Bài giảng Toán cao cấp: Lecture 4 - Nguyễn Văn Thùy

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

57
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán cao cấp - Lecture 4: Đạo hàm, vi phân" cung cấp cho người học các kiến thức về "Hàm một biến" bao gồm: Hệ số góc của tiếp tuyến, vận tốc tức thời, đạo hàm, đạo hàm cấp cao, quy tắc L’Hospital,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp: Lecture 4 - Nguyễn Văn Thùy

Lecture 4 Review Nguyen Van Thuy  Định lý. Nếu f ( x)  g ( x)  h( x) khi x gần a và lim f ( x)  lim h( x)  L x a x a ĐẠO HÀM, VI PHÂN thì lim g ( x)  L x a HÀM MỘT BIẾN  Định lý. lim f ( x)  L  lim f ( x)  L  lim f ( x) x a x a x a 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-2 Review Review  Định nghĩa. Hàm f được gọi là liên tục tại a nếu  Định lý. Tất cả những hàm sau liên tục trên miền lim f ( x)  f (a) xác định x a Hàm đa thức f gián đoạn tại a nếu f không liên tục tại a    Hàm phân thức hữu tỷ  f liên tục trên khoảng (a, b) nếu f liên tục tại mọi  Hàm căn thức điểm thuộc khoảng đó  Hàm mũ  Ví dụ. Tìm a để hàm số sau  1 Hàm logarithm arctan ( x  1) 2 , x  1  liên tục tại x=1 f ( x)   2  Hàm lượng giác  x  3x  a , x  1  Hàm lượng giác ngược  x2  1 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-3 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-4 Review Hệ số góc của tiếp tuyến 7 dạng vô định 0  Mối liên hệ giữa hệ số a với góc tạo bởi trục hoành  , ,   , .0,1 , 00 , 0  0  và đường thẳng (d): y = ax+b?  Các giới hạn cơ bản  Hệ số góc của đường thẳng đi qua 2 điểm A(xA,yA) sin u  1 u và B(xB,yB)? lim  1, lim 1    e, lim(1  u)1/ u  e u 0 u u   u u 0  Hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong (C): y=f(x) tại điểm P(a,f(a))?  Ví dụ. Tính f ( a  h)  f ( a ) x tan 2 x  1  a) lim x 0 x b) lim 1   x   2x  ktt  lim h 0 h 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-5 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-6 1
Hệ số góc của tiếp tuyến Vận tốc tức thời  Một chất điểm chuyển động cách gốc O tại thời điểm t là s = f(t)  Vận tốc trung bình từ thời điểm t=a đến thời điểm t=a+h f ( a  h)  f ( a ) v h  Vận tốc tức thời tại thời điểm t=a f ( a  h)  f ( a ) v(a)  lim h 0 h 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-7 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-8 Vận tốc tức thời Đạo hàm  Định nghĩa. Đạo hàm của hàm số f tại a, ký hiệu f’(a), được xác định bởi f ( a  h)  f ( a ) f '(a)  lim h 0 h nếu giới hạn đó tồn tại  Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y=f(x) tại điểm P(a,f(a)) y = f’(a)(x-a) + f(a) 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-9 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-10 Đạo hàm Đạo hàm  Ví dụ. Tính đạo hàm bằng định nghĩa  Ký hiệu đạo hàm của hàm số y = f(x) 1) f(x) = x2 + x, tính f’(3). dy df d f '( x)  y '    f ( x)  Df ( x)  Dx f ( x) dx dx dx f (3  h)  f (3) (3  h)  (3  h)  12 2 f '(3)  lim  lim h 0 h h  0 h  Chú ý. f’(a) nghĩa là giá trị tại x=a của hàm f’ h2  7h  Ví dụ. f(x) = sinx, phát biểu “f’(0) = 0 bởi vì f(0)=0  lim  lim(h  7)  7 h 0 h h 0 là hằng số, và đạo hàm của hằng số là zero” đúng 2) f ( x)  x . Tính f’(2). hay sai? 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-11 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-12 2
Đạo hàm Đạo hàm  Các công thức đạo hàm cơ bản  Các tính chất của đạo hàm (u ) '   u 1u ', (eu ) '  eu u ', (ln u ) '  u' (u  v) '  u ' v ', (c.u ) '  c.u ' u  u  u ' v  uv ' ' (sin u ) '  u 'cos u, (cos u ) '  u 'sin u (uv) '  u ' v  uv ',    (tan u ) '  u '(1  tan 2 u ), (cot u ) '  u '(1  cot 2 u ) v v2  Ví dụ u' u' (arcsin u ) '  , (arccos u) '    d 1cos x (e )  e1cos x .(1  cos x) '  e1cos x .sin x 1 u2 1 u2 dx u' u' (arctan u ) '  , (arc cot u ) '   d 1 u2 1 u2  ln ln cos x ? dx 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-13 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-14 Khi nào đạo hàm tồn tại? Đạo hàm  Ví dụ f ( a  h)  f ( a )  1, x  0  f '(a)  lim  f(x)=|x| có f '( x)   và không có đạo hàm h 0 h 1, x  0 tại x=0.  Giới hạn này có thể không tồn tại  Nếu f’(a) tồn tại hữu hạn, f được gọi là khả vi tại a  Nếu f khả vi tại a thì f liên tục tại a. 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-15 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-16 Đạo hàm cấp cao Đạo hàm cấp cao  y ''  ( y ') ', y '''  ( y '') ',..., y ( n )  ( y ( n1) ) '  Công thức Leibniz ( fg ) '  f ' g  fg '  Công thức (1) n ! (n) ( fg ) ''  f '' g  2 f ' g ' fg ''  1  n    (eax )( n )  a n eax ( fg ) '''  f ''' g  3 f '' g ' 3 f ' g '' fg '''  xa ( x  a)n 1     Tổng quát (sin x)( n )  sin  x  n  (sin ax)( n )  a n sin  ax  n    2  2 n n! ( fg )( n )   Cnk f ( k ) g ( n k ) , f (0)  f , Cnk  k 0 k !(n  k )!      2x 1  (n) (cos x)( n )  cos  x  n  (cos ax)( n )  a n cos  ax  n  2 x (100)  2  2  Ví dụ. a) Tính ( x e ) b) Tính    x  5x  6  2 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-17 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-18 3
Vi phân Quy tắc L’Hospital f ( x) 0   Vi phân của hàm số y=f(x) tại x: dy=f’(x)dx  Định lý. Nếu có dạng , khi xa và tồn tại g ( x) 0   Vi phân cấp n f '( x) f ( x) f '( x) lim thì lim  lim d y  y ( x).(dx) n (n) n x a g '( x) x a g ( x) x a g '( x)  y ( n ) ( x).dx n  Chú ý. Quá trình xa có thể thay bởi xa+, xa-, x, x-  Ví dụ x  sin x  0  1  cos x  0  sin x  0  cos x 1 lim    lim    lim    lim  x 0 x 3  0  x 0 3 x 2  0  x 0 6 x  0  x 0 6 6 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-19 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-20 Quy tắc L’Hospital Đạo hàm của hàm ẩn  Ví dụ  Định nghĩa. Hàm số y = y(x) cho bởi x  arctan x  0  ln x    a) L  lim   b) L  lim   phương trình F(x,y) = 0 được gọi là hàm ẩn. x 0 x3 0 x  x 2   x 1   Ví dụ. Cho hàm số y = y(x) xác định bởi c) L  lim  x 1 x  1        d ) L  xl im xe x (.0) phương trình x2 + y2 = 2.  ln x  f ) L  lim x x (00 )  Phương trình trên xác định hai hàm ẩn e) L  lim x1/(2 x 2) (1 ) x 0 x 1 g ) L  lim( x  e x )1/ x (0 ) y  2  x2 , y   2  x2 x  10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-21 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-22 Đạo hàm của hàm ẩn Đạo hàm của hàm ẩn  Để tính đạo hàm của hàm ẩn, chú ý rằng  Ví dụ. Viết phương trình tiếp tuyến của F ( x, y)  0   F ( x, y)  x  0 đường cong cardioid ' x2  y 2  (2 x2  2 y 2  x)2 tại (0, 1/2)  Chú ý. y là hàm số theo x, còn x là biến số  Ví dụ. Tính y’(x) biết x2 + y2 = 2  Lấy đạo hàm theo x cả hai vế, ta được x 2 x  2 yy '  0  y '   y 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-23 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-24 4
Đạo hàm của hàm ẩn Đạo hàm của hàm số cho dưới dạng tham số  Ví dụ. Viết phương trình tiếp tuyến của  Định nghĩa. Hàm số y = y(x) cho dưới dạng đường cong lemniscate x = x(t), y = y(t) được gọi là hàm số cho 2( x2  y 2 )2  25( x2  y 2 ) dưới dạng tham số tại (3, 1)  Ví dụ. Hàm số y = y(x) cho bởi x = sint, y = cost, –/2  t  /2 y  Đó là hàm số y  1  x 2 , 1  x  1 x -1 0 1 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-25 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-26 Đạo hàm của hàm số cho dưới dạng tham số Đạo hàm của hàm số cho dưới dạng tham số  Đạo hàm của hàm số cho dưới dạng tham  Ví dụ. (câu 89) Tìm y’(x) tại x0 = 2 của hàm số số y = y(x) cho bởi phương trình tham số y '( x)  dy y '(t )dt y '(t )    x  2et dx x '(t )dt x '(t )  y  t t 2  Ví dụ. Cho hàm số y = y(x) xác định bởi  a) 1/2 b) 1 c) 5/e2 d) đều sai x  a cos t , y  b sin t  Giải. x0=2=2et  t=0  x '(t )  a sin t , y '(t )  b cos t y (t  t 2 ) ' 1  2t ' 1 y '( x)  t    y '( x0  2)   y '( x)  y '(t ) / x '(t )  b / a cot t ' xt (2et ) ' 2et 2 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-27 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-28 Đạo hàm của hàm số cho dưới dạng tham số Đạo hàm của hàm số cho dưới dạng tham số  Ví dụ (câu 86). Tìm đạo hàm y’=y’(x) của  Đạo hàm cấp 2 của hàm số cho dưới dạng hàm số y=y(x) được cho bởi pt tham số tham số ( y '( x))t' y ''( x)   x  ln(1  t 2 ) xt'  Ví dụ (câu 92). Tính y’’(x) tại x0 = /4 của  y  2t  2 arctan t  hàm số y = y(x) cho bởi phương trình tham 2t 2 2t 2 a) y '  b) y '   số  x  arctan t 1 t2 1 t2   y  ln t c) y '  t d ) y '  t  a) 0 b) 1 c) 2 d) 1 – 16/2 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-29 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-30 5
Bài tập  Câu 85  câu 104 10/31/2010 Toan C1-Nguyen Van Thuy 4-31 6