zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 3 - Lê Xuân Lý

Chia sẻ: Tabicani09 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Báo xấu

42
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 3 Biến ngẫu nhiên nhiều chiều cung cấp cho người học những kiến thức như: Các khái niệm cơ sở; Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc; Kỳ vọng và phương sai của các thành phần; Hiệp phương sai và hệ số tương quan; Hàm của một biến ngẫu nhiên;...Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 3 - Lê Xuân Lý

[SAMI-HUST]Viện Toán ứng dụng và Tin học, ĐHBK Hà Nội Chương 3: Biến ngẫu nhiên nhiều chiều (1) Lê Xuân Lý Hà Nội, tháng 3 năm 2018 (1) Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, 1/35tháng 3 năm 2018 1 / 35 Email: lexuanly@gmail.com Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều Các khái niệm cơ sở Các khái niệm cơ sở Ở chương trước chúng ta quan tâm đến xác suất của biến ngẫu nhiên riêng rẽ. Nhưng trong thực tế nhiều khi ta phải xét đồng thời nhiều biến khác nhau có quan hệ tương hỗ (ví dụ khi nghiên cứu về sinh viên một trường đại học thì cần quan tâm đến chiều cao, cân nặng, tuổi, . . . ). Do đó dẫn đến khái niệm biến ngẫu nhiên nhiều chiều hay véctơ ngẫu nhiên. Để cho đơn giản, ta nghiên cứu biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ), trong đó X, Y là các biến ngẫu nhiên một chiều. Hầu hết các kết quả thu được đều có thể mở rộng khá dễ dàng cho trường hợp biến ngẫu nhiên n chiều. Biến ngẫu nhiên hai chiều được gọi là rời rạc (liên tục) nếu các thành phần của nó là các biến ngẫu nhiên rời rạc (liên tục). Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, 3/35tháng 3 năm 2018 3 / 35
Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều Các khái niệm cơ sở Các khái niệm cơ sở Định nghĩa 3.1 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ) được xác định như sau F (x, y) = P (X < x, Y < y), x, y ∈ R. (3.1) Nhiều tài liệu gọi hàm trên là hàm phân phối xác suất đồng thời của hai biến X và Y . Tính chất 0 ≤ F (x, y) ≤ 1, ∀x, y ∈ R; F (x, y) là hàm không giảm theo từng đối số; F (−∞, y) = F (x, −∞) = 0, ∀x, y ∈ R và F (+∞, +∞) = 1; Với x1 < x2 , y1 < y2 ta luôn có P (x1 ≤ X ≤ x2 , y1 ≤ y ≤ y2 ) = F (x2 , y2 ) + F (x1 , y1 ) − F (x1 , y2 ) − F (x2 , y1 ) . Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, 4/35tháng 3 năm 2018 4 / 35 Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều Các khái niệm cơ sở Các khái niệm cơ sở Tính chất (tiếp) Các hàm F (x, +∞) = P (X < x, Y < +∞) = P (X < x) =: FX (x) F (+∞, y) = P (X < +∞, Y < y) = P (Y < y) =: FY (x) là các hàm phân phối riêng của các biến ngẫu nhiên X và Y và còn được gọi là các phân phối biên của biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ). Định nghĩa 3.2 Hai biến ngẫu nhiên X, Y được gọi là độc lập nếu F (x, y) = FX (x).FY (y), ∀x, y ∈ R. Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, 5/35tháng 3 năm 2018 5 / 35
Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc PPXS của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc Định nghĩa 3.3 Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ) rời rạc được xác định như sau HH Y P y1 ... yj ... yn X HH H j x1 p11 ... p1j ... p1n P (X = x1 ) x2 p21 ... p2j ... p2n P (X = x2 ) .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . xi pi1 ... pij ... pin P (X = xi ) .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . xm pm1 ... pmj ... pmn P (X = xm ) P P (Y = y1 ) ... P (Y = yj ) ... P (Y = yn ) 1 i Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, 6/35tháng 3 năm 2018 6 / 35 Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc PPXS của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc Trong đó pij = P (X = xi , Y = yj ) ∀i = 1, m, j = 1, n. Kích thước bảng này có thể chạy ra vô hạn khi m, n chạy ra vô hạn. Tính chất pij ≥ 0 ∀i, j; P pij = 1; i,j P Hàm phân phối xác suất được xác định theo công thức F (x, y) = pij ; i,j: xi
Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc PPXS của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc Ví dụ 1 Cho bảng phân phối xác suất đồng thời của (X, Y ) như sau: HH Y 1 2 3 X HH H 1 0.10 0.25 0.10 2 0.15 0.05 0.35 Tìm bảng phân phối xác suất của X và Y , sau đó tính F (2; 3). Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, 8/35tháng 3 năm 2018 8 / 35 Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc PPXS của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc Giải Lấy tổng của hàng, cột tương ứng ta thu được X 1 2 Y 1 2 3 P (X = x) 0.45 0.55 P (Y = x) 0.25 0.30 0.45 Ta có X X F (2, 3) = pij = p11 + p12 = 0.35. xi
Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc PPXS của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc Ví dụ 2 Ta lấy ngẫu nhiên 3 pin từ một nhóm gồm 3 pin mới, 4 pin đã qua sử dụng nhưng vẫn dùng được và 5 pin hỏng. Nếu ký hiệu X, Y tương ứng là số pin mới và số pin đã qua sử dụng nhưng vẫn dùng được trong 3 pin lấy ra. Lập bảng phân phối xác suất đồng thời cho (X, Y ). Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, 10/35 tháng 3 năm 2018 10 / 35 Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc PPXS của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc Bài làm P (X = 0, Y = 0) = C53 /C123 = 10/220 1 2 3 P (X = 0, Y = 1) = C4 .C5 /C12 = 40/220 2 1 3 P (X = 0, Y = 2) = C4 .C5 /C12 = 30/220 P (X = 0, Y = 3) = C43 /C123 = 4/220 1 2 3 P (X = 1, Y = 0) = C3 .C5 /C12 = 30/220 1 1 1 3 P (X = 1, Y = 1) = C3 .C4 .C5 /C12 = 60/220 P (X = 1, Y = 2) = C31 .C42 /C12 3 = 18/220 P (X = 2, Y = 0) = C32 .C51 /C12 3 = 15/220 P (X = 2, Y = 1) = C3 .C4 /C12 = 12/220 , P (X = 3, Y = 0) = C33 /C12 2 1 3 3 = 1/220 HH Y H 0 1 2 3 P (X = i) X H H 0 10/220 40/220 30/220 4/220 84/220 1 30/220 60/220 18/220 0 108/220 2 15/220 12/220 0 0 27/220 3 1/220 0 0 0 1/220 P (Y = j) 56/220 112/220 48/220 4/220 Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, 11/35 tháng 3 năm 2018 11 / 35
Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc PPXS của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc Ví dụ 3 15% các gia đình trong một cộng đồng nào đó không có con, 20% có 1, 35% có 2, và 30% có 3 con. Giả sử rằng các con được sinh ra là độc lập với nhau và khả năng là trai hay gái đều là 0,5. Một gia đình được lựa chọn ngẫu nhiên từ cộng đồng này, sau đó gọi B là số con trai và G là số con gái. Lập bảng phân phối xác suất đồng thời cho (B, G) Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, 12/35 tháng 3 năm 2018 12 / 35 Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc PPXS của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc Bài làm HH G H 0 1 2 3 P (B = i) B HH 0 0,15 0,10 0,0875 0,0375 0,3750 1 0,10 0,175 0,1125 0 0,3875 2 0,0875 0,1125 0 0 0,2000 3 0,0375 0 0 0 0,0375 P (G = j) 0,3750 0,3875 0,2000 0,0375 P (B = 2, G = 1) = P (có 3 con và có đúng 1 gái) = P (có 3 con).P (có đúng 1 gái|có 3 con) = 0, 3.C31 .0, 5.0, 52 = 0, 1125 Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, 13/35 tháng 3 năm 2018 13 / 35
Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc Chú ý 3.1 Hai biến ngẫu nhiên X, Y được gọi là độc lập với nhau nếu ta có P (X = xi , Y = yj ) = P (X = xi ).P (Y = yj ), ∀i = 1, m, j = 1, n Các xác suất có điều kiện vẫn được tính như thông thường, tức là P (X = xi , Y = yj ) P (X = xi |Y = yj ) = hoặc P (Y = yj ) P (X = xi , Y ∈ D) P (X = xi |Y ∈ D) = P (Y ∈ D) Công thức cũng tương tự với P (Y = yj |X = xi ) , P (Y = yj |X ∈ D). Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, 14/35 tháng 3 năm 2018 14 / 35 Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục Định nghĩa 3.4 Hàm hai biến không âm, liên tục f (x, y) được gọi là hàm mật độ xác suất đồng thời của biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục (X < Y ) nếu nó thỏa mãn ZZ P ((X, Y ) ∈ D) = f (x, y)dxdy ∀D ⊂ R2 . (3.2) D Tính chất Zx Zy F (x, y) = f (u, v)dudv; −∞ −∞ +∞ Z Z +∞ f (x, y)dxdy. −∞ −∞ Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, 15/35 tháng 3 năm 2018 15 / 35
Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục Tính chất (tiếp) ∂ 2 F (x, y) f (x, y) = ; ∂x∂y Các hàm mật độ biên +∞ Z theo x : fX (x) = f (x, y)dy; −∞ +∞ Z theo y : fY (y) = f (x, y)dx. −∞ Hai biến ngẫu nhiên X và Y được gọi là độc lập nếu f (x, y) = fX (x).fY (y) ∀x, y. Hàm mật độ có điều kiện của X khi đã biết Y = y: f (x, y) ϕ (x|y) = . fY (y) Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, 16/35 tháng 3 năm 2018 16 / 35 Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên nhiều chiều Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục PPXS của biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục Ví dụ 4 Hàm mật độ đồng thời của X, Y được cho bởi: ( 2.e−x .e−2y 0 < x < ∞, 0 < y < ∞ f (x, y) = 0 trường hợp khác Tính P (X > 1, Y < 1) , P (X < Y ) , P (X < a) Bài làm Z 1 Z ∞ P (X > 1, Y < 1) = 2.e−x .e−2y dxdy = e−1 (1 − e−2 ) Z ∞ Z y0 1 P (X < Y ) = 2.e−x .e−2y dxdy = 1/3 Z 0a Z ∞ 0 P (X < a) = 2.e−x .e−2y dydx = 1 − e−a 0 0 Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, 17/35 tháng 3 năm 2018 17 / 35
Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên hai chiều Kỳ vọng và phương sai của các thành phần Kỳ vọng và phương sai của các thành phần Trường hợp (X, Y ) rời rạc X XX X XX EX = P (X = xi ) = xi pij ; EY = yj P (Y = yj ) = yj pij i i j j i j XX XX VX = x2i pij − (EX)2 ; VY = yj2 pij − (EY )2 . i j i j Trường hợp (X, Y ) liên tục +∞ Z Z +∞ +∞ Z Z +∞ EX = x.f (x, y)dxdy; EY = y.f (x, y)dxdy −∞ −∞ −∞ −∞ +∞ Z Z +∞ +∞ Z Z +∞ VX = x2 .f (x, y)dxdy − (EX)2 ; VY = y 2 .f (x, y)dxdy − (EY )2 . −∞ −∞ −∞ −∞ Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, 19/35 tháng 3 năm 2018 19 / 35 Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên hai chiều Kỳ vọng và phương sai của các thành phần Kỳ vọng và phương sai của các thành phần Chú ý 4.1 Đối với biến ngẫu nhiên Z = g(X, Y ) ta có +∞ Z Z +∞ EZ = E [g(X, Y )] = g(x, y).f (x, y)dxdy −∞ −∞ Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, 20/35 tháng 3 năm 2018 20 / 35
Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên hai chiều Hiệp phương sai và hệ số tương quan Hiệp phương sai và hệ số tương quan Định nghĩa 4.1 Cho biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ), hiệp phương sai của hai thành phần X và Y , kí hiệu là cov(X, Y ) , được xác định bởi cov(X, Y ) = E [(X − EX)(Y − EY )] = E(XY ) − EX.EY, (4.3) trong đó E(XY ) được xác định theo công thức P P   xi yj pij , đối với biến ngẫu nhiên rời rạc i j  +∞ +∞ E(XY ) = Z Z    xy.f (x, y), đối với biến ngẫu nhiên liên tục  −∞ −∞ Ý nghĩa: Hiệp phương sai là một chỉ báo quan hệ của X, Y : cov(X, Y ) > 0 cho thấy xu thế Y tăng khi X tăng cov(X, Y ) < 0 cho thấy xu thế Y giảm khi X tăng Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, 21/35 tháng 3 năm 2018 21 / 35 Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên hai chiều Hiệp phương sai và hệ số tương quan Hiệp phương sai và hệ số tương quan Định nghĩa 4.2 Ta nói rằng X và Y không tương quan nếu cov(X, Y ) = 0. Nhận xét cov(X, Y ) = cov(Y, X); V X = cov(X, X), V Y = cov(Y, Y ); Nếu X, Y độc lập, ta có E(XY ) = EX.EY tức là X và Y không tương quan. Điều ngược lại chưa chắc đã đúng. cov(aX, Y ) = a.cov(X, Y ) cov(X + Z, Y ) = cov(X, Y ) + cov(Z, Y ) Pn Pn cov( i=1 Xi , Y = i=1 cov(Xi , Y ) X1 , X2 , ..., Xn độc lập: V ar( n P Pn i=1 X i ) = i=1 V ar(Xi ) Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, 22/35 tháng 3 năm 2018 22 / 35
Các tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên hai chiều Hiệp phương sai và hệ số tương quan Hiệp phương sai và hệ số tương quan Định nghĩa 4.3 Ma trận hiệp phương sai của biến ngẫu nhiên hai chiều (X, Y ) được xác định bởi cov(X, X) cov(X, Y ) VX cov(X, Y ) Γ= = cov(Y, X) cov(Y, Y ) cov(X, Y ) VY Định nghĩa 4.4 Hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên X và Y , ký hiệu là ρXY và được xác định theo công thức cov(X, Y ) ρXY = √ (4.4) V X.V Y Chú ý 4.2 |ρXY | ≤ 1. Nếu ρXY = ±1 ta nói hai biến ngẫu nhiên X và Y có quan hệ tuyến tính. Nếu ρXY = 0 ta nói hai biến ngẫu nhiên X và Y là không tương quan. Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, 23/35 tháng 3 năm 2018 23 / 35 Hàm của biến ngẫu nhiên Hàm của một biến ngẫu nhiên Hàm của một biến ngẫu nhiên Nếu ta xác định là một hàm của biến ngẫu nhiên X thì Z trở thành một biến ngẫu nhiên mới. Ta sẽ tìm hàm phân phối xác suất cho Z trong một số trường hợp đơn giản. Định nghĩa 5.1 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác suất. Khi đó hàm phân phối xác suất của Z được xác định theo cách sau: FZ (z) = P (Z < z) = P (g(X) < z) = P (X ∈ D), (5.5) trong đó D = {x|g(x) < z}. Tuy nhiên tùy vào từng bài có thể có các cách giải ngắn hơn. Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, 25/35 tháng 3 năm 2018 25 / 35
Hàm của biến ngẫu nhiên Hàm của một biến ngẫu nhiên Hàm của một biến ngẫu nhiên Ví dụ 5 Cho biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất X −1 0 1 2 3 P (X = x) 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 Xác định luật phân phối xác suất của Z = X 2 và tìm kỳ vọng của Z. Giải Ta có X ∈ {−1, 0, 1, 2, 3}, suy ra Z ∈ {0, 1, 4, 9} với các xác suất tương ứng: P (Z = 0) = P (X = 0) = 0.2; P (Z = 1) = P (X = 1) + P (X = −1) = 0.4; P (X = 4) = P (X = 2) = 0.2; P (Z = 9) = P (X = 3) = 0.2. Z 0 1 4 9 P (Z = z) 0.2 0.4 0.2 0.2 P Kỳ vọng EZ = zi pi = 3. i Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, 26/35 tháng 3 năm 2018 26 / 35 Hàm của biến ngẫu nhiên Hàm của một biến ngẫu nhiên Hàm của một biến ngẫu nhiên Ví dụ 6 Thanh AB dài 10cm bỗng nhiên bị gãy ở một điểm C bất kỳ. Hai đoạn AC và BC được dùng làm hai cạnh của một hình chữ nhật. Tìm hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên chỉ diện tích hình chữ nhật đó. Giải Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ độ dài đoạn AC, ta có X ∼ U (0; 10). Gọi Y là biến ngẫu nhiên chỉ diện tích hình chữ nhật, ta có Y = X(10 − X). Do X ∈ (0; 10) ( ⇒ Y = X(10 − X) ∈ (0; 25). Vậy ta có hàm phân phối xác suất của Y là 0, y ≤ 0 FY (y) = . 1, y > 25 Với 0 < y ≤ 25 ta có FY (y) = P (Y < y) = P (X(10 − X) < y) = P X 2 − 10X + y > 0 p p = P X < 5 − 25 − y + P X > 5 + 25 − y √ p p 5 − 25 − y = P 0 < X < 5 − 25 − y + P 10 > X > 5 + 25 − y = . 5 Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, 27/35 tháng 3 năm 2018 27 / 35
Hàm của biến ngẫu nhiên Hàm của hai biến ngẫu nhiên Hàm của hai biến ngẫu nhiên Xét biến ngẫu nhiên Z = g(X, Y ), trong đó (X, Y ) là biến ngẫu nhiên hai chiều đã biết luật phân phối. Ta sẽ xét luật phân phối xác suất của Z trong một số trường hợp đơn giản theo cách sau: FZ (z) = P (Z < z) = P (g(X, Y ) < z) = P ((X, Y ) ∈ D) , trong đó D {(x, y)|g(x, y) < z}. Đối với biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục (X, Y ) với hàm mật độ đồng thời f (x, y) ta có ZZ P ((X, Y ) ∈ D) = f (x, y)dxdx, D đồng thời kỳ vọng +∞ Z Z +∞ EZ = E (g(X, Y )) = g(x, y).f (x, y)dxdy. −∞ −∞ Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, 28/35 tháng 3 năm 2018 28 / 35 Hàm của biến ngẫu nhiên Hàm của hai biến ngẫu nhiên Hàm của hai biến ngẫu nhiên Ví dụ 7 Hai người bạn hẹn gặp nhau ở công viên trong khoảng thời gian từ 17h đến 18h. Họ hẹn nhau nếu người nào đến trước thì sẽ đợi người kia trong vòng 10 phút. Sau 10 phút đợi nếu không gặp sẽ về. Thời điểm đến của hai người là ngẫu nhiên và độc lập với nhau trong khoảng thời gian trên. Tính xác suất hai người gặp được nhau. Giải Quy gốc thời gian về lúc 17h. Gọi X, Y là biến ngẫu nhiên chỉ thời điểm người A, B X, Y ∼ U (0; 60). Do X, Y độc lập nên chúng có hàm mật độ đồng thời đến, ta có   1 , (x, y) ∈ [0; 60]2 f (x, y) = 3600 . Gọi Z là biến ngẫu nhiên chỉ khoảng thời gian giữa  0, ngược lại thời điểm hai người đến. Ta có Z = |X − Y |. Khi đó, xác suất hai người gặp nhau là P (Z < 10) = P (|X − Y | < 10) = P ((X, Y ) ∈ D) , trong đó D là giao miền |X − Y | < 10 và hình vuông [0; 60]2 . Vậy SD 1100 11 P (Z < 10) = = = . Lê Xuân Lý 3600 Biến ngẫu nhiên nhiều chiều 3600 36 Hà Nội, 29/35 tháng 3 năm 2018 29 / 35
Luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm Luật số lớn Luật số lớn Bất đẳng thức Trebyshev Định lý 1: Cho Y là biến ngẫu nhiên không âm. Khi đó với > 0 tuỳ ý cho trước ta có: E(Y 2 ) P (Y ≥ ) < 2 Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp Y là biến ngẫu nhiên liên tục. +∞ Z +∞ Z +∞ Z 1 1 P (Y ≥ ) = f (y)dy = 2 2 .f (y)dy ≤ 2 y 2 .f (y)dy +∞ E(Y 2 ) Z 1 ≤ 2 y 2 .f (y)dy = 2 0 Tuy nhiên dấu bằng không thể đồng thời xảy ra ở cả 2 dấu ≤ nên ta có ĐPCM. Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, 31/35 tháng 3 năm 2018 31 / 35 Luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm Luật số lớn Luật số lớn Bất đẳng thức Trebyshev Định lý 2: Cho X là biến ngẫu nhiên có EX = µ, V X = σ 2 hữu hạn. Khi đó với > 0 tuỳ ý cho trước ta có: σ2 P (|X − µ| ≥ ) < 2 hay tương đương σ2 P (|X − µ| ≤ ) ≥ 1 − 2 Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp X là biến ngẫu nhiên liên tục. Ta chỉ cần đặt Y = |X − µ|, lập tức áp dụng định lý 1 ta có ĐPCM. Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, 32/35 tháng 3 năm 2018 32 / 35
Luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm Luật số lớn Luật số lớn n 1 P Áp dụng định lý 2 với X = n Xi ta có luật số lớn Trebyshev i=1 Luật số lớn Trebyshev Nếu dãy các biến ngẫu nhiên X1 , X2 , ...Xn , ... độc lập, có kỳ vọng hữu hạn và phương sai bị chặn (V Xi ≤ C với C là hằng số), khi đó với > 0 tuỳ ý cho trước ta có: n n 1X 1X lim P (| Xi − EXi | < ) = 1 n→+∞ n i=1 n i=1 Hệ quả Nếu dãy các biến ngẫu nhiên X1 , X2 , ...Xn , ... độc lập, có cùng kỳ vọng (EXi = µ) và phương sai bị chặn (V Xi ≤ C với C là hằng số), khi đó với > 0 tuỳ ý cho trước ta có: n 1X lim P (| Xi − µ| < ) = 1 n→+∞ n i=1 Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, 33/35 tháng 3 năm 2018 33 / 35 Luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm Luật số lớn Luật số lớn Bernoulli Áp dụng luật số lớn Trebyshev với trường hợp Xi ∼ B(1, p) chính là số lần xảy ra A trong phép thử thứ i ta có luật số lớn Bernoulli. Luật số lớn Bernoulli Xét n phép thử độc lập, cùng điều kiện. Trong mỗi phép thử, xác suất xảy ra A luôn là p. m là số lần xảy ra A trong n phép thử. khi đó với > 0 tuỳ ý cho trước ta có: m lim P (| − p| < ) = 1 n→+∞ n Với luật số lớn Bernoulli ta đã chứng minh được điều thừa nhận trong phần ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT THEO THỐNG KÊ, đó là với n → +∞ thì m n →p Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, 34/35 tháng 3 năm 2018 34 / 35
Luật số lớn và định lý giới hạn trung tâm Định lý giới hạn trung tâm Định lý giới hạn trung tâm Định lý giới hạn trung tâm Giả sử {Xn } là dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối với EXi = µ, V Xi = σ 2 . Pn Đặt Xn = Xi . Khi đó với n đủ lớn ta có: i=1 σ2 Xn ∼ N (µ, ) n hay là Xn − µ √ n ∼ N (0; 1) σ Lê Xuân Lý Biến ngẫu nhiên nhiều chiều Hà Nội, 35/35 tháng 3 năm 2018 35 / 35

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.