi − µ ) , 2 • T m u ta tính n.s = k≤n. k ∑ ni ( xi − x ) , 2 x ⇒ (n − 1)s2 = k≤n. i =1 α i =1 • T 1 − α ⇒ , tra b ng D tìm ñư c: α 2 •T 1−α ⇒ , tra b ng D tìm ñư c:  α α 2 χ2  1 − , χ2   .  n  n  2  α α     2  χ2 −1  1 − , χ2 −1   .  n n  2     2  ɵ2 ɵ2 n.s n.s ⇒ σ1 = ,σ = (n − 1)s2 (n − 1)s2 2 2 .    ⇒ σ1 = , σ2 = 2 2 α 2 2 α . 2  α α  χn  1 −  χn   χ2 −1  1 −  χ2 −1   2 2       n n   2  2  VD 9. Tr ng lư ng gói mì X(gr) là bnn có phân ph i VD 11. M c hao phí nguyên li u cho 1 ñơn v s n ph m chu n. Cân ki m tra 15 gói mì có s li u: là ñ i lư ng ng u nhiên X (gr) có phân ph i chu n. X(gr) 84 84,5 85 85,5 Quan sát 28 s n ph m này ngư i ta thu ñư c b ng s S gói 2 3 8 2 li u: V i ñ tin c y 93%, hãy ư c lư ng phương sai X trong m i trư ng h p sau: X (gr) 19,0 19,5 20,0 20,5 a) Bi t tr ng lư ng trung bình gói mì là 84,9gr. b) Chưa bi t tr ng lư ng trung bình gói mì. S s n ph m 5 6 14 3 VD 10. Kh o sát 16 sinh viên v ñi m trung bình c a V i ñ tin c y 90%, hãy ư c lư ng phương sai c a m c h c kỳ 2 thì tính ñư c s2 = 2,25 ñi m. Ư c lư ng hao phí nguyên li u trên trong 2 trư ng h p: phương sai v ñi m trung bình h c kỳ 2 c a sinh viên a) Bi t EX = 20gr. v i ñ tin c y 97%, bi t r ng ñi m trung bình X c a sinh b) Chưa bi t EX. viên là bi n ng u nhiên có phân ph i chu n. Chương VI. KI M ð NH GI THI T TH NG KÊ §1. KI M ð NH GI THI T V ð C TRƯNG T NG TH (ðÁM ðÔNG) Chú ý • M c ý nghĩa α gi m thì P(lo i I) gi m ⇒ P(lo i II) 1.1. Khái ni m bài toán ki m ñ nh • Dùng các th ng kê t m u ñ ch p hay bác b m t gi tăng, nghĩa là kh năng ch p nh n H tăng. thi t H nào ñó nói v t ng th g i là ki m ñ nh gi thi t 1.2. Ki m ñ nh gi thi t t l t ng th p th ng kê. • Khi ki m ñ nh gi thi t H có th x y ra 1 trong 2 sai l m sau: 1) Lo i 1: Bác b H trong khi H ñúng; 2) Lo i 2: Ch p nh n H trong khi H sai. • Phương pháp ki m ñ nh là cho phép xác su t x y ra sai l m lo i 1 không vư t quá m c ý nghĩa α. V i m c ý nghĩa α ñã cho, ta ch p nh n H n u xác su t x y ra sai l m lo i 2 là nh nh t. Trang 18
  19. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK • T m c ý nghĩa α ⇒ 1 − α F − p0 V i t l p0 cho trư c thì T = ∈ N(0; 1) và 1−α B ⇒ = ϕ(tα )  tα . → p0q 0 2 n – N u t ≤ tα thì ta ch p nh n gi thi t, nghĩa là p = p0. Wα = { t ∈ T P(t > tα ) ≤ α } là mi n bác b gi – N u t > tα thì ta bác b gi thi t, nghĩa là p ≠ p0 . thi t H. Các bư c gi i • ð t gi thi t H: p = p0 (nghĩa là t l t ng th như t l • Trong trư ng h p bác b , n u f > p0 thì k t lu n p > p0 cho trư c). và f < p0 thì p < p0. m • T m u c th ta tính t l m u f = và VD 1. Ki m tra 800 sinh viên th y có 128 sinh viên gi i. n Trư ng báo cáo t ng k t là có 40% sinh viên gi i thì có f − p0 th ch p nh n ñư c không v i m c ý nghĩa 5%? giá tr ki m ñ nh t = . p0q 0 n VD 2. ð ki m tra 1 lo i súng th thao, ngư i ta cho b n 1.3. Ki m ñ nh gi thi t trung bình t ng th µ 1000 viên ñ n vào bia th y có 540 viên trúng ñích. Sau • V i trung bình µ0 cho trư c, tương t bài toán ư c ñó, b ng c i ti n k thu t ngư i ta nâng t l trúng lên lư ng kho ng cho trung bình t ng th , ta có các trư ng 70%. Hãy cho k t lu n v c i ti n v i m c ý nghĩa 1%. h p sau (tóm t t): • ð t gi thi t H: µ = µ0 (nghĩa là trung bình t ng th như trung bình cho trư c). VD 3. Theo báo cáo, t l hàng ph ph m trong kho là 12%. Ki m tra ng u nhiên 100 s n ph m th y có 13 ph a) Trư ng h p 1. V i n ≥ 30, σ2 ñã bi t. ph m. V i m c ý nghĩa 5% thì báo cáo trên có ñáng tin x − µ0 không ? • Tính tα , t = . σ VD 4. M t công ty tuyên b r ng 40% dân chúng ưa n thích s n ph m c a công ty. M t cu c ñi u tra 400 ngư i • N u t ≤ tα ta ch p nh n gi thi t; tiêu dùng th y có 175 ngư i ưa thích s n ph m c a công ty. V i m c ý nghĩa 3%, hãy ki m ñ nh tuyên b trên ? t > tα ta bác b gi thi t. b) Trư ng h p 2. V i n ≥ 30, σ2 chưa bi t. Chú ý Làm như trư ng h p 1 nhưng thay σ = s . • Trong trư ng h p bác b : c) Trư ng h p 3. V i n < 30, σ2 ñã bi t, X có phân N u x > µ 0 ⇒ µ > µ 0 và x < µ 0 ⇒ µ < µ 0 . ph i chu n (làm như trư ng h p 1). d) Trư ng h p 4. V i n < 30, σ2 chưa bi t, X có VD 5. Tr ng lư ng trung bình c a c a m t lo i s n phân ph i chu n. ph m là 6kg. Ki m tra 121 s n ph m th y tr ng lư ng x − µ0 2 trung bình là 5,795 kg và phương sai ɵ = 5, 712 . . T m c ý nghĩa α  tn−1 . C →α • Tính t = s s Hãy ki m ñ nh v tr ng lư ng trung bình c a s n ph m n này v i m c ý nghĩa 5%. tα−1 •N u t≤ n ta ch p nh n gi thi t; t > tn−1 ta bác b gi thi t. α VD 7. Kh i lư ng c a m t bao g o c a 1 nhà máy là 1 tr i chăn nuôi khi xu t bi n ng u nhiên có ñ l ch tiêu chu n là 0,3kg. Ban VD 6. Cân th 15 con gà tây giám ñ c tuyên b kh i lư ng m i bao g o c a nhà máy chu ng ta tính ñư c x = 3, 62kg . Bi t tr ng lư ng gà là 50kg. Cân th 50 bao thì th y kh i lư ng trung bình là tây là bi n ng u nhiên có σ2 = 0, 01 . 49,97kg. V i m c ý nghĩa 1%, hãy ki m tra l i tuyên b trên ? VD 8. ði m trung bình môn toán c a sinh viên năm a) Giám ñ c tr i nói r ng tr ng lư ng trung bình c a gà trư c là 5,72. Năm nay theo dõi 100sv ñư c s li u: tây là 3,5kg, v i m c ý nghĩa 2% hãy ki m ñ nh l i nói ði m 3 4 5 6 7 8 9 trên ? b) Gi s ngư i ta dùng th c ăn m i và khi xu t chu ng S sinh viên 3 5 27 43 12 6 4 tr ng lư ng trung bình c a gà tây là 3,9 kg. V i m c ý V i m c ý nghĩa 5%, ph i chăng ñi m trung bình c a nghĩa 3%, hãy cho k t lu n v lo i th c ăn này ? sinh viên năm nay cao hơn năm trư c? Trang 19
  20. ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân Slide baøi giaûng XSTK VD 9. Chi u cao cây gi ng X(m) trong m t vư m ươm (n − 1)s2 • T m u ta tính giá tr ki m ñ nh χ2 = . là bi n ng u nhiên có phân ph i chu n. σ2 ðo ng u nhiên 25 cây ta có: 0 α   α α X (m) 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3  χ2 −1  , χ2 −1  1 −  . D •T 1−α ⇒ →n  n   2    S cây 1 2 9 7 4 2   2 2 Theo quy ñ nh khi nào cây cao trung bình trên 1m thì α   α • N u χ2 −1   < χ2 < χ2 −1  1 −  ta ch p nh n ñem ra tr ng. V i m c ý nghĩa 5%, có th ñem cây ra n  n   2      2 tr ng ñư c chưa ? gi thi t, ngư c l i thì bác b gi thi t. 1.4. Ki m ñ nh gi thi t phương sai t ng th có phân • Trong trư ng h p bác b , n u s2 > σ2 thì k t lu n 0 ph i chu n σ2 (tham kh o) σ2 > σ2 và s2 < σ2 thì σ2 < σ2 . V i σ2 cho trư c, ta th c hi n các bư c sau: 0 0 0 0 VD 10. Ti n hành 25 quan sát v ch tiêu X c a 1 lo i • ð t gi thi t H: σ2 = σ2 (nghĩa là phương sai t ng th s n ph m, ta tính ñư c s2 = 416,667. Có tài li u nói r ng 0 phương sai c a ch tiêu X là 400. V i m c ý nghĩa 3%, như phương sai cho trư c). cho nh n xét v tài li u này? §2. KI M ð NH SO SÁNH HAI ð C TRƯNG 2.1. So sánh hai t l px và py c a hai t ng th X, Y • N u t ≤ tα thì ch p nh n H ⇒ p x = p y ; • ð t gi thi t H: px = py.  t > tα  t > tα   nu ⇒ px < p y ; n u  my m ⇒ px > p y .   • T 2 m u ta tính fx = x , fy = ,  fx < fy  fx > fy     nx ny mx + my VD 1. T hai t ng th X1, X2 ti n hành 2 m u có kích p0 = (t l th c nghi m chung c a hai m u). nx + ny thư c n1 = 100, n2 = 120 ta tính ñư c f1 = 0,2 và f2 = 0,3. V i m c ý nghĩa 1% hãy so sánh hai t l c a hai t ng • Tính q 0 = 1 − p0 th ñó. VD 2. Ki m tra 120 sinh viên trư ng A th y có 80 sinh fx − fy ⇒t= (giá tr ki m ñ nh). viên gi i, 150 sinh viên trư ng B có 90 sinh viên gi i. 1  1 p0q 0  H i t l sinh viên gi i c a 2 trư ng như nhau không v i   +  n ny    m c ý nghĩa là 5%? x  x−y • T 2 m u c th ta tính ki m ñ nh t = và VD 3. Ki m tra 120 s n ph m kho I th y có 6 ph σ2 σ2 ph m. Ki m tra 200 s n ph m kho II th y có 24 ph +y x ph m. Ch t lư ng hàng hai kho có khác nhau không nx ny v i: 1) M c ý nghĩa 5% ? 2) M c ý nghĩa 1% ? so sánh v i tα . 2.2. So sánh hai trung bình µx và µy c a hai t ng th Trư ng h p 2. n x , n y ≥ 30 và σ2 , σ2 chưa bi t. Tóm t t 4 trư ng h p (ch p nh n hay bác b gi thi t x y như bài ki m ñ nh trung bình): Ta thay σ2 , σ2 b i s2 , s2 trong trư ng h p 1. x y x y Trư ng h p 3. n x , n y < 30 và σ2 , σ2 ñã bi t ñ ng • ð t gi thi t H: µ x = µ y. x y σ2 , σ2 Trư ng h p 1. n x , n y ≥ 30 và ñã bi t. th i X, Y có phân ph i chu n (như trư ng h p 1). x y nông trư ng I ta tính ñư c VD 4. Cân th 100 trái cây Trư ng h p 4. n x , n y < 30 và σ2 , σ2 chưa bi t; X, Y x y x = 101, 2gr; = 571, 7 và 361 trái cây s2 nông có phân ph i chu n. x trư ng II tính ñư c y = 66, 39gr; s2 = 29, 72 . y • Tính phương sai m u chung chưa hi u ch nh c a 2 m u Hãy so sánh tr ng lư ng trung bình c a trái cây 2 nông (n x − 1)s2 + (n y − 1)s2 x y trư ng v i m c ý nghĩa 1%. s= 2 . nx + ny − 2 VD 5. ðo ñư ng kính 20 tr c máy do máy I s n xu t và x−y 22 tr c máy do máy II s n xu t ta tính ñư c • Tính giá tr ki m ñ nh t = . 1 1 x = 251, 7mm ; s2 = 52, 853 y = 249, 8mm ; + và s. x nx ny s2 = 56, 2 . Có th xem ñư ng kính trung bình c a các y n + n −2 C •T α  tαx y → và so sánh v i t. 2 máy như nhau v i m c ý nghĩa 1% không? tr c máy Trang 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2