intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 4 - ThS. Phạm Trí Cao (2019)

Chia sẻ: Minh Hoa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

Thêm vào BST
Báo xấu
39
lượt xem 4
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Xác suất thống kê - Chương 4: Đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều" cung cấp cho người học các kiến thức: Đại lượng ngẫu nhiên 2 chiều, phân phối lề, phân phối biên duyên, độc lập về xác suất của X,Y,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 4 - ThS. Phạm Trí Cao (2019)

  1. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 4 11-02-2019 Moät boä 2 ñaïi löôïng ngaãu nhieân X, Y ñöôïc xeùt ñoàng thôøi goïi laø ÑLNN 2 chieàu, kyù hieäu V= (X,Y). Thöôøng ta quan taâm X vaø Y coù aûnh höôûng laãn nhau hay khoâng. CHÖÔNG IV: Neáu X, Y rôøi raïc thì V laø ÑLNN 2 chieàu rôøi raïc. Neáu X, Y lieân tuïc thì V laø ÑLNN 2 chieàu lieân tuïc. ÑAÏI LÖÔÏNG NGAÃU NHIEÂN 2 CHIEÀU VD: Xeùt ñoàng thôøi chieàu cao (X) vaø troïng löôïng (Y) cuûa 1 ngöôøi. Xeùt ñoàng thôøi soá buoåi ñi hoïc moân XSTK (X) vaø ñieåm thi moân XSTK (Y). Xeùt ñoàng thôøi ñoä tuoåi (X) vaø nhan saéc (Y) cuûa 1 ngöôøi phuï nöõ thì (X,Y) khoâng laø ÑLNN 2 chieàu. 1 2 I. ÑAÏI LÖÔÏNG NGAÃU NHIEÂN 2 CHIEÀU (rôøi raïc) Tính chaát: 0≤ pij ≤1 , i,j Baûng phaân phoái xaùc suaát ñoàng thôøi cuûa (X,Y) coù daïng:   p ij  1 Y y1 yj yn i j X Löu yù: x1 p11 p1j p1n Ta khoâng xeùt ÑLNN 2 chieàu lieân tuïc. xi pi1 pij pin xm pm1 pmj pmn Trong ñoù: X nhaän caùc giaù trò x1, x2 ,…, xm Y nhaän caùc giaù trò y1, y2 ,…, yn Xaùc suaát X nhaän giaù trò xi vaø Y nhaän giaù trò yj cuøng luùc laø: 3 pij = P(X=xi ,Y = yj ) 4 1
  2. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 4 11-02-2019 II. PHAÂN PHOÁI LEÀ (PHAÂN PHOÁI BIEÂN DUYEÂN) Ví duï 1: Cho ÑLNN 2 chieàu V=(X,Y) coù baûng phaân phoái xaùc 1) Phaân phoái leà cuûa X suaát ñoàng thôøi Ví duï 1: Y 1 2 3 4 X 2 4 6 X P 3/8 4/8 1/8 P (X =2) = P[(X=2).(Y=1)+(Y=2)+(Y=3)+(Y=4)] 2 1/8 2/8 0 0 = P(X=2,Y=1)+P(X=2,Y=2)+P(X=2,Y=3)+P(X=2,Y=4) 4 1/8 0 1/8 2/8  1  2 0 0  3 8 8 8 6 0 0 1/8 0 P(X=4)= P(X=4,Y=1)+P(X=4,Y=2)+P(X=4,Y=3)+P(X=4,Y=4) = 1 0 1  2  4 8 8 8 8 5 6 Töông töï cho P(X=6) Nhaän xeùt: Ñeå xaùc ñònh baûng phaân phoái leà X 2 4 6 ñôn giaûn, ta laäp baûng sau: P 3/8 4/8 1/8 Y 1 2 3 4  X Kyø voïng: E(X) =  xi P( X  xi ) = 2 3  4 4  6 1  7 i 8 8 8 2 2 1/8 2/8 0 0 3/8 Phöông sai: var(X) = (xi  EX)2.P(X=xi) 4 1/8 0 1/8 2/8 4/8 i 6 0 0 1/8 0 1/8 = (2  7)2.3  (4  7)2. 4  (6  7)2.1  7 2 8 2 8 2 8 4  2/8 2/8 2/8 2/8 1 Hoaëc var(X) = E(X2)-{E(X)}2 7 8 2
  3. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 4 11-02-2019 2) Phaân phoái leà cuûa Y: Ví duï 1: III. ÑOÄC LAÄP VEÀ XAÙC SUAÁT CUÛA X,Y. Y 1 2 3 4 X,Y ñoäc laäp  P(X=xi,Y=yj) = P(X=xi).P(Y=yj) i,j P 2/8 2/8 2/8 2/8 P(Y=1) = P(X=2)+(X=4)+(X=6).(Y=1)] Ví duï 1: = P(X=2,Y=1)+P(X=4,Y=1)+P(X=6,Y=1)= 1  1  0  2 8 8 8 P(X=2,Y=1) = 1  3. 2 = P(X = 2).P(Y = 1) 8 88 Töông töï cho P(Y=2) , P(Y=4) , P(Y=6) Kyø voïng: E(Y) =  y P(Y  y ) = 1 2  2  2  3  2  4  2  5 Vaäy X,Y khoâng ñoäc laäp j j j 8 8 8 8 2 Phöông sai: var(Y) =  (yj -EY)2 .P(Y=yj) j = (1  5 ) 2. 2  (2  5 ) 2. 2  (3  5 ) 2. 2  (4  5 ) 2. 2  5 9 2 8 2 8 2 8 2 8 4 10 ÑOÄC LAÄP VEÀ XAÙC SUAÁT CUÛA X VAØ Y Baøi toaùn ngöôïc: VD2: Baûng phaân phoái xaùc suaát ñoàng thôøi Bieát baûng pp xs cuûa X vaø Y, laäp baûng pp xs ñoàng thôøi (X,Y). X Y 0 1 2 0 1/18 3/18 2/18 6/18 VD3: 1 2/18 6/18 4/18 12/18 3/18 9/18 6/18 1 X vaø Y ñoäc laäp, coù baûng pp xs: Baûng phaân phoái leà X 0 1 Y 0 1 2 X -1 2 Y 0 1 2 P 1/3 2/3 P 1/6 3/6 2/6 P 1/3 2/3 P 1/5 2/5 2/5 Ta coù: P(X=0,Y=1) = 3/18 = (1/3).(3/6) = P(X=0).P(Y=1) Töông töï: P(X=xi,Y=yj) = P(X=xi).P(Y=yj) , i,j Laäp baûng pp xs ñoàng thôøi cuûa (X,Y) ? 11 Vaäy X vaø Y ñoäc laäp veà xaùc suaát. 12 3
  4. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 4 11-02-2019 Giaûi: IV. LAÄP BAÛNG PP XS CHO X.Y, TÍNH E(X.Y) X, Y ñoäc laäp  P(X=xi,Y=yj) = P(X=xi).P(Y=yj) , i,j Ví duï 1: XY 2 4 6 8 12 16 18 24 P(X=-1,Y=0) = P(X=-1).P(Y=0) = (1/3)(1/5) = 1/15 P 1/8 3/8 0 0 1/8 2/8 1/8 0 P(X=2,Y=1) = P(X=2).P(Y=1) = (2/3)(2/5) = 4/15 Töông töï cho caùc xaùc suaát coøn laïi. P(XY=2) = P(X=2, Y=1) = 1/8 X Y 0 1 2 P(XY=4) = P(X=2,Y=2) + P(X=4,Y=1) = 2/8+1/8 = 3/8 -1 1/15 2/15 2/15 P(XY=6) = P(X=6,Y=1)+P(X=2,Y=3) = 0+0 = 0 2 2/15 4/15 4/15 E(XY) = 2.(1/8)+4(3/8)+12.(1/8)+16.(2/8)+18.(1/8) = 19/2 13 14 Löu yù: Tính tröïc tieáp E(XY): 1 2 Ñeå xaùc ñònh caùc giaù trò cuûa X.Y vaø tính xaùc E(XY) = xi y j pij 2(1 2 3 04 0) i j 8 8 suaát cho deã, ta laäp baûng phuï: 1 1 2 1 + 4(1 2.03 4 ) 6(1 02 03 4 0) = 19/2 Y 1 2 3 4 8 8 8 8 X Baøi taäp: 1) Laäp baûng ppxs cho X+Y? 2 2 4 6 8 2) Tính E(X+Y), var(X+Y)? 4 4 8 12 16 3) Coù söû duïng ñöôïc coâng thöùc sau: E(X+Y) = E(X)+E(Y) ? 6 6 12 18 24 15 16 Var(X+Y) = var(X)+var(Y) ? 4
  5. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 4 11-02-2019 V. PHAÂN PHOÁI COÙ ÑIEÀU KIEÄN 1 Giaû söû bieán coá F ñaõ xaûy ra vaø P(F) > 0 P(X=2/Y=1) = P( X  2,Y 1)  8  1 = P1F P(Y 1) 2 2 Phaân phoái cuûa X theo ñieàu kieän F laø: 8 P(X  x ,F ) 1 P(X=xi /F) = P(F ) i =P iF P(X=4/Y=1) = P( X  4,Y 1)  8  1 = P2F P(Y 1) 2 2 Ví duï 1: 8 Xeùt F = (Y=1) P(X=6/Y=1) = P( X  6,Y 1)  0  0 = P3F P(Y 1) 2 Phaân phoái coù ñieàu kieän cuûa X theo F laø: 8 Tính chaát: XF 2 4 6 0
  6. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 4 11-02-2019 Ví duï 1: F = (Y=1) YÙ nghóa cuûa E(X/F): laø trung bình coù ñieàu kieän E(X/F) = 2.p1F +4.p2F +6.p3F = 2  1  4  1  6 0  3 cuûa X, ñieàu kieän laø F 2 2 Neáu ta chöa coù baûng pp XF thì tính nhö sau: 2. Xeùt cho Y: E(XF) = E(YF) = E(Y/F) =  y p neáu bieát baûng pp YF j j Fj 2 P( X  2,Y 1)  4 P ( X  4,Y 1)  6 P( X  6,Y 1) P(Y 1) P(Y 1) P(Y 1) Neáu chöa bieát baûng YF thì: = 2 1 8  4 1 8  6 0  3 P(Y  y , F ) 28 28 28 E(YF) =  y P(Y  y / F )   y j Töông töï : E(X/Y=2)= 2 , E(X/Y=3)= 5 j j j j j P(F ) var(XF) = (2–3)2 p1F +(4–3)2 p2F +(6–3)2 p3F var(YF) = var(Y/F) = ( y  E(Y ))2 p 21 = 1.(1/2)+1.(1/2)+9.(0) = 1 22 j j F Fj Ví duï 1: F = (X=4) YÙ nghóa kyø voïng coù ñieàu kieän: E(Y/F) = 1.pF1 +2.PF2 +3.pF3+4.pF4 Khaûo saùt chi tieâu (Y) theo thu nhaäp (X) cuûa 6 ngöôøi ta =1(1/4)+2(0)+3(1/4)+4(2/4) = 3 coù baûng soá lieäu sau: Neáu ta chöa coù baûng phaân phoái YF thì tính nhö X446699 sau: E(YF) = Y232456 1 P ( X  4,Y  1)  2 P ( X  4,Y  2)  3 P ( X  4,Y  3) P ( X  4) P ( X  4) P ( X  4)  Chi tieâu trung bình cuûa 6 ngöôøi laø:  4 P ( X  4,Y  4)  1 1 8  2 . 0  3  1 8  4  2 / 8  3 (2+3+2+4+5+6) / 6 = 3,6667 = E(Y) P ( X  4) 48 4 /8 4 /8 48  Chi tieâu trung bình cuûa 2 ngöôøi cuøng thu nhaäp 4: Töông töï : E(Y/X=2)= 5/3 , E(Y/X=6)= 3 (2+3) / 2 = 2,5 = E(Y/X=4) var(YF) = (1–3)2(1/4)+(2–3)2.(0)+(3–3)2(1/4)  Chi tieâu trung bình cuûa 2 ngöôøi cuøng thu nhaäp 6: 23 +(4–3)2(2/4) = 3/2 24 (2+4) / 2 = 3 = E(Y/X=6) 6
  7. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 4 11-02-2019 Ñoà thò minh hoïa x1 < x2  y1
  8. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 4 11-02-2019 Tính chaát: Tính chaát: var(X+Y) = var(X)+var(Y)+2.cov(X,Y)  Cov(X,Y) = 0 : X, Y khoâng coù töông quan tt var(X-Y) = var(X)+var(Y)–2.cov(X,Y)  Cov(X,Y) ≠ 0 : X, Y coù töông quan tt var(aX  bY) = a2 var(X)+b2 var(Y)  2ab.cov(X,Y)  Cov(X,Y) = Cov(Y,X) Neáu X,Y ñoäc laäp thì :  Cov(X,X) = var(X) E(X.Y)= E(X).E(Y)  cov(X,Y)= E(XY)-E(X).E(Y)= 0  Cov(X,Y) > 0 : X, Y töông quan thuaän Vaäy : X,Y ñoäc laäp  X,Y khoâng töông quan Cov(X,Y) < 0 : X, Y töông quan nghòch Ñieàu ngöôïc laïi khoâng ñuùng  Cov(X+ Z, Y) = Cov(X,Y) + Cov(Z,Y) Neáu X,Y coù phaân phoái chuaån thì ñieàu ngöôïc laïi ñuùng.  Cov(aX,bY) = ab cov(X,Y) , a,b  R 29 30 VD4 : Hai ÑLNN khoâng töông quan nhöng khoâng ñoäc laäp. VD4: Cho hai ÑLNN coù baûng phaân phoái ñoàng thôøi: E(X) = 1.(0,4)+2.(0,2)+3.(0,4) = 2 Y 6 8 10 E(Y) = 6.(0,4)+8.(0,2)+10.(0,4) = 8 X E(XY) = 6.(1).(0,2)+6.(3).(0,2)+8.(2).(0,2) 1 0,2 0,2 +10.(1).(0,2)+10.(3).(0,2) = 16 2 0,2 3 0,2 0,2 Ta laäp baûng sau: cov(X,Y) = E(XY)E(X).E(Y) = 162.(8) = 0 Y 6 8 10  neân X, Y khoâng töông quan tuyeán tính X 1 0,2 0,2 0,4 P(X=2,Y=6) = 0  (0,2).(0,4) = P(X=2).P(Y=6) 2 0,2 0,2 3 0,2 0,2 0,4 neân X, Y khoâng ñoäc laäp.  0,4 0,2 0,4 1 31 Vaäy: cov(X,Y) = 0 nhöng X, Y khoâng ñoäc laäp. 32 8
  9. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 4 11-02-2019 3 Baát ñaúng thöùc Cauchy–Schwartz: 4  3 VD1: RXY = |cov(X,Y)|  var( X ).var(Y ) 75 35 44 Daáu “=” ñaït ñöôïc khi : P(Y= aX+b) = 1, a 0 Tính chaát: 2) Heä soá töông quan: - RXY= 0 : X, Y khoâng coù töông quan tuyeán tính  cov( X ,Y ) - RXY = RYX = R(X,Y) = R R XY var( X ). var(Y ) - R(X,Y) cuøng daáu vôùi cov(X,Y) RXY ño möùc ñoä töông quan tuyeán tính giöõa X - 0  |RXY|  1 vaø Y - R(aX+b, cY + d) = R(X,Y) a,b,c,dR, ac>0 RXY khoâng phuï thuoäc ñôn vò ño cuûa X,Y 33 34 - Neáu Y= aX + b thì R(X,Y) =  1 , a≠0 0
  10. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 4 11-02-2019 3) Ma traän hieäp phöông sai: VD5:   var( X ) co v( X ,Y )  X vaø Y coù quan heä haøm soá nhöng R  1.      co v(Y , X ) var(Y )    Cho hai ÑLNN coù baûng pp xs ñoàng thôøi: Ví duï 1: Ma traän hieäp phöông sai cuûa X,Y laø: Y 1 4 9 16 25  7 / 4 3 / 4      X   3/4 5 / 4  1 0,2 0,2 4) Ma traän töông quan: 2 0,2 0,2  1 R  3 0,2    XY  0,2   R 1 4 0,2   YX    0,2 Ví duï 1: Ma traän töông quan cuûa X, Y laø: 5 0,2 0,2    1 3 / 35     0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 1   37   3 / 35 1   38 VD5: VD5: E(X) = 1.(0,2)+2(0,2)+3(0,2) E(Y2) = 1.(0,2)+16.(0,2)+81.(0,2) +256.(0,2)+625.(0,2) = 195,8 +4(0,2)+5(0,2) = 3 var(Y) = 195,8112 = 74,8 E(Y) = 1(0,2)+4(0,2)+9(0,2) cov(X,Y) = 453.(11) = 12 +16(0,2)+25(0,2) = 11 R  c o v ( X ,Y ) E(XY) = 1.(1).(0,2)+2.(4).(0,2) Vaäy v a r ( X ) . v a r (Y ) 12 +3.(9).(0,2)+4.(16).(0,2)  2 . 7 4 ,8  0 ,9 8 1  1 +5.(25).(0,2) = 45 2 E(X ) = E(Y) = 11 Ta thaáy: 39 var(X) = 1132 = 2 40 Y = X2 nhöng R  1 10
  11. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 4 11-02-2019 Giaûi: VD6: Coù hai hoäp, moãi hoäp ñöïng 6 bi. Trong hoäp 1 coù: 1 bi mang soá 1, 2 bi mang soá 2, 3 bi mang 1) Baûng pp xs ñoàng thôøi soá 3. Trong hoäp 2 coù: 2 bi mang soá 1, 3 bi mang Y 1 2 3  soá 2, 1 bi mang soá 3. X laø soá ghi treân bi ruùt ra töø X 1 2/36 3/36 1/36 1/6 hoäp 1, Y laø soá ghi treân bi ruùt ra töø hoäp 2. Ruùt töø 2 4/36 6/36 2/36 2/6 moãi hoäp 1 bi. 3 6/36 9/36 3/36 3/6  2/6 3/6 1/6 1 1) Haõy laäp baûng pp xs ñoàng thôøi cuûa V = (X,Y) 2) 2) Baûng phaân phoái xaùc suaát leà cuûa X, Y X 1 2 3 Y 1 2 3 3) Kyø voïng, phöông sai cuûa X, Y P 1/6 2/6 3/6 P 2/6 3/6 1/6 4) X, Y ñoäc laäp theo xaùc suaát 41 4) X, Y coù ñoäc laäp theo xaùc suaát khoâng 42 VD7: Hoäp coù 3 bi T, 2 bi V vaø 4 bi Ñ. Laáy NN 3 bi töø hoäp. Laäp baûng ppxs ñoàng thôøi cuûa soá bi T vaø soá bi V laáy ñöôïc? Baûng phaân phoái xaùc suaát ñoàng thôøi (X,Y): HD: Y 0 1 2  Goïi X= soá bi T laáy ñöôïc. X coù caùc giaù trò 0, 1, 2, 3 Y= soá bi V laáy ñöôïc. Y coù caùc giaù trò 0, 1, 2 X P(X=0,Y=0) = P(0T, 0V, 3Ñ) = C(3,4) / C(3,9) 0 4/84 12/84 4/84 20/84 P(X=0,Y=1) = P(0T, 1V, 2Ñ) = C(1,2)C(2,4) / C(3,9) 1 18/84 24/84 3/84 45/84 P(X=0,Y=2) = P(0T, 2V, 1Ñ) = C(2,2)C(1,4) / C(3,9) 18/84 2 12/84 6/84 0 P(X=1,Y=0) = P(1T, 0V, 2Ñ) = C(1,3)C(2,4) / C(3,9) P(X=1,Y=1) = P(1T,1V,1Ñ) = C(1,3)C(1,2)C(1,4)/ C(3,9) 3 1/84 0 0 1/84 ……  35/84 42/84 7/84 1 43 P(X=3,Y=0) = P(3T, 0V, 0Ñ) = C(3,3) / C(3,9) 44 11
  12. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 4 11-02-2019 VD8: Coù hai loaïi coå phieáu A, B ñöôïc baùn treân 1) Neáu ñaàu tö toaøn boä coå phieáu A thì laõi suaát thò tröôøng chöùng khoaùn vaø laõi suaát cuûa chuùng laø kyø voïng vaø möùc ñoä ruûi ro laø bao nhieâu? hai ÑLNN X,Y töông öùng. Giaû söû (X,Y) coù baûng phaân boá xaùc suaát nhö sau: 2) Neáu muïc tieâu laø nhaèm ñaït ñöôïc laõi suaát kyø Y –2 0 5 10 voïng laø lôùn nhaát thì neân ñaàu tö vaøo caû hai X loaïi coå phieáu treân theo tyû leä naøo? 0 0 0,05 0,05 0,1 3) Muoán haïn cheá ruûi ro veà laõi suaát ñeán möùc 4 0,05 0,1 0,25 0,15 6 0,1 0,05 0,1 0 thaáp nhaát thì neân ñaàu tö vaøo hai loaïi coå phieáu 45 46 treân theo tyû leä naøo? Giaûi: 2) Neáu kyù hieäu  (0
  13. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 4 11-02-2019 3) Xaùc ñònh  sao cho: Var(X+(1–)Y)  min Baøi taäp 1: Var(X+(1–)Y) = 2Var(X)+(1–)2 Var(Y)+2(1–)cov(X,Y) Moät loâ haøng coù 10 saûn phaåm, trong ñoùù coù 5 saûn cov(X,Y) = xiyjpij – E(X).E(Y) phaåm loaïi A, 3 saûn phaåm loaïi B vaø 2 saûn phaåm = 12,4 – 3,7 * 4,2 = –3,14 loaïi C. Laáy ngaãu nhieân töø loâ haøng ra 3 saûn phaåm. Vaäy var(X+(1–)Y) Goïi X, Y töông öùng laø soá saûn phaåm loaïi A, B coù = 4,112+17,96(1–)2+ 2(1–)(–3,14) trong 3 saûn phaåm laáy ra. = 28,352– 42,2 + 17,96 = f()  min Tìm E(Y/X=1). f/() = 56,7 – 42,2 = 0   = 0,7443 ÑS: f//()= 56,7 > 0 neân  laø giaù trò cöïc tieåu caàn tìm. 1,2 Neáu ñaàu tö vaøo c/p A vaø B theo tyû leä 74,43% vaø 49 25,57% seõ coù möùc ñoä ruûi ro laø thaáp nhaát. 50 Baøi taäp 2: Baøi taäp 3: Moät kieän haøng coù 10 saûn phaåm, trong ñoù coù 6 Hoäp coù 10 bi. Trong ñoù coù 5 bi T, 3 bi Ñ vaø 2 bi saûn phaåm loaïi I; 3 saûn phaåm loaïi II vaø 1 saûn V. Laáy ngaãu nhieân töø hoäp ra 2 bi. phaåm loaïi III. Laáy ngaãu nhieân khoâng hoaøn laïi töø Goïi X, Y töông öùng laø soá bi T, bi V coù trong 2 saûn kieän ra 2 saûn phaåm. phaåm laáy ra. Goïi X1, X2 töông öùng laø soá saûn phaåm loaïi I, loaïi Tính cov(X,Y). II coù trong hai saûn phaåm laáy ra. ÑS: Tính Var(X2/ X1=1). -8/45 ÑS: 0,1875 51 52 13
  14. ThS. Phạm Trí Cao * Chương 4 11-02-2019 Môøi gheù thaêm trang web: 53 https://sites.google.com/a/ueh.edu.vn/phamtricao/ https://sites.google.com/site/phamtricao/ 14
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
5=>2