intTypePromotion=3

Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Ổn định tiệm cận của tập Iđêan nguyên tố liên kết của mô đun đối đồng điều địa phương với chiều thấp"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Nguyễn Phương Hà Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

0
50
lượt xem
4
download

Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Ổn định tiệm cận của tập Iđêan nguyên tố liên kết của mô đun đối đồng điều địa phương với chiều thấp"

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu của trường đại học Huế đề tài: Ổn định tiệm cận của tập Iđêan nguyên tố liên kết của mô đun đối đồng điều địa phương với chiều thấp...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Ổn định tiệm cận của tập Iđêan nguyên tố liên kết của mô đun đối đồng điều địa phương với chiều thấp"

  1. T P CHÍ KHOA H C, Đ i h c Hu , S 59, 2010 N Đ NH TI M C N C A T P IĐÊAN NGUYÊN T LIÊN K T C A MÔ ĐUN Đ I Đ NG ĐI U Đ A PHƯƠNG V I CHI U TH P Ph m H u Khánh, Trư ng Đ i h c Tây Nguyên Tóm t t. Cho (R, m) là vành Noether đ a phương chi u ≤ 2, I, J là hai iđêan c a R và M là m t R−môđun h u h n sinh. Chúng tôi s ch ng minh r ng, v i n đ l n, s nguyên fI (J n M/J n+1 M ) = inf {i : HI (J n M/J n+1 M ) không h u h n sinh} i không đ i và v i m i i ∈ N t p h p AssR (HI (J n M/J n+1 M )) n đ nh. i 1. Gi i thi u Cho (R, m) là m t vành Noether đ a phương, I, J là hai iđêan c a R và M là m t R−môđun h u h n sinh. Năm 1990, C. Huneke [8, Problem 4] đã đưa ra gi thuy t r ng t p các iđêan i nguyên t liên k t c a HI (M ) là h u h n v i m i R−môđun h u h n sinh M và m i iđêan I c a R. M c dù A. Singh [12] và M. Katzman [9] đã xây d ng các ph n ví d cho gi thuy t này, gi thuy t v n còn đúng trong nhi u trư ng h p. Vì v y, m t trong nh ng bài toán quan tr ng c a lý thuy t đ i đ ng đi u i đ a phương là nghiên c u tính h u h n c a t p AssR (HI (M )). Chúng ta bi t i r ng, nói chung, môđun đ i đ ng đi u đ a phương HI (M ) không h u h n sinh. i S nguyên i nh nh t sao cho HI (M ) không h u h n sinh đư c g i là chi u h u h n c a M đ i v i iđêan I và đư c ký hi u b i fI (M ). Năm 2000, M. Brodmann i và L. Faghani đã ch ng minh trong [3] r ng AssR (HI (M )) là t p h u h n v i m i i ≤ fI (M ). Năm 1979, M. Brodmann [1] đã ch ng minh r ng các t p h p AssR (J n M/J n+1 M ) và AssR (M/J n M ) n đ nh v i n đ l n. D a trên các k t qu đó, ông ta ch ng minh trong [2] r ng các s nguyên depth(I, J n M/J n+1 M ) và depth(I, M/J n M ) không đ i v i n đ l n. G n đây, M. Brodmann và Lê Thanh Nhàn trong [4] đã gi i thi u khái ni m M − dãy theo chi u > k , đây là m t m r ng c a khái ni m dãy chính quy. H cũng ch ra r ng m i M −dãy c c đ i theo chi u > k trong I có cùng đ dài. Sau đó, các tác gi trong [6] ký hi u đ dài chung này là depthk (I, M ). Như m t m r ng các k t qu c a Brodmann, h cũng ch ng minh r ng depthk (I, J n M/J n+1 M ) và depthk (I, M/J n M ) không đ i v i n đ l n. Đ c AssR (HI (J n M/J n+1 M ))\{m} i bi t, v i k = −1, 0, 1, h ch ra r ng các t p h p i≤rk AssR (HI (M/J n M )) i \ {m} n đ nh v i n đ l n. và i≤ s k 59
  2. T các k t qu trên, chúng tôi đ t ra câu h i: 1) "S fI (J n M/J n+1 M ) có nh n giá tr không đ i r khi n đ l n không?" 2) "T p h p AssR (HI (J n M/J n+1 M )) có n đ nh khi n đ l n không?" r Trong bài báo này chúng tôi tr l i cho các câu h i trên trong trư ng h p đ c bi t c a vành R, c th là đ nh lý sau: Đ nh lý 1.1 Cho (R, m) là vành Noether đ a phương có chi u ≤ 2, I, J là hai iđêan c a R và M là R−môđun h u h n sinh. Khi đó hai m nh đ sau đúng: (i) fI (J n M/J n+1 M ) không đ i v i n đ l n. (ii) AssR (HI (J n M/J n+1 M )) n đ nh v i n đ l n, v i m i i ∈ N. i Bài báo này đư c chia 3 ph n. Trong Ph n 2, chúng tôi ch ng minh m nh đ (i) c a Đ nh lý 1.1 và Ph n 3 dùng đ ch ng minh m nh đ (ii) c a Đ nh lý 1.1. 2. n đ nh ti m c n c a chi u h u h n sinh Cho (R, m) là vành Noether đ a phương, I, J là hai iđêan c a R và M là m t R−môđun h u h n sinh. Chúng ta đ nh nghĩa chi u h u h n sinh c a M đ i v i I là s i fI (M ) = inf {i ∈ N : HI (M ) không h u h n sinh}. i T [5, Proposition 9.1.2], chúng ta có fI (M ) = inf {i ∈ N : I (0 : HI (M ))}. 0 Chú ý r ng fI (M ) ho c là s nguyên dương ho c là ∞, vì HI (M ) là môđun h u h n sinh. N u R là nh đ ng c u c a vành chính quy, Đ nh lý h u h n c a Grothendieck ch ra r ng fI (M ) = inf {depth Mp + ht(I + p)/p : p ∈ Supp(M ) \ V(I )}, trong đó V(I ) là t p t t c các iđêan nguyên t c a R ch a I . Trư c h t, chúng tôi nh c l i m t k t qu v tính n đ nh c a t p các iđêan nguyên t liên k t như sau. B đ 2.1 ([1], [10, Lemma 2.1]) AssR (Mn ) n đ nh v i n đ l n. Bây gi , m nh đ (i) c a Đ nh lý 1.1 là m t trư ng h p đ c bi t c a đ nh lý sau. Đ nh lý 2.2 Cho R = n≥0 Rn là đ i s phân b c chu n h u h n sinh trên R0 v i R0 = R, M = n≥0 Mn là R−môđun phân b c h u h n sinh và I ⊆ R là iđêan. Khi đó, n u dim R ≤ 2 thì fI (Mn ) không đ i v i n đ l n. 60
  3. Ch ng minh. Trư c h t chúng ta ký hi u R là đ y đ m-adic c a R. Theo Đ nh lý đ i cơ s ph ng c a môđun đ i đ ng đi u đ a phương (xem [5, Theoreme 4.3.2]), chúng ta có R−đ ng c u HI (Mn ) ⊗R R ∼ HI R (Mn ⊗R R) ∼ HI R (Mn ). i =i =i Do đó, fI (Mn ) = fI R (Mn ). Vì v y, không m t tính ch t t ng quát, ta có th gi s R là nh đ ng c u c a vành chính quy. T B đ 2.1, t n t i m t s nguyên a sao cho AssR (Mn ) n đ nh v i n ≥ a. T đây dim Mn cũng l y giá tr không đ i d v i n ≥ a. Chú ý r ng, vì dim R ≤ 2 nên d ≤ 2. T đây fI (Mn ) ch nh n các giá tr 1, 2 ho c ∞ v i m i n ≥ a. T Đ nh lý h u h n c a Grothendieck ta có fI (Mn ) = inf {depth(Mn )p + ht(I + p)/p : p ∈ SuppR (Mn ) \ V(I )}. Chúng ta xét 3 trư ng h p sau: Trư ng h p 1. T n t i n0 ≥ a sao cho fI (Mn0 ) = ∞. Khi đó SuppR (Mn0 ) \ V(I ) = ∅. T B đ 2.1 chúng ta có SuppR (Mn ) \ V(I ) = ∅ v i m i n ≥ a. Do đó, fI (Mn ) = ∞ v i m i n ≥ a. Trư ng h p 2. T n t i n0 ≥ a sao cho fI (Mn0 ) = 1. Khi đó, t n t i p ∈ SuppR (Mn0 ) \ V(I ) sao cho depth(Mn0 )p = 0 và ht(I + p)/p = 1. T đây p ∈ AssR (Mn0 ) = AssR (Mn ) v i m i n ≥ a. Do đó depth(Mn )p = 0 v i m i n ≥ a. Chú ý r ng p ∈ SuppR (Mn ) \ V(I ) v i m i n ≥ a và ht(I + p)/p = 1. T đây chúng ta nh n đư c fI (Mn ) = 1 v i m i n ≥ a. Trư ng h p 3. Chúng ta luôn có fI (Mn ) = 2 v i m i n ≥ a. trên, chúng ta th y r ng fI (Mn ) không đ i v i n đ T các trư ng h p xét l n. 3. n đ nh ti m c n c a t p iđêan nguyên t liên k t c a môđun đ i đ ng đi u đ a phương Trư c h t chúng tôi nh c l i m t k t qu quan tr ng c a Brodmann và Faghani trong [3]. j B đ 3.1. ([3, Theorem 2.2]) Cho i là m t s nguyên dương sao cho HI (M ) i h u h n sinh v i m i j < i. Khi đó AssR (HI (M )) là m t t p h u h n. Cho R = n≥0 Rn là m t đ i s phân b c chu n h u h n sinh trên R0 v i R0 = R và M = n≥0 Mn là m t R−môđun phân b c h u h n sinh. Chúng tôi nh c l i m t s k t qu đã bi t v môđun phân b c. B đ 3.2. ([5, Lemma 13.1.10]) Chúng ta ký hi u I R là iđêan thu n nh t c a R sinh b i I . Khi đó, t n t i R−đ ng c u (HI R (M))n ∼ HI (Mn ) v i m i i ≥ 0 i =i và m i n ∈ N. 61
  4. Chúng ta ký hi u ∗ Spec(R) là t p h p t t c các iđêan nguyên t thu n nh t c a R, R+ = n>0 Rn và Proj(R) = {P ∈ ∗ Spec(R) : P R+ }. K t qu sau đư c ch ng minh b i Sharp. B đ 3.3. ([11, Corollary 1.5 (iii)]) Cho N = n≥0 Nn là m t R−môđun phân b c. Khi đó, n u P roj (R) ∩ AssR (N ) là m t t p h u h n thì v i n đ l n ta có AssR (Nn ) = {P ∩ R : P ∈ Proj(R) ∩ AssR (N )}. Chúng tôi nh c l i r ng chi u đ i đ ng đi u c a M đ i v i I là s nguyên đư c xác đ nh b i i cd(I, M ) = sup{i ∈ Z : HI (M ) = 0}. T đ nh nghĩa c a chi u đ i đ ng đi u chúng ta luôn có cd(I, M ) ≤ dim M . Trong [7, Theorem 1.4], T. Dibaei và S. Yassemi đã ch ng minh r ng n u M và N là các R−môđun h u h n sinh sao cho SuppR (M ) ⊆ SuppR (N ) thì cd(I, M ) ≤ cd(I, N ). T tính ch t này và B đ 2.1, chúng ta có b đ sau B đ 3.4. cd(I, Mn ) không đ i v i n đ l n. Chúng ta có đ nh lý sau. Đ nh lý 3.5. Cho R = n≥0 Rn là đ i s phân b c chu n h u h n sinh trên R0 v i R0 = R, M = n≥0 Mn là R−môđun phân b c h u h n sinh và I là iđêan i c a R. Khi đó, n u dim R ≤ 2 thì AssR (HI (Mn )) n đ nh v i n đ l n, v i m i i. Ch ng minh. G i c và d tương ng là các giá tr n đ nh c a cd(I, Mn ) và dim Mn . Khi đó ta luôn có c ≤ d ≤ 2. Chúng ta xét hai trư ng h p sau. Trư ng h p 1. fI R (M) ≥ 2. i T B đ 3.1 chúng ta th y r ng AssR (HI R (M)) là m t t p h u h n v i i ≤ 2. Áp d ng B đ 3.3, v i m i i ≤ 2 chúng ta có i i AssR (HI R (M))n = {P ∩ R : P ∈ AssR (HI R (M)) ∩ Proj(R)} i v i n đ l n. Do đó, v i i ≤ 2 thì AssR (HI (Mn )) n đ nh v i n đ l n. i V i i > 2, t Đ nh lý tri t tiêu c a Grothendieck chúng ta có HI (Mn ) = 0 v i i m i n. Do đó, AssR (HI (Mn )) = ∅ v i m i n, v i m i i > 2. Trư ng h p 2. fI R (M) = 1. Tương t ch ng minh trên, chúng ta th y r ng v i m i v i i ≤ 1 ho c i > 2 thì i AssR (HI (Mn )) n đ nh v i n đ l n. 2 Bây gi ta xét t i i = 2. N u d < 2 ho c c < d = 2 thì AssR (HI (Mn )) = ∅ v i 2 m i n và n u c = d = 2 thì AssR (HI (Mn )) = {m} v i n đ l n. i T ch ng minh trên, chúng ta k t lu n r ng, v i m i i, AssR (HI (Mn )) n đ nh v i n đ l n. 62
  5. Cu i cùng, M nh đ (ii) c a Đ nh lý 1.1 là m t trư ng h p đ c bi t c a Đ nh lý 3.5. TÀI LI U THAM KH O [1] M. Brodmann, Asymptotic stability of AssR (M/I n M ), Proc. Amer. Math. Soc., (1) 74 (1979), 16 - 18. [2] M. Brodmann, The asymptotic nature of the analytic spread, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 86 (1979), 35 - 39. [3] M. Brodmann and A. L. Faghani, A finiteness result for associated primes of local cohomology modules, Proc. Amer. Math. Soc., (10) 128 (2000), 2851 - 2853. [4] M. Brodmann and L. T. Nhan, A finiteness result for associated primes of certain Ext-modules, Comm. Algebra, (4) 36 (2008), 1527-1536. [5] M. Brodmann and R. Y. Sharp, “Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications", Cambridge University Press, 1998. [6] N. T. Cuong, N.V. Hoang and P. H. Khanh, Asymptotic stability of certain sets of associated prime ideals of local cohomology modules, to appear in commu- nications in algebra. [7] M. T. Dibaei and S. Yassemi, Cohomological Dimension of Complexes, Comm. Algebra, 32 (2004), 4375 - 4386. [8] C. Huneke, Problems on local cohomology, Free resolutions in commutative algebra and algebraic geometry (Sundance, Utah, 1990), Res. Notes Math., 2 (1992), 93 - 108. [9] M. Katzman, An example of an infinite set of associated primes of a local cohomology module, J. Algebra, 252 (2002), 161 - 166. [10] L. Melkersson and P. Schenzel Asymptotic prime ideals related to derived functions, Proc. Amer. Math. Soc., (4)117(1993), 935-938. [11] R. Y. Sharp, Convergence of sequences of sets of associated primes, Proc. Amer. Math. Soc., (10)131(2003), 3009-3017. [12] A. Singh, p−torsion elements in local cohomology modules, Math. Res. Lett., 7 (2000), 165 - 176. ASYMPTOTIC STABILITY OF SETS OF ASSOCIATED PRIME IDEALS OF LOCAL COHOMOLOGY MODULES WITH LOW DIMENSION Pham Huu Khanh, Tay Nguyen University Summary Let (R, m) be a Noetherian local ring of dimension ≤ 2, I, J two ideals of R, and M a finitely generated R−module. We show that fI (J n M/J n+1 M ) = inf {i : HI (J n M/J n+1 M ) is not finitely generated} i becomes for large n independent of n, and that the sets AssR (HI (J n M/J n+1 M )) i are stable for large n, for all i. 63

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản