Bài giảng Toán cao cấp: Lecture 5 - Nguyễn Văn Thùy

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

31
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán cao cấp - Lecture 5: Đạo hàm, vi phân" cung cấp cho người học các kiến thức về "Ứng dụng của đạo hàm" bao gồm: Đạo hàm, vi phân của hàm số, quy tắc L’Hospital, ứng dụng khảo sát hàm số, đa thức Maclaurin,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp: Lecture 5 - Nguyễn Văn Thùy

Lecture 5 Review-Đạo hàm Nguyen Van Thuy  Định nghĩa. Đạo hàm của hàm số 𝑓 tại 𝑎 ĐẠO HÀM, VI PHÂN f ( a  h)  f ( a ) f '(a)  lim h 0 h Ứng dụng của đạo hàm  Phương trình tiếp tuyến tại điểm 𝑀(𝑎, 𝑓(𝑎)) 𝑦 = 𝑓’(𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎) 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-2 Review-Vi phân của hàm số Review-Quy tắc L’Hospital Tại x=a 𝑓(𝑥) 0 ∞ Định lý. Nếu có dạng 0 , ∞ khi 𝑥𝑎 và   𝑔(𝑥) 𝑑𝑦 𝑎 = 𝑦 ′ 𝑎 𝑑𝑥 𝑓′(𝑥) tồn tại lim 𝑔′(𝑥) = 𝐴 thì 𝑥→𝑎  Tại x 𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥) lim = lim =𝐴 𝑑𝑦 = 𝑦 ′ 𝑥 𝑑𝑥 𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) 𝑥→𝑎 𝑔′(𝑥)  Chú ý: 𝐴 có thể hữu hạn hoặc vô hạn 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-3 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-4 Ứng dụng khảo sát hàm số Ứng dụng khảo sát hàm số  Tìm tiệm cận ln 𝑥+1 +𝑥 2  Câu 206. Cho hàm số 𝑦 = . Đồ 𝑥−𝑥 2  Tìm khoảng tăng, giảm thị hàm số này  Tìm cực trị a) Có tiệm cận đứng 𝑥 = 0  Tính lồi lõm, điểm uốn b) Có tiệm cận xiên 𝑦 = 𝑥  Viết phương trình tiếp tuyến và pháp c) Có tiệm cận ngang 𝑦 = −1 tuyến d) Không có tiệm cận 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-5 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-6 1
Ứng dụng khảo sát hàm số Ứng dụng khảo sát hàm số  Câu 178. Cho hàm số 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥 − 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥.  Câu 183. Cho hàm số 𝑦 = 2ln(1 + 4𝑥 2 ) − Khẳng định nào sau đây đúng 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛2𝑥. Khẳng định nào sau đây đúng a) 𝑦 tăng trên ℝ a) y đạt cực đại tại 𝑥 = 1 8 b) 𝑦 giảm trên ℝ 1 b) y đạt cực tiểu tại 𝑥 = 8 c) 𝑦 tăng trên (1, +∞), giảm trên 0,1 1 c) y đạt cực đại tại 𝑥 = d) 𝑦 tăng trên (0, +∞) 16 1 d) y đạt cực tiểu tại 𝑥 = 16 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-7 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-8 Đa thức Maclaurin Đa thức Maclaurin  Bài toán. Tìm đa thức 𝑃(𝑥) bậc ≤ 𝑛 sao  Ví dụ. Tìm đa thức Maclaurin của hàm cho 𝑓 𝑥 = 𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 đến 𝑥, 𝑥 2 , 𝑥 3 𝑓’(0) = 𝑃’(0)  Kết quả 𝑓’’(0) = 𝑃’’(0) …  𝑔 𝑥 =1+𝑥 𝑛 𝑛 𝑓 (0) = 𝑃 (0) 𝑥2  𝑕 𝑥 =1+𝑥+ 2!  Đa thức Maclaurin cấp n của hàm 𝑓 𝑥2 𝑥3 𝑓′(0) 𝑓′′(0) 2 𝑓 𝑛 (0) 𝑛  𝑝 𝑥 =1+𝑥+ − 𝑃 𝑥 =𝑓 0 + 𝑥+ 𝑥 +⋯+ 𝑥 2! 3! 1! 2! 𝑛! 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-9 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-10 Đa thức Maclaurin Đa thức Maclaurin Xung quanh tiếp điểm 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-11 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-12 2
Khai triển Maclaurin Các khai triển Maclaurin cơ bản  Khai triển Maclaurin của hàm 𝑓(𝑥)  𝑒𝑥 = 1 + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑂(𝑥 2 )  ln 1 + 𝑥 = 𝑥 − 𝑥2 + 1! 2! 2 𝑓′(0) 𝑓′′(0) 2 𝑓𝑛 0 𝑛 𝑥3 𝑥4 𝑃 𝑥 =𝑓 0 + 𝑥+ 𝑥 +⋯+ 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑥 − 𝑥3 + 𝑂 𝑥4 − + 𝑂(𝑥 4 ) 1! 2! 𝑛!  3! 3 4 𝑛 + 𝑂(𝑥 ) 1 𝑥2 𝑥4  = 1 − 𝑥 + 𝑥2 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 − + + 𝑂 𝑥5 1+𝑥 : vô cùng bé cấp cao hơn 𝑥 𝑛 𝑛   𝑂 𝑥 2! 4! 𝑂(𝑥 2 ) 𝑥3  Với 𝑥 rất gần 0 thì  𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑥 + +𝑂 𝑥4 1 3  = 1 + 𝑥 + 𝑥2 + 1−𝑥 𝑛 𝑓′(0) 𝑓′′(0) 2 𝑓 0 𝑛 𝑥3 𝑂(𝑥 2 ) 𝑓 𝑥 ≈𝑓 0 + 𝑥+ 𝑥 + ⋯+ 𝑥  𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑥 − + 𝑂(𝑥 4 ) 1! 2! 𝑛! 3 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-13 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-14 Khai triển Maclaurin Khai triển Maclaurin  Câu 238. Viết khai triển Maclaurin của hàm 𝑦 = 𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑥 đến số hạng 𝑥 3 𝑥2 a) 𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 1 + 𝑥 + 2 + 𝑂 𝑥3 𝑥2 𝑥3 b) 𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 1 + 𝑥 + + + 𝑂 𝑥3 2 6 𝑥2 𝑥3 c) 𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 1 + 𝑥 + − + 𝑂 𝑥3 2 6 Maple GeoGebra 𝑥2 𝑥3 d) 𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 1 + 𝑥 + 2 + 3 + 𝑂 𝑥3 taylor(exp(sin(x)),x=0,3) KhaitrienTaylor(exp(sin(x)),0,3) 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-15 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-16 Khai triển Maclaurin Đa thức Taylor 𝑥2  Bài toán. Tìm đa thức 𝑃(𝑥) bậc ≤ 𝑛 sao  Câu 249. Khi 𝑥 → 0, VCB 𝑒 𝑥 − 1 − 𝑥 − 2 cho tương đương với 𝑓’(𝑎) = 𝑃’(𝑎) 𝑥3 𝑥3 𝑥3 𝑥3 𝑓’’(𝑎) = 𝑃’’(𝑎) 𝑎) − 𝑏) 𝑐) − 𝑑) … 3 3 6 6 𝑓 𝑛 (𝑎) = 𝑃 𝑛 (𝑎)  Đa thức Taylor cấp n của 𝑓(𝑥) tại 𝑥 = 𝑎 𝑓′ 𝑎 𝑓 𝑛 (𝑎) 𝑃 𝑥 =𝑓 𝑎 + (𝑥 − 𝑎) + ⋯ + (𝑥 − 𝑎)𝑛 1! 𝑛! 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-17 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-18 3
Khai triển Taylor Áp dụng khai triển cơ bản  Khai triển Taylor của hàm 𝑓(𝑥) tại 𝑥 = 𝑎  Ví dụ. Viết khai triển Maclaurin của hàm 𝑛 𝑘 số sau đến cấp 3 𝑓 𝑎 𝑓 𝑥 = (𝑥 − 𝑎)𝑘 +𝑅𝑛 (𝑥) 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑘! 𝑓 𝑥 = 1−𝑥 0  Phần dư  Ví dụ. Viết đa thức sau dưới dạng đa 𝑛 thức theo 𝑥 − 1  𝐷ạ𝑛𝑔 𝑃𝑒𝑎𝑛𝑜: 𝑅𝑛 𝑥 = 𝑂 𝑥 − 𝑎 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 − 3𝑥 3 + 𝑥 2 + 7 𝑓 𝑛+1 𝑐  𝐷ạ𝑛𝑔 𝐿𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒: 𝑅𝑛 𝑥 = (𝑥 − 𝑎)𝑛+1  Bài tập: 238  257 𝑛+1 ! 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-19 11/21/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 5-20 4