bài tập hình học sơ cấp

Chia sẻ: LPT Anh Khoa Nguyễn | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

Thêm vào BST

Báo xấu

414
lượt xem 110
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bài tập hình học sơ cấp', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(2) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: bài tập hình học sơ cấp

BÀI T P HÌNH H C SƠ C P sưu t m: Huỳnh Văn Thơ Ph n I GÓC Đ NH HƯ NG 1. Cho D, E, F l n lư t n m trên các c nh BC, CA, AB c a ABC . (a) CMR: ba đư ng tròn (AEF ), (BF D), (CDE ) có m t đi m chung g i là M (b) Tìm qu tích c a M khi D, E, F th ng hàng. 2. Cho t giác ABCD n i ti p. L y 4 đi m A , B , C , D sao cho các t giác AA B B , BB C C , DD AA n i ti p. CMR: t giác A B C D n i ti p. 3. Cho ABC và đi m P . CMR ba đư ng tròn đ i x ng c a các đư ng tròn (P CB ), (P CA), (P AB ) theo th t qua BC, CA, AB có m t đi m chung. 4. Đư ng tròn Euler c a m t tam giác là đư ng tròn đi qua trung đi m các c nh c a tam giác. CMR trong m t t giác ABCD , các đư ng tròn Euler c a các tam giác ABC, BCD, CDA, DAB có m t đi m chung. 5. Cho t giác ABCD và m t đi m M lưu đ ng trên đư ng th ng BC . Các đư ng tròn (ABM ), (CDM ) c t nhau t i đi m th hai P . Tìm qu tích đi m P . 6. Cho ba đư ng tròn c đ nh (DAB ), (DAC ), (DBC ) và đi m M thay đ i trên đư ng tròn (DBC ) . M B c t (DAB ) t i N và M C c t (DAC ) t i P . CMR: N P đi qua m t đi m c đ nh. 7. Cho M1 , M2 là hai đi m thu c đư ng tròn ngo i ti p ABC và 1, là 2 hai đư ng th ng Simson ng v i M1 , M2 . (a) Tính góc gi a 1, theo AM1 , AM2 2 (b) Suy ra v trí c a M1 , M2 đ và vuông góc v i nhau 1 2 8. Cho đi m M n m trên đư ng tròn ngo i ti p ABC . A , B , C l n lư t là các đi m đ i x ng c a M qua c nh BC, CA, AB . CMR: A , B , C n m trên m t đư ng th ng đi qua tr c tâm c a ABC . Ph n II CÁT TUY N 1. CMR chân ba đư ng phân giác ngoài c a tam giác th ng hàng. 1
2. Cho ba đi m M, N, P l n lư t trên c nh BC, CA, AB c a ABC sao cho AM, BN, CP đ ng quy. G i M , N , P l n lư t là giao đi m th hai c a đư ng tròn (M N P ) v i các c nh BC, CA, AB c a ABC . CMR AM , BN , CP đ ng quy. 3. Cho ABC và hai cát tuy n M N P và M N P sao cho M N //AB , M P //AC (M, M ∈ BC ; N, N ∈ CA ; P, P ∈ AB ). CMR: N P //BC . 4. Cho hình bình hành ABCD và đi m M trên AC . G i E là đi m đ i x ng c a B qua M . Trên DC và AD l n lư t l y P và Q sao cho EP//AD, EQ//CD. CMR: P, Q, M th ng hàng. 5. Trên các c nh c a ABC vuông t i A d ng các hình vuông ABDE và ACF G v phía ngoài. CMR: CD và BF c t nhau trên đư ng cao h t A c a ABC . 6. Cho ABC và ba đi m P, Q, R l n lư t trên ba c nh BC, CA, AB sao P O QO RO cho AP, BQ, CR đ ng quy t i O. CMR: + + =1 P A QB RC 7. Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành. M t ph ng α c t SA, SB , MA PC NB QD SC, SD l n lư t t i M, N, P, Q. CMR: + = + MS PS NS QS Ph n III HÀNG ĐI M ĐI U HÒA 1. Cho A, B, C, D th ng hàng. M, N l n lư t là trung đi m c a AB, CD. CMR (ABCD) = −1 ⇔ M N 2 = M A2 + N C 2 2. Cho hình vuông và m t đư ng tròn n i ti p hình vuông. M t ti p tuy n b t kỳ c a đư ng tròn c t các c p c nh đ i c a hình vuông t i A, B và C, D. CMR: (ABCD) = −1 3. Cho đư ng tròn đư ng kính CD tâm O. Trên CD l y A1 , A2 sao cho (A1 A2 CD) = −1. Qua A1 , A2 l n lư t k các đư ng th ng d1 , d2 vuông góc v i CD. M t ti p tuy n thay đ i c a đư ng tròn c t d1 , d2 l n lư t OM1 t i M1 , M2 . CMR: = const OM2 4. Trên đư ng tròn (O) cho hai đi m B, C c đ nh và A thay đ i. EF là đư ng kính vuông góc BC . AB, AC c t EF l n lư t t i G, H . CMR: OH.OG = const 5. Cho ABC cân t i A, d là đư ng th ng song song v i BC và c t tam giác. M là đi m thay đ i trên d nhưng trong tam giác. BM c t AC t i 1 1 E , CM c t AB t i F . CMR: + = const BF CE 6. Cho ABC . Qua đi m M trên BC sao cho M B = k M C ngư i ta k các đư ng th ng song song v i AC và AB c t AB t i P và AC t i Q. BC l n lư t c t P Q t i R và đư ng th ng Ax song song P Q t i N . 2
(a) CMR: RM 2 = RB.RC RB (b) Tính theo k RC 7. Cho hai đư ng th ng c đ nh đ ng quy Ox, Oy và đi m A không n m trên Ox, Oy và phân giác góc xOy . Hai đư ng th ng di đ ng qua A, đ i x ng qua OA m t đư ng c t Ox t i M đư ng kia c t Oy t i N . CMR: M N đi qua đi m c đ nh 8. Cho ABC có tr ng tâm G. M t đư ng th ng d thay đ i qua G c t 1 1 1 BC, CA, AB theo th t M, N, P . CMR: + + =0 GM GN GP Ph n IV PHƯƠNG TÍCH 1. Cho đư ng tròn (O) và đi m A c đ nh. (K ) là m t đư ng tròn thay đ i qua A và có tâm n m trên đư ng tròn (C ) đ ng tâm v i (O). CMR: tr c đ ng phương c a (O) và (K ) ti p xúc v i m t đư ng tròn c đ nh. 2. G i R, r; O, I l n lư t là bán kính và tâm c a đư ng tròn ngo i ti p và n i ti p m t tam giác. CMR: OI 2 = R2 − 2Rr 3. Cho ABC có tr c tâm H . CMR: các đư ng tròn đư ng kính AH và BC tr c giao. 4. M t cát tuy n thay đ i song song v i BC c a ABC c t AB và AC l n lư t t i D và E . Tìm tr c đ ng phương c a đư ng tròn đư ng kính BE và CD 5. Qua đi m P c đ nh v ba đư ng tròn đôi m t c t nhau t i A, B, C . Đư ng tròn th tư qua P c t (P AB ), (P BC ), (P CA) l n lư t t i C , A , B . G i E là giao đi m c a AB và P C ’, F là giao đi m c a BC và P A , G là giao đi m c a CA và P B . CMR: E, F, G th ng hàng. 6. Cho t giác ABCD, AC c t BD t i O. G i I, J l n lư t là trung đi m c a AB, CD. G i H, K l n lư t là tr c tâm c a OAD và OBC . CMR: IJ ⊥ HK . 7. Cho ba đư ng tròn (O1 ), (O2 ), (O3 ) thu c m t chùm và O2 là trung đi m 1 c a O1 O3 . CMR: PM/(O2 ) = PM/(O1 ) + PM/(O3 ) 2 Ph n V C C VÀ Đ I C C 1. CMR: đi u ki n và đ đ hai đi m M và N liên hi p v i nhau đ i v i đư ng tròn (O) là PM/(O) + PM/(O) = M N 2 3
2. Cho ABC n i ti p đư ng tròn (O). G i D và D là chân đư ng phân giác trong c a góc A, P là giao đi m c a hai ti p tuy n c a (O) t i B và C . CMR: c c c a AP đ i v i (O) là trung đi m DD . 3. Cho đư ng tròn (O) đư ng kính AB và đư ng th ng d vuông góc v i AB t i I . Đi m M thay đ i trên (O), M A, M B c t d l n lư t t i P, Q.QA c t (O) t i N . CMR: M N đi qua đi m c đ nh. 4. T trung đi m I c a dây cung AB c a đư ng tròn (O) k hai dây cung M N và P Q.M P và N Q l n lư t c t AB t i J và K . CMR: I là trung đi m c a JK 5. Ba c nh BC, CA, AB c a ABC ti p xúc v i đư ng tròn n i ti p t i M, N, P . Đư ng kính qua M c t N P t i Q. CMR: AQ qua trung đi m c a BC . 6. Hai cát tuy n thay đ i đi qua đi m M c đ nh và c t đư ng tròn c đ nh (O) l n lư t t i A, A v B, B . CMR: n u AB đi qua m t đi m c đ nh thì A B cũng đi qua m t đi m c đ nh. 7. T đi m P n m ngoài đư ng tròn ta v cát tuy n P A và P B v i đư ng tròn y. T B h đư ng vuông góc BD v i đư ng kính AC . CMR: P C đi qua trung đi m BD. 8. Cho ABC và đi m O. Các đư ng th ng qua O và vuông góc v i OA. OB, OC theo th t c t BC, CA, AB t i M, N, P . CMR: M, N, P th ng hàng. Ph n VI T NH TI N VÀ Đ I X NG 1. D ng đư ng th ng có phương cho trư c và b hai đư ng tròn cho trư c ch n thành hai dây cung b ng nhau. 2. Trên hai đư ng tròn b ng nhau (O) và (O ) l n lư t l y hai cung AM và A M b ng nhau nhưng khác hư ng. A, A c đ nh còn M, M thay đ i. Tìm qu tích trung đo n c a M M . 3. Hình vuông ABCD, E là đi m trong hình vuông sao cho C DE cân t i E và góc đáy là 150 . Ch ng mimh ABE đ u. 4. Cho tam giác ABC. G i Bx, Cy l n lư t là các tia đ i c a các tia BA, CA.D và E là các đi m chuy n đ ng l n lư t trên hai tia Bx, Cy sao cho BD = CE . Tìm qu tích trung đi m M c a DE . 5. Cho ABC c đ nh có tr c tâm H . D ng hình thoi BCDE thay đ i. T D và E k các đư ng th ng l n lư t vuông góc v i AB, AC chúng c t nhau t i M . Tìm qu tích M 6. D ng đư ng g p khúc g m năm đo n khép kín. Bi t trung đi m c a năm đo n đó. 4
7. Cho A, B v cùng phía đ i v i đư ng th ng xy . Tìm M trên xy th a AM x = 2B M y . 8. D ng hình vuông ABCD bi t A, C thu c đư ng th ng d1 cho trư c và B, C l n lư t thu c hai đư ng th ng d2 và d3 cho trư c 9. Cho ABC có các góc nh n. L y đi m D, E, F l n lư t n m trên BC, CA, AB . Tìm v trí D, E, F đ chu vi DEF nh nh t. Ph n VII PHÉP QUAY 1. T đi m M trên c nh BC c a ABC cân t i A k các đư ng th ng l n lư t song song v i AB, AC c t AC t i D và AB t i E . −→ −− → (a) Xác đ nh phép quay bi n AC thành BA (b) CMR: trung tr c DE đi qua m t đi m c đ nh và các đư ng tròn (ADE ) đi qua m t đi m c đ nh khác A. 2. Cho ABC đ u và đi m M n m trên cung nh BC c a đư ng tròn ngo i ti p tam giác. CMR: M A = M B + M C . 3. Cho ABC và v v phía ngoài các tam giác đ u B CA1 , C AB1 , ABC1 có tâm l n lư t là A , B , C . CMR: A B C đ u. 4. Trên các c nh c a m t hình bình hành d ng v phía ngoài các hình vuông. Ch ng minh tâm các hình vuông này t o thành m t hình vuông. 5. Cho cung tròn AB và đi m C lưu đ ng trên đó. Trên AC l y đo n AD = BC . Tìm qu tích D. 6. D ng v phía ngoài ABC các tam giác ABD và ACE l n lư t vuông t i B và C . M là trung đi m c a DE . Xác đ nh d ng c a B M C . 7. D ng trên c nh AB, BC, CD, DA và bên ngoài t giác ABCD nh ng hình vuông có tâm l n lư t là O1 , O2 , O3 , O4 . G i I, J, H, K l n lư t là trung đi m các đo n AC, BD, O1 O3 , O2 O4 . (a) Ch ng minh r ng O1 O3 = O2 O4 và O1 O3 ⊥O2 O4 , xét hình d ng t giác IKJH (b) Tìm đi u ki n c n và đ đ t giác O1 O2 O3 O4 là hình vuông. 8. Cho ABC nh n. Tìm đi m M bên trong tam giác sao cho: (M A + M B + M C )min 9. Cho ABC , d ng v phía ngoài tam giác hai tam giác ABD và ACE vuông cân t i A. G iM, N, P, Q, I, J l n lư t là trung đi m c a BC, CE, ED, DB, CD, BE . CMR: (a) T giác M N P Q là hình vuông. 5
(b) CD = BE và AIJ vuông cân. 10. Cho ABC . D ng v phía ngoài tam giác hai hình vuông ABEF và ACGH có tâm l n lư t là M, N . G i P, Q l n lư t là trung đi m c a BC, F H . CMR: M P N Q là hình vuông. 11. Cho ABC . D ng v phía ngoài tam giác này các tam giác ABP, BCM , CAN vuông cân l n lư t t i B, M, C . I là trung đi m c a P N . (a) Ch ng minh IBM C là hình vuông (b) Ch ng minh P N ⊥AM và P N = 2AM 12. Cho ABC . D ng v phía ngoài tam giác này các hình vuông ABM N, BCEF , ACP Q có tâm l n lư t là K, G, H . G i D là trung đi m c a BC . CMR: (a) N C = P Q và N C ⊥P Q (b) Tam giác KDH vuông cân (c) AG, BQ, CN đ ng quy. 13. Cho ABC v theo chi u dương. D ng v phía ngoài tam giác này M AB và N AC cân t i C v i góc đ nh b ng 1200 . G i I là trung đi m c a M N và J là đi m đ i x ng c a I qua BC . (a) Tính các góc c a B IC (b) Ch ng minh M N = 2AJ . 14. Cho ABC . D ng v phía ngoài tam giác này các tam giác đ u ABM, BCN, CAP . I là trung đi m BC, G là tr ng tâm c a tam giác ABM. CMR: (a) Tam giác GIP là n a tam giác đ u. √ (b) N P ⊥CG và N P = 3CG 15. Cho ABC v theo chi u dương. D ng v phía ngoài tam giác này ba tam giác M AB, N BC, P AC l n lư t cân t i M, N, P v i các góc nh n đ nh tương ng là α, β, γ th a α + β + γ = π . G i tâm đư ng tròn ngo i ti p c a ba tam giác này là I, J, K . (a) Cho α = β = γ . Ch ng t AN = BP = CM (b) Cho bi t I JK đ u, hãy tính các góc α, β, γ 16. Cho ABC . D ng v phía ngoài tam giác này các tam giác đ u A B C, AB C , ABC có tâm l n lư t là A1 , B1 , C1 . CMR: (a) Tam giác A1 B1 C1 đ u. (b) AA = BB = CC và AA , BB , CC đ ng quy. 17. Cho hình vuông ABCD và E là đi m trong đo n BC . Đư ng phân giác trong c a DAE c t CD F . CMR: BE + DF = AE . 6
Ph n VIII PHÉP V T 1. Cho đư ng tròn (O) đư ng kính AB và đi m C c đ nh trên AB . M N là đư ng kính lưu đ ng, AN c t CM t i P . Tìm qu tích đi m P 2. Cho đư ng tròn (O) và ba dây cung M A, M B, BC . CMR: giao đi m c a BA đư ng tròn đư ng kính M A, M B, M C khác M l y t ng đôi m t th ng hàng. 3. Cho ABC . M, N, P l n lư t là trung đi m c a BC, CA, AB . S là đi m thay đ i trên đư ng tròn (ABC ). G i I, J, K l n lư t là điêm đ i x ng c a S qua M, N, P . (a) CMR: AI, BJ, CK đ ng quy t i đi m S (b) Tìm qu tích S’ 4. Cho hai đư ng tròn (O) và (O ) ti p xúc trong t i A. Đư ng kính qua A c t (O) và (O ) l n lư t t i B và C . T A v đư ng th ng c t (O) và (O ) l n lư t t i M và N . Tìm qu tích giao đi m I c a BN và CM . 5. Dùng phép v t đ ch ng minh l i ph n thu n c a đ nh lý Menelayus 6. Cho hai đư ng tròn (O) và (O ) ti p xúc ngoài t i A và m t đư ng th ng d. M là m t đi m thay đ i trên d. T M k hai ti p tuy n M N và M P đ n đương tròn (O). AN và AP l n lư t c t (O) và (O ) t i N và P . CMR: N P đi qua m t đi m c đ nh. 7. Ch ng minh r ng trong m t tam giác ba trung đi m c a ba c nh, ba chân đư ng cao và ba trung đi m c a ba đo n n i t đ nh đ n tr c tâm n m trên m t đư ng tròn (đư ng tròn Ueler) 8. D ng hình vuông n i ti p m t tam giác đã cho. (có hai đ nh liên ti p n m trên m t c nh c a tam giác còn hai đ nh kia n m trên hai c nh còn l i). 9. Cho hai đư ng tròn ti p xúc nhau t i A l n lư t có đư ng kính l n lư t là AB và AC . T đi m A ngư i ta v m t cát tuy n c t hai đư ng tròn trên l n lư t t i B và C . Tìm qu tích giao đi m c a B C và BC . 10. Cho hai đư ng tròn b ng nhau (O) và (O ) c t nhau t i A, B . M t đư ng th ng thay đ i qua A c t hai đư ng tròn t i P, Q. Tìm qu tích nh ng −→ − −→− → đi m M th a AM = 2 AP + AQ 11. Cho hai đư ng tròn đ ng tâm (O; R) và (O; 2R) và A là m t đi m n m ngoài hai đư ng tròn này. M là đi m thay đ i trên (O; 2R). T M k hai ti p tuy n M B và M C đ n (O; R) (B, C thu c (O; R)). Ch ng minh r ng : √ (a) BC = 3R (b) Tr ng tâm G c a tam giác ABC thu c m t đư ng tròn c đ nh. 7
12. Cho hai đư ng tròn (O) và (O ) b ng nhau và c t nhau t i A, B . C là m t đi m c đ nh ngoài (O). M t đư ng th ng thay đ i qua C c t (O) t i M, N . BM và BN l n lư t c t (O ) t i M , N . Ch ng minh r ng: (a) Tam giác AM M cân. (b) Tr ng tâm tam giác AM M thu c m t đư ng tròn c đ nh (c) Đư ng th ng M N đi qua m t đi m c đ nh. 13. Cho hai đi m M, A c đ nh n m ngoài đư ng tròn (O) c đ nh. M t đư ng th ng thay đ i qua M và c t (O) t i B, C . Ch ng minh r ng. (a) Trung đi m I c a BC thu c m t đư ng tròn c đ nh (b) Tr ng tâm G c a ABC thu c m t đư ng tròn c đ nh. 14. Cho t giác ABCD v i M, N, P, Q l n lư t là trung đi m c a AB, BC, CD, DA. I là đi m thay đ i trên m t đư ng tròn (O) c đ nh. M , N , P , Q l n lư t là đ i x ng c a I qua M, N, P, Q. Ch ng minh r ng. (a) M P và N Q có cùng trung đi m. (b) M P , N Q , P M và QN đ ng quy t i m t đi m J . (c) J thu c m t đư ng tròn c đ nh. 15. Cho tam giác ABC n i ti p đư ng tròn (O, R). D là đi m xuyên tâm c a A trên (O). H là đi m đ i x ng c a D qua trung đi m BC . (a) CMR: H là tr c tâm c a tam giác ABC . (b) Cho A, (O) c đ nh; B, C thay đ i trên (O) sao cho B AC = 600 . Ch ng minh H thu c m t đư ng tròn c đ nh. (c) CMR: HBDC là hình bình hành. (d) Cho (O), H c đ nh còn A, B, C thay đ i. ch ng minh trung đi m M c a BC ch y trên m t đư ng tròn c đ nh. 16. Cho ABC có tr c tâm H và n i ti p đư ng tròn (O) có tâm O. D là đi m xuyên tâm c a A trên (O). (a) Ch ng minh HBDC là hình bình hành. (b) Cho A, (O) c đ nh; B, C thay đ i trên (O) sao cho B AC = 450 . Ch ng minh H thu c m t đư ng tròn c đ nh. 17. Cho hai đư ng tròn (O) và (O ) b ng nhau và c t nhau t i A, B . M t đư ng th ng thay đ i qua B c t (O) và (O ) l n lư t t i M, N . D ng hình bình hành AM CN . Ch ng minh r ng: (a) Góc M CN có s đo không đ i (b) C thu c m t đư ng tròn c đ nh. 18. Trong m t ph ng, góc nh n xOy và m t đi m P n m trong góc này. Hãy tìm trên c nh Ox đi m M sao cho kho ng cách M P b ng kho ng cách t M t i c nh Oy 8
19. Cho đư ng tròn (O, R) và (O , R ) c t nhau t i A, B th a OAO = 1350 . M đi m thay đ i trên (O), M A và M B l n lư t c t l i (O ) t i C, D. CMR. (a) Hai tamg giác M AD và OAO đ ng d ng và CD = const (b) Tr ng tâm G c a tam giác ACD thu c m t đư ng tròn c đ nh. 20. Cho O là tr ng tâm c a đư ng tròn ngo i ti p ABC . G i O1 , O2 , O3 l n lư t là các đi m đ i x ng c a O qua các c nh BC, CA, AB . CMR: các đư ng th ng AO1 , BO2 , CO3 đ ng quy. 21. G i M, N, P l n lư t là các đi m đ i x ng c a tâm đư ng tròn n i ti p ABC qua trung đi m c a các c nh BC, CA, AB . CMR: AM, BN, CP đ ng quy và ABC = M N P b ng nhau. Ph n IX PHÉP Đ NG D NG 1. Cho t giác ABCD. Trên các c nh AB, CD và v phía ngoài t giác ta d ng các tam giác M AB, N CD vuông cân l n lư t t i M, N . Trên các c nh BC, DA và v phía trong t giác ta d ng các tam giác P BC, QAD vuông cân t i P, Q. Ch ng minh M P N Q là hình bình hành. 2. Cho hai đư ng tròn (O) và (O ) c t nhau t i A, B . M t đư ng th ng thay đ i qua B c t (O) và (O ) l n lư t t i M và M . G i I là trung đi m c a M M . Tìm qu tích c a I . 3. Cho hình thang ABCD vuông cân t i A và D có AB = 2AD = 2CD. M là đi m thay đ i trên c nh CD. Đư ng th ng vuông góc AM t i M c t BC t i N . Ch ng minh trung đi m I c a M N thu c m t đư ng th ng c đ nh. 4. Trên ba c nh c a ABC v ba tam giác BCD, CAE và ABF đ n d ng thu n v i nhau. −→ −→ − − − → (a) Tính t ng BD + CE + AF (b) Suy ra hai tam giác ABC và BEF có cùng tr ng tâm. 5. Cho b n tam giác đ ng d ng thu n ABM, CDN, ADP và CBQ. (a) Ch ng minh t giác M P N Q là hình bình hành. (b) D ng hai hình bình hành AM BR và CN DS . CMR: −→ −→ − − → −→− AR + BQ + CS + DP = 0 6. Cho đi m A thay đ i trên n a đư ng tròn đư ng kính BC . G i H là hình chi u c a A lên BC . I và J là tâm đư ng tròn n i ti p c a tam giác ABH và ACH . CMR: đư ng th ng qua A và vuông góc v i IJ đi qua m t đi m c đ nh. 9
7. D ng t giác ABCD bi t đ dài b n c nh và t ng s đo c a hai góc B và D 8. Cho ABC . D ng v phía ngoài tam giác này các tam giác đ u ABM và CAN . G i I, J l n lư t là trung đi m c a AM, CN . L y K thu c c nh BC th a KB = 3KC . Tính các góc c a I JK Ph n X PHÉP NGH CH Đ O 1. Cho đư ng tròn (O) và dây AB c đ nh. P là đi m thay đ i trên (O). g i (C ), (C ) là hai đư ng tròn qua P , l n lư t ti p xúc v i AB t i A và B . Tìm qu tích giao đi m th hai c a hai đư ng tròn này. 2. Cho đư ng tròn (O) và đi m S n m ngoài (O). Hai cát tuy n lưu đ ng qua S l n lư t c t (O) t i A, A và B, B . G i M là giao đi m th hai c a hai đư ng tròn (SAB ) và (SBA ). Tìm qu tích M . 3. Cho đư ng tròn (O) và đi m S n m ngoài (O), AB là đư ng kính thay đ i. (a) CMR: đư ng tròn (SAB ) đi qua đi m c đ nh khác S . (b) SA, SB l n lư t c t (O) t i M, N . CMR: M N đi qua đi m c đ nh. 4. Cho đư ng tròn (O) và đư ng th ng d ti p xúc v i nhau t i A. G i (ω ) là đư ng tròn thay đ i ti p xúc v i (O) và d t i đi m khác A. CMR: (ω ) tr c giao v i đư ng tròn c đ nh. 5. Tìm qu tích giao đi m th hai B c a hai đư ng tròn thay đ i (O) và (O ) cùng qua A c đ nh, cùng ti p xúc v i đư ng tròn (C ) c đ nh và tr c giao v i nhau. (A n m trong (C ) và khác tâm c a nó) 6. Cho hai đư ng tròn (O) và (O ) ti p xúc ngoài A và M ch y trên ti p tuy n t i A. Ch ng minh r ng thư ng có haid đư ng tròn qua M và ti p xúc v i (O) và (O ). Hãy tìm qu tích giao đi m th hai c a hai đư ng tròn này. 7. Cho hai đư ng tròn (O) và (O ) ti p xúc ngoài A và M ch y trên ti p tuy n t i A. CMR: thư ng có hai đư ng tròn qua M và ti p xúc v i (O) và (O ). Hãy tìm qu tích giao đi m th hai c a hai đư ng tròn này. 8. Cho đư ng tròn (O) và hai đư ng th ng Ox, Oy vuông góc nhau. Ti p tuy n t i M thay đ i trên (O) c t Ox, Oy l n lư t t i A, B . Tr c đ ng phương c a (O) và (OAB ) c t Ox, Oy l n lư t t i C, D. Tìm qu tích trung đi m CD. 9. Cho hai đư ng tròn (O) và (O ) ti p xúc ngoài t i A. M t ti p tuy n chung ngoài c a (O) và (O ) là BC (B, C là ti p đi m). D là đi m c đ nh trên (O), M là đi m thay đ i trên (O ). tìm qu tích giao đi m th hai c a hai đư ng tròn (M BC ) và (M AD) 10
10. D ng đư ng tròn qua hai đi m cho trư c và ti p xúc v i m t đư ng tròn cho trư c. 11. Cho hai đư ng tròn (ω ) và (ω ) ti p xúc nhau t i O. T đi m A trên (ω ) v ti p tuy n c t (ω ) t i B, C . CMR: OA là phân giác c a B OC . 12. Cho hai đư ng tròn (O) và (O ) ngoài nhau. (ω ) là đư ng tròn thay đ i ti p xúc (O) và tr c giao (O ). CMR: (ω ) ti p xúc v i m t đư ng tròn th hai c đ nh khác (O). 13. Cho t giác ABCD. CMR: ABCD n i ti p ⇔ AB.CD + AD.BC = AC.BD 14. (O) là m t đư ng tròn n i ti p tam giác thư ng ABC và ti p xúc v i ba c nh BC, CA, AB l n lư t t i a, b, c. (O) c t aA, bB, cC l n lư t t i α, β, γ . G i m, n, p lân lư t là trung đi m bc, ca, ab. CMR: (a) Các đư ng tròn (aαm), (bβn), (cγp) đi qua O. (b) Ba đư ng tròn trên còn có đi m chung th hai. 15. G i (O, R) và (I, r) l n lư t là hai đư ng tròn ngo i ti p và n i ti p c a ABC v i OI = d. CMR: d2 = R2 − 2Rr 16. Cho đư ng tròn (O) và hai dây cung AB, CD thay đ i qua đi m P . Các đư ng tròn (P AD) và (P BC ) c t nhau t i đi m th hai M , các đư ng tròn (P AC ) và (P BD) c t nhau t i đi m th hai N . (a) Tìm qu tích M, N (b) CMR: M N qua đi m c đ nh. 17. Cho đư ng tròn (O) và đi m A n m ngoài đư ng tròn. M t ti p tuy n thay đ i c a (O) c t hai ti p tuy n k t A t i B, C . CMR: đư ng tròn (ABC ) ti p xúc v i m t đư ng tròn c đ nh. 18. Cho đư ng tròn (O) và hai dây cung thay đ i AA , BB vuông góc v i nhau t i P c đ nh trong đư ng tròn. M là chân đư ng vuông góc k t P đ n AB . (a) CMR: P H đi qua trung đi m c a A B và P H.P I = const (b) Đư ng tròn (ω ) qua A, P và ti p xúc (O) c t đư ng tròn (ω ) qua A , P và ti p xúc (O) t i đi m th hai M . Tìm qu tích M . 19. Cho t giác ABCD. CMR: (ABC )⊥(ABD) ⇔ AB 2 .CD2 = BC 2 .AD2 + BD2 .AC 2 20. Cho hai đư ng th ng Ox, Oy vuông góc nhau. Đư ng tròn (ω ) ti p xúc v i Oy t i O và c t Ox t i A. Đư ng tròn (ω ) ti p xúc v i Oy t i B , ti p xúc (ω ) t i C và c t Ox t i D, D . CMR: ti p tuy n c a (ω ) t i A, BD, đư ng tròn đư ng kính OD. Hai đư ng tròn (OBC ) và (ACD) có m t đi m chung. 11
21. Cho ba đi m A, B, C th ng hàng theo th t đó và BA n a đư ng tròn đư ng kính AB, AC, BC n m v m t phía c a đư ng th ng AB . D ng đư ng tròn ti p xúc v i ba đư ng tròn trên. 22. Cho đư ng tròn (O) và đư ng th ng c đ nh d c t (O) t i A, B . M là đi m ch y trên d. (ω ) và (ω ) là hai đư ng tròn thay đ i qua M và l n lư t ti p xúc v i (O) t i A, B . Hai đư ng tròn này còn c t nhau t i đi m th hai là P . Tìm qu tích P . 23. Cho đư ng th ng d và đi m O c đ nh không thu c d. Hai đư ng th ng thay đ i t o v i nhau m t góc α không đ i, quay quanh O và l n lư t c t d t i A, B . CMR: (OAB ) ti p xúc v i m t đư ng tròn c đ nh 24. Cho phép ngh ch đ o c c I , phương tích k bi n đư ng (O) thành đư ng tròn (O ). CMR: đi m O bi n thành chân đư ng đ i c c c a I đ i v i (O ) 25. Cho hai đi m A, B trên đư ng th ng d. Hai đư ng tròn (ω ), (omega ) l n lư t ti p xúc v i d t i A, B và tr c giao nhau t i M, N . Tìm qu tích M và N . 26. Cho hai đư ng tròn (O ) và (O”) cùng ti p xúc v i đư ng tròn (O) và c t nhau t i A, B . (ω ) là đư ng tròn thay đ i ti p xúc v i (O ), (O ) và c t (O) t i M, N . CMR: tâm c a đư ng tròn (AM N ) ch y trên m t đư ng tròn c đ nh. 27. Cho hai đư ng tròn (O) và (O ) ti p xúc ngoài t i A. M t ti p tuy n chung ngoài c a (O) và (O ) là BC (B, C là ti p đi m). D là đi m c đ nh trên (O), M là đi m thay đ i trên (O ). Tìm qu tích giao đi m th hai c a hai đư ng tròn (M BC ) và (M AD) 28. Cho đư ng tròn (O; R) và đi m A ngoài (O). M t ti p tuy n thay đ i c a (O) (không qua A) c t hai ti p tuy n c a (O) k t A t i B, C . (a) Tìm nh c a (O), A, B, C qua phép ngh ch đ o c c O, phương tích ngh ch đ o R2 (b) CMR: đư ng tròn (ABC ) luôn ti p xúc v i m t đư ng tròn c đ nh. √ 29. Cho đư ng tròn (O; R) và đi m S th a OS = 2R. Hai đư ng tròn (α), (β ) cùng qua S , cùng ti p xúc v i (O) t i B, C và tr c giao nhau. (α), (β ) c t nhau t i S và A. CMR: (a) Đư ng tròn (ABC ) đi qua m t điêm c đ nh. (b) A ch y trên m t đư ng th ng c đ nh (c) Đư ng tròn (SBC ) ti p xúc v i m t đư ng tròn c đ nh 30. Cho đư ng tròn tâm O đư ng kính AB . M t đi m M ch y trên đư ng th ng d vuông góc v i AB t i H . M A và M B l n lư t c t đư ng tròn t i P và Q. (a) CMR: P Q đi qua đi m c đ nh. (b) Tìm qu tích giao đi m th hai c a hai đư ng tròn (M AB ) và (M P Q). 12
31. Cho đi m S n m ngoài đư ng tròn (O), khác đi m O và m t đư ng th ng không c t (O). T m t đi m M thay đ i trên k hai ti p tuy n M P, M Q đ n (O) v i P, Q là hai ti p đi m và P Q không qua S . P S, QS c t (O) l n lư t P , Q . D ng hai đư ng tròn (α), (β ) qua S và ti p xúc v i (O) l n lư t t i P và Q . (α), (β ) c t nhau t i đi m th hai N . CMR: (a) N ch y trên m t đư ng tròn c đ nh (b) Đư ng tròn (SP Q ) đi qua m t đi m c đ nh (c) Đư ng th ng P Q đi qua m t đi m c đ nh. 32. Cho đư ng tròn (O) và đi m A c đ nh ngoài (O) và đi m B thay đ i trên (O). Hai đư ng tròn (α), (β ) tr c giao nhau t i A, B và c t (O) t i C, D. CMR: (a) Đư ng tròn (ACD) và (O) tr c giao nhau (b) Đư ng th ng CD đi qua m t đi m c đ nh √ 33. Cho đư ng tròn (O; R) và đi m A c đ nh sao cho OA = R 2 . (ω ), (ω ) là hai đư ng tròn hay đ i tr c giao nhau t i A, B và ti p xúc v i (O) l n lư t t i C, D. CMR: (a) Đi m B ch y trên m t đư ng th ng c đ nh (b) Hai đư ng tròn (ACD) và (BCD) tr c giao nhau (c) Đư ng tròn (ACD) ti p xúc v i m t đư ng tròn c đ nh. 34. Cho đư ng th ng ti p xúc v i đư ng tròn (O) t i A. B là m t đi m thu c và khác A. CMR: (a) T n t i duy nh t m t đư ng tròn (ω ) ti p xúc t i B và tr c giao v i (O) (b) (ω ) c t (O) t i M, N . CMR: hai đư ng tròn (ABM ) và (ABN ) tr c giao và có bán kính b ng nhau. (c) Khi B thay đ i trên . CMR: (ω ) ti p xúc v i m t đư ng tròn c đinh. 35. Cho đi m S n m ngoài đư ng tròn (O). M là m t đi m thay đ i trên (O). D ng hai đư ng tròn (α), (β ) qua S, M tr c giao nhau và c t (O) l n lư t t i A, B . CMR: (a) Đư ng tròn (SAB ) luôn đi qua m t đi m c đ nh khác S (b) Đư ng th ng AB luôn đi qua m t đi m c đ nh. 36. Cho đư ng th ng d và hai đi m A, B thu c d. Trong m t n a m t ph ng có b là d cho hai đư ng tròn thay đ i (O), (O ) l n lư t ti p xúc v i d t i A, B và ti p xúc nhau t i C . Đư ng tròn (ω ) ti p xúc v i (O), (O ) và d l n lư t t i M, N, P . CMR: (a) Hai đư ng tròn (AN P ) và (AN M ) tr c giao nhau (b) M, N thu c m t đư ng tròn c đ nh. 13
37. Trong m t ph ng cho đư ng tròn (O) và hai đi m A, B phân bi t trên (O). M là m t đi m trên (O) và M khác A, B . (ω1 ) là đư ng tròn qua M và ti p xúc v i đư ng th ng AB t i A, (ω2 ) là đư ng tròn qua M và ti p xúc v i đư ng th ng AB t i B . G i N là giao đi m th hai c a (ω1 ) và (ω2 ) . CMR: khi M thay đ i trên (O) thì đi m N ch y trên m t đư ng tròn c đ nh. Hãy d ng đư ng tròn đó. 38. Cho đư ng tròn (O : R) và đi m A c đ nh th a OA = 2R. M t đư ng th ng d thay đ i qua A. Hai đư ng tròn (α), (β ) cùng ti p xúc v i d t i A và ti p xúc v i (O) l n lư t t i M, N . CMR: (a) Đư ng tròn (AM N ) tr c giao v i (O) (b) Đư ng th ng M N đi qua m t đi m c đ nh (c) (γ ) là đư ng tròn ti p xúc v i (α), (β ) và (O). CMR: (γ ) ti p xúc v i m t đư ng tròn c đ nh khác (O) 39. Trong m t ph ng, cho đư ng tròn (O) có tâm O, đư ng kính AB . (ω ) là đư ng tròn đư ng kính AO. (γ ) là m t đư ng tròn thay đ i luôn ti p xúc v i c (O) và (ω ) ( không qua A). CMR: đư ng tròn (γ ) luôn tr c giao v i m t đư ng tròn c đ nh. (g i ý: dùng PNĐ c c A, phương tích OA.OB ) M cl c I GÓC Đ NH HƯ NG 1 II CÁT TUY N 1 III HÀNG ĐI M ĐI U HÒA 2 IV PHƯƠNG TÍCH 3 V C C VÀ Đ I C C 3 VI T NH TI N VÀ Đ I X NG 4 VII PHÉP QUAY 5 VIII PHÉP V T 7 14
A IX PHÉP Đ NG D NG 9 X PHÉP NGH CH Đ O 10 15