Bài giảng Toán cao cấp: Lecture 8 - Nguyễn Văn Thùy

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

48
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán cao cấp - Lecture 8: Tích phân" cung cấp cho người học các kiến thức về "Tích phân suy rộng, phương trình vi phân" bao gồm: Tích phân xác định, tích phân suy rộng loại 1, tiêu chuẩn so sánh, phương trình vi phân tách biến,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp: Lecture 8 - Nguyễn Văn Thùy

Lecture 8 Review-Tích phân xác định ' Nguyen Van Thuy Tính chất x    f (t )dt   f ( x)  a  TÍCH PHÂN  v( x)  '   f (t )dt   f [v( x)].v '( x)  f [u ( x)].u '( x)   Tích phân suy rộng  u ( x)   Công thức Newton-Leibniz Phương trình vi phân b  f ( x)dx  F (b)  F (a) : F ( x) b a a 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-2 Review Review S  {( x, y ) | a  x  b, g ( x)  y  f ( x)} b b Vy  2  xf ( x)dx b A( S )   [ f ( x)  g ( x)]dx Vx    [ f ( x)] dx2 a a a 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-3 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-4 Tích phân suy rộng loại 1 Tích phân suy rộng loại 1  Định nghĩa a t   Ví dụ (452). Tính  dx +∞ 𝑡 I1   0 1 x2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑡→+∞ 𝑎 𝑎  Nếu giới hạn ở vế phải tồn tại hữu hạn thì tích phân suy rộng ở vế trái được gọi là hội tụ. Ngược lại, tích phân suy rộng được gọi là phân kỳ 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-5 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-6 1
Tích phân suy rộng loại 1 Tích phân suy rộng loại 1   Tương tự 453. Tính 0  d x d x    2 I , I 𝑎 𝑎   12 x   12 x 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑡→−∞ −∞ 𝑡 +∞ 𝑎 +∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 −∞ −∞ 𝑎 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-7 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-8 Tích phân suy rộng loại 1 Tích phân suy rộng loại 1  Ví dụ  Ví dụ  dx  (466) Tính I   x ln t  1  1  t dx dx  I   lim  2  lim     lim    1  1 2 x  x 1  t  2    e 1 x t 1 x t t a) I  1 b) I  2 c) I   d ) I  2e Vậy, tích phân hội tụ  2 8arctan xdx   (464) TínhI  t dx dx   lim ln | x | 1  lim  ln | t |    x t  1 x t   J  lim t t  0 1  x2 2 3 3 3 1  Vậy, tích phân phân kỳ a) I  b) I  c) I  d )I   3 3 24 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-9 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-10 Tích phân suy rộng loại 1 Tích phân suy rộng loại 1  451. Tính  Chú ý 0 𝐼= 𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 +∞ Hội tụ ⇔ 𝛼 > 1 −∞ 𝑑𝑥 𝐼= 𝑥𝛼 𝑎 𝑎) 𝐼 = −1 𝑏) 𝐼 = 1 𝑐) 𝐼 = −2 𝑑) 𝐼 = 2 Phân kỳ ⇔ 𝛼 ≤ 1 𝑎>0 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-11 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-12 2
Tiêu chuẩn so sánh Tiêu chuẩn so sánh  Giả sử 0  f ( x)  g ( x), x  a  Giả sử 0  f ( x)  g ( x), x  a và   f ( x)  Nếu a f ( x)dx phân kỳ thì  g ( x)dx a phân kỳ lim x  g ( x)  L (L0 và hữu hạn)      Nếu  g ( x)dx a hội tụ thì  a f ( x)dx hội tụ Khi đó, 2 tích phân  f ( x)dx và  g ( x)dx có  cùng tính chất a a sin  x    Ví dụ (478) Tích phân  2 dx hội tụ khi Ví dụ (474) Tích phân  x x 1  dx 0 hội tụ khi x ( x  1)( x  2)  a) >1 b) 
Tích phân suy rộng Phương trình vi phân tách biến  Maple  Dạng  Loại 1 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑔 𝑦 𝑑𝑦 int(f(x),x=a..infinity)  Cách giải int(f(x),x=-infinity..a) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑔 𝑦 𝑑𝑦 + 𝐶 int(f(x),x=-infinity..infinity)  Loại 2  Maple int(f(x),x=a..b) >with(DEtools) >dsolve(D(y)(x)=f(x)/g(y)) 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-19 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-20 Phương trình vi phân tách biến Phương trình vp tuyến tính cấp 1  554. Tìm nghiệm tổng quát của ptvp  Dạng 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑦 ′ + 𝑝 𝑥 . 𝑦 = 𝑞(𝑥) + =0 1 + 𝑥2 1 − 𝑦2  Công thức nghiệm tổng quát 𝑎) arcsin 𝑥 + arctan 𝑦 = 𝐶 𝑏) arcsin 𝑥 − arctan 𝑦 = 𝐶 𝑦 = 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑞(𝑥)𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑐) arctan 𝑥 + arcsin 𝑦 = 𝐶 𝑑)arctan 𝑥 + ln |𝑦 + 1 − 𝑦 2 | = 𝐶  >with(DEtools) >dsolve(D(y)(x)+p(x)*y(x)=q(x)) 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-21 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-22 Phương trình vp tuyến tính cấp 1 Pt vi phân tuyến tính cấp 2  595. Tìm nghiệm tổng quát của ptvp  Dạng 𝑥𝑦 ′ + 2𝑦 = 3𝑥 𝑎𝑦 ′′ + 𝑏𝑦 ′ + 𝑐𝑦 = 0 (1) 𝐶  Cách giải 𝑎) 𝑦 = 𝑥 + 𝑏) 𝑦 = 𝑥 + 𝐶𝑥 2 𝑥2  Lập phương trình đặc trưng 𝐶 𝑎𝑘 2 + 𝑏𝑘 + 𝑐 = 0 (2) 𝑐) 𝑦 = 𝑥 3 + 𝐶𝑥 2 𝑑) 𝑦 = 𝑥 3 + 2 𝑥  Nếu (2) có 2 nghiệm phân biệt 𝑘1 , 𝑘2 ∈ ℝ 𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑘1 𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝑘2𝑥 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-23 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-24 4
Pt vi phân tuyến tính cấp 2 Pt vi phân tuyến tính cấp 2  Nếu (2) có nghiệm kép k0 thì nghiệm  Ví dụ. Tìm nghiệm tổng quát của ptvp tổng quát của (1) là  617. 𝑦 ′′ − 3𝑦 ′ + 2𝑦 = 0 𝑦 = 𝑒 𝑘0𝑥 𝐶1 𝑥 + 𝐶2  Nếu (2) có hai nghiệm phức 𝑘 = 𝛼 ± 𝑖  614. 𝑦 ′′ −22𝑦 ′ + 121𝑦 = 0 thì (1) có nghiệm tổng quát 𝑦 = 𝑒 𝛼𝑥 𝐶1 cos 𝛽𝑥 + 𝐶2 sin 𝛽𝑥  611. 𝑦 ′′ − 8𝑦 ′ + 41𝑦 = 0  Maple Dsolve(a*(D@@2)(y)(x)+b*D(y)(x)+c*y(x)=0) 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-25 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-26 Bài tập  Tích phân suy rộng 449  507  Phương trình vi phân 548  618 12/16/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 8-27 5