Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Chia sẻ: Nguyen Toan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:20

Thêm vào BST

Báo xấu

5.209
lượt xem 451
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

HS hiểu kỹ định nghĩa giá trị tuyệt đối từ đó biết cách mở dấu giá trị tuyệt của biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối. + Biết giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. + Hiểu được và sử dụng qui tắc biến đổi bất phương trình: chuyển vế và qui tắc nhân + Biết biểu diễn nghiệm của bất phương trình trên trục số + Bước đầu hiểu bất phương trình tương đương. 2, Kỹ năng: áp dụng 2 qui tắc để giải bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối....

Chủ đề:

Bình luận(1) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
B T PHƯƠNG TRÌNH CÓ CH A D U GIÁ TR TUY T Đ I Tr n Văn Toàn, Trư ng THPT chuyên Lương Th Vinh, Biên Hoà, Đ ng Nai. Ngày 7 tháng 1 năm 2009 Tóm t t n i dung B t phương trình có ch a d u giá tr tuy t đ i đư c h c trong chương trình Toán Trung h c ph thông. Tuy nhiên, trong chương trình hi n hành, cũng ch đưa ra m t vài bài toán nh mà phương pháp gi i ch y u là dùng đ nh nghĩa v giá tr tuy t đ i ho c xét d u c a bi u th c bên trong d u giá tr tuy t đ i đ sao cho b t phương trình đang xét không còn ch a d u giá tr tuy t đ i n a. L y ý tư ng chính t m t bài vi t trong [1], tôi vi t đ tài này v i m c đích là đưa thêm m t cách gi i n a, ch y u là tránh vi c xét d u bi u th c bên trong d u giá tr tuy t đ i, mà công vi c xét d u này đôi khi th t s không đơn gi n. 1 Các b t phương trình cơ b n Sách Giáo viên Đ i s l p 10 c a Nhà xu t b n Giáo d c, xu t b n năm 2006, trang 107 có ch ng minh r ng n u a là m t s th c b t kì thì ta có 1. |f (x)| a ⇔ −a f (x) a. f ( x) a 2. |f (x)| a⇔ −a f ( x) 1. Th t v y, xét b t phương trình |f (x)| a. • N ua 0, ta có |f (x)| a ⇔ −a f (x) a. • N u a < 0, các b t phương trình |f (x)| a và −a f (x) a đ u vô nghi m. • Trư ng h p b t phương trình |f (x)| a ch ng minh tương t . 2. Bây gi , ta xét các b t phương trình |f (x)| g (x) và −g (x) f (x) g (x). G i D là t p xác đ nh c a b t phương trình |f (x)| g (x) (Khi đó, D cũng là t p xác đ nh c a b t phương trình −g (x) f (x) g (x)). Gi s có s x0 ∈ D tho b t phương trình |f (x)| g (x), t c là |f (x0 )| g (x0 ). (1.1) 1
Ta ch xét trư ng h p g (x0 ) 0. • N u f (x0 ) 0, thì |f (x0 )| = f (x0 ) và b t phương trình (1.1) tr thành f ( x0 ) g (x0 ). (1.2) M t khác, vì f (x0 ) 0 và g (x0 ) 0, nên −g (x0 ). f ( x0 ) (1.3) T (1.2) và (1.3) suy ra −g (x0 ) f ( x0 ) g (x0 ). Hay x0 cũng tho − g ( x) f (x) g (x). • Trư ng h p f (x0 ) < 0. Khi đó, |f (x0 )| = −f (x0 ) và (1.1) tr thành −f (x0 ) g (x0 ). Do v y, ta có (1.3). M t khác, vì f (x0 ) < 0 và g (x0 ) 0, nên có (1.2). Do đó, ta cũng có −g (x0 ) f ( x0 ) g (x0 ). (Cũng có th nh n xét r ng, n u |f (x0 )| 0, thì −g (x0 ) g (x0 ), g (x0 f ( x0 ) g (x0 ).) • Trái l i, n u có x0 tho −g (x0 ) g (x0 ), ta cũng có |f (x0 )| < g (x0 ). f ( x0 ) V y ta có |f (x)| g (x) ⇔ −g (x) f (x) g (x). Ch ng minh tương t , ta có các k t qu như sau: f (x) < g (x), 1. |f (x)| < g (x) ⇔ f (x) < −g (x); f (x) g (x), 2. |f (x)| g ( x) ⇔ −g (x); f (x) f (x) > g (x) 3. |f (x)| > g (x) ⇔ f (x) > −g (x) Ta có th vi t các b t phương trình d ng trên dư i d ng sau:  f g, f < g, 3. |f | g ⇔ 1. |f | < g ⇔ −f g ; −f < g ;  f g, f > g, 2. |f | g⇔ 4. |f | > g ⇔ − f g; −f > g. 2
Cũng t các k t qu trên, ta có f (x) g (x) h(x) |g (x)| h(x) ⇔ f (x) −g (x) h(x) f (x) Ví d 1.1. Gi i b t phương trình |x − 6| < x2 − 5x + 9. (1.4) L i i. B t phuong trình (1.4) tương đương v i h gi  x − 6 < x2 − 5x + 9, x2 − 6x + 15 > 0, ⇔ ⇔ x ∈ (−∞; 1) ∪ (3; +∞). J −(x − 6) < x2 − 5x + 9 x2 − 4x + 3 > 0 Ví d 1.2. Gi i b t phương trình |x2 − 2x − 8| > 2x. (1.5) L i gi i. √ x2 − 2x − 8 > 2x, x2 − 4x − 8 > 0, x < 2 2, √ (1.5)⇔ ⇔ ⇔ J x2 − 2x − 8 < −2x x2 − 8 < 0 x > 2 + 2 3. Ví d 1.3. Gi i b t phương trình |x3 − 7x − 3| < x3 + x2 + 3. L i gi i. B t phương trình đã cho tương đương v i √   x3 − 7x − 3 < x3 + x2 + 3 x 2 + 7 x + 6 > 0 −1 + 57 ⇔ ⇔ −1 < x < 0 ho c x > . 4 −(x3 − 7x − 3) < x3 + x2 + 3 2x3 + x2 − 7x > 0 J ví d trên, vi c xét d u c a các bi u th c x3 − 7x − 3 và x3 + x2 + 3 là r t khó. Ví d 1.4. Gi i b t phương trình |x3 − x2 + 4| + x3 − x2 − 2x − 2 0. L i gi i. Đưa b t phương trình đã cho v d ng |x3 − x2 + 4| −x3 + x2 + 2x + 2, ta đư c −3 x −1 và x = 1. J 3 2 3 2 Chú ý r ng, vi c xét d u các bi u th c x − x + 4 và −x + x + 2x + 2 là không đơn gi n. Ví d 1.5. Gi i b t phương trình ||x| − 1| < 1 − x. L i gi i. Ta có  x < 2 − x    |x| − 1 < 1 − x |x| < 2 − x   ||x| − 1| < 1 − x ⇔ ⇔ ⇔ −x < 2 − x ⇔ x < 0. J −|x| + 1 < 1 − x x < |x|   x < 0.  |x| 1 Ví d 1.6. Gi i b t phương trình 1 − . 1 + |x| 2 L i gi i. Ta có   |x| |x| 1 1 1− 2 ⇔ |x| 1 |x| 1 1 + |x| ⇔  1 + |x| 2   1− ⇔ |x|  |x| 1 3 1 + |x| 2 1 + |x| 0  −1 + 1 + |x| 1 + |x| 2 2 ⇔ −1 J x 1. 3
Ví d 1.7. Tìm t p giá tr c a bi u th c x + a, bi t r ng |2x + 4 − 2a| + |x − 2 + a| 3. (1.6) L i gi i. Đ t y = |x + a|, b t phương trình (1.6) cho tr thành |y − 2| + 2|y − 2a + 2| 3. (1.7) B t phương trình (1.7) tương đương v i  y − 2 3 − 2|y − 2a + 2| y − 2 −3 + 2|y − 2a + 2| hay −1 + 2|y − 2a + 2| 5 − 2|y − 2a + 2|. y (1.8) T (1.8) suy ra y ∈ [−1; 5]. 1 • y = −1 khi và ch khi −1 − 2a + 2 = 0 ⇔ a = . 2 7 • y = 5 khi và ch khi 5 − 2a + 2 = 0 ⇔ a = . 2 V y t p giá tr c a x + a là đo n [−1; 5]. J Ví d 1.8. Gi i b t phương trình ||x2 − 3x − 7| + 2x − 1| < x2 − 8x − 5. (1.9) L i gi i.   |x2 − 3x − 7| + 2x − 1 < x2 − 8x − 5 |x2 − 3x − 7| < x2 − 10x − 4 (1.9) ⇔ ⇔ |x2 − 3x − 7| + 2x − 1 > −x2 + 8x + 5 |x2 − 3x − 7| > −x2 + 6x + 6   x2 − 3x − 7 < x2 − 10x − 4 7x > 3          2  −x + 3x + 7 < x2 − 10x − 4  2  2x − 13x − 11 > 0 ⇔ ⇔   x2 − 3x − 7 > −x2 + 6x + 6  2x2 − 9x − 13 > 0          − x2 + 3 x + 7 > − x2 + 6 x + 6  3x − 1 > 0    x > 3    7 √   13 − 257    x <   4 √   √ 13 + 257   x>  13 − 257  √4 ⇔ ⇔x< . 4 9 − 85   x<  4  √    x > 9 + 85     4     x< 1  3 J Ví d 1.9. Gi i b t phương trình |x2 − |x2 − 3x − 5| − 5| < x + 1. 4
√ √ 1+ 19 2+ 16 3 − x. (1.10) x − 1 > 3 − x − |x − 2|, L i gi i. Ta có |x − 1| + |x − 2| > 3 − x ⇔ |x − 1| > 3 − x − |x − 2| ⇔ −x + 1 > 3 − x − |x − 2|  x > 6,  x − 2 > 4,  x < −2, |x − 2| > 4, −x + 2 > 4, x > 6,   ⇔ ⇔ ⇔  x < − 4 ⇔ x < 0.  |x − 2| > 2x + 2 x − 2 > 2x + 2,  3  −x + 2 > 2x + 2 x
 f 1 ( x ) 0,     f ( x ) 0, 2 ⇔ min{f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x)} 0. 3. . . . . . . . . .     f n ( x) 0   f1 (x) > 0,     f (x) > 0, 2 ⇔ min{f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x)} > 0. 4. . . . . . . . . .     f n ( x) > 0   f1 (x) < 0,  f (x) < 0, 2 ⇔ min{f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x)} < 0. 5.   ......... fn (x) < 0  f1 (x) 0,  f (x) 0, 2 ⇔ min{f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x)} 0. 6.   ......... fn (x) 0  f1 (x) 0,  f (x) 0, 2 ⇔ max{f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x)} 0. 7.   ......... fn (x) 0  f1 (x) > 0,  f (x) > 0, 2 ⇔ max{f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x)} > 0. 8.   ......... fn (x) > 0 Ví d 1.13. Tìm quan h gi a f, g, h, bi t |f | + |g | < h. (1.11) L i gi i.   f < h − |g |, |g | < h − f, (1.11) ⇔ |f | < h − |g | ⇔ ⇔ − f < h − | g | |g | < h + f,   g < h − f, f + g < h,       −g < h − f, f − g < h,   ⇔ ⇔ −f + g < h, g < h + f,         −g < h + f −f − g < h.   J 6
Chú ý, trong b t phương trình (1.11) có ch a hai d u giá tr tuy t đ i và ta có th đưa (1.11) v d ng |f1 | f2 . Ta th y, ng m i d u giá tr tuy t đ i, thì d u bi u th c bên trong c a nó có hai trư ng h p là (+) và (−) (ta không xét bi u th c bên trong d u giá tr tuy n đ i luôn dương ho c luôn âm). Do đó, v i b t phương trình d ng (1.11), đ th b d u giá tr tuy t đ i, ta xét các kh năng sau: (+ +), (+ −), (− +) và (− −). đây, kí hi u (+ +) đ ch d u c a f và g đ u dương. Ví d 1.14. Tìm quan h gi a f, g, h, k bi t |f | + |g | + |h| < k  f + g < k − |h|,    f − g < k − |h|,  L i gi i. Ta có |f | + |g | + |h| < k ⇔ |f | + |g | < k − |h| ⇔ −f + g < k − |h|,     −f − g < k − |h|    h < k − f − g, f + g + h < k,         −h < k − f − g, f + g − h < k,            |h| < k − f − g, h < k − f + g, f − g + h < k,            |h| < k − f + g, −h < k − f + g, f − g − h < k,    ⇔ ⇔ ⇔ |h| < k + f − g, h < k + f − g, −f + g + h < k,             |h| < k + f + g −h < k + f − g, −f + g − h < k,            −f − g + h < k, h < k + f + g,           − h < k + f + g −f − g − h < k J B ng quy n p, ta ch ng minh đư c r ng, b t phương trình có d ng |f1 | + |f2 | + |f3 | + · · · + |fn | < f tương đương v i h g m 2n b t phương trình. Ví d 1.15. Gi i b t phương trình |3x + 2| + |2x − 3| < 11. (1.12) L i gi i. Đ ý b t phương trình có d ng |f | < g. x < 12 ,   (3x + 2) + (2x − 3) < 11,  5       (3x + 2) − (2x − 3) < 11,   12 x < 6,  (1.12) ⇔ ⇔ ⇔ −2 < x < . 5 −(3x + 2) + (2x − 3) < 11, x > −16,         −(3x + 2) − (2x − 3) < 11 x > −2   J Ví d 1.16. Gi i b t phương trình |x2 − 3x − 7| + |2x2 − x − 9| + |3x2 − 7x − 5| < x + 15. (1.13) 7
L i gi i. Ta có (1.13)  (x2 − 3x − 7) + (2x2 − x − 9) + (3x2 − 7x − 5) < x + 15,    2 x − 3x − 7 + 2x2 − x − 9 − (3x2 − 7x − 5) < x + 15,     2 x − 3x − 7 − (2x2 − x − 9) + 3x2 − 7x − 5 < x + 15,     2 x − 3x − 7 − (2x2 − x − 9) − 3x2 − 7x − 5 < x + 15, ⇔ −(x2 − 3x − 7) + (2x2 − x − 9) + (3x2 − 7x − 5) < x + 15,     −(x2 − 3x − 7) + (2x2 − x − 9) − (3x2 − 7x − 5) < x + 15,      −(x2 − 3x − 7) − (2x2 − x − 9) + (3x2 − 7x − 5) < x + 15,     −(x2 − 3x − 7) − (2x2 − x − 9) − (3x2 − 7x − 5) < x + 15,   6x2 − 12x − 36 < 0,     2x − 26 < 0,     2 2x − 10x − 18 < 0,     2 4x + 10x + 18 > 0,    ⇔ 4x2 − 4x − 8 < 0,   2 4x − 6x − 22 < 0,     −2x2 − 8x − 12 < 0,      −4x − 4 < 0,     −6x2 − 4x − 4 < 0  T đó, ta có nghi m c a b t phương trình đã cho là √ √ √ 5 − 61 5 + 61 97 + 3 ho c − 1 < x < h. (1.14) B ng cách ch ng minh tương t như Ví d 1.13, ta có k t qu sau:  f + g > h,  f − g > h, |f | + |g | > h ⇔    −f + g > h, −f − g > h. Ví d 1.18. Gi i phương trình |x − 1| + |2 − x| > 3 + x. L i gi i.  x − 1 + 2 − x > 3 + x,  x − 1 − (2 − x) > 3 + x, x < 0, |x − 1| + |2 − x| > 3 + x ⇔  ⇔   −(x − 1) + 2 − x > 3 + x, x > 6. −(x − 1) − (2 − x) > 3 + x J 8
Ví d 1.19. Tìm quan h gi a f, g, h, bi t |f | − |g | < h. (1.15) L i gi i. B ng cách ch ng minh tương t như Ví d 1.13, ta có k t qu sau:  f − g < h,    f + g < h,     |f | − |g | < h ⇔  −f − g < h,      −f + g < h.  J Ví d 1.20. Tìm quan h gi a f, g, h, bi t |f | − |g | > h. (1.16) L i gi i. B ng cách ch ng minh tương t như Ví d 1.13, ta có k t qu sau:  f − g > h,  f + g > h,  |f | − |g | > h ⇔  −f − g > h,   −f + g > h. J Ví d 1.21. Gi i b t phương trình |x2 − 3x − 17| − |x2 − 5x − 7| > 3. (1.17) L i gi i.   x2 − 3x − 17 + x2 − 5x − 7 > 3, 2x2 − 8x − 27 > 0, x2 − 3x − 17 − x2 + 5x + 7 > 3;   2x > 13;   (1.17) ⇔  ⇔ −x2 + 3x + 17 + x2 − 5x − 7 > 3, −2x > −7,     2 2 −2x2 + 8x + 21 > 0 −x + 3x + 17 − x + 5x + 7 > 3 √  4 − 70    x<   2 √   4 + 70  √  x>  4 − 58 7  2  13  2 x> 7  2  x<  2 √ √  4 − 58 4 + 58 
 3(x − p) + 5(x − 3p) + 4x + 6p + 12 0,    3(x − p) − 5(x − 3p) + 4x + 6p + 12  0, L i gi i. (1.18) ⇔ −3(x − p) + 5(x − 3p) + 4x + 6p + 12 0,     −3(x − p) − 5(x − 3p) + 4x + 6p + 12 0    12x − 12p + 12 0, x p − 1,  x p − 2,        x −9p − 6,    2x + 18p + 12 0,  ⇔ ⇔ ⇔ x −9p − 6, 6x − 6p + 12 0, x p − 2,     6p + 3 x        −4x + 24p + 12 0 6p + 3 x     p −1, p > −1, ⇔ ho c 6p + 3 x p − 2 x ∈ ∅,   p −1, 6p + 3 x p − 2, ⇔ ⇔ p −1 ⇒ p − 2 < −9p − 6 Ta có p − 9 6p + 3 −9p − 6 15 K t lu n • N up −1, thì b t phương trình (1.18) có nghi m là 6p + 3 p − 2; x • N u p > −1 b t phương trình (1.18) vô nghi m. J Ví d 1.23. Gi i và bi n lu n b t phương trình theo tham s |2x + 21p| − 2.|2x − 21p| < x − 21p. (1.19) L i gi i. B t phương trình (1.19) tương đương v i h    (2x + 21p) − 2(2x − 21p) < x − 21p  x > 28p          (2x + 21p) + 2(2x − 21p) < x − 21p  x 6p          −(2x + 21p) + 2(2x − 21p) < x − 21p  x < 42p   • N u p < 0, thì 42p < 28p < 6p < 0; • N u p = 0, thì 0 = 6p = 28p = 42p; • N u p > 0, thì 0 < 6p < 28p < 42p. K t lu n • N u p < 0, thì x ∈ (−∞; 42p) ∪ (6p; +∞); • N u p = 0, x ∈ (−∞; 0) ∪ (0; +∞); • N u p > 0, thì x ∈ (−∞; 0) ∪ (28p; +∞). J 10
Ví d 1.24. Tìm t t c các giá tr th c c a tham s a sao cho b t phương trình x2 − |x − a| − |x − 1| + 3 0 (1.20) đúng v i m i x ∈ R. L i gi i. B t phương trình (1.20) có d ng |f | g.   x2 − (x − a) − (x − 1) + 3 x2 − 2x + a + 4 0, 0,       2 2 x − (x − a) + (x − 1) + 3 0, x + a + 2 0, (1.20) ⇔ ⇔ x2 + (x − a) − (x − 1) + 3 x2 − a + 4 0, 0,       2 2 x + (x − a) + (x − 1) + 3 x + 2x − a + 2 0 0,   B t phương trình (1.20) đúng v i m i x ∈ R khi và ch khi m i b t phương trình c a h trên  12 − (a + 4) 0,    −(a + 2) 0,  đúng v i m i x ∈ R. Đi u này x y ra khi và ch khi ⇔ −2 a 1. J −(−a + 4) 0,    2 1 − (−a + 2) 0  Ví d 1.25. Tìm m đ b t phương trình −2x2 + |x − m| + |x2 − mx + 1| < 0, ∀x ∈ R. (1.21)   −2x2 + x − m + x2 − mx + 1 < 0, x2 + (m − 1)x + m − 1 > 0,       −2x2 + x − m − (x2 − mx + 1) < 0, 2 3x − (m + 1)x + m + 1 > 0,  L i gi i. (1.21) ⇔ ⇔ −2x2 − (x − m) + x2 − mx + 1 < 0, x2 + (m + 1)x − m − 1 > 0,        2 2 2 −2x − (x − m) − (x − mx + 1) < 0 3x − (m − 1)x − m + 1 > 0.   B t phương trình (1.21) đúng v i m i x thu c R khi và ch khi m i b t phương trình c a h trên đúng v i m i x thu c R. Đi u này x y ra khi và ch khi   (m − 1)2 − 4(m − 1) < 0, 1 < m < 5,       (m + 1)2 − 12(m + 1) < 0, −1 < m < 11,   ⇔ (m + 1)2 + 4(m + 1) < 0, −5 < m < −1,         2 (m − 1) + 12(m − 1) < 0 −11 < m < 1.   J H b t phương trình trên vô nghi m. V y không có giá tr c a m tho yêu c u đ bài. Ví d 1.26. Tìm t t c các giá tr c a tham s a sao cho giá tr nh nh t c a hàm s y = x2 + 2x − 1 + |x − a| (1.22) l n hơn 2. 11
L i gi i. Yêu c u bài toán tương đương v i vi c tìm a đ x2 + 2x − 1 + |x − a| > 2, ∀x ∈ R. Ta có x2 + 2x − 1 + x − a > 2, x2 + 3x − 3 > a, x2 + 2x − 1 + |x − a| > 2 ⇔ ⇔ x2 + 2 x − 1 − x + a > 2 −x2 − x + 3 < a. Do đó, ta c n tìm a tho  21  2 min(x + 3x − 3) > a,  a . 4 R J Ví d 1.27. Tìm t t c các giá tr c a tham s a sao cho giá tr nh nh t c a hàm s y = x2 + |x − a| + |x − 1| (1.23) l n hơn 2. L i gi i. Yêu c u bài toán tương đương v i vi c tìm a đ y = x2 + |x − a| + |x − 1| > 2, ∀x ∈ R. Ta có 2 a < x2 + 2x − 3,  x + (x + a) + (x − 1) > 2,  x2 − (x + a) + (x − 1) > 2,  a > −x2 + 3, y = x2 + |x − a| + |x − 1| > 2 ⇔  2 ⇔    a < x2 − 1,  x + (x + a) − (x − 1) > 2, x2 − (x + a) − (x − 1) > 2 a < −x2 + 2x + 1 Yêu c u bài toán tho mãn khi và ch khi  a < max min(x2 + 2x − 3); min(x2 − 1) , a < max{−4; −1}, a < −1, ⇔ ⇔ R R  a > min{3; 2} a > 2. 2 2 a > min max(−x + 3); max(−x + 2x + 1) R R J Ví d 1.28. Tìm a sao cho giá tr nh nh t c a hàm s y = ax + |x2 − 4x + 3| l n hơn 1. L i gi i. Ta c n tìm a sao cho ax + |x2 − 4x + 3| > 1, ∀x ∈ R hay |x2 − 4x + 3| > 1 − ax, ∀x ∈ R. Đi u này cũng tương đương v i vi c tìm a sao cho đ th c a hàm s |x2 − 4x + 3| luôn luôn √ phía trên c a đư ng th ng y = 1 − ax. T đó ta có đáp s 1 < a < 4 + 2 2. J Ví d 1.29. V i giá tr nào c a m thì giá tr l n nh t c a hàm s f (x) = 4x − x2 + |x − m| nh hơn 4? L i gi i. Yêu c u bài toán tương đương v i vi c tìm m đ f (x) = 4x − x2 + |x − m| < 4, ∀x ∈ R. B t phương trình trên có d ng |f | < g , ta tìm m đ m > 9   x2 − 5x + 4 + m > 0, ∀x ∈ R 4 ⇔ x2 − 5x + 4 − m > 0, ∀x ∈ R m < 7 4 J H trên vô nghi m. V y không t n t i m tho yêu c u đ bài. 12
1.1. Tìm t t c các giá tr c a tham s a sao cho giá tr nh nh t c a hàm s y = x2 + 2x − 1 + |x − a| l n hơn 2. 21 13 Đáp s . a < − ho c a > . 4 4 1.2. Tìm t t c các giá tr c a tham s a sao cho giá tr nh nh t c a hàm s y = 3|x − a| + |x2 + x − 2| nh hơn 2. Hư ng d n. Ta ch c n gi i bài toán tìm a sao cho b t phương trình 3|x − a| + |x2 + x − 2| < 2 có ít nh t m t nghi m. 8 5 Đáp s − < a < −1 hay 0 < a < . 3 3 1.3. Tìm m sao cho giá tr l n nh t c a hàm s y = |x2 − 4x + 3| + mx nh hơn 2. Đáp s . m > 5. 1.4. Tìm m sao cho giá tr nh nh t c a hàm s y = |x2 − 5x + 4| + mx l n hơn 1. √ Đáp s . 1 < m < 5 + 2 3. 1.5. Tìm m sao cho v i m i x ∈ R, ta có x2 − 2mx + 2|x − m| + 2 > 0. √ √ Đáp s . − 2 < m < 2. 1.6. Tìm m sao cho v i m i x ∈ R, ta có x2 + (m + 1)2 + 2|x − m + 1| 3. √ 2 Đáp s . −1 m . 2 1.7. Tìm tham s m đ f (x) = (x − 2)2 + 2|x − m| 3 v i m i x ∈ R. Đáp s . m 0 ho c m 4. 2 Gi i b t phương trình ch a d u giá tr tuy t đ i b ng cách đưa v phương pháp kho ng Xét b t phương trình d ng loga f (x) > loga g (x). Ta có,  a > 0,     f (x) > 0, loga f (x) > loga g (x) ⇔ g (x) > 0,     (a − 1)[f (x) − g (x)] > 0.  13
Như v y, v i các đi u ki n a > 0, f (x) > 0, g (x) > 0, thì d u c a hi u loga f (x) − loga g (x) là d u c a tích (a − 1)[f (x) − g (x)]. Đ ch d u c a loga f (x) − loga g (x) là d u c a tích (a − 1)[f (x) − g (x)], tôi kí hi u loga f (x) − loga g (x) ↔ (a − 1)[f (x) − g (x)]. Ta có các k t qu sau: 1. u − v ↔ u2 − v 2 , 6. au − 1 ↔ u(a − 1), u, v 0; (a > 0); 7. au − b ↔ (a − 1)(u − loga b), (a > 0); 2. |u| − |v | ↔ u2 − v 2 ; 8. loga u − loga v ↔ (a − 1)(u − v ), √ √ v ↔ u2 − v 2 , u− (u, v 0); 3. (a, u, v > 0); √ v ↔ u2 − v 2 , 4. |u| − (v 0); 9. loga u ↔ (a − 1)(u − 1), (a, u > 0); 5. au − av ↔ (a − 1)(u − v ), 10. loga u − v ↔ (a − 1)(u − av ), (a > 0); (a, u > 0). Ví d 2.1. Gi i b t phương trình √ (|x − 2| − 4 − x2 ) |x + 4| − x2 − x − 2 > 0. (2.1) (|1 − x| − 4) (|3 + x| − |x − 5|) L i gi i. B t phương trình (2.1) tương đương v i √ 2 |x − 2|2 − (4 + x2 )2 |x + 4|2 − x2 − x − 2 >0 |1 − x|2 − 42 |3 + x|2 − |x − 5|2   ((x − 2)2 − (4 + x2 )2 ) ((x + 4)2 − (x2 − x − 2)) >0  ((1 − x)2 − 42 ) ((3 + x)2 − (x − 5)2 ) ⇔ 2 x − x − 2 0   9(−x2 + x − 6)(x2 + x + 2)(x + 2) >0  16(−x − 3)(5 − x)(x − 1) ⇔ x −1 ho c x 2  −3 < x < −2 ⇔ 2 x < 5. J Ví d 2.2. Gi i b t phương trình √ x2 − 3x − 4 − |2x − 1| √ 1. (2.2) x + 7 − |2x − 1| 2  (x − 3x − 4) − (x + 7) 0 √ √    x + 7 − (2x − 1)2 2 − 3x − 4 − x x+7  √ L i gi i. (2.2) ⇔ 0 ⇔ x2 − 3x − 4 0 x + 7 − |2x − 1|    x + 7 0  √ −7 x 2 − 15 √ ⇔ x 2 + 15 J 14
Ví d 2.3. Gi i b t phương trình √ −x2 + 7x − 6 0. (2.3) |x2 − 6x + 5| − |x2 − 2x − 3| L i gi i. Ta có √ −x2 + 7x − 6 (2.3) ⇔ 0 (x2 − 6x + 5)2 − (x2 − 2x − 3)2 √ −x2 + 7x − 6 ⇔ 0 (2x2 − 8x + 2)(8 − 4x)  −x2 + 7x − 6 = 0   2  (2x − 8x + 2)(8 − 4x) = 0 ⇔   2  −x + 7 x − 6 > 0  2x2 − 8x + 2)(8 − 4x) < 0 √ 2+ 3
Ví d 2.5. Gi i b t phương trình √ x2 − 5 − 3 1. (2.7) |x + 4| − 7 |x| √5,    x2 − 5 0,   ⇔ x = 3, L i gi i. Đi u ki n đ (2.7) có nghĩa là |x + 4| − 7 = 0   x = −11.  √ √ ( x + 5 + 4)2 − |x + 4|2 x2 − 5 + 4 − | x + 4 | Ta có (2.7) ⇔ 0⇔ 0 |x + 4|2 − 49 |x + 4| − 7 √ x2 − 5 + 8 x2 − 5 + 16 − x2 − 8x − 16 ⇔ 0. (x − 3)(x + 11) T đó √ 8 x2 − 5 − (8x + 5) 0 (2.8) (x − 3)(x + 11) √ √ • N u x − 5 và x = −11, thì 8x + 5 < 0, suy ra 8 x2 − 5 − (8x + 5) > 0. Do đó, (2.8) x y √ ra khi và ch khi (x − 3)(x + 11) > 0 hay x < −11 ho c x > 3. Do đang xét v i x − 5 và x = −11, nên ta có x < −11. √ √ 5 và x = 3, 8 + 5 > 0. Nhân (2.8) v i 8 x2 − 5 + (8x + 5), ta đư c •Nux x x < −11 √ x < −11 −80x − 345 5, ta đư c √ 0. D n t i  69 Do đi u ki n x (x − 3)(x + 11) − 5 x < 3. x < 3. 16 √ T hai trư ng h p trên, ta có nghi m c a b t phương trình đã cho là x ∈ (−∞; −11) ∪ [ 5; 3). J Ví d 2.6. Gi i b t phương trình log−4x2 +12x−8 |4x − 5| > 0. L i i. B t phương trình đã cho tương đương v i gi  1 < x < 2, −4x2 + 12x − 8 > 0,     5   ⇔ x= , |4x − 5| > 0, 4     (−4x2 + 12x − 9)(|4x − 5| − 1) > 0 (−4x2 + 12x − 9)(|4x − 5|2 − 1) > 0    1 < x < 2,  5  1 < x < 4,  5  ⇔ x= , ⇔ 5 3 4 0,   x = 2,   2 L i gi i. Đi u ki n xác đ nh c a b t phương trình là x = 1, ⇔ x > 5 .  4x − 5  4 >0   |x − 2| 16
4x − 5 4x − 5 1 ⇔ logx2 logx2 |x| Khi đó, logx2 |x − 2| |x − 2| 2 4x − 5 5 − | x| 0 Vì x > , nên b t phương trình tương đương v i |x − 2| 4 ⇔ (4x − 5)2 ) − (|x(x − 2|)2 0 ⇔ (x2 + 2x − 5)(x2 − 6x + 5) 0 √ − 6 − 1 x 1, ⇔√ 6 − 1 x 5. √ K t h p v i đi u ki n, t p nghi m c a b t phương trình đã cho là S = [ 6 − 1; 2) ∪ (2; 5]. J 2 −3x+1| Ví d 2.8. Gi i b t phương trình |x2 − 1|log2 |x > 1. L i gi i. Nh n xét x = ±1 không là nghi m c a b t phương trình.  |x2 − 1| > 0, 2 Ta có |x2 − 1|log2 |x −3x+1| > 1 ⇔ (|x2 − 1| − 1). log |x2 − 3x + 1| > 0 2  |x2 − 1| > 0, x2 − 1 = 0,       ⇔ ⇔ x2 − 3x + 1 = 0, |x2 − 3x + 1| > 0,     2 (|x − 1| − 1).(|x2 − 3x + 1| − 1) > 0 2 (|x − 1|2 − 1).(|x2 − 3x + 1|2 − 1) > 0 √ √   x = ±1; x = 3 ± 5 , x = ±1; x = 3 ± 5 ,   ⇔ ⇔ 2 2 2 (|x − 1|2 − 1).(|x2 − 3x + 1|2 − 1) > 0 2 2 x (x − 2)(x2 − 3x + 2)(x2 − 3x) > 0. Gi i h trên, ta đư c nghi m c a b t phương trình đã cho là √ √ √ √ 3− 5 3− 5 S = (−∞; − 2) ∪ 0; ∪ ; 1 ∪ ( 2; 2) ∪ (3; +∞). 2 2 J Ví d 2.9. (Đ i h c Qu c gia H Chí Minh, 1998) Gi i b t phương trình 1 1 √ > . (2.9) log1/3 (x + 1) 2 − 3x + 1 log1/3 2x √ log3 (x + 1) − log3 2x2 − 3x + 1 1 1 √ √ L i gi i. (2.9) ⇔ ⇔ < 0, x + 1 > 0,  0 < x < 1,       3 2  ⇔ 2x − 3x + 1 > 0, 2 ⇔ 2x − 3x + 1 > 0,  ⇔ 1
1 2 Khi đó, (2.10) ⇔ log|x+1/3| |x| log|x+1/3| |2x + 3| log|x+1/3| |2x + 3| − log|x+1/3| |x|2 ⇔ 0 log|x+1/3| |x|. log|x+1/3| |2x + 3| (|x + 1/3| − 1)(|2x + 3| − x2 ) ⇔ 0. (|x + 1/3| − 1)2 .(|x| − 1)(|2x + 3| − 1) 4 2 (−x2 + 2x + 3)(x2 + 2x + 3) x− x+ 3 3 ⇔ 0. (x + 1)(x − 1)(2x + 4)(2x + 2) Gi i h trên ta đư c t p nghi m c a b t phương trình (2.10) là 41 1 2 S = (−∞; −2) ∪ − ; − ∪ − ; −1 ∪ ; 1 ∪ [3; +∞). 33 3 3 J Ví d 2.11. Gi i b t phương trình x2 − 4|x| log5 log1/2 0. (2.11) |x| − 7 x2 − 4|x|  2 2  x − 4|x|  2x − 9|x| + 7 1 log1/2 1, , 0,    |x| − 7 |x| − 7 |x| − 7 2    L i gi i. (2.11) ⇔ ⇔ ⇔ x2 − 4|x|  x2 − 4|x|  x2 − 5|x| + 7 log >0 0, x = −1.   2x + 3 > 0,      log5 (x + 2) = 0  Khi đó, (2.12) tương đương v i 2x + 3 logx+2 (2 − x). log5 (x + 2) − log5 5 0 (2.13) log5 (x + 2) hay 2x + 3 log5 (2 − x) − log5 5 0 (2.14) log5 (x + 2) 18
• N u log5 (2 − x) > 0 ⇔ x < 1, (2.14) tương đương v i 2x + 3 log2 (2 − x) − log2 5 5 5 0. log5 (x + 2) Hay 2x + 3 2x + 3 log5 (2 − x) + log5 log5 (2 − x) − log5 5 5 0. log5 (x + 2) Do đó, ta có 5(2 − x) 2x + 3 log5 (2 − x) . log5 5 2x + 3 0. log5 (x + 2) S d ng tính ch t loga u ↔ (a − 1)(u − 1), (a, u > 0), b t phương trình trên tương đương vi 5(2 − x) −1 2x + 3 2x + 3 (2 − x) −1 . 0. 5 x+1 Hay (−2x2 + x + 1)(−7x + 7) 0. x+1  3  − 2 < x < −1 3 Gi i b t phương trình trên cùng v i đi u ki n − < x < −1, ta đư c  1 2 − < x < 1. 2 • N u log5 (2 − x) < 0 ⇔ x > 1. Khi đó, 2x + 3 log5 (2 − x) − log5 5