Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Ổn định tiệm cận của tập Iđêan nguyên tố liên kết của mô đun đối đồng điều địa phương với chiều thấp"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Nguyễn Phương Hà Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

90
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu của trường đại học Huế đề tài: Ổn định tiệm cận của tập Iđêan nguyên tố liên kết của mô đun đối đồng điều địa phương với chiều thấp...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Ổn định tiệm cận của tập Iđêan nguyên tố liên kết của mô đun đối đồng điều địa phương với chiều thấp"

T P CHÍ KHOA H C, Đ i h c Hu , S 59, 2010 N Đ NH TI M C N C A T P IĐÊAN NGUYÊN T LIÊN K T C A MÔ ĐUN Đ I Đ NG ĐI U Đ A PHƯƠNG V I CHI U TH P Ph m H u Khánh, Trư ng Đ i h c Tây Nguyên Tóm t t. Cho (R, m) là vành Noether đ a phương chi u ≤ 2, I, J là hai iđêan c a R và M là m t R−môđun h u h n sinh. Chúng tôi s ch ng minh r ng, v i n đ l n, s nguyên fI (J n M/J n+1 M ) = inf {i : HI (J n M/J n+1 M ) không h u h n sinh} i không đ i và v i m i i ∈ N t p h p AssR (HI (J n M/J n+1 M )) n đ nh. i 1. Gi i thi u Cho (R, m) là m t vành Noether đ a phương, I, J là hai iđêan c a R và M là m t R−môđun h u h n sinh. Năm 1990, C. Huneke [8, Problem 4] đã đưa ra gi thuy t r ng t p các iđêan i nguyên t liên k t c a HI (M ) là h u h n v i m i R−môđun h u h n sinh M và m i iđêan I c a R. M c dù A. Singh [12] và M. Katzman [9] đã xây d ng các ph n ví d cho gi thuy t này, gi thuy t v n còn đúng trong nhi u trư ng h p. Vì v y, m t trong nh ng bài toán quan tr ng c a lý thuy t đ i đ ng đi u i đ a phương là nghiên c u tính h u h n c a t p AssR (HI (M )). Chúng ta bi t i r ng, nói chung, môđun đ i đ ng đi u đ a phương HI (M ) không h u h n sinh. i S nguyên i nh nh t sao cho HI (M ) không h u h n sinh đư c g i là chi u h u h n c a M đ i v i iđêan I và đư c ký hi u b i fI (M ). Năm 2000, M. Brodmann i và L. Faghani đã ch ng minh trong [3] r ng AssR (HI (M )) là t p h u h n v i m i i ≤ fI (M ). Năm 1979, M. Brodmann [1] đã ch ng minh r ng các t p h p AssR (J n M/J n+1 M ) và AssR (M/J n M ) n đ nh v i n đ l n. D a trên các k t qu đó, ông ta ch ng minh trong [2] r ng các s nguyên depth(I, J n M/J n+1 M ) và depth(I, M/J n M ) không đ i v i n đ l n. G n đây, M. Brodmann và Lê Thanh Nhàn trong [4] đã gi i thi u khái ni m M − dãy theo chi u > k , đây là m t m r ng c a khái ni m dãy chính quy. H cũng ch ra r ng m i M −dãy c c đ i theo chi u > k trong I có cùng đ dài. Sau đó, các tác gi trong [6] ký hi u đ dài chung này là depthk (I, M ). Như m t m r ng các k t qu c a Brodmann, h cũng ch ng minh r ng depthk (I, J n M/J n+1 M ) và depthk (I, M/J n M ) không đ i v i n đ l n. Đ c AssR (HI (J n M/J n+1 M ))\{m} i bi t, v i k = −1, 0, 1, h ch ra r ng các t p h p i≤rk AssR (HI (M/J n M )) i \ {m} n đ nh v i n đ l n. và i≤ s k 59
T các k t qu trên, chúng tôi đ t ra câu h i: 1) "S fI (J n M/J n+1 M ) có nh n giá tr không đ i r khi n đ l n không?" 2) "T p h p AssR (HI (J n M/J n+1 M )) có n đ nh khi n đ l n không?" r Trong bài báo này chúng tôi tr l i cho các câu h i trên trong trư ng h p đ c bi t c a vành R, c th là đ nh lý sau: Đ nh lý 1.1 Cho (R, m) là vành Noether đ a phương có chi u ≤ 2, I, J là hai iđêan c a R và M là R−môđun h u h n sinh. Khi đó hai m nh đ sau đúng: (i) fI (J n M/J n+1 M ) không đ i v i n đ l n. (ii) AssR (HI (J n M/J n+1 M )) n đ nh v i n đ l n, v i m i i ∈ N. i Bài báo này đư c chia 3 ph n. Trong Ph n 2, chúng tôi ch ng minh m nh đ (i) c a Đ nh lý 1.1 và Ph n 3 dùng đ ch ng minh m nh đ (ii) c a Đ nh lý 1.1. 2. n đ nh ti m c n c a chi u h u h n sinh Cho (R, m) là vành Noether đ a phương, I, J là hai iđêan c a R và M là m t R−môđun h u h n sinh. Chúng ta đ nh nghĩa chi u h u h n sinh c a M đ i v i I là s i fI (M ) = inf {i ∈ N : HI (M ) không h u h n sinh}. i T [5, Proposition 9.1.2], chúng ta có fI (M ) = inf {i ∈ N : I (0 : HI (M ))}. 0 Chú ý r ng fI (M ) ho c là s nguyên dương ho c là ∞, vì HI (M ) là môđun h u h n sinh. N u R là nh đ ng c u c a vành chính quy, Đ nh lý h u h n c a Grothendieck ch ra r ng fI (M ) = inf {depth Mp + ht(I + p)/p : p ∈ Supp(M ) \ V(I )}, trong đó V(I ) là t p t t c các iđêan nguyên t c a R ch a I . Trư c h t, chúng tôi nh c l i m t k t qu v tính n đ nh c a t p các iđêan nguyên t liên k t như sau. B đ 2.1 ([1], [10, Lemma 2.1]) AssR (Mn ) n đ nh v i n đ l n. Bây gi , m nh đ (i) c a Đ nh lý 1.1 là m t trư ng h p đ c bi t c a đ nh lý sau. Đ nh lý 2.2 Cho R = n≥0 Rn là đ i s phân b c chu n h u h n sinh trên R0 v i R0 = R, M = n≥0 Mn là R−môđun phân b c h u h n sinh và I ⊆ R là iđêan. Khi đó, n u dim R ≤ 2 thì fI (Mn ) không đ i v i n đ l n. 60
Ch ng minh. Trư c h t chúng ta ký hi u R là đ y đ m-adic c a R. Theo Đ nh lý đ i cơ s ph ng c a môđun đ i đ ng đi u đ a phương (xem [5, Theoreme 4.3.2]), chúng ta có R−đ ng c u HI (Mn ) ⊗R R ∼ HI R (Mn ⊗R R) ∼ HI R (Mn ). i =i =i Do đó, fI (Mn ) = fI R (Mn ). Vì v y, không m t tính ch t t ng quát, ta có th gi s R là nh đ ng c u c a vành chính quy. T B đ 2.1, t n t i m t s nguyên a sao cho AssR (Mn ) n đ nh v i n ≥ a. T đây dim Mn cũng l y giá tr không đ i d v i n ≥ a. Chú ý r ng, vì dim R ≤ 2 nên d ≤ 2. T đây fI (Mn ) ch nh n các giá tr 1, 2 ho c ∞ v i m i n ≥ a. T Đ nh lý h u h n c a Grothendieck ta có fI (Mn ) = inf {depth(Mn )p + ht(I + p)/p : p ∈ SuppR (Mn ) \ V(I )}. Chúng ta xét 3 trư ng h p sau: Trư ng h p 1. T n t i n0 ≥ a sao cho fI (Mn0 ) = ∞. Khi đó SuppR (Mn0 ) \ V(I ) = ∅. T B đ 2.1 chúng ta có SuppR (Mn ) \ V(I ) = ∅ v i m i n ≥ a. Do đó, fI (Mn ) = ∞ v i m i n ≥ a. Trư ng h p 2. T n t i n0 ≥ a sao cho fI (Mn0 ) = 1. Khi đó, t n t i p ∈ SuppR (Mn0 ) \ V(I ) sao cho depth(Mn0 )p = 0 và ht(I + p)/p = 1. T đây p ∈ AssR (Mn0 ) = AssR (Mn ) v i m i n ≥ a. Do đó depth(Mn )p = 0 v i m i n ≥ a. Chú ý r ng p ∈ SuppR (Mn ) \ V(I ) v i m i n ≥ a và ht(I + p)/p = 1. T đây chúng ta nh n đư c fI (Mn ) = 1 v i m i n ≥ a. Trư ng h p 3. Chúng ta luôn có fI (Mn ) = 2 v i m i n ≥ a. trên, chúng ta th y r ng fI (Mn ) không đ i v i n đ T các trư ng h p xét l n. 3. n đ nh ti m c n c a t p iđêan nguyên t liên k t c a môđun đ i đ ng đi u đ a phương Trư c h t chúng tôi nh c l i m t k t qu quan tr ng c a Brodmann và Faghani trong [3]. j B đ 3.1. ([3, Theorem 2.2]) Cho i là m t s nguyên dương sao cho HI (M ) i h u h n sinh v i m i j < i. Khi đó AssR (HI (M )) là m t t p h u h n. Cho R = n≥0 Rn là m t đ i s phân b c chu n h u h n sinh trên R0 v i R0 = R và M = n≥0 Mn là m t R−môđun phân b c h u h n sinh. Chúng tôi nh c l i m t s k t qu đã bi t v môđun phân b c. B đ 3.2. ([5, Lemma 13.1.10]) Chúng ta ký hi u I R là iđêan thu n nh t c a R sinh b i I . Khi đó, t n t i R−đ ng c u (HI R (M))n ∼ HI (Mn ) v i m i i ≥ 0 i =i và m i n ∈ N. 61
Chúng ta ký hi u ∗ Spec(R) là t p h p t t c các iđêan nguyên t thu n nh t c a R, R+ = n>0 Rn và Proj(R) = {P ∈ ∗ Spec(R) : P R+ }. K t qu sau đư c ch ng minh b i Sharp. B đ 3.3. ([11, Corollary 1.5 (iii)]) Cho N = n≥0 Nn là m t R−môđun phân b c. Khi đó, n u P roj (R) ∩ AssR (N ) là m t t p h u h n thì v i n đ l n ta có AssR (Nn ) = {P ∩ R : P ∈ Proj(R) ∩ AssR (N )}. Chúng tôi nh c l i r ng chi u đ i đ ng đi u c a M đ i v i I là s nguyên đư c xác đ nh b i i cd(I, M ) = sup{i ∈ Z : HI (M ) = 0}. T đ nh nghĩa c a chi u đ i đ ng đi u chúng ta luôn có cd(I, M ) ≤ dim M . Trong [7, Theorem 1.4], T. Dibaei và S. Yassemi đã ch ng minh r ng n u M và N là các R−môđun h u h n sinh sao cho SuppR (M ) ⊆ SuppR (N ) thì cd(I, M ) ≤ cd(I, N ). T tính ch t này và B đ 2.1, chúng ta có b đ sau B đ 3.4. cd(I, Mn ) không đ i v i n đ l n. Chúng ta có đ nh lý sau. Đ nh lý 3.5. Cho R = n≥0 Rn là đ i s phân b c chu n h u h n sinh trên R0 v i R0 = R, M = n≥0 Mn là R−môđun phân b c h u h n sinh và I là iđêan i c a R. Khi đó, n u dim R ≤ 2 thì AssR (HI (Mn )) n đ nh v i n đ l n, v i m i i. Ch ng minh. G i c và d tương ng là các giá tr n đ nh c a cd(I, Mn ) và dim Mn . Khi đó ta luôn có c ≤ d ≤ 2. Chúng ta xét hai trư ng h p sau. Trư ng h p 1. fI R (M) ≥ 2. i T B đ 3.1 chúng ta th y r ng AssR (HI R (M)) là m t t p h u h n v i i ≤ 2. Áp d ng B đ 3.3, v i m i i ≤ 2 chúng ta có i i AssR (HI R (M))n = {P ∩ R : P ∈ AssR (HI R (M)) ∩ Proj(R)} i v i n đ l n. Do đó, v i i ≤ 2 thì AssR (HI (Mn )) n đ nh v i n đ l n. i V i i > 2, t Đ nh lý tri t tiêu c a Grothendieck chúng ta có HI (Mn ) = 0 v i i m i n. Do đó, AssR (HI (Mn )) = ∅ v i m i n, v i m i i > 2. Trư ng h p 2. fI R (M) = 1. Tương t ch ng minh trên, chúng ta th y r ng v i m i v i i ≤ 1 ho c i > 2 thì i AssR (HI (Mn )) n đ nh v i n đ l n. 2 Bây gi ta xét t i i = 2. N u d < 2 ho c c < d = 2 thì AssR (HI (Mn )) = ∅ v i 2 m i n và n u c = d = 2 thì AssR (HI (Mn )) = {m} v i n đ l n. i T ch ng minh trên, chúng ta k t lu n r ng, v i m i i, AssR (HI (Mn )) n đ nh v i n đ l n. 62
Cu i cùng, M nh đ (ii) c a Đ nh lý 1.1 là m t trư ng h p đ c bi t c a Đ nh lý 3.5. TÀI LI U THAM KH O [1] M. Brodmann, Asymptotic stability of AssR (M/I n M ), Proc. Amer. Math. Soc., (1) 74 (1979), 16 - 18. [2] M. Brodmann, The asymptotic nature of the analytic spread, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 86 (1979), 35 - 39. [3] M. Brodmann and A. L. Faghani, A finiteness result for associated primes of local cohomology modules, Proc. Amer. Math. Soc., (10) 128 (2000), 2851 - 2853. [4] M. Brodmann and L. T. Nhan, A finiteness result for associated primes of certain Ext-modules, Comm. Algebra, (4) 36 (2008), 1527-1536. [5] M. Brodmann and R. Y. Sharp, “Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications", Cambridge University Press, 1998. [6] N. T. Cuong, N.V. Hoang and P. H. Khanh, Asymptotic stability of certain sets of associated prime ideals of local cohomology modules, to appear in commu- nications in algebra. [7] M. T. Dibaei and S. Yassemi, Cohomological Dimension of Complexes, Comm. Algebra, 32 (2004), 4375 - 4386. [8] C. Huneke, Problems on local cohomology, Free resolutions in commutative algebra and algebraic geometry (Sundance, Utah, 1990), Res. Notes Math., 2 (1992), 93 - 108. [9] M. Katzman, An example of an infinite set of associated primes of a local cohomology module, J. Algebra, 252 (2002), 161 - 166. [10] L. Melkersson and P. Schenzel Asymptotic prime ideals related to derived functions, Proc. Amer. Math. Soc., (4)117(1993), 935-938. [11] R. Y. Sharp, Convergence of sequences of sets of associated primes, Proc. Amer. Math. Soc., (10)131(2003), 3009-3017. [12] A. Singh, p−torsion elements in local cohomology modules, Math. Res. Lett., 7 (2000), 165 - 176. ASYMPTOTIC STABILITY OF SETS OF ASSOCIATED PRIME IDEALS OF LOCAL COHOMOLOGY MODULES WITH LOW DIMENSION Pham Huu Khanh, Tay Nguyen University Summary Let (R, m) be a Noetherian local ring of dimension ≤ 2, I, J two ideals of R, and M a finitely generated R−module. We show that fI (J n M/J n+1 M ) = inf {i : HI (J n M/J n+1 M ) is not finitely generated} i becomes for large n independent of n, and that the sets AssR (HI (J n M/J n+1 M )) i are stable for large n, for all i. 63