intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Toán ứng dụng trong kinh tế - Tôn Thất Tú

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:117

Thêm vào BST
Báo xấu
80
lượt xem 9
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán ứng dụng trong kinh tế" được biên soạn bởi tác giả Tôn Thất Tú có nội dung nhằm cung cấp cho các em sinh viên kiến thức Toán học được ứng dụng trong kinh tế gồm: hệ phương trình, hàm số một biến, phép tính đạo hàm, phương trình vi phân, phương trình sai phân,... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài giảng tại đây.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán ứng dụng trong kinh tế - Tôn Thất Tú

  1. lOMoARcPSD|16911414 TOÁN ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Tôn Thất Tú Đà Nẵng, 2019 Tôn Thất Tú 1/65 HỌC PHẦN: TOÁN ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ (45 tiết) Học phần gồm 8 chương: • Chương 1: Ma trận • Chương 2: Hệ phương trình • Chương 3: Hàm số một biến, dãy số, chuỗi số • Chương 4: Phép tính đạo hàm và vi phân • Chương 5: Hàm số nhiều biến • Chương 6: Phép tính tích phân • Chương 7: Phương trình vi phân • Chương 8: Phương trình sai phân Tài liệu tham khảo 1. Lê Đình Thúy (2010). Toán cao cấp cho các nhà kinh tế: Phần 1 - Đại số tuyến tính. NXB ĐH Kinh tế quốc dân. 2. Lê Đình Thúy (2010). Toán cao cấp cho các nhà kinh tế: Phần 2 - Giải tích toán học. NXB ĐH Kinh tế quốc dân. Tôn Thất Tú 2/65 Chương 1: Ma trận 1. Các khái niệm Ma trận cấp m × n là một bảng số hình chữ nhật gồm m hàng và n cột. Ma trận có m hàng và n cột được ký hiệu như sau: • Dạng tường minh:     a11 a12 ... a1n a11 a12 ... a1n  a21 a22 ... a2n   a21 a22 ... a2n      A=  hoặc A =   ... ... ... ...   ... ... ... ...   am1 am2 ... amn am1 am2 ... amn • Dạng rút gọn: A = (aij )m×n hoặc A = [aij ]m×n - Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng cấp và các phần tử ở vị trí tương ứng thì bằng nhau. Tôn Thất Tú 3/65 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com)
  2. lOMoARcPSD|16911414 Một số tên gọi - Tên ma trận: ta thường dùng chứ cái in hoa A, B, ... để đặt tên ma trận - Phần tử: phần tử ở hàng i và cột j là aij - Cấp (hoặc Cỡ) của ma trận là: m × n Ví dụ 1 Cho ma trận " # 1 2 3 A= 4 5 6 A là ma trận cấp 2 × 3 Một số phần tử là: a11 = 1, a12 = 2, a23 = 6 Tôn Thất Tú 4/65 Các ma trận đặc biệt Ma trận hàng Ma trận hàng là ma trận cấp 1 × n, tức là ma trận có 1 hàng và n cột h i A = a11 a12 ... a1n Ma trận cột Ma trận cột là ma trận cấp m × 1, tức là ma trận có m hàng và 1 cột   a11 a    A =  21   ...  am1 Tôn Thất Tú 5/65 Ma trận không Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0   0 0 ... 0 0 0 ... 0    O= ... ... ... ...  0 0 ... 0 Ma trận không cấp m × n được kí hiệu Om×n Ví dụ 2 " # 0 0 0 O2×3 = 0 0 0 Tôn Thất Tú 6/65 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com)
  3. lOMoARcPSD|16911414 Ma trận vuông Ma trận vuông là ma trận có cấp n × n, tức là ma trận có số hàng bằng số cột   a11 a12 ... a1n  a21 a22 ... a2n    A=  ... ... ... ...   an1 an2 ... ann Sau đây ta xét một số dạng đặc biệt của các ma trận vuông. Tôn Thất Tú 7/65 Một số tên gọi trên ma trận vuông - Các phần tử a11 , a22 , ..., ann lập thành đường chéo chính - Các phần tử an1 , a(n−1)2 , ..., a1n lập thành đường chéo phụ - Ma trận vuông cấp n × n còn được gọi tắt là cấp n Ma trận tam giác trên Ma trận tam giác trên là ma trận vuông có các phần tử nằm dưới đường chéo chính đều bằng 0   a11 a12 ... a1n  0 a22 ... a2n    A=  ... ... ... ...   0 0 ... ann Tôn Thất Tú 8/65 Ma trận tam giác dưới Ma trận tam giác dưới là ma trận vuông có các phần tử nằm trên đường chéo chính đều bằng 0   a11 0 ... 0 a a22 ... 0    A =  21  ... ... ... ...   an1 an2 ... ann Ma trận đường chéo Ma trận đường chéo là ma trận vuông có các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0   a11 0 ... 0  0 a22 ... 0    A=  ... ... ... ...   0 0 ... ann Tôn Thất Tú 9/65 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com)
  4. lOMoARcPSD|16911414 Ma trận đơn vị Ma trận đơn vị là ma trận vuông có các phần tử nằm trên đường chéo chính đều bằng 1 và các phần tử còn lại đều bằng 0. Kí hiệu En (hoặc In )   1 0 ... 0  0 1 ... 0    En =  ... ... ... ...  0 0 ... 1 Ví dụ 3   " # 1 0 0 1 0 E2 = E3 =  0 1 0    0 1 0 0 1 Tôn Thất Tú 10/65 2. Phép toán tuyến tính trên ma trận Phép cộng 2 ma trận Cho 2 ma trận cùng cấp: A = [aij ]m×n và B = [bij ]m×n . Khi đó, ta có A + B = [aij + bij ]m×n . - Viết tường minh     a11 a12 ... a1n b11 b12 ... b1n a a22 ... a2n   b21 b22 ... b2n      A + B =  21 +  ... ... ... ...   ... ... ... ...   am1 am2 ... amn bm1 bm2 ... bmn   a11 + b11 a12 + b12 ... a1n + b1n  a21 + b21 a22 + b22 ... a2n + b2n    = ... ... ... ...    am1 + bm1 am2 + bm2 ... amn + bmn Tôn Thất Tú 11/65 Phép nhân một số với một ma trận Cho ma trận A = [aij ]m×n , λ ∈ R. Khi đó, ta có: λA = [λaij ]m×n - Viết tường minh     a11 a12 ... a1n λa11 λa12 ... λa1n  a21 a22 ... a2n   λa21 λa22 ... λa2n      λA = λ  =  ... ... ... ...   ... ... ... ...   am1 am2 ... amn λam1 λam2 ... λamn Tôn Thất Tú 12/65 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com)
  5. lOMoARcPSD|16911414 Phép trừ 2 ma trận Cho 2 ma trận cùng cấp: A = [aij ]m×n và B = [bij ]m×n . Khi đó, ta có A − B = [aij − bij ]m×n . - Viết tường minh     a11 a12 ... a1n b11 b12 ... b1n a a22 ... a2n   b21 b22 ... b2n      A − B =  21 −  ... ... ... ...   ... ... ... ...   am1 am2 ... amn bm1 bm2 ... bmn   a11 − b11 a12 − b12 ... a1n − b1n  a21 − b21 a22 − b22 ... a2n − b2n    = ... ... ... ...    am1 − bm1 am2 − bm2 ... amn − bmn Tôn Thất Tú 13/65 Một số tính chất của các phép toán nói trên Cho A, B, C là các ma trận cùng cấp, λ, γ là 2 số bất kỳ. Ta có các tính chất sau: 1.A − B = A + (−1)B 2.A + B = B + A 3.(A + B) + C = A + (B + C) 4.A + O = O + A = A 5.A + (−A) = O 6.1.A = A 7.λ(A + B) = λA + λB 8.(λ + γ)A = λA + γA 9.(λγ)A = λ(γA) Tôn Thất Tú 14/65 Ví dụ 4 Cho hai ma trận: "# " # 1 2 3 −1 A= B= −3 0 1 2 a) Tính A + 2B, 3A − B. b) Tìm ma trận X thỏa: 2X + A = B. Giải. a) Ta có: " # " # " # 1 2 6 −2 7 0 A + 2B = + = −3 0 2 4 −1 4 " # " # " # 3 6 3 −1 0 7 3A − B = − = −9 0 1 2 −10 −2 Tôn Thất Tú 15/65 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com)
  6. lOMoARcPSD|16911414 b) Thực hiện biến đổi: " # " "# " # # 1 1  3 −1 1 2  1 2 −3 1 −3/2 X = (B − A) = − = = 2 2 1 2 −3 0 2 4 2 2 1 3. Các phép biến đổi ma trận a. Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Các phép biến đổi sau đây thực hiện trên ma trận được gọi là phép biến đổi sơ cấp: • Đổi vị trí 2 hàng hoặc 2 cột cho nhau: hi ↔ hj • Nhân một số λ 6= 0 bất kỳ vào một hàng hoặc một cột nào đó: hi → λhi • Cộng vào một hàng (cột) với tích của một số λ 6= 0 với một hàng nào đó (một cột nào đó): hi → hi + λhj Tôn Thất Tú 16/65 Ví dụ 5   1 4 7 A = −2 0 1   0 4 −3   −2 0 1 h1 ↔h2  A −− −−→  1 4 7  0 4 −3   2 8 14 h1 →2h1  A −−−−−→ −2 0 1  0 4 −3   1 4 7 h2 →h2 +2h1  A −− −−−−−→ 0 8 15   0 4 −3 Tôn Thất Tú 17/65 b. Phép chuyển vị ma trận Cho ma trận A cấp m × n. Phép chuyển các hàng của ma trận A thành các cột tương ứng để thành một ma trận mới gọi là phép chuyển vị ma trận A. Ma trận mới được gọi là ma trận chuyển vị của A, ký hiệu là AT Như vậy: Nếu A có cấp m × n thì AT có cấp n × m.     a11 a12 ... a1n a11 a21 ... am1 a a22 ... a2n   12 a22 a ... am2      A =  21  thì AT =    ... ... ... ...   ... ... ... ...   am1 am2 ... amn a1n a2n ... amn Tôn Thất Tú 18/65 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com)
  7. lOMoARcPSD|16911414 Ví dụ 6     1 5 9 1 2 3 4 2 6 0   A = 5 6 7 8 thì AT =    3 7 0  9 0 0 0 4 8 0 Một số tính chất Cho A, B là các ma trận cùng cấp. Ta có • (A + B)T = AT + B T • (A − B)T = AT − B T • (λA)T = λAT • (AT )T = A Tôn Thất Tú 19/65 Ví dụ 7 Cho hai ma trận: " # " # 3 1 2 1 A= B= −3 5 1 −2 a. Tính A + 2B T , 3AT − 2B b. Tìm ma trận X thỏa điều kiện: 3(X − A) = 2(X + B T ) c. Tìm ma trận X thỏa điều kiện: (X − A)T = 2X T + B Giải. a) Ta có: "# " # " # " # " # 3 1 2 1 3 1 4 2 7 3 A + 2B T = +2 = + = −3 5 1 −2 −3 5 2 −4 −1 1 " # " # " # " # " # T 3 −3 2 1 9 −9 4 2 5 −11 3A − 2B = 3 −2 = − = 1 5 1 −2 3 15 2 −4 1 19 Tôn Thất Tú 20/65 b) Thực hiện khai triển và biến đổi: " # " # " # 9 3 4 2 13 5 X = 3A + 2B T = + = −9 15 2 −4 −7 11 c) Ta có: (X − A)T = 2X T + B ⇔ X T − AT = 2X T + B ⇔ X T = −AT − B Lấy chuyển vị 2 vế: # " # " # " T T 3 1 T2 1 −5 −2 X = (−A − B) = −A − B = − − = −3 5 1 −2 2 −3 Tôn Thất Tú 21/65 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com)
  8. lOMoARcPSD|16911414 4. Định thức a. Định nghĩa - Cho α = (α1 , ..., αn ) là 1 hoán vị của (1, 2, ..., n). Nếu αi > αj với i < j thì ta bảo αi và αj tạo thành 1 nghịch thế. - Định thức của ma trận A = [aij ]n×n , kí hiệu det(A) hoặc |A| được định nghĩa: X det(A) = (−1)h(α) a1α1 a2α2 ...anαn , α∈S trong đó: S: tập tất cả các hoán vị của (1, 2, ..., n) α = (α1 , ..., αn ) - hoán vị h(α) - số nghịch thế của hoán vị α Tôn Thất Tú 22/65 Cách tính định thức cấp 1 và cấp 2 • Cho ma trận vuông cấp 1: A = [a11 ]1×1 . Lúc đó: det(A) = a11 " # a11 a12 • Cho ma trận vuông cấp 2: A = . Lúc đó: a21 a22
  11. a11 a12
  14. det(A) =
  16. = a11 a22 − a21 a12
  17. a21 a22
  18. Tôn Thất Tú 23/65 Cách tính định thức cấp 3
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2