intTypePromotion=1
ADSENSE

Bài giảng Xác suất và thống kê Cao đẳng - ĐH Công nghiệp TP.HCM

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:33

221
lượt xem
10
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Xác suất và thống kê Cao đẳng gồm 2 phần: Lý thuyết xác suất và lý thuyết thống kê. Phần 1 trình bày nội dung về xác suất của biến cố, biến ngẫu nhiên, phân phối xác suất thông dụng. Phần 2 trình bày về mẫu thống kê và ước lượng tham số, kiểm định giả thuyết thống kê, bài toán tương quan và hồi quy.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Xác suất và thống kê Cao đẳng - ĐH Công nghiệp TP.HCM

  1. ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com XÁC SU T & TH NG KÊ PHẦN II. LÝ THUYẾT THỐNG KÊ (Statistical theory) CAO Đ NG Chương 4. Mẫu thống kê và Ước lượng tham số Chương 5. Kiểm định Giả thuyết Thống kê PHÂN PH I CHƯƠNG TRÌNH Chương 6. Bài toán Tương quan và Hồi quy S ti t: 30 Tài liệu tham khảo --------------------- 1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Xác suất – Thống kê PHẦN I. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT và Ứng dụng – NXB Thống kê. (Probability theory) 2. Đinh Ngọc Thanh – Giáo trình Xác suất Thống kê – ĐH Tôn Đức Thắng Tp.HCM. Chương 1. Xác suất của Biến cố 3. Đặng Hùng Thắng – Bài tập Xác suất; Thống kê Chương 2. Biến ngẫu nhiên – NXB Giáo dục. Chương 3. Phân phối Xác suất thông dụng 4. Lê Sĩ Đồng – Xác suất – Thống kê và Ứng dụng – NXB Giáo dục. 5. Đào Hữu Hồ – Xác suất Thống kê – NXB Khoa học & Kỹ thuật. PHẦN I. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT 6. Đậu Thế Cấp – Xác suất Thống kê – Lý thuyết và (Probability theory) các bài tập – NXB Giáo dục. Chương 1. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 7. Phạm Xuân Kiều – Giáo trình Xác suất và Thống kê – NXB Giáo dục. §1. Biến cố ngẫu nhiên 8. Nguyễn Cao Văn – Giáo trình Lý thuyết Xác suất §2. Xác suất của biến cố & Thống kê – NXB Ktế Quốc dân. §3. Công thức tính xác suất ………………………………………………………………………… 9. F.M. Dekking – A modern introduction to Probability and Statistics – Springer Publication (2005). §1. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN Biên so n: ThS. Đoàn Vương Nguyên ThS. Đoà 1.1. Hiện tượng ngẫu nhiên Download Slide bài gi ng XSTK_CĐ t i XSTK_CĐ Người ta chia các hiện tượng xảy ra trong đời sống dvntailieu.wordpress.com hàng này thành hai loại: tất nhiên và ngẫu nhiên. Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c • Những hiện tượng mà khi được thực hiện trong cùng 1.2. Phép thử và biến cố một điều kiện sẽ cho ra kết quả như nhau được gọi là • Để quan sát các hiện tượng ngẫu nhiên, người ta cho những hiện tượng tất nhiên. các hiện tượng này xuất hiện nhiều lần. Việc thực hiện Chẳng hạn, đun nước ở điều kiện bình thường đến một quan sát về một hiện tượng ngẫu nhiên nào đó, để 1000C thì nước sẽ bốc hơi; một người nhảy ra khỏi máy xem hiện tượng này có xảy ra hay không được gọi là bay đang bay thì người đó sẽ rơi xuống là tất nhiên. một phép thử (test). • Những hiện tượng mà cho dù khi được thực hiện trong • Khi thực hiện một phép thử, ta không thể dự đoán được cùng một điều kiện vẫn có thể sẽ cho ra các kết quả kết quả xảy ra. Tuy nhiên, ta có thể liệt kê tất cả các kết khác nhau được gọi là những hiện tượng ngẫu nhiên. quả có thể xảy ra. Chẳng hạn, gieo một hạt lúa ở điều kiện bình thường thì hạt lúa có thể nảy mầm cũng có thể không nảy mầm. Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một Hiện tượng ngẫu nhiên chính là đối tượng khảo sát của phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử lý thuyết xác suất. đó. Ký hiệu là . Xác su t - Th ng kê Cao đ ng 1
  2. ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c Mỗi phần tử ω ∈ được gọi là một biến cố sơ cấp. A = {4; 4, 5;...; 10} , B = {0; 0, 5;...; 3, 5} ,… Mỗi tập A ⊂ được gọi là một biến cố (events). là các biến cố. VD 1. Xét một sinh viên thi hết môn XSTK, thì hành Các biến cố A, B có thể được phát biểu lại là: động của sinh viên này là một phép thử. A : “sinh viên này thi đạt môn XSTK”; Tập hợp tất cả các điểm số: B : “sinh viên này thi hỏng môn XSTK”. = {0; 0, 5; 1; 1, 5;...; 9, 5; 10} • Trong một phép thử, biến cố mà chắc chắn sẽ xảy ra mà sinh viên này có thể đạt là không gian mẫu. được gọi là biến cố chắc chắn. Ký hiệu là . Biến cố không thể xảy ra được gọi là biến cố rỗng. Các phần tử: Ký hiệu là ∅. ω1 = 0 ∈ , ω2 = 0, 5 ∈ ,…, ω21 = 10 ∈ là các biến cố sơ cấp. VD 2. Từ nhóm có 6 nam và 4 nữ, ta chọn ngẫu nhiên ra 5 người. Khi đó, biến cố “chọn được ít nhất 1 nam” Các tập con của : là chắc chắn; biến cố “chọn được 5 người nữ” là rỗng. Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c 1.3. Quan hệ giữa các biến cố b) Tổng và tích của hai biến cố a) Quan hệ tương đương • Tổng của hai biến cố A và B là một biến cố, biến cố Trong 1 phép thử, biến cố A được gọi là kéo theo biến này xảy ra khi A xảy ra hay B xảy ra trong một phép cố B nếu khi A xảy ra thì B xảy ra. Ký hiệu là A ⊂ B . thử (ít nhất một trong hai biến cố xảy ra). Hai biến cố A và B được gọi là tương đương với nhau Ký hiệu là A ∪ B hay A + B . nếu A ⊂ B và B ⊂ A . Ký hiệu là A = B . • Tích của hai biến cố A và B là một biến cố, biến cố này xảy ra khi cả A và B cùng xảy ra trong một phép VD 3. Quan sát 4 con gà mái đẻ trứng trong 1 ngày. Gọi thử. Ký hiệu là A ∩ B hay AB . Ai : “có i con gà mái đẻ trứng trong 1 ngày”, i = 0, 4 . VD 4. Một người thợ săn bắn hai viên đạn vào một con A: “có 3 hoặc 4 con gà mái đẻ trứng trong 1 ngày”. thú và con thú sẽ chết nếu nó bị trúng cả hai viên đạn. B : “có nhiều hơn 2 con gà mái đẻ trứng trong 1 ngày”. Gọi Ai : “viên đạn thứ i trúng con thú” (i = 1, 2); Khi đó, ta có: A3 ⊂ B , A2 ⊄ B , B ⊂ A và A = B . A : “con thú bị trúng đạn”; B : “con thú bị chết”. Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c Khi đó, ta có: A = A1 ∪ A2 và B = A1 ∩ A2 . c) Biến cố đối lập VD 5. Xét phép thử gieo hai hạt lúa. Trong 1 phép thử, biến cố A được gọi là biến cố đối lập Gọi N i : “hạt lúa thứ i nảy mầm”; (hay biến cố bù) của biến cố A nếu và chỉ nếu khi A xảy ra thì A không xảy ra và ngược lại, khi A không K i : “hạt lúa thứ i không nảy mầm” (i = 1, 2); xảy ra thì A xảy ra. A : “có 1 hạt lúa nảy mầm”. Vậy ta có: A = \ A. Khi đó, không gian mẫu của phép thử là: VD 6. Từ 1 lô hàng chứa 12 chính phẩm và 6 phế phẩm, = {K1K 2 ; N 1K 2 ; K1N 2 ; N 1N 2 }. người ta chọn ngẫu nhiên ra 15 sản phẩm. Các biến cố tích sau đây là các biến cố sơ cấp: Gọi Ai : “chọn được i chính phẩm”, i = 9,10,11,12 . ω1 = K1K 2, ω2 = N 1K 2, ω3 = K1N 2 , ω4 = N 1N 2 . Ta có không gian mẫu là: = A9 ∪ A10 ∪ A11 ∪ A12 , Biến cố A không phải là sơ cấp vì A = N 1K 2 ∪ K1N 2 . và A10 = \ A10 = A9 ∪ A11 ∪ A12 . Xác su t - Th ng kê Cao đ ng 2
  3. ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c 1.4. Hệ đầy đủ các biến cố b) Hệ đầy đủ các biến cố a) Hai biến cố xung khắc Trong một phép thử, họ gồm n biến cố {Ai } , i = 1, n Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc với nhau được gọi là hệ đầy đủ khi và chỉ khi có duy nhất biến trong một phép thử nếu A và B không cùng xảy ra. cố Ai , i0 ∈ {1; 2;...; n } của họ xảy ra. Nghĩa là: 0 VD 7. Hai sinh viên A và B cùng thi môn XSTK. 1) Ai ∩ Aj = ∅, ∀ i ≠ j và 2) A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = . Gọi A : “sinh viên A thi đỗ”; B : “chỉ có sinh viên B thi đỗ”; VD 8. Trộn lẫn 4 bao lúa vào nhau rồi bốc ra 1 hạt. C : “chỉ có 1 sinh viên thi đỗ”. Gọi Ai : “hạt lúa bốc được là của bao thứ i ”, i = 1, 4 . Khi đó, A và B là xung khắc; B và C không xung khắc. Khi đó, hệ {A1; A2 ; A3 ; A4 } là đầy đủ. Chú ý Chú ý Trong VD 7, A và B xung khắc nhưng không đối lập. Trong 1 phép thử, hệ {A; A} là đầy đủ với A tùy ý. …………………………………………………………………………………… Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c §2. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 2.1. Định nghĩa xác suất dạng cổ điển Quan sát các biến cố đối với một phép thử, mặc dù Xét một phép thử với không gian mẫu = {ω1;...; ωn } không thể khẳng định một biến cố có xảy ra hay không và biến cố A ⊂ có k phần tử. Nếu n biến cố sơ cấp nhưng người ta có thể phỏng đoán khả năng xảy ra của có cùng khả năng xảy ra (đồng khả năng) thì xác suất các biến cố này là ít hay nhiều. Khả năng xảy ra khách của biến cố A được định nghĩa là: quan của một biến cố được gọi là xác suất (probability) của biến cố đó. Soá tröôøng hôïp A xaûy ra k P (A) = = . Xác suất của biến cố A, ký hiệu là P (A), có thể được Soá tröôøng hôïp coù theå xaûy ra n định nghĩa bằng nhiều dạng sau: VD 1. Một công ty cần tuyển hai nhân viên. Có 4 người dạng cổ điển; nữ và 2 người nam nộp đơn ngẫu nhiên (khả năng trúng dạng thống kê; tuyển của 6 người là như nhau). Tính xác suất để: dạng tiên đề Kolmogorov; 1) cả hai người trúng tuyển đều là nữ; dạng hình học. 2) có ít nhất một người nữ trúng tuyển. Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c VD 2. Từ một hộp chứa 6 sản phẩm tốt và 4 phế phẩm 2.2. Định nghĩa xác suất dạng thống kê người ta chọn ngẫu nhiên ra 5 sản phẩm. • Nếu khi thực hiện một phép thử nào đó n lần, thấy có Tính xác suất để có: k k lần biến cố A xuất hiện thì tỉ số được gọi là tần 1) cả 5 sản phẩm đều tốt; 2) đúng 2 phế phẩm. n suất của biến cố A. • Khi n thay đổi, tần suất cũng thay đổi theo nhưng luôn VD 3. Tại một bệnh viện có 50 người đang chờ kết quả k dao động quanh một số cố định p = lim . khám bệnh. Trong đó có 12 người chờ kết quả nội soi, n →∞ n 15 người chờ kết quả siêu âm, 7 người chờ kết quả cả • Số p cố định này được gọi là xác suất của biến cố A nội soi và siêu âm. Gọi tên ngẫu nhiên một người trong theo nghĩa thống kê. 50 người này, hãy tính xác suất gọi được người đang k chờ kết quả nội soi hoặc siêu âm? Trong thực tế, khi n đủ lớn thì P (A) ≈ . n Xác su t - Th ng kê Cao đ ng 3
  4. ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c VD 4. §3. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT • Pearson đã gieo một đồng tiền cân đối, đồng chất 3.1. Công thức cộng xác suất 12.000 lần thấy có 6.019 lần xuất hiện mặt sấp (tần suất là 0,5016); gieo 24.000 lần thấy có 12.012 lần Xét một phép thử, ta có các công thức cộng xác suất sau xuất hiện mặt sấp (tần suất là 0,5005). • Nếu A và B là hai biến cố tùy ý: • Laplace đã nghiên cứu tỉ lệ sinh trai – gái ở London, P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ) − P (A ∩ B ). Petecbua và Berlin trong 10 năm và đưa ra tần suất sinh bé gái là 21/43. • Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì: P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ). 2.3. Tính chất của xác suất 1) Nếu A là biến cố tùy ý thì 0 ≤ P (A) ≤ 1 . • Nếu họ {Ai } (i = 1,..., n ) xung khắc từng đôi thì: 2) P (∅) = 0 ; 3) P ( ) = 1. P (A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) =P (A1 )+P (A2 )+...+P (An ). 4) Nếu A ⊂ B thì P(A) ≤ P(B ). …………………………………………………………………………… Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c VD 1. Một nhóm có 30 nhà đầu tư các loại, trong đó có: Chú ý 13 nhà đầu tư vàng; 17 nhà đầu tư chứng khoán và 10 nhà đầu tư cả vàng lẫn chứng khoán. Một đối tác gặp A ∩ B = A ∪ B; A ∪ B = A ∩ B. ngẫu nhiên một nhà đầu tư trong nhóm. Tìm xác suất để người đó gặp được nhà đầu tư vàng hoặc chứng khoán? Đặc biệt VD 3. Trong một vùng dân cư, tỉ lệ người mắc bệnh tim là 9%; mắc bệnh huyết áp là 12%; mắc cả bệnh tim và P (A) = 1 − P (A); P (A) = P (A.B ) + P (A.B ). huyết áp là 7%. Chọn ngẫu nhiên 1 người trong vùng đó. Tính xác suất để người này không mắc bệnh tim và VD 2. Một hộp phấn có 10 viên trong đó có 3 viên màu không mắc bệnh huyết áp? đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 3 viên phấn. Tính xác suất để lấy được ít nhất 1 viên phấn màu đỏ. Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c 3.2. XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN Lúc này, biến cố: “2 người thi đỗ trong đó có A ” là: • Xét phép thử: 3 người A , B và C thi tuyển vào một 2 công ty. Gọi AH = {ABC , ABC } và P (AH ) = . 8 A : “người A thi đỗ”, B : “người B thi đỗ”, C : “người C thi đỗ”, H : “có 2 người thi đỗ”. • Bây giờ, ta xét phép thử là: A , B , C thi tuyển vào một công ty và biết thêm thông tin có 2 người thi đỗ. Khi đó, không gian mẫu là: {ABC , ABC , ABC , ABC , ABC , ABC , ABC , ABC }. Không gian mẫu trở thành H và A trở thành AH . Ta có: Gọi A H : “A thi đỗ biết rằng có 2 người thi đỗ” thì ta 4 A = {ABC , ABC , ABC , ABC } ⇒ P (A) = ; 8 3 H = {ABC , ABC , ABC } ⇒ P (H ) = . ( được: P A H = ) 2 P (AH ) 3 = P (H ) . 8 Xác su t - Th ng kê Cao đ ng 4
  5. ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c 3.2.1. Định nghĩa xác suất có điều kiện Nhận xét Trong một phép thử, xét hai biến cố bất kỳ A và B với P (B ) > 0 . Xác suất có điều kiện của A với điều kiện B ( ) Khi tính P A B với điều kiện B đã xảy ra, nghĩa là ta đã hạn chế không gian mẫu xuống còn B và hạn chế đã xảy ra được ký hiệu và định nghĩa là: A xuống còn A ∩ B . ( P AB = ) P (A ∩ B ) P (B ) . Tính chất VD 4. Một nhóm 10 sinh viên gồm 3 nam và 7 nữ trong ( ) 1) 0 ≤ P A B ≤ 1, ∀A ⊂ ; đó có 2 nam 18 tuổi và 3 nữ 18 tuổi. Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên từ nhóm đó. ( ) 2) nếu A ⊂ C thì P A B ≤ P C B ; ( ) Gọi A : “sinh viên được chọn là nữ”, B : “sinh viên được chọn là 18 tuổi”. 3) P (A B ) = 1 − P (A B ). ( ) ( Hãy tính P A B , P B A ? ) Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c 3.2.2. Công thức nhân xác suất Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì: a) Sự độc lập của hai biến cố P (A ∩ B ) = P (A).P (B ). Trong một phép thử, hai biến cố A và B được gọi là • Nếu n biến cố Ai , i = 1,..., n không độc lập thì: độc lập nếu B có xảy ra hay không cũng không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra A và ngược lại. ( ) ( P (A1A2 ...An ) = P (A1 ) P A2 A1 ...P An A1...An −1 . ) Chú ý Nếu A và B độc lập với nhau thì các cặp biến cố: A và B , A và B , A và B cũng độc lập với nhau. VD 5. Một người có 5 bóng đèn trong đó có 2 bóng bị b) Công thức nhân hỏng. Người đó thử ngẫu nhiên lần lượt từng bóng đèn • Nếu A và B là hai biến cố không độc lập thì: (không hoàn lại) cho đến khi chọn được 1 bóng tốt. ( ) P (A ∩ B ) = P (B )P A B = P (A)P B A . ( ) Tính xác suất để người đó thử đến lần thứ 2. Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c VD 6. Một sinh viên học hệ niên chế được thi lại 1 lần VD 8. Trong dịp tết, ông A đem bán 1 cây mai lớn và 1 nếu lần thi thứ nhất bị rớt (2 lần thi độc lập). Biết rằng cây mai nhỏ. Xác suất bán được cây mai lớn là 0,9. Nếu xác suất để sinh viên này thi đỗ lần 1 và lần 2 tương bán được cây mai lớn thì xác suất bán được cây mai ứng là 60% và 80%. Tính xác suất sinh viên này thi đỗ? nhỏ là 0,7. Nếu cây mai lớn không bán được thì xác suất bán được cây mai nhỏ là 0,2. Biết rằng ông A bán được ít nhất 1 cây mai, xác suất để ông A bán được cả hai cây mai là: VD 7. Có hai người A và B cùng đặt lệnh (độc lập) để A. 0,6342; B. 0,6848; C. 0,4796; D. 0,8791. mua cổ phiếu của một công ty với xác suất mua được tương ứng là 0,8 và 0,7. Biết rằng có người mua được, VD 9. Hai người A và B cùng chơi trò chơi như sau: xác suất để người A mua được cổ phiếu này là: Cả hai luân phiên lấy mỗi lần 1 viên bi từ một hộp đựng 19 12 40 10 2 bi trắng và 4 bi đen (bi được lấy ra không trả lại hộp). A. ; B. ; C. ; D. . 47 19 47 19 Người nào lấy được bi trắng trước thì thắng cuộc. Giả sử A lấy trước, tính xác suất A thắng cuộc ? Xác su t - Th ng kê Cao đ ng 5
  6. ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c 3.2.3. Công thức xác suất đầy đủ và Bayes. Chú ý a) Công thức xác suất đầy đủ Trong trắc nghiệm ta dùng sơ đồ giải nhanh như sau: Xét họ n biến cố {Ai } (i = 1,2,..., n ) đầy đủ và B là Nhánh 1: P(đèn tốt màu trắng) = 0,7.0,99. một biến cố bất kỳ trong phép thử, ta có: n Nhánh 2: P(đèn tốt màu vàng) = 0,3.0,98. P (B ) = ∑ P (Ai )P B Ai ( ) Suy ra: P(đèn tốt) = tổng xác suất của 2 nhánh = 0,987. i =1 ( ) = P (A1 )P B A1 + ... + P (An )P B An . ( ) VD 11. Chuồng thỏ 1 có 3 con thỏ trắng và 4 con thỏ VD 10. Một cửa hàng bán hai loại bóng đèn cùng kích đen; chuồng 2 có 5 thỏ trắng và 3 thỏ đen. Quan sát cỡ gồm: 70 bóng màu trắng với tỉ lệ bóng hỏng là 1% thấy có 1 con thỏ chạy từ chuồng 1 sang chuồng 2, sau và 30 bóng màu vàng với tỉ lệ hỏng 2%. Một khách đó có 1 con thỏ chạy ra từ chuồng 2. Tính xác suất để hàng chọn mua ngẫu nhiên 1 bóng đèn từ cửa hàng này. con thỏ chạy ra từ chuồng 2 là thỏ trắng ? Tính xác suất để người này mua được bóng đèn tốt ? Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c b) Công thức Bayes Phân bi t các bài toán áp d ng công th c Nhân – Đ y ñ – Bayes Xét họ n biến cố {Ai } (i = 1,2,..., n ) đầy đủ và B là một biến cố bất kỳ trong phép thử. Khi đó, xác suất để Trong 1 bài toán, ta xét 3 bi n c A1, A2 , B. biến cố Ai xảy ra sau khi B đã xảy ra là: 1) N u bài toán yêu c u tìm xác su t c a A1 ∩ B, ( P (Ai )P B Ai ) ( P (Ai )P B Ai ). A2 ∩ B thì ñây là bài toán công th c nhân. ( P Ai B =) n = P (B ) Xác su t là xác su t tích c a t ng nhánh. ∑ P(Ai )P (B Ai ) i =1 2) N u bài toán yêu c u tìm xác su t c a B và VD 12. Xét tiếp VD 10. Giả sử khách hàng chọn mua {A1, A2 } ñ y ñ thì ñây là bài toán áp d ng được bóng đèn tốt. Tính xác suất để người này mua công th c ñ y ñ . Xác su t b ng t ng 2 nhánh. được bóng đèn màu vàng ? Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c 3) N u bài toán yêu c u tìm xác su t c a A1, A2 3) Biết rằng sản phẩm được chọn là hỏng, tính xác suất sản phẩm này là do phân xưởng A sản xuất ra ? và cho bi t B ñã x y ra, ñ ng th i h {A1, A2 } ñ y ñ thì ñây là bài toán áp d ng công th c VD 14. Tỉ lệ ôtô tải, ôtô con và xe máy đi qua đường X Bayes. Xác su t là t s gi a nhánh c n tìm có trạm bơm dầu là 5 : 2 : 13. Xác suất để ôtô tải, ôtô v i t ng c a hai nhánh. con và xe máy đi qua đường này vào bơm dầu lần lượt VD 13. Nhà máy X có 3 phân xưởng A, B , C tương là 0,1; 0,2 và 0,15. Biết rằng có 1 xe đi qua đường X ứng sản xuất ra 20%, 30% và 50% tổng sản phẩm của vào bơm dầu, tính xác suất để đó là ôtô con ? nhà máy. Giả sử tỉ lệ sản phẩm hỏng do các phân xưởng 11 10 8 7 A, B , C tương ứng sản xuất ra là 1%, 2% và 3%. A. ; B. ; C. ; D. . 57 57 57 57 Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm do nhà máy X sản xuất ra. ……………………………………………………………………………………… 1) Tính xác suất (tỉ lệ) sản phẩm này là hỏng ? 2) Tính xác suất sản phẩm này hỏng và do phân xưởng A sản xuất ra ? Xác su t - Th ng kê Cao đ ng 6
  7. ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG I Câu 3. Có 3 sinh viên A , B và C cùng thi môn XSTK. Gọi biến cố Ai : “có i sinh viên thi đỗ” (i = 0,1, 2, 3 ); Câu 1. Có 3 sinh viên A, B và C cùng thi môn XSTK. Gọi biến cố Ai : “có i sinh viên thi đỗ” (i = 0,1,2, 3 ); B : “sinh viên B thi đỗ”. Biến cố A1B là: C : “sinh viên C thi đỗ”. A. Sinh viên B thi hỏng; Biến cố AC là: 1 B. Chỉ có 1 sinh viên thi đỗ; A. Sinh viên C thi đỗ; B. Chỉ có sinh viên C thi đỗ; C. Sinh viên A hoặc C thi đỗ; C. Có 1 sinh viên thi đỗ; D. Sinh viên C thi không đỗ. D. Chỉ có 1 sinh viên hoặc A hoặc C thi đỗ. Câu 2. Có 3 sinh viên A, B và C cùng thi môn XSTK. Câu 4. Có 3 sinh viên A, B và C cùng thi môn XSTK. Gọi biến cố Ai : “có i sinh viên thi đỗ” (i = 0,1,2, 3 ); Gọi biến cố Ai : “có i sinh viên thi đỗ” (i = 0,1,2, 3 ); A: “sinh viên A thi đỗ”. C : “sinh viên C thi đỗ”. Biến cố A2A là: Biến cố A0C là: A. Sinh viên A thi hỏng; B. Chỉ có sinh viên A thi đỗ; A. Sinh viên C thi hỏng; B. Chỉ có sinh viênC thi hỏng; C. Có 2 sinh viên thi đỗ; D. Chỉ có sinh viênA thi hỏng. C. Có 2 sinh viên thi đỗ; D. Cả 3 sinh viên thi hỏng. Câu 5. Có 3 sinh viên A , B và C cùng thi môn XSTK. Gọi biến cố Ai : “có i sinh viên thi đỗ” (i = 0,1, 2, 3 ); Câu 7. Có 3 sinh viên A1 , A2 , A3 cùng thi môn XSTK. B : “sinh viên B thi đỗ”. Biến cố A0B là: Gọi biến cố Ai : “sinh viên Ai thi đỗ” (i = 1,2, 3 ); A. Sinh viên B thi hỏng; H : “có sinh viên thi hỏng”. B. Có 2 sinh viên thi đỗ; Hãy chọn đáp án đúng ? C. Sinh viên A hoặc C thi đỗ; A. A1H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ; D. Sinh viên A và C thi đỗ. B. A1H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ; Câu 6. Có 3 sinh viên A , B và C cùng thi môn XSTK. C. A1H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ; Gọi biến cố Ai : “có i sinh viên thi đỗ” (i = 0,1, 2, 3 ); D. A1H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 . B : “sinh viên B thi đỗ”. Hãy chọn đáp án đúng ? A. A0B ⊂ A1B ; B. A1B ⊂ A2 ; C. A0B = A1B ; D. A3B ⊂ A3 . Câu 8. Có 3 sinh viên A1 , A2 , A3 cùng thi môn XSTK. Câu 9. Có 3 sinh viên A1 , A2 , A3 cùng thi môn XSTK. Gọi biến cố Ai : “sinh viên Ai thi đỗ” (i = 1,2, 3 ); Gọi biến cố Ai : “sinh viên Ai thi đỗ” (i = 1,2, 3 ); H : “2 sinh viên thi hỏng trong đó có A1 ”. H : “có 1 sinh viên thi hỏng”. Hãy chọn đáp án đúng ? Hãy chọn đáp án đúng ? A. A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ⊂ H ; ( ) ( A. P A1A2A3 H ≥ P A1A2 H ; ) B. H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ; B. P (A A H ) = P (A A A H ); 1 2 1 2 3 C. H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ; C. P (A A H ) ≤ P (A A A H ); 1 2 1 2 3 D. H ⊂ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 . D. A1H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 . Xác su t - Th ng kê Cao đ ng 7
  8. ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Câu 10. Có 3 sinh viên A1 , A2 , A3 cùng thi môn XSTK. Câu 12. Một hộp đựng 10 quả cầu gồm: 2 quả màu đỏ, Gọi biến cố Ai : “sinh viên Ai thi đỗ” (i = 1,2, 3 ); 3 quả vàng và 5 quả xanh. Chọn ngẫu nhiên từ hộp đó ra 4 quả cầu. Xác suất chọn được 2 quả màu xanh là: H : “có 1 sinh viên thi hỏng”. A. 0,2894 ; B. 0, 4762 ; C. 0, 0952 ; D. 0, 0476 . Hãy chọn đáp án đúng ? Câu 13. Một hộp đựng 10 quả cầu gồm: 2 quả màu đỏ, A. A1 = H ; B. A2A3 ⊂ H ; 3 quả vàng và 5 quả xanh. Chọn ngẫu nhiên từ hộp đó C. A1A2A3 ⊂ H ; D. A1A2A3 = H . ra 4 quả cầu thì thấy có 3 quả màu xanh. Xác suất chọn được 1 quả màu đỏ là: Câu 11. Một hộp đựng 10 quả cầu gồm: 2 quả màu đỏ, A. 40% ; B. 50% ; C. 60% ; D. 80% . 3 quả vàng và 5 quả xanh. Chọn ngẫu nhiên từ hộp đó Câu 14. Một hộp đựng 10 quả cầu gồm: 2 quả màu đỏ, ra 4 quả cầu. Xác suất chọn được 1 quả màu đỏ, 1 quả 3 quả vàng và 5 quả xanh. Chọn ngẫu nhiên từ hộp đó vàng và 2 quả xanh là: ra 4 quả cầu thì thấy có 2 quả màu xanh. Xác suất chọn A. 0,2857 ; B. 0,1793 ; C. 0,1097 ; D. 0, 0973 . được ít nhất 1 quả màu đỏ là: A. 40% ; B. 70% ; C. 26% ; D. 28% . Câu 17. Một xạ thủ bắn lần lượt 2 viên đạn vào một con Câu 15. Một cầu thủ ném lần lượt 3 quả bóng vào rỗ thú và con thú chỉ chết khi bị trúng 2 viên đạn. Xác suất một cách độc lập với xác suất vào rỗ tương ứng là 0,7; viên đạn thứ nhất trúng con thú là 0,8. Nếu viên thứ 0,8; 0,9. Biết rằng có 2 quả bóng vào rỗ. Xác suất để nhất trúng con thú thì xác suất trúng của viên thứ hai là quả bóng thứ nhất vào rỗ là: 0,7 và nếu trượt thì xác suất trúng của viên thứ hai là A. 0, 5437 ; B. 0, 5473 ; C. 0, 4753 ; D. 0, 4573 . 0,1. Biết rằng con thú còn sống. Xác suất để viên thứ hai trúng con thú là: A. 0, 0714 ; B. 0, 0741; C. 0, 0455 ; D. 0, 0271. Câu 16. Một cầu thủ ném lần lượt 3 quả bóng vào rỗ Câu 18. Một trung tâm Tai–Mũi–Họng có tỉ lệ bịnh một cách độc lập với xác suất vào rỗ tương ứng là 0,7; nhân Tai, Mũi, Họng tương ứng là 25%, 40%, 35%; tỉ 0,8; 0,9. Biết rằng quả bóng thứ nhất vào rỗ. Xác suất lệ bịnh nặng phải mổ tương ứng là 1%, 2%, 3%. Xác để có 2 quả bóng vào rỗ là: suất để chọn ngẫu nhiên được một bịnh nhân bị bịnh A. 20% ; B. 24% ; C. 26% ; D. 28% . Mũi phải mổ từ trung tâm này là: A. 0, 008 ; B. 0, 021; C. 0, 312 ; D. 0, 381. Chương 2. Bi n ng u nhiên Câu 19. Một trung tâm Tai–Mũi–Họng có tỉ lệ bịnh §1. Biến ngẫu nhiên và hàm mật độ nhân Tai, Mũi, Họng tương ứng là 25%, 40%, 35%; tỉ §2. Hàm phân phối xác suất lệ bịnh nặng phải mổ tương ứng là 1%, 2%, 3%. §3. Tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên …………………………………………………………………………… Xác suất để chọn ngẫu nhiên được một bịnh nhân phải §1. BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ HÀM MẬT ĐỘ mổ từ trung tâm này là: A. 0, 008 ; B. 0, 021; C. 0, 312 ; D. 0, 381. 1.1. Khái niệm biến ngẫu nhiên • Xét một phép thử với không gian mẫu . Giả sử, ứng Câu 20. Một trung tâm Tai–Mũi–Họng có tỉ lệ bịnh với mỗi biến cố sơ cấp ω ∈ , ta liên kết với 1 số thực nhân Tai, Mũi, Họng tương ứng là 25%, 40%, 35%; tỉ X (ω) ∈ ℝ , thì X được gọi là một biến ngẫu nhiên. lệ bịnh nặng phải mổ tương ứng là 1%, 2%, 3%. Chọn ngẫu nhiên một bịnh nhân từ trung tâm này thì được Tổng quát, biến ngẫu nhiên (BNN) X của một phép người bị mổ. Xác suất để bịnh nhân được chọn bị bịnh thử với không gian mẫu là một ánh xạ Mũi là: X: →ℝ A. 0, 008 ; B. 0, 021; C. 0, 312 ; D. 0, 381. ω ֏ X (ω) = x . ………………………………………………………………………………………………… Giá trị x được gọi là một giá trị của biến ngẫu nhiên X . Xác su t - Th ng kê Cao đ ng 8
  9. ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên VD 1. Người A mua một loại bảo hiểm tai nạn trong 1 • Nếu X ( ) là 1 khoảng của ℝ (hay cả ℝ ) thì X được năm với phí là 70 ngàn đồng. Nếu bị tai nạn thì công ty gọi là biến ngẫu nhiên liên tục. sẽ chi trả 3 triệu đồng. Gọi X là số tiền người A có được sau 1 năm mua bảo hiểm này. Khi đó, ta có Chú ý Trong thực nghiệm, các biến ngẫu nhiên thường là rời Phép thử là: “mua bảo hiểm tai nạn”. rạc. Khi biến ngẫu nhiên rời rạc X có các giá trị đủ Biến cố là T : “người A bị tai nạn”. nhiều trên 1 khoảng của ℝ , thì ta xem X là biến ngẫu Không gian mẫu là = {T , T }. nhiên liên tục. Thực chất là, các biến ngẫu nhiên liên Vậy X (T ) = 2, 93 (triệu), X (T ) = 0, 07 (triệu). tục được dùng làm xấp xỉ cho các biến ngẫu nhiên rời rạc khi tập giá trị của biến ngẫu nhiên rời rạc đủ lớn. • Nếu X ( ) là 1 tập hữu hạn {x 1, x 2,..., x n } hay vô hạn • Cho biến ngẫu nhiên X và hàm số y = ϕ(x ). đếm được thì X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc. Khi đó, biến ngẫu nhiên Y = ϕ(X ) được gọi là hàm Để cho gọn, ta viết là X = {x1, x 2 ,..., x n ,...}. của biến ngẫu nhiên X . Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên 1.2. Hàm mật độ Chú ý a) Biến ngẫu nhiên rời rạc pi ≥ 0 ; ∑ pi = 1, i = 1, 2,... Cho BNN rời rạc X : → ℝ , X = {x 1, x 2 ,..., x n ,...} . Giả sử x 1 < x 2 < ... < x n < ... với xác suất tương ứng Nếu x ∉ {x 1, x 2 ,..., x n ,...} thì P (X = x ) = 0 . là P ({ω : X (ω) = x i }) ≡ P (X = x i ) = pi , i = 1, 2,... Ta định nghĩa P (a < X ≤ b ) = ∑ pi . a
  10. ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên a +ε 4x 3 , x ∈ [0; 1] ⇒ P (X = a ) = lim ε→ 0 ∫ f (x )dx = 0 .  VD 5. Chứng tỏ f (x ) =   là hàm mật độ a −ε  0, x ∉ [0; 1] Vậy P (a ≤ X < b ) = P (a < X ≤ b)    b của biến ngẫu nhiên X và tính P (0, 5 ≤ X < 3)? = P (a < X < b) = ∫ f (x )dx . a b Ý nghĩa hình học, xác suất P (a ≤ X ≤ b) = ∫ f (x )dx của biến ngẫu nhiên X a VD 6. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ: nhận giá trị trong [a; b ]  0, x < 2   bằng diện tích hình thang f (x ) f (x ) =  k  Tính P (−3 < X < 5) ? cong giới hạn bởi S  , x ≥ 2.  2 x   x = a, x = b, y = f (x ) và Ox . Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên §2. HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Nhận xét 2 2.1. Định nghĩa. Hàm phân phối xác suất (hay hàm • Giả sử BNN rời rạc X nhận các giá trị trong [x1; x n ] và phân phối tích lũy) của BNN X , ký hiệu F (x ), là xác x1 < x 2 < ... < x n , P (X = x i ) = pi (i = 1,2,..., n ). suất để X nhận giá trị nhỏ hơn x với mọi x ∈ ℝ . Nghĩa là: F (x ) = P (X < x ), ∀x ∈ ℝ . Ta có hàm phân phối của X là: Nhận xét 1 0  khi x ≤ x1   Nếu biến ngẫu nhiên X là rời rạc với phân phối p  1 khi x1 < x ≤ x 2 xác suất P (X = x i ) = pi thì: F (x ) = ∑ pi .  p + p khi x 2 < x ≤ x 3  x i
  11. ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên Đồ thị của F (x ): VD 2. Cho BNN X có hàm mật độ là: F ( x) 0, x ∈ [0; 1]  / f (x ) =  2  3x , x ∈ [0; 1].  1   Tìm hàm phân phối của X và vẽ đồ thị của F (x )? Đồ thị của F (x ): 0,5 • 0,3 • 0,1 • • −2 O 1 3 4 x Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên VD 3. Cho BNN X có hàm mật độ là: Đặc biệt 0,  x < 100  • Nếu X là BNN rời rạc thì: f (x ) = 100  pi = F (x i +1 ) − F (x i ), ∀i.   2 , x ≥ 100. x   • Nếu X là BNN liên tục thì: Tìm hàm phân phối F (x ) của X ? P (a ≤ X ≤ b ) = P (a ≤ X < b ) = P (a < X ≤ b ) 2.2. Tính chất của hàm phân phối xác suất = P (a < X < b ) = F (b) − F (a ). 1) Hàm F (x ) xác định với mọi x ∈ ℝ . • Nếu X là BNN liên tục có hàm mật độ f (x ) thì: 2) 0 ≤ F (x ) ≤ 1, ∀x ∈ ℝ ; F (−∞) = 0; F (+∞) = 1 . F ′(x ) = f (x ). 3) F (x ) không giảm và liên tục trái tại mọi x ∈ ℝ . VD 4. Tính xác suất P (X ≥ 400) trong VD 3? 4) P (a ≤ X < b ) = F (b ) − F (a ). Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên VD 5. Cho BNN X có hàm mật độ 0,  x < −1  2   3 1 3x , x ∈ [−1; 3]  x f (x ) =   1  28 0, x ∈ [−1; 3]. / C. F (x ) =  + , −1 ≤ x < 3    28 28  Hàm phân phối xác suất của X là: 1,  3 ≤ x.    0,  x ≤ −1   3 x  0, A. F (x ) =  , −1 < x ≤ 3   x ≤ −1  28 0,  x < −1  3 x   1 1,  3 < x.  3 x D. F (x ) =  + , −1 < x ≤ 3      28 28 B. F (x ) =  , −1 ≤ x < 3   1, 3 < x.  28   1,     3 ≤ x.    ………………………………………………………………………………………… Xác su t - Th ng kê Cao đ ng 11
  12. ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên §3. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG VD 1. Cho BNN X có bảng phân phối xác suất: CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN X 0 1 2 3 Những thông tin cô đọng phản ánh từng phần về biến 0,125 0,375 0,375 0,125 P ngẫu nhiên giúp ta so sánh giữa các đại lượng với nhau Ta có: MedX = m thỏa 1 < m < 2 . được gọi là các đặc trưng số. Có 3 loại đặc trưng số là Các đặc trưng số cho xu hướng trung tâm của BNN: Trung vị, Mode, Kỳ vọng,… VD 2. Cho BNN X có hàm mật độ:  2 3x − x , x ∈ [0; 3] Các đặc trưng số cho độ phân tán của BNN: 2 Phương sai, Độ lệch chuẩn,… f (x ) =  9 0,  x ∈ [0; 3]. / Các đặc trưng số cho dạng phân phối xác suất.   3.1. TRUNG VỊ và MODE Ta có: P (X ≤ m ) = P (X ≥ m ) ⇒ MedX = m ∈ [0; 3] 3.1.1. Trung vị (tham khảo) m 1 2 3 Trung vị (median) của BNN X , ký hiệu MedX , là số ⇒ = ∫ (3x − x 2 )dx ⇒ m = ∈ [0; 3]. thực m thỏa: P (X ≤ m ) = P (X ≥ m ). 2 9 0 2 Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên 3.1.2. MODE VD 4. Tìm ModX , biết X có bảng phân phối xác suất: Mode của biến ngẫu nhiên X , ký hiệu ModX , là giá trị X 1 2 4 5 8 x 0 ∈ X thỏa: P 1 − 3p 0,18 0,07 0,25 p P (X = x 0 ) max nếu X là rời rạc, và VD 5. Tìm ModX , biết X có hàm mật độ xác suất: f (x 0 ) max nếu X liên tục có hàm mật độ f (x ). 3 2   x (4 − x ), x ∈ [0; 4] Chú ý f (x ) =  64    0, x ∉ [0; 4]. ModX còn được gọi là giá trị tin chắc nhất của X .   Biến ngẫu nhiên X có thể có nhiều ModX . VD 3. Cho BNN X có bảng phân phối xác suất: 3.2. KỲ VỌNG X 0 1 2 4 5 8 3.2.1. Định nghĩa Kỳ vọng (Expectation) của biến ngẫu nhiên X , ký hiệu P 0,10 0,20 0,30 0,05 0,25 0,10 EX hay M (X ), là một số thực được xác định như sau: Ta có: ModX = 2 . Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên Nếu X là rời rạc với xác suất P (X = x i ) = pi thì: VD 6. Cho BNN X có bảng phân phối xác suất: EX = ∑ x i pi . X –1 0 2 3 i P 0,1 0,2 0,4 0,3 Tính kỳ vọng của X ? Nếu X là liên tục có hàm mật độ f (x ) thì: +∞ VD 7. Một lô hàng gồm 10 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm. EX = ∫ x .f (x )dx . Lấy ngẫu nhiên 4 sản phẩm từ lô hàng đó, gọi X là số sản phẩm tốt trong 4 sản phẩm lấy ra. −∞ Đặc biệt Tìm phân phối xác suất và tính kỳ vọng của X ? Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X = {x1; x 2 ;...; x n } với VD 8. Tìm kỳ vọng của BNN X có hàm mật độ: xác suất tương ứng là p1, p2,..., pn thì: 3 2   (x + 2x ), x ∈ [0; 1] EX = x1p1 + x 2 p2 + ... + x n pn . f (x ) =  4    0, x ∉ [0; 1].   Xác su t - Th ng kê Cao đ ng 12
  13. ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên Chú ý • Trong thực tế sản xuất hay kinh doanh, khi cần chọn Nếu X là BNN liên tục trên [a ; b ] thì EX ∈ [a ; b ]. phương án cho năng suất hay lợi nhuận cao, người ta Nếu X = {x 1,..., x n } thì: thường chọn phương án sao cho kỳ vọng năng suất hay kỳ vọng lợi nhuận cao. EX ∈ [min{x 1,..., x n }; max{x 1,..., x n }]. VD 9. Cho BNN X có bảng phân phối xác suất: X 1 2 4 5 7 P a 0,2 b 0,2 0,1 VD 10. Một thống kê cho biết tỉ lệ tai nạn xe máy ở thành phố H là 0,001. Công ty bảo hiểm A đề nghị bán Tìm giá trị của tham số a và b để EX = 3,5 ? loại bảo hiểm tai nạn xe máy cho ông B ở thành phố H 3.2.2. Ý nghĩa của Kỳ vọng trong 1 năm với số tiền chi trả là 10 (triệu đồng), phí • Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X là giá trị trung bình bảo hiểm là 0,1 (triệu đồng). Hỏi trung bình công ty A (tính theo xác suất) mà X nhận được, nó phản ánh giá lãi bao nhiêu khi bán bảo hiểm cho ông B ? trị trung tâm phân phối xác suất của X . Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên VD 11. Ông A tham gia một trò chơi đỏ, đen như sau: 3.2.3. Kỳ vọng của hàm của biến ngẫu nhiên Trong một hộp có 4 bi đỏ và 6 bi đen. Mỗi lần ông A Giả sử Y = ϕ(X ) là hàm của biến ngẫu nhiên X . lấy ra 1 bi: nếu là đỏ thì được thưởng 100 (ngàn đồng), nếu là đen thì bị mất 70 (ngàn đồng). Hỏi trung bình Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì: mỗi lần lấy bi ông A nhận được bao nhiêu tiền? EY = ∑ yi .pi = ∑ ϕ(xi ).pi VD 12. Người thợ chép tranh mỗi tuần chép hai bức i i tranh độc lập A và B với xác suất hỏng tương ứng là Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì: 0,03 và 0,05. Nếu thành công thì người thợ sẽ kiếm lời +∞ +∞ từ bức tranh A là 1,3 triệu đồng và B là 0,9 triệu đồng, nhưng nếu hỏng thì bị lỗ do bức tranh A là 0,8 triệu EY = ∫ y.f (x )dx = ∫ ϕ(x ).f (x )dx −∞ −∞ đồng và do B là 0,6 triệu đồng. Hỏi trung bình người thợ nhận được bao nhiêu tiền chép tranh mỗi tuần? Chú ý A. 2,185 triệu đồng; B. 2,148 triệu đồng. Khi biến ngẫu nhiên X là rời rạc thì ta nên lập bảng C. 2,116 triệu đồng; D. 2,062 triệu đồng. phân phối xác suất của Y , rồi tính EY . Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên VD 13. Cho BNN X có bảng phân phối xác suất: 3.3. PHƯƠNG SAI X –1 0 1 2 3.3.1. Định nghĩa P 0,1 0,3 0,35 0,25 Phương sai (Variance hay Dispersion) của biến ngẫu Tính EY với Y = X 2 − 3 ? nhiên X , ký hiệu VarX hay D(X ), là một số thực không âm được xác định bởi: VD 14. Cho BNN X có hàm mật độ xác suất: VarX = E (X − EX )2 = E (X 2 ) − (EX )2 . 2   , x ∈ [1; 2] f (x ) = x 2  Nếu BNN X là rời rạc và P(X = xi ) = pi thì:   0, x ∉ [1; 2].     2  x .p  . VarX = ∑ x i .pi − ∑ i i  2 2    Tính EY với Y = X 5 − ? i   i X Xác su t - Th ng kê Cao đ ng 13
  14. ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên Nếu BNN X là liên tục và có hàm mật độ f (x ) thì: VD 16. Tính phương sai của X , biết hàm mật độ: 2 3 2  +∞ +∞   (x + 2x ), x ∈ [0; 1]   x 2 .f (x )dx −  ∫ x .f (x )dx  . f (x ) =  4  VarX = ∫   −∞    0,  x ∉ [0; 1]. −∞     3.3.2. Ý nghĩa của Phương sai VD 15. Cho BNN X có bảng phân phối xác suất: X 1 2 3 • (X − EX )2 là bình phương sai biệt giữa giá trị của X P 0,2 0,7 0,1 so với trung bình của nó. Và phương sai là trung bình Ta có: VarX = (12.0, 2 + 22.0, 7 + 32.0,1) của sai biệt này, nên phương sai cho ta hình ảnh về sự phân tán của các số liệu: phương sai càng nhỏ thì số −(1.0, 2 + 2.0, 7 + 3.0,1)2 = 0, 29 . liệu càng tập trung xung quanh trung bình của chúng. Chương 2. Bi n ng u nhiên BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM • Trong kỹ thuật, phương sai đặc trưng cho độ sai số của Chương 2 thiết bị. Trong kinh doanh, phương sai đặc trưng cho Câu 1. Cho BNN rời rạc X có bảng phân phối xác suất: độ rủi ro đầu tư. X –1 0 2 4 5 • Do đơn vị đo của VarX bằng bình phương đơn vị đo P 0,15 0,10 0,45 0,05 0,25 của X nên để so sánh được với các đặc trưng khác, Giá trị của P[(−1 < X ≤ 2) ∪ (X = 5)] là: người ta đưa vào khái niệm độ lệch tiêu chuẩn A. 0,9; B. 0,8; C. 0,7; D. 0,6. (standard deviation) là: σ = VarX . Câu 2. Cho BNN rời rạc X có bảng phân phối xác suất: X 1 2 3 4 ………………………………………………………………………………………… P 0,15 0,25 0,40 0,20 Giá trị kỳ vọng của X là: A. 2,6; B. 2,8; C. 2,65 ; D. 1,97. Câu 3. Cho BNN rời rạc X có bảng phân phối xác suất: C) D) X 1 2 3 4 X 0 1 2 X 0 1 2 P 0,15 0,25 0,40 0,20 1 7 3 1 4 2 P P Giá trị phương sai của X là: 3 15 15 3 15 5 A. 5,3; B. 7,0225; C. 7,95 ; D. 0,9275. Câu 5. Cho BNN rời rạc X có hàm phân phối xác suất: Câu 4. Một kiện hàng có 6 sản phẩm tốt và 4 phế phẩm. 0  khi x ≤1   Chọn ngẫu nhiên từ kiện hàng đó ra 2 sản phẩm. Gọi X 0,19 khi 1 < x ≤ 2 F (x ) =  là số phế phẩm trong 2 sản phẩm chọn ra.  1 Bảng phân phối xác suất của X là:  khi 2 < x .   A) B) Bảng phân phối xác suất của X là: X 0 1 2 X 0 1 2 A) B) 2 8 1 1 8 2 X 0 1 2 X 0 1 2 P P 15 15 3 3 15 15 P 0 0,19 0,81 P 0,19 0,51 0,3 Xác su t - Th ng kê Cao đ ng 14
  15. ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com C) D) C) D) X 1 2 X 1 2 X 0 1 2 X 0 1 2 P 0,29 0,71 P 0,19 0,81 9 30 11 9 11 30 P P 50 50 50 50 50 50 Câu 6. Lô hàng I có 3 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm, lô hàng II có 2 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm. Chọn ngẫu Câu 7. Kiện hàng I có 3 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm, nhiên từ lô hàng I ra 1 sản phẩm và bỏ vào lô hàng II, kiện hàng II có 2 sản phẩm tốt và 4 phế phẩm. sau đó từ lô hàng II chọn ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm. Gọi Chọn ngẫu nhiên từ kiện hàng I 0,  x
  16. ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Hỏi trong 1 năm lợi nhuận trung bình thu được của công Câu 12. Một cửa hàng điện máy bán 1 chiếc máy lạnh ty về loại bảo hiểm này là bao nhiêu ? A thì lời 850.000 đồng nhưng nếu chiếc máy lạnh đó A. 1,2 tỉ đồng; B. 1,5 tỉ đồng; phải bảo hành thì lỗ 1.000.000 đồng. Biết xác suất máy C. 12 tỉ đồng; D. 15 tỉ đồng. lạnh A phải bảo hành của cửa hàng là p = 15% , tính mức lời trung bình khi bán 1 chiếc máy lạnh A ? Câu 11. Theo thống kê trung bình cứ 1.000 người đi xe A. 722.500 đồng; B. 675.500 đồng; máy thì có 25 người bị tai nạn trong 1 năm. Một công C. 605.500 đồng; D. 572.500 đồng. ty bảo hiểm bán bảo hiểm loại này cho 20.000 người trong 1 năm với giá 98 ngàn đồng và mức chi trả khi bị Câu 13. Một cửa hàng điện máy bán 1 chiếc tivi thì lời tai nạn là 3 triệu đồng. 500.000 đồng nhưng nếu chiếc tivi đó phải bảo hành thì Hỏi trong 1 năm lợi nhuận trung bình thu được của công lỗ 700.000 đồng. Tính xác suất tivi phải bảo hành của ty về loại bảo hiểm này là bao nhiêu ? cửa hàng để mức lời trung bình khi bán 1 chiếc tivi là A. 445 triệu đồng; B. 450 triệu đồng; 356.000 đồng ? C. 455 triệu đồng; D. 460 triệu đồng. A. 10% ; B. 12% ; C. 15% ; D. 23% . Câu 14. Cho BNN liên tục X có hàm mật độ xác suất: Câu 16. Cho BNN liên tục X có hàm mật độ xác suất: a(3x − x 2 ), 0 ≤ x ≤ 3  a(3x − x 2 ), 0 ≤ x ≤ 3  f (x ) =   . f (x ) =   .  0, x ∉ [0; 3]   0, x ∉ [0; 3]    Giá trị trung bình của X là: Giá trị trung bình của Y với Y = 3X 2 là: A. EX = 1,2 ; B. EX = 1, 4 ; A. EY = 8,1; B. EY = 7, 9 ; C. EX = 1, 5 ; D. EX = 2, 4 . C. EY = 4, 5 ; D. EY = 5, 4 . Câu 15. Cho BNN liên tục X có hàm mật độ xác suất: Câu 17. Cho BNN liên tục X có hàm mật độ xác suất: a(3x − x 2 ), 0 ≤ x ≤ 3  a (3x − x 2 ), 0 ≤ x ≤ 3  f (x ) =   . f (x ) =   .   0, x ∉ [0; 3]   0, x ∉ [0; 3]   Giá trị phương sai của X là: Giá trị phương sai của Y với Y = 3X 2 là: A. VarX = 0, 64 ; B. VarX = 1, 5 ; A. VarY = 38, 0329 ; B. VarY = 38, 5329 ; C. VarX = 2, 7 ; D. VarX = 0, 45 . C. VarY = 38, 9672 ; D. VarY = 39, 0075 . Câu 18. Cho BNN liên tục X có hàm mật độ xác suất: a(3x − x 2 ), 0 ≤ x ≤ 3 Câu 20. BNN liên tục X có hàm phân phối xác suất:  f (x ) =   .    0, x ≤ 1   0, x ∉ [0; 3]   x − 1 Giá trị của ModX là: F (x ) =   , 1
  17. ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng §1. Phân phối Siêu bội §2. Phân phối Nhị thức • Xác suất trong n phần tử chọn ra có k phần tử A là: §3. Phân phối Poisson C N C N−k §4. Phân phối Chuẩn k n §5. Các loại xấp xỉ phân phối xác suất −N ……………………………………………………………………… pk = P (X = k ) = A A . §1. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI n CN 1.1. Định nghĩa Trong đó: • Xét tập có N phần tử gồm N A phần tử có tính chất A 0 ≤ k ≤ n và n − (N − N A ) ≤ k ≤ N A . và N − N A phần tử có tính chất A . Từ tập đó, ta chọn ra n phần tử. • Gọi X là số phần tử có tính chất A lẫn trong n phần tử VD 1. Một hộp phấn gồm 10 viên, trong đó có 6 viên đã chọn thì X có phân phối Siêu bội (Hypergeometric màu trắng. Lấy ngẫu nhiên 3 viên phấn từ hộp này. Gọi distribution) với 3 tham số N , N A , n . X là số viên phấn trắng lấy được. Lập bảng phân phối xác suất của X ? Ký hiệu là: X ∈ H (N , N A, n ) hay X ∼ H (N , N A, n ). Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Giải. Ta có: X = {0; 1; 2; 3} và 1.2. Các số đặc trưng của X ~ H(N, NA, n) N = 10, N A = 6, n = 3 ⇒ X ∈ H (10, 6, 3). N −n EX = np; VarX = npq . Vậy ta có bảng phân phối xác suất của X : N −1 X 0 1 2 3 Trong đó: 0 3 1 2 2 1 3 0 NA C 6C 4 C 6C 4 C 6C 4 C 6C 4 P p= , q = 1 − p. 3 C 10 3 C 10 3 C 10 C 103 N VD 3. Tại một công trình có 100 người đang làm việc, VD 2. Một cửa hàng bán 10 bóng đèn, trong đó có 3 trong đó có 70 kỹ sư. Chọn ngẫu nhiên 40 người từ bóng hỏng. Một người chọn mua ngẫu nhiên 5 bóng công trình này. Gọi X là số kỹ sư chọn được. đèn từ cửa hàng này. Gọi X là số bóng đèn tốt người đó 1) Tính xác suất chọn được từ 27 đến 29 kỹ sư ? mua được. Tính xác suất người đó mua được 3 hoặc 4 2) Tính trung bình số kỹ sư chọn được và VarX ? bóng đèn tốt? …………………………………………………………………… Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng §2. PHÂN PHỐI NHỊ THỨC b) Các số đặc trưng của X ~ B(p) 2.1. Phân phối Bernoulli EX = p; VarX = pq. a) Định nghĩa VD 1. Một câu hỏi trắc nghiệm có 4 phương án trả lời, • Phép thử Bernoulli là một phép thử mà ta chỉ quan tâm trong đó chỉ có 1 phương án đúng. Một sinh viên chọn đến 2 biến cố A và A , với P (A) = p . ngẫu nhiên 1 phương án để trả lời câu hỏi đó. • Xét biến ngẫu nhiên: Gọi A : “sinh viên này trả lời đúng”. 1 khi A xuaát hieän,  X =  P (A) = 1 − p = q . Khi đó, việc trả lời câu hỏi của sinh viên này là một 0 khi A xuaát hieän,  phép thử Bernoulli và p = P (A) = 0,25 , q = 0, 75 .  Khi đó, ta nói X có phân phối Bernoulli với tham số p . 1 khi sinh vieân naøy traû lôøi ñuùng,  Ký hiệu là X ∈ B(p) hay X ∼ B(p). Gọi BNN X =   X 0 1 0 khi sinh vieân naøy traû lôøi sai,  Bảng phân phối xác suất của X là:  P q p thì X ∈ B(0,25) và EX = 0, 25, VarX = 0,1875 . Xác su t - Th ng kê Cao đ ng 17
  18. ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng 2.2. Phân phối Nhị thức • Xác suất trong n lần thử có k lần A xuất hiện là: a) Định nghĩa pk = P (X = k ) = C n pkq n −k (k = 0,1,..., n ). k • Xét dãy n phép thử Bernoulli độc lập. Với phép thử thứ i , ta xét biến ngẫu nhiên Xi ∈ B(p) (i = 1,..., n ). VD 2. Một đề thi XSTK gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm 1 khi laàn thöù i A xuaát hieän,  như trong VD 1. Sinh viên B làm bài một cách ngẫu Nghĩa là: Xi =   nhiên. Biết rằng, nếu trả lời đúng 1 câu thì sinh viên B 0 khi laàn thöù i A xuaát hieän.  được 0,5 điểm và nếu trả lời sai 1 câu thì bị trừ 0,125  • Gọi X là số lần biến cố A xuất hiện trong n phép thử. điểm. Tính xác suất để sinh viên B đạt điểm 5 ? Khi đó, X = X1 + ... + Xn và ta nói X có phân phối b) Các số đặc trưng của X ~ B(n, p) Nhị thức (Binomial distribution) với tham số n , p . EX = np; VarX = npq ; Ký hiệu là X ∈ B(n, p) hay X ∼ B(n, p). ModX = x 0 : np − q ≤ x 0 ≤ np − q + 1. Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng VD 3. Ông B trồng 100 cây bạch đàn với xác suất cây 2) Nếu muốn trung bình mỗi năm có nhiều hơn 100 cây chết là 0,02. Gọi X là số cây bạch đàn chết. lan quý nở hoa thì nhà vườn phải trồng tối thiểu mấy 1) Tính xác suất có từ 3 đến 5 cây bạch đàn chết ? cây lan quý ? 2) Tính trung bình số cây bạch đàn chết và VarX ? 3) Hỏi ông B cần phải trồng tối thiểu mấy cây bạch đàn để xác suất có ít nhất 1 cây chết lớn hơn 10% ? VD 5. Một nhà tuyển dụng kiểm tra kiến thức lần lượt các ứng viên, xác suất được chọn của mỗi ứng viên đều VD 4. Một nhà vườn trồng 126 cây lan quý, xác suất nở bằng 0,56. Biết xác suất để nhà tuyển dụng chọn đúng 8 hoa của mỗi cây trong 1 năm là 0,67. ứng viên là 0,0843. Số người cần phải kiểm tra là: 1) Giá bán 1 cây lan quý nở hoa là 2 triệu đồng. Giả sử A. 9 người; B. 10 người; nhà vườn bán hết những cây lan nở hoa thì mỗi năm C. 12 người; D. 13 người. nhà vườn thu được chắc chắn nhất là bao nhiêu tiền? ………………………………………………………………………… Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng §3. PHÂN PHỐI POISSON VD 1. Quan sát tại siêu thị A thấy trung bình 5 phút có 18 khách đến mua hàng. 3.1. Định nghĩa 1) Tính xác suất để trong 7 phút có 25 khách đến siêu Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson thị A ? tham số λ > 0 , ký hiệu là X ∈ P (λ) hay X ∼ P (λ), 2) Tính xác suất để trong 2 phút có từ 3 đến 5 khách đến nếu X nhận các giá trị 0, 1, 2,…, n ,… với xác suất: siêu thị A ? e −λ .λk 3) Tính số khách chắc chắn nhất sẽ đến siêu thị A trong pk = P (X = k ) = (k = 0,1,..., n,...). 1 giờ ? k! Trong đó, λ là trung bình số lần xuất hiện biến cố nào VD 2. Quan sát thấy trung bình 1 phút có 3 ôtô đi qua đó mà ta quan tâm. trạm thu phí. Biết xác suất có ít nhất 1 ôtô đi qua trạm 3.2. Các số đặc trưng của X ~ P(λ) thu phí trong t phút bằng 0,9. Giá trị của t là: A. 0,9082 phút; B. 0,8591 phút; EX = VarX = λ; ModX = x 0 : λ − 1 ≤ x 0 ≤ λ. C. 0,8514 phút; D. 0,7675 phút. ………………………………………………………………………………………… Xác su t - Th ng kê Cao đ ng 18
  19. ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng §4. PHÂN PHỐI CHUẨN b) Các số đặc trưng của T ~ N(0; 1) 4.1. Phân phối Chuẩn đơn giản ModT = ET = 0; VarT = 1. a) Định nghĩa Biến ngẫu nhiên liên tục T được gọi là có phân phối c) Xác suất của T ~ N(0; 1) Chuẩn đơn giản (hay phân phối Gauss), ký hiệu là T ∈ N (0; 1) hay T ∼ N (0; 1), nếu hàm mật độ xác • Hàm Laplace suất của T có dạng: x f (t ) = 1 e − t2 2, t ∈ ℝ. Hàm ϕ(x ) = ∫ f (t )dt (t ≥ 0) được gọi là hàm Laplace. 0 2π (Giá trị hàm f (t ) được cho trong bảng phụ lục A). (Giá trị hàm ϕ(x ) được cho trong bảng phụ lục B ). Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng • Tính chất của hàm Laplace 4.2. Phân phối Chuẩn Hàm ϕ(x ) đồng biến trên ℝ ; a) Định nghĩa ϕ(−x ) = −ϕ(x ) (hàm ϕ(x ) lẻ); Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối ϕ(−∞) = −0, 5 ; ϕ(+∞) = 0, 5 . Chuẩn (Normal distribution) tham số µ và σ2 (σ > 0), • Công thức tính xác suất ký hiệu là X ∈ N (µ; σ2 ) hay X ∼ N (µ; σ2 ), nếu hàm b mật độ xác suất của X có dạng: P (a ≤ T ≤ b ) = ∫ f (t )dt = ϕ(b) − ϕ(a ). 1 − (x −µ )2 2σ2 a f (x ) = e , x ∈ ℝ. σ 2π Chú ý b) Các số đặc trưng của X ~ N(µ, σ2) P (T < b) = 0, 5 + ϕ(b ); P (T > a ) = 0, 5 − ϕ(a ) . Nếu x ≥ 4 thì ϕ(x ) ≈ 0, 5 . ModX = EX = µ; VarX = σ2 . Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng c) Xác suất của X ~ N(µ, σ2) VD 2. Một kỳ thi đầu vào ở trường chuyên A quy định X −µ điểm đỗ là tổng số điểm các môn thi không được thấp Nếu X ∈ N (µ; σ2 ) thì T = ∈ N (0; 1) . hơn 15 điểm. Giả sử tổng điểm các môn thi của học σ sinh là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung Vậy, ta có công thức tính xác suất: bình 12 điểm. Biết rằng tỉ lệ học sinh thi đỗ là 25,14%. b − µ    P (a ≤ X ≤ b ) = ϕ   − ϕ a − µ  .   Độ lệch chuẩn là:   σ    σ        A. 4 điểm; B. 4,5 điểm; C. 5 điểm; D. 5,5 điểm. VD 3. Giả sử thời gian khách phải chờ để được phục vụ VD 1. Tốc độ chuyển dữ liệu từ máy chủ của ký túc xá tại một cửa hàng là BNN X (phút), X ∈ N (4, 5; 1,21). đến máy tính của sinh viên vào buổi sáng chủ nhật có 1) Tính xác suất khách phải chờ từ 3,5 phút đến 5 phút. phân phối chuẩn với trung bình 60Kbits/s và độ lệch 2) Tính thời gian tối thiểu t nếu xác suất khách phải chờ chuẩn 4Kbits/s. Xác suất để tốc độ chuyển dữ liệu lớn vượt quá t là không quá 5%. hơn 63Kbits/s là: VD 4. Cho BNN X có phân phối chuẩn với EX = 10 A. 0,2266; B. 0,2144; C. 0,1313; D. 0,1060. và P (10 < X < 20) = 0, 3 . Tính P (0 < X ≤ 15) ? Xác su t - Th ng kê Cao đ ng 19
  20. ĐH Công nghi p Tp.HCM Wednesday, January 05, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng §5. CÁC LOẠI XẤP XỈ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Chú ý 5.1. Xấp xỉ phân phối Siêu bội bởi Nhị thức Khi cỡ mẫu n khá nhỏ so với kích thước N (khoảng 5%N ) của tổng thể thì việc lấy mẫu có hoàn lại hay Xét BNN X có phân phối Siêu bội H (N ; N A ; n ) . không hoàn lại là như nhau. NA • Nếu p cố định, N → ∞ và → p = 1 − q thì: VD 1. Một vườn lan có 10.000 cây sắp nở hoa, trong đó N C N C N−kN k n có 1.000 cây hoa màu đỏ. − A A  →C n pkq n −k . d k 1) Tính xác suất để khi chọn ngẫu nhiên 20 cây lan thì n được 5 cây có hoa màu đỏ. CN 2) Tính xác suất để khi chọn ngẫu nhiên 50 cây lan thì • Ứng dụng, nếu N khá lớn và n rất nhỏ so với N thì: được 10 cây có hoa màu đỏ. N 3) Có thể tính xác suất để khi chọn ngẫu nhiên 200 cây X ∼ B(n; p ), p = A . lan thì có 50 cây hoa màu đỏ được không ? N Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng 5.2. Xấp xỉ phân phối Nhị thức bởi Poisson 2) đúng 34 gói bị nhiễm khuẩn. Xét biến ngẫu nhiên X có phân phối Nhị thức B(n; p ). VD 3. Giải câu 3) trong VD 1. • Khi n → ∞ , nếu p → 0 và np → λ thì: e −λ .λk Tóm t t các lo i x p x r i r c C n pkq n −k  → k d . k! N • Ứng dụng, đặt λ = np . p= A N Nếu n đủ lớn và p gần bằng 0 (hoặc gần bằng 1) thì: X ∈ H (N , N A, n ) X ∈ B(n, p) Chú ý X ∼ P (λ). (n < 5%N ) np < 5 Xấp xỉ trên sẽ có hiệu quả khi np < 5 hay nq < 5 .  NA nq < 5 VD 2. Một lô hàng thịt đông lạnh đóng gói nhập khẩu λ = n.  có chứa 0,4% bị nhiễm khuẩn. Tìm xác suất để khi N λ = np chọn ngẫu nhiên 1.000 gói thịt từ lô hàng này có: Sai s r t l n X ∈ P (λ) 1) không quá 2 gói bị nhiễm khuẩn; Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng 5.3. Xấp xỉ phân phối Nhị thức bởi phân phối Chuẩn Chú ý. Khi k = µ , ta sử dụng công thức hiệu chỉnh: Cho X ∈ B(n; p ). Nếu n khá lớn, np ≥ 5 và nq ≥ 5 P (X = k ) ≈ P (k − 0, 5 ≤ X ≤ k + 0, 5). thì X ∼ N (µ; σ2 ) với µ = np, σ2 = npq . VD 4. Trong một đợt thi tuyển công chức ở một thành Khi đó: phố có 1.000 người dự thi với tỉ lệ thi đạt là 80%. Tính xác suất để: 1 k − µ   P (X = k ) = .f  . 1) có 172 người không đạt; σ   σ    2) có khoảng 170 đến 180 người không đạt. (giá trị được cho trong bảng A với f (−x ) = f (x )). VD 5. Trong 10.000 sản phẩm trên một dây chuyền sản k − µ     − ϕ  k1 − µ  . xuất có 2.000 sản phẩm không được kiểm tra chất lượng. P (k1 ≤ X ≤ k2 ) = ϕ  2   σ        Tìm xác suất để trong 400 sản phẩm sản xuất ra:      σ   1) có 80 sản phẩm không được kiểm tra; (giá trị được cho trong bảng B với ϕ(−x ) = −ϕ(x )). 2) có từ 70 đến 100 sản phẩm không được kiểm tra. Xác su t - Th ng kê Cao đ ng 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2