Bài giảng Toán cao cấp: Lecture 3 - Nguyễn Văn Thùy

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

54
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán cao cấp - Lecture 3: Vô cùng bé - Hàm liên tục" cung cấp cho người học các kiến thức: Giới hạn trái, giới hạn phải, vô cùng bé, ứng dụng tìm giới hạn, hàm liên tục. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp: Lecture 3 - Nguyễn Văn Thùy

Lecture 3 Nội dung Nguyen Van Thuy  Review  Vô cùng bé VÔ CÙNG BÉ-HÀM LIÊN TỤC  Ứng dụng tìm giới hạn  Hàm liên tục 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-2 Review-Giới hạn bên trái Review-Giới hạn bên phải y y f(x) f(x) x a a x L L x x O x a O a x lim f ( x)  L lim f ( x)  L lim f ( x)  lim f ( x)  L x a  lim f ( x)  lim f ( x)  L x a  x a x a x a x a xa xa 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-3 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-4 Review Review  Định lý (kẹp). Nếu f ( x)  g ( x)  h( x) khi  7 dạng vô định x gần a và 0  lim f ( x)  lim h( x)  L , ,   , .0,1 , 00 , 0 x a x a 0  thì  Các giới hạn cơ bản  lim g ( x)  L sin u 0  1 u x a lim  1   , lim 1    e (1 )  Định lý u 0 u 0 u   u lim f ( x)  L  lim f ( x)  L  lim f ( x)  x a x a x a lim(1  u )  e (1 ) 1/ u u 0 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-5 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-6 1
Vô cùng bé So sánh các vô cùng bé  Định nghĩa. Nếu lim  ( x)  0 thì (x)  Định nghĩa. Giả sử (x), (x) là các VCB khi xa x a được gọi là vô cùng bé khi xa và giả sử  ( x) lim L x a  ( x)  Ký hiệu: (x): VCB(xa)  Nếu L=0 thì (x) được gọi là VCB cấp cao hơn  Ví dụ (x), ký hiệu (x)=O((x))  lim(1  cos x)  0,lim x 2  0  1-cosx, x2 Nếu L= thì (x) được gọi là VCB cấp thấp hơn x 0 x 0  là các vô cùng bé khi x0 (x)  Nếu L0 và hữu hạn thì (x) và (x) được gọi là hai VCB cùng cấp 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-7 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-8 Vô cùng bé tương đương Các VCB tương đương cơ bản  ( x)  Nếu L=1 nghĩa là lim  1 thì (x),  Khi u0 thì x a  ( x) sin u u ln(1  u ) u (x) được gọi là hai VCB tương đương, ký u2 arcsin u u hiệu (x)(x) 1  cos u  Ví dụ. sinx và x là các VCB khi x0 và 2 arctan u u sin x tan u u lim  1 nên sin x x 1 x 0 x n 1 u 1 u e 1 u u n 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-9 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-10 Tính chất của VCB tương đương Ứng dụng tính giới hạn  (x)(x) (tính phản xạ)  Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao. Khi tính giới  (x)(x), (x)(x)  (x)(x) (tính bắc cầu) hạn tỷ số 2 VCB mà tử và mẫu là tổng các  Nếu (x)=O((x))  (x)+(x)(x) VCB khác cấp thì ta chỉ giữ lại các VCB cấp thấp nhất ở tử và mẫu  ( x) 1 ( x) Ví dụ. Câu 28     ( x)   ( x) 1 ( x)  1 ( x)    ( x) 1 ( x) arcsin 3 x  2 arcsin 2 x  3arcsin x L  lim  ( x) 1 ( x)  ( x)  ( x) x 0 x3  2 x 2  x    lim  lim 1   ( x) 1 ( x) x  a  ( x) x  a 1 ( x) a) L  0 b) L  1 c ) L  2 d ) L  3 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-11 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-12 2
Ví dụ Hàm liên tục  Câu 29  Định nghĩa. Hàm f được gọi là liên tục tại a (1  cos x) 2 L  lim nếu lim f ( x)  f (a) x 0 x sin x tan 2 x x a 1 1  lim f ( x)  lim f ( x)  f (a) a) L  0 b) L  1 c) L  d )L  2 4 x a x a  Câu 37  f gián đoạn tại a nếu f không liên tục tại a 1  cos x  ln(1  tan 2 2 x)  2 arcsin 3 x L  lim  f liên tục trên khoảng (a, b) nếu f liên tục tại x 0 1  cos x  sin 2 x mọi điểm thuộc khoảng đó a) L  0 b) L  1 c ) L  2 d ) L  3 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-13 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-14 Hàm liên tục Hàm liên tục  Chú ý. Hàm f liên tục tại a phải thỏa 3 điều  Ví dụ. Đồ thị của hàm f như hình vẽ sau. Tại kiện những điểm nào hàm số không liên tục? Tại sao?  f(a) xác định (nghĩa là aDf)  lim f ( x) tồn tại x a  lim f ( x)  f (a) x a 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-15 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-16 Hàm liên tục Hàm liên tục  Định lý. Tất cả những hàm sau liên tục trên  Ví dụ t miền xác định  f (t )  t  1 gián đoạn tại t=1 và liên tục tại tất cả  Hàm đa thức các điểm còn lại 1  Hàm phân thức hữu tỷ  g()=tan gián đoạn tại   (n  ) , n và liên 2  Hàm căn thức tục tại tất cả các điểm còn lại  Hàm mũ  sin x Hàm logarithm  ,x  0 sin x   f ( x)   x liên tục trên , vì lim  1  f (0) x 0 x  Hàm lượng giác  1, x  0  Hàm lượng giác ngược 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-17 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-18 3
Hàm liên tục  Ví dụ. Với giá trị nào của c thì hàm số sau liên tục trên ? cx  2 x, x  2 2 f ( x)   3  x  cx, x  2  Ví dụ. Tìm a, b để hàm số sau liên tục trên   x2  4  ,x  2  2 x  2 f ( x)  ax  bx  3, 2  x  3  2 x  a  b, x  3   10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 2-19 4