Bài giảng Toán cao cấp: Phương trình vi phân - Nguyễn Văn Phong

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN<br /> Nguyễn Văn Phong<br /> <br /> Toán cao cấp - MS: MAT1006<br /> Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)<br /> <br /> GIẢI TÍCH<br /> <br /> Toán cao cấp - MS: MAT1006<br /> <br /> 1 / 26<br /> <br /> NỘI DUNG<br /> 1<br /> <br /> KHÁI NIỆM CHUNG<br /> <br /> 2<br /> <br /> ĐỊNH NGHĨA<br /> <br /> 3<br /> <br /> PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I<br /> <br /> 4<br /> <br /> PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2<br /> <br /> Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)<br /> <br /> GIẢI TÍCH<br /> <br /> Toán cao cấp - MS: MAT1006<br /> <br /> 1 / 26<br /> <br /> Một số ví dụ<br /> Ví dụ 1. Nghiên cứu về dân số, người ta thấy rằng, tỷ số<br /> giữa sự thay đổi dân số theo thời gian được cho như sau:<br /> dP<br /> = rP, P(0) = P0 , P, P0 > 0<br /> (1)<br /> dt<br /> trong đó r là tỷ lệ tăng dân hằng năm.<br /> Nhân hai vế của (1) cho 1/P, ta được<br /> 1 dP<br /> =r<br /> P dt<br /> Tích phân hai vế, ta được<br /> <br /> (2)<br /> <br /> ln P = rt + C ⇒ P = e rt+C<br /> Mặt khác, với P(0) = e<br /> <br /> 0+C<br /> <br /> = P0 , thay vào (3) ta được<br /> P(t) = P0 e rt<br /> <br /> Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)<br /> <br /> (3)<br /> <br /> GIẢI TÍCH<br /> <br /> (4)<br /> Toán cao cấp - MS: MAT1006<br /> <br /> 2 / 26<br /> <br /> Một số ví dụ<br /> Kết quả ứng dụng<br /> 1. Dựa vào (4), nếu dân số thế giới năm 1990 là 5.8 tỉ và nếu tỉ lệ<br /> r = 2.6% thì dân số thế giới năm 2013 là 10.8245 tỉ<br /> 2. Dân số Việt Nam năm 1990 là 63 triệu và tỉ lệ r = 2%, thì dân<br /> số Việt Nam năm 2013 là 101.8 triệu.<br /> <br /> Ví dụ 2. Năm 1946 Willard Libby, phát hiện rằng trong<br /> tế bào của thực vật, động vật, người trong suốt thời gian<br /> chúng sống, lượng carbon − 14 phóng xạ không đổi. Nếu<br /> chúng chết, lượng carbon − 14 phóng xạ sẽ giảm do sự<br /> phân rã hạt nhân. Và sự phân rã này tuân theo môt quy<br /> luật cho bởi<br /> dQ<br /> = −rQ, Q(0) = Q0<br /> (5)<br /> dt<br /> Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)<br /> <br /> GIẢI TÍCH<br /> <br /> Toán cao cấp - MS: MAT1006<br /> <br /> 3 / 26<br /> <br /> Một số ví dụ<br /> Tương tự như ví dụ 1, ta cũng có kết quả sau<br /> Q(t) = Q0 e −rt , với r = 0.0001238<br /> <br /> (6)<br /> <br /> Kết quả ứng dụng<br /> Các nhà khảo cổ ở Châu phi tìm thấy bộ xương của người tiền sử,<br /> với lượng carbon − 14 hiện diện là 10%. Khi đó, áp dụng (6), ta có<br /> Q(t) = 0.1Q0 = Q0 e −0.0001238t<br /> Suy ra, t =<br /> <br /> ln 0.1<br /> = 18.600 năm<br /> −0.0001238<br /> <br /> Qua hai ví dụ trên, ta thấy việt tìm ra các quy luật (Mô<br /> hình) có ứng dụng rất mạnh trong thực tế. Đặc biệt là<br /> trong lĩnh vực dự báo.<br /> Nguyễn Văn Phong (BMT - TK)<br /> <br /> GIẢI TÍCH<br /> <br /> Toán cao cấp - MS: MAT1006<br /> <br /> 4 / 26<br /> <br />