intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Toán lớp 12 từ cơ bản đến nâng cao: Phần 1 - Trần Đình Cư

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:342

Thêm vào BST
Báo xấu
15
lượt xem 5
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cuốn sách "Bài giảng Toán lớp 12 từ cơ bản đến nâng cao: Phần 1" được biên soạn bởi thầy giáo Trần Đình Cư có nội dung trình bày về kiến thức cần nắm và một số bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số; phương trình mũ, phương trình lôgarit. Mời quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo nội dung cuốn sách tại đây.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán lớp 12 từ cơ bản đến nâng cao: Phần 1 - Trần Đình Cư

  1. LỚP TOÁN THẦY CƯ- XÃ TẮC- TP HUẾ Trung tâm ứng dụng CN và dạy học MTC SĐT: 0834 332 133
  2. LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133. WEB: TOANTHAYCU.COM BÀI 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1. Nhắc lại định nghĩa Kí hiệu K là khoảng hoạcc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y  f ( x) xác định trên K . Ta nói  Hàm số y  f ( x) đông biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x1 , x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f  x1  nhỏ hơn f  x2  , tức là x1  x2  f  x1   f  x2  ;  Hàm số y  f ( x) nghịch biên (giảm) trên K nếu với mọi cặp x1 , x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn x2 thì f  x1  lớn hơn f  x2  , tức là x1  x2  f  x1   f  x2  . Hàm số đồng biến hoạ̉c nghịch biển trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K . Nhận xét: - Nếu hàm số đổng biến trên K thì đổ thị đi lên từ trái sang phải (H.3a) ; - Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xương từ trái sang phái (H.3b). 2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm Định lí: Giả sử hàm số y  f  x  có đạo hàm trên khoảng K  Nếu f   x   0 với mọi x thuộc K thì hàm số f  x  đồng biến trên K .  Nếu f   x   0 với mọi x thuộc K thì hàm số f  x  nghịch biến trên K . Tóm lại, trên K  f  ( x)  0  f ( x)     f ( x)  0  f ( x)  CHÚ Ý Nếu f  ( x)  0, x  K thì f ( x) không đổi trên K . Định lý mở rộng: Giả sử hàm số y  f  x  có đạo hàm trên khoảng K Nếu f '  x   0  f '  x   0  , x  K và f '  x   0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K . Chú ý: f   x   0 chỉ tại một số hữu hạn điểm. Tuy nhiên một số hàm số có f '  x   0 tại vô hạn điểm nhưng các điểm rời rạc thì hàm số vẫn đơn điệu. Ví dụ: Hàm số y  2 x  sin 2 x. Ta có y '  2  2 cos 2 x  2 1  cos 2 x   0, x  . Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác” Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 1
  3. LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133. WEB: TOANTHAYCU.COM y  0  1  cos 2 x  0  x  k  k   có vô hạn điểm làm cho y '  0 nhưng các điểm đó rời rạc nên hàm số y  2 x  sin 2 x đồng biến trên . II - QUY TǺC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1. Quy tắc Bước 1. Tìm tập xác định. Bước 2. Tính đạo hàm f  ( x) . Tìm các điểm xi (i  1, 2,, n) mà lại đó đạo hàm bằng 0 hoạc không xác định. Bước 3. Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. Bước 4. Nêu kết luận vể các khoáng đống biến, nghịch biến của hàm số. 1 1 Ví dụ. Xét sự đổng biển, nghịch biền của hàm sồ y  x 3  x 2  2 x  2 3 2 B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Cho hàm số y  f  x  . Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số 1. Phương pháp: - Bước 1: Tìm tập xác định - Bước 2: Tính đạo hàm f  ( x) . Tìm các điểm tại đó f  ( x)  0 hoặc f  ( x) không xác định - Bước 3 : Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên - Bước 4: Kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số theo định lý trên 2. Các ví dụ Ví dụ 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y   x3  6 x 2  9 x  4 . Lời giải. Hàm số y   x3  6 x 2  9 x  4 có tập xác định    . x  1 Ta có y  3x2  12 x  9 . Cho y   0  3 x 2  12 x  9  0    x  3. Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (;1), (3;  ) và đồng biến trên khoảng (1;3) . Ví dụ 2. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y   x4  4 x2  3 . Lời giải. Tập xác định của hàm số y   x4  4 x2  3 là    . Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác” Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 2
  4. LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133. WEB: TOANTHAYCU.COM Ta có y  4 x3  8x . Cho y   0  4 x 3  8 x  0  4 x   x 2  2   0 4 x  0 x  0 x  0  2  2    x  2  0  x  2  x   2. Bảng biến thiên Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (;  2) và (0; 2) , hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( 2;0) và ( 2; ) . 3  2x Ví dụ 3. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y  . x7 Lời giải. 3  2 x 2 x  3 17 Hàm số y   có tập xác định    \ {7} . Ta có y    0, x  7 . x7 x7 ( x  7) 2 Bảng biến thiên Hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng ( ; 7) và ( 7;  ) . Ví dụ 4. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y  x  16  x 2 . Lời giải. Tập xác định:   [4; 4] . x 16  x 2  x Đạo hàm: y   1   . 16  x 2 16  x 2  16  x 2  x  x0 x  0 Cho y   0     2  x2 2. 0  16  x  x x  8 2 2 16  x  0 2 Bảng biến thiên Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác” Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 3
  5. LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133. WEB: TOANTHAYCU.COM Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (4; 2 2) và nghịch biến trên khoảng (2 2; 4) . 3. Bài tập 2x 1 Câu 1: Cho hàm số y  . Mệnh đề nào sau đây đúng? x 1 A. Hàm số đã cho đồng biến trên  . B. Hàm số đã cho nghịch biến trên  . C. Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định. D. Hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng xác định Lời giải Chọn D 1 Tập xác định: D   \ 1 . Đạo hàm: y /   0, x  1.  x  1 2 Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng  ;1 và 1;   . x3 Câu 2: Cho hàm số y   x 2  x . Mệnh đề nào sau đây là đúng? 3 A. Hàm số đã cho đồng biến trên  . B. Hàm số đã cho nghịch biến trên  ;1 . C. Hàm số đã cho đồng biến trên 1;   và nghịch biến trên  ;1 . D. Hàm số đã cho đồng biến trên  ;1 và nghịch biến 1;  . Lời giải Chọn A Đạo hàm: y /  x 2  2 x  1   x  1  0, x   và y /  0  x  1 . 2 Suy ra hàm số đã cho luôn đồng biến trên  . Câu 3: Hàm số y  x3  3x 2  9 x  m nghịch biến trên khoảng nào được cho dưới đây? A.  1;3 B.  ; 3 hoặc 1;   . C.  D.  ; 1 hoặc  3;  . Lời giải Chọn A Ta có: y /  3x 2  6 x  9. Ta có y /  0  3 x2  6 x  9  0  1  x  3 . Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  1;3 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác” Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 4
  6. LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133. WEB: TOANTHAYCU.COM Câu 4: Hàm số y  2 x4  1 đồng biến trên khoảng nào?  1  1  A.  ;   B.  0;  C.   ;   D.  ;0   2  2  Lời giải Chọn B Ta có y '  8x3  0  x  0 . Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  0;   . Câu 5: Cho hàm số y  2 x4  4 x 2 . Mệnh đề nào sau đây sai? A. Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng  ; 1 và  0;1 . B. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng  ; 1 và 1;  . C. Trên các khoảng  ; 1 và  0;1 , y '  0 nên hàm số đã cho nghịch biến. D. Trên các khoảng  1;0  và 1;  , y '  0 nên hàm số đã cho đồng biến. Lời giải Chọn B x  0 Ta có y '  8 x 3  8 x  8 x  x 2  1 ; y '  0   .  x  1 Vẽ phác họa bảng biến thiên và kết luận được rằng hàm số ● Đồng biến trên các khoảng  1;0  và 1;  . ● Nghịch biến trên các khoảng  ; 1 và  0;1 . 2x 1 Câu 6: Cho hàm số y  . Mệnh đề nào sau đây đúng? x2 A. Hàm số đã cho đồng biến trên . B. Hàm số đã cho đồng biến trên  \ 2 . C. Hàm số đã cho đồng biến trên  ; 0  . D. Hàm số đã cho đồng biến trên 1;   . Lời giải Chọn D 5 Tập xác định: D   \ 2 . Đạo hàm y    0, x  2.  x  2 2 Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 2  và  2;   . Suy ra hàm số đồng biến trên 1;   . Chọn D Bình luận: Hàm số đồng biến trên tất cả các khoảng con của các khoảng đồng biến của hàm số. Cụ thể trong bài toán trên:  Hàm số đồng biến trên  2;   ;  1;     2;   . Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác” Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 5
  7. LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133. WEB: TOANTHAYCU.COM Suy ra hàm số đồng biến trên 1;   . Câu 7: Cho hàm số y  1  x 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đã cho đồng biến trên  0;1 . B. Hàm số đã cho đồng biến trên toàn tập xác định. C. Hàm số đã cho nghịch biến trên  0;1 . D. Hàm số đã cho nghịch biến trên toàn tập xác định. Lời giải Chọn C x Tập xác định D   1;1 . Đạo hàm y '  ; y'  0  x  0. 1  x2 Vẽ bảng biến thiên, suy ra được hàm số nghịch biến trên  0;1 . Câu 8: Cho hàm số y  x  1  4  x . Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số đã cho nghịch biến trên 1;4  .  5 B. Hàm số đã cho nghịch biến trên  1;  .  2 5  C. Hàm số đã cho nghịch biến trên  ; 4  . 2  D. Hàm số đã cho nghịch biến trên . Lời giải Chọn C 1 1 Tập xác định: D  1; 4 . Đạo hàm y '   . 2 x 1 2 4  x  x  1; 4  5 Xét phương trình y '  0  x  1  4  x    x   1; 4  .   x  1  4  x 2 5  Vẽ bảng biến thiên, suy ra được hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 4  . 2  Dạng 2: Dựa vào bảng biến thiên, tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số 1. Phương pháp: Dự vào bảng biến thiên * Nếu y '  0 ( hoặc chiền biến thiên của hàm số đi xuống) trên khoảng  a; b  thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó * Nếu y '  0 ( hoặc chiền biến thiên của hàm số đi lên) trên khoảng  a; b  thì hàm số đồng biến trên khoảng đó 2. Các ví dụ Ví dụ 1: Cho hàm số y  f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ: Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác” Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 6
  8. LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133. WEB: TOANTHAYCU.COM Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào? Lời giải Ta có y  0, x  (; 1)  (0;1)  y  0, x  (; 2) . Ví dụ 2: Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên dưới đây. Khẳng định nào sau đây sai? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (; 1) . B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1) . C. Hàm số đồng biến trên khoảng (2; ) . D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2;  ) . Lời giải. Chọn D Dựa vào bảng biến thiên, ta có: hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ; 0), (0;1) và đồng biến trên khoảng (1;  ) . Do đó, khẳng định "Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2;  ) " sai. 3. Bài tập Câu 1: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau: Trong các mệnh đề sau, có bao nhiêu mệnh đề sai? I. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng  ; 5 và  3; 2  . II. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  ;5 . III.Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  2;   . IV.Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  ; 2  . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Lời giải Chọn A Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác” Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 7
  9. LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133. WEB: TOANTHAYCU.COM Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  ; 2  ; nghịch biến trên khoảng  2;   . Suy ra II. Sai; III. Đúng; IV. Đúng. Ta thấy khoảng  ; 3 chứa khoảng  ; 5 nên I Đúng. Vậy chỉ có II sai. Câu 2: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng  2;   và  ; 2  . B. Hàm số đã cho đồng biến trên  ; 1   1; 2  . C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  0;2  . D. Hàm số đã cho đồng biến trên  2; 2  . Lời giải Chọn C Vì  0; 2    1; 2  , mà hàm số đồng biến trên khoảng  1; 2  nên suy ra C đúng. Câu 3: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là đúng?  1 A. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng  ;   và  3;   .  2  1  B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng   ;   .  2  C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  3;   . D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  ;3 . Lời giải Chọn C Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác” Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 8
  10. LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133. WEB: TOANTHAYCU.COM  1  1  ● Đồng biến trên các khoảng  ;   và   ;3  .  2  2  ● Nghịch biến trên khoảng  3;  . Câu 4: Cho hàm số y  f  x  xác định liên tục trên  \  2 và có bảng biến thiên như hình dưới đây A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng   3;  2     2; 1 . B. Hàm số đã cho có giá trị cực đại bằng  3. C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng   ;  3 và  1;    . D. Hàm số đã cho có điểm cực tiểu là 2. Lời giải Chọn C Dựa vào bảng biến thiên, ta có nhận xét sau Hàm số nghịch biến trên khoảng   3;  2  và   2; 1  A sai (sai chỗ dấu  ). Hàm số có giá trị cực đại yC    2  B sai. Hàm số đồng biến khoảng   ;  3 và  1;     C đúng. Hàm số có điểm cực tiểu là  1  D sai. Dạng 3: Dựa vào đồ thị hàm số y  f x hoặc y  f ' x  . Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số 1. Phương pháp:  Đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải trên khoảng  a; b  thì sẽ đồng biến trên khoảng đó  Đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải trên khoảng  a; b  thì sẽ nghịch biến trên khoảng đó 2. Các ví dụ Ví dụ 1: Cho hàm số y  f ( x ) xác định trên  và có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng? Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác” Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 9
  11. LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133. WEB: TOANTHAYCU.COM A. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( 1; 0) và (1;  ) . B. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (; 1) và (0;1) . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;1) . D. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( 1; 0) và (1;  ) . Lời giải. Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng ( 1; 0) và (1;  ) . Chọn đáp án (A) Ví dụ 2. Hàm số y  f ( x ) có đồ thị như hình bên. Hàm số y  f ( x ) đồng biến trên khoảng nào dưới đây? Lời giải. Dựa vào đồ thị, hàm số đồng biến trên (; 1) và 1;  3. Bài tập Câu 1: Cho hàm số y  f x  xác định, liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là sai? A. Hàm số đồng biến trên 1;    . B. Hàm số đồng biến trên   ; 1 và 1;    . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng  1;1 . D. Hàm số đồng biến trên   ; 1  1;    . Lời giải Chọn D Dựa vào đồ thị ta có kết quả: Hàm số đồng biến trên  ; 1 và 1;   , nghịch biến trên  1;1 nên các khẳng định A, B, C đúng. Theo định nghĩa hàm số đồng biến trên khoảng  a; b  thì khẳng định D sai. Câu 2: Cho hàm số f  x  liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng? Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác” Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 10
  12. LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133. WEB: TOANTHAYCU.COM A. Hàm số đồng biến trên   ; 0  và  0;    . B. Hàm số đồng biến trên  1;0   1;    . C. Hàm số đồng biến trên   ; 1 và 1;    . D. Hàm số đồng biến trên  1;0  và 1;    . Lời giải Chọn D Từ dáng điệu của đồ thị ta nhận thấy trong khoảng  1;0  ; 1;    dáng điệu của hàm số là đi lên nên hàm số đồng biến trên  1;0  ; 1;    . Theo định nghĩa hàm số đồng biến trên khoảng  a; b  thì khẳng định B sai. Câu 3 : Cho hàm số f  x  có đạo hàm f '  x  xác định, liên tục trên  và f '  x  có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng? y O 1 -1 3 x -4 A. Hàm số đồng biến trên 1;   . B. Hàm số đồng biến trên  ; 1 và  3;   . C. Hàm số nghịch biến trên  ; 1 . D. Hàm số đồng biến trên  ; 1   3;   . Lời giải Chọn B Dựa vào đồ thị của hàm số f '  x  , ta có nhận xét:  f '  x  đổi dấu từ '' '' sang '' '' khi qua điểm x  1.  f '  x  đổi dấu từ '' '' sang '' '' khi qua điểm x  3. Do đó ta có bảng biến thiên Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác” Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 11
  13. LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133. WEB: TOANTHAYCU.COM Dựa vào bảng biến thiên ta thấy B đúng. Dạng 4: Tìm tham số m để hàm số đồng biến trên tập xác định 1. Phương pháp: Cho hàm số y  f ( x ) liên tục trên K (một khoảng, một đoạn hoặc nửa khoảng) đồng thời phương trình f  ( x) vô nghiệm trên K hoặc có nghiệm rời rạc trên K . Khi đó  Hàm số f ( x ) đồng biến trên K  f  ( x)0, x  K . ■ Hàm số f ( x ) nghịch biến trên K  f  ( x)  0, x  K . Kiến thức bổ trợ Cho tam thức bậc hai h( x)  ax 2  bx  c(a  0) . Khi đó a  0 a  0 h( x )0, x     h( x )  0, x       0.   0 Lưu ý: khi đã chắc chắn a  0 , hai công thức trên đây mới được sử dụng. 2. Các ví dụ Ví dụ 1. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y  x3  3x 2  3(m  2) x  3m  1 đồng biến trên . Lời giải. Hàm số y  x3  3x 2  3(m  2) x  3m  1 có tập xác định    . Hàm số đồng biến trên   y   3x 2  6 x  3(m  2)0, x   . a  0 3  0     m  1   0 9  9(m  2)  0 Vậy với m  1 thì hàm số đồng biến trên  . 1 Ví dụ 2. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y  (3  m) x 3  ( m  3) x 2  ( m  2) x  3 đồng 3 biến trên  . Lời giải. 1 Hàm số y  (3  m) x 3  ( m  3) x 2  ( m  2) x  3 có tập xác định    . 3 * Xét a  3  m  0  m  3 . Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác” Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 12
  14. LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133. WEB: TOANTHAYCU.COM Khi đó hàm số trở thành y  6 x 2  5 x  3 . Đây là hàm số bậc hai, có lúc tăng, lúc giảm khi xét trên  . Do đó ta loại m  3 . * Xét a  3  m  0  m  3 . Hàm số luôn tăng trên   y  (3  m) x2  2(m  3) x  (m  2)0  m  3 a  3  m  0  3     3    m  1   2m  5m  3  0 2   m  1 2   2 3 Vậy với   m  1 thì hàm số đồng biến trên  . 2 mx  m  7 Ví dụ 3. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y  đồng biến trên mọi khoảng của 5x  m  3 tập xác định. Lời giải.  m  3 Tập xác định:    \  .  5  m 2  2m  35 Ta có y   . (5 x  m  3)2 Hàm số đồng biến trên mọi khoảng xác định khi và chỉ khi m3 y   0, x    m 2  2m  35  0  m  ( 7;5). 5 Vậy, với m  ( 7;5) thì hàm số đồng biến trên mọi khoảng xác định của nó. 3. Bài tập Câu 1: Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để hàm số y  x3  3 x2  mx  m đồng biến trên tập xác định A. m  1. B. m  3. C. 1  m  3. D. m  3. Lời giải Chọn B TXĐ: D   . Đạo hàm y '  3x 2  6 x  m . a  0 3  0 Ycbt  y '  0, x   ( y '  0 có hữu hạn nghiệm)     m  3.  '  0 9  3m  0 1 3 Câu 2: Cho hàm số y  x  mx 2   4 m  3 x  2017 . Tìm giá trị lớn nhất của tham số thực m 3 để hàm số đã cho đồng biến trên  . A. m  1 . B. m  2 . C. m  4 . D. m  3 . Lời giải Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác” Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 13
  15. LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133. WEB: TOANTHAYCU.COM Chọn D Tập xác định D   . Đạo hàm y '  x 2  2mx  4m  3 . Để hàm số đồng biến trên   y '  0, x   ( y '  0 có hữu hạn nghiệm)   '  m 2  4m  3  0  1  m  3 . Suy ra giá trị lớn nhất của tham số m thỏa mãn ycbt là m  3. Câu 3: Cho hàm số y   x 3  mx 2   4 m  9  x  5 với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng  ;   ? A. 4. B. 6. C. 7. D. 5. Lời giải Chọn C TXĐ: D   . Đạo hàm y '  3x 2  2mx  4m  9. Để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  ;   thì  y '  0, x   ( y '  0 có hữu hạn nghiệm)   '  0  m2  3  4m  9   0  9  m  3 m   m  9; 8;...; 3 . Sai lầm hay gặp là '' Để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  ;   thì  y '  0, x   '' . Khi đó ra giải ra 9  m  3 m 3 Câu 4: Cho hàm số y  x  2 x 2   m  3 x  m . Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số m để hàm 3 số đồng biến trên  A. m  4 B. m  0 C. m  2 D. m  1 Lời giải Chọn D TXĐ: D   . Đạo hàm: y '  mx2  4 x  m  3 . Yêu cầu bài toán  y '  0, x   ( y '  0 có hữu hạn nghiệm): 3 TH1. ● m  0 thì y '  4 x  3  0  x  (không thỏa mãn). 4 a  m  0 TH2. ●   m  1.  ' y '  m  3m  4  0 2 Suy ra giá trị m nhỏ nhất thỏa mãn bài toán là m  1. x3 Câu 5: Cho hàm số y   m  2    m  2  x 2   m  8 x  m 2  1 . Tìm tất cả các giá trị của 3 tham số thực m để hàm số nghịch biến trên . A. m  2 . B. m  2 . C. m  2 . D. m  2 . Lời giải Chọn C Ta có y '   m  2  x 2  2  m  2  x  m  8 . Yêu cầu bài toán  y '  0, x   ( y '  0 có hữu hạn nghiệm): TH1 ● m  2  0  m  2 , khi đó y '  10  0, x   (thỏa mãn). Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác” Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 14
  16. LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133. WEB: TOANTHAYCU.COM a  m  2  0 m  2  0 TH2 ●    m  2 .  '   m  2    m  2  m  8   0 10  m  2   0 2 Hợp hai trường hợp ta được m  2. mx  2m  3 Câu 6: Cho hàm số y  với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị xm nguyên của m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S A. 5 B. 4 C. Vô số. D. 3 Lời giải Chọn D m 2  2m  3 Ta có y '  .  x  m 2 Để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định thì y '  0, x  m m  m2  2m  3  0  1  m  3   m  0;1; 2 . m Sai lầm hay gặp là cho y '  0, x  m  1  m  3   m  1; 0;1; 2;3 . Dạng 5: Tìm tham số m để hàm số đồ ng biến và nghịch biến trên tập con của  , trên khoảng có độ dài bằng l 1. Phương pháp: Phương pháp 1: Cô lập tham số, lập bảng biến thiên, từ đó rút ra điều kiện của tham số. Phương pháp 2: Lập bảng biến thiên trực tiếp để tìm các khoảng đơn điệu cụ thể, từ đó rút ra kết luận. Để hàm số y  ax3  bx 2  cx  d có độ dài khoảng đồng biến ( a  0) ; nghịch biến (a  0)  x1; x2  bằng l  Bước 1: Tính y  .  Bước 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến a  0    0 Bước 3: x2  x1  l (2) thành  x1  x2   4 x1  x2  l 2 . 2   Bước 4: Sử dụng định lí Vi-ét đưa (2) thành phương trình theo tham số.  Bước 5: Giải phương trình, so sánh với điều kiện (1) để chọn kết quả thỏa mann. 2. Các ví dụ Ví dụ 1. Tìm m để hàm số y   x3  3x 2  3mx  1 nghịch biến trên (0;  ) . Lời giải. Tập xác định của hàm số    . Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác” Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 15
  17. LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133. WEB: TOANTHAYCU.COM Ta có y  3x2  6 x  3m . Hàm số nghịch biến trên (0;  ) khi và chỉ khi y  0, x  (0; ) . Hay 3x 2  6 x  3m  0, x  (0; )  m  x 2  2 x, x  (0; ) (1). Xét hàm số f ( x)  x2  2 x trên (0;  ) có f  ( x)  2 x  2; f  ( x)  0  x  1 Từ bảng biên thiên ta có (1)  m  1 . Vậy với m  1 thì hàm số đã cho nghịch biến trên (0;  ) . Ví dụ 2: Cho hàm số y  x3   m  1 x 2   2m 2  3m  2  x  2m  2m  1 . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đã cho đồng biến trên  2;   . Lời giải Ta có y /  3 x 2  2  m  1 x   2 m 2  3m  2  . Xét phương trình y /  0 có  /   m  1  3  2m 2  3m  2   7  m 2  m  1  0, m  . 2 Suy ra phương trình y /  0 luôn có hai nghiệm x1  x2 với mọi m . Để hàm số đồng biến trên  2;    phương trình y /  0 có hai nghiệm x1  x2  2  x1  2    x2  2   0  x1  x2  4    x1  2  x2  2   0  x1 x2  2  x1  x2   4  0  2  m  1  4 m  5  3  3   3  2  m  .    2m  3m  2  2  m  1 2  m  2 2 2   2.  4  0 3 3 mx  4 Ví dụ 3: Tìm m để hàm số y  nghịch biến trên ( ;1) . xm Lời giải. m2  4 Tập xác định    \ { m} . Ta có y   . ( x  m) 2 Hàm số nghịch biến trên ( ;1) khi và chỉ khi y  0, x  (;1) .  m  ( ;1)  m1 Hay  2   2  m  1. m  4  0  2  m  2 Vậy với m  ( 2; 1 ], hàm số đã cho luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định. Ví dụ 4. Tìm a để hàm số y  x3  3x 2  ax  a nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 . Lời giải. Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác” Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 16
  18. LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133. WEB: TOANTHAYCU.COM Tập xác định của hàm số    . Ta có: y   3 x 2  6 x  a;  y  9  3a . Với 9  3a  0  a3  y0,    hàm số luôn đồng biến trên  , mâu thuẫn giả thiết. Do đó a3 không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Với 9  3a  0  a  3  y có hai nghiệm x1 , x2  x1  x2  . Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 khi và chỉ khi 4a 9 x1  x2  1   x1  x2   4 x1  x2  1  4  2  1  a  (thỏa màn). 3 4 9 Vậy với a  , hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 . 4 3. Bài tập Câu 1: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y  x 3  3  m  1 x 2  3m  m  2  x nghịch biến trên đoạn  0;1 . A. m  0. B. 1  m  0. C. 1  m  0. D. m  1. Lời giải Chọn C Đạo hàm y   3 x 2  6  m  1 x  3m  m  2   3.  x 2  2  m  1 x  m  m  2   . Ta có  '   m  1  m  m  2   1  0, m   . 2 Do đó y  0 luôn có hai nghiệm phân biệt x  m, x  m  2. Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, để hàm số nghịch biến trên  0;1    0;1   m; m  2 m  0    1  m  0. m  2  1 1 3 Câu 2: Biết rằng hàm số y  x  3  m  1 x 2  9 x  1 (với m là tham số thực) nghịch biến trên 3 Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác” Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 17
  19. LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133. WEB: TOANTHAYCU.COM khoảng  x1; x2  và đồng biến trên các khoảng giao với  x1; x2  bằng rỗng. Tìm tất cả các giá trị của m để x1  x2  6 3. ? A. m  1 B. m  3 C. m  3 , m  1. D. m  1 , m3 Lời giải Chọn D Ta có y /  x 2  6  m  1 x  9 . Yêu cầu bài toán  y '  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  6 3  /  0   /  0  2  /    /  27 x  1 2 x   6 3    3 3 /  a m  3  9  m  1  9  27   m  1  4   2 2 .  m  1 Câu 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  x3  3x 2  mx  m giảm trên đoạn có độ dài lớn nhất bằng 1? 9 9 A. m   B. m  3 C. m  3 D. m  4 4 Lời giải Chọn D Ta có y '  3x 2  6 x  m . Yêu cầu bài toán  y '  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  1   '  9  3m  0 m  3 m  3    9   '  9  3m  9m . 2 a  1 2.  1 m   4 4   3 x 1 Câu 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  nghịch biến trên khoảng xm  ; 2 ? A. m  2 B. m  1 C. m  2 D. m  1 Lời giải Chọn C m  1 Ta có y '  .  x  m 2 Với m  1  0  m  1 thì y '  0, x  m  hàm số đã cho nghịch biến trên từng khoảng  ; m  và  m;   . Ycbt   ; 2    ; m   m  2 : (thỏa mãn). m  1 Cách 2. Ta có y '  .  x  m 2 Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác” Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 18
  20. LỚP TOÁN THẦY CƯ- TP HUẾ. CHIÊU SINH THƯỜNG XUYÊN- BỔ TRỢ KIẾN THỨC KỊP THỜI. SĐT: 0834 332 133. WEB: TOANTHAYCU.COM  y '  0, x  2 m  1  0 m  1  0 m  1 Ycbt       m  2. x  m m   ; 2  m   2;   m  2 Dạng 6: BÀI TẬP DÀNH CHO HỌC SINH 8+, 9+ Câu 1. Cho hàm số f  x  có bảng xét dấu đạo hàm f   x  như sau: Hàm số y  f  x 2  2 x  nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A.  2 ;1 . B.  4;  3  . C.  0;1 . D.  2;  1 . Hướng dẫn giải Chọn D        Đặt: y  g  x   f x 2  2 x ; g  x   f x2  2 x    2 x  2  . f  x2  2 x .  x  1  2 2x  2  0  x  2 x  2  vo nghiem    g   x   0   2x  2  . f  x  2x  0   2   f  x  2 x  0 2  2  x  2x  1   x2  2 x  3  x  1   x  1  2    x  1  2 . ( x  1  2 là các nghiệm bội chẵn của phương trình: x2  2x  1 ). x  1   x  3  Ta có bảng biến thiên:   Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số y  f x2  2 x nghịch biến trên khoảng  2 ;  1 . Chú ý: Cách xét dấu g  x  : Giáo viên có nhu cầu sở hữu trọn bộ file word Bài giảng Toán 9,10,11, 12 có lời giải chi tiết vui lòng liên hệ zalo Trần Đình Cư: 0834 332 133 để được hỗ trợ tối đa . “Tránh mua các trang và các cá nhân khác” Phụ huynh và học sinh có nhu cầu tham gia các lớp toán chất lượng Thầy Cư-Xã tắc- TP Huế vui lòng Inbox face: Trần Đinh Cư hoặc liên hệ trực tiếp qua SĐT:0834 332 133 Page 19
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2