Các chuyên đề Toán 9
Chuyên đề 1: Số chính phương
I Khái niệm:
- Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên.
- Mười số chính phương đầu tiên là: 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,...
II Tính chất:
- Số chính phương không tận cùng bởi các chử số: 2,3,7,8
- Khi phân tích một số chính phương ra thừa số nguyên tố ta được các thừa số là lũy thừa của số
nguyên tố với số mũ chẳn.
Chẳng hạn:
Từ đó:
- Số chính phương chia cho 3 chỉ có thể dư 0 hoặc 1.
- Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thì một trong hai số nguyên đó là số
0.
III Nhận biết:
a) Để chứng minh N là một số chính phương của một số tự nhiên (hoặc số nguyên).
- Vận dụng tính chất: nếu hai số tự nhiên a và b nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính
phương thì mỗi số a, b cũng là một số chính phương.
b) Để chứng minh N không phải là số chính phương ta có thể:
- Chứng minh N có chữ số tận cùng là 2,3,7,8.
- Chứng minh N chứa số nguyên tố với mũ lẽ.
- Xét số dư khi N cho 3 hoặc cho 4 hoặc cho 5 cho 8.
- Chứng minh N nằm giửa hai số chính phương liên tiếp.
* N chia cho 3 dư 2; N chia cho 4; 5 có số dư là 2; 3.
suy ra N không phải là số chính phương
Chuyên đề 2: Tính chất so sánh phân so sánh
1/ Quy đồng mẫu các phân số đã cho rồi so sánh các tử nhau.
2/ Viết các phân số đã cho dưới dạng các phân số cùng tử rồi so sánh các mẫu với nhau.
3/ So sánh phân số dựa vào tính chất: Nếu thì
4/ So sánh tỉ số các phân số đã cho với 1 dựa vào tính chất
Nếu thì x < y
5/ Viết các phân số dưới dạng số thập phân rồi so sánh các số thập phân đó.
6/ So sánh số nghịch đảo của các phân số dựa vào tính chất.
Nếu thì
7/ Dựa vào tính chất bắc cầu của quan hệ thứ tự :
Nếu và thì .
8/ So sánh" phần bù của các phân số đối với đơn vị " dựa vào tính chất: Nếu . đều nhỏ hơn
1 và thì .
9/ Ta có tính chất :
Nếu thì .
10/ Từ tính chất đã nêu ở cách 9 tính chất
Nếu thì với n là số nguyện dương
Chuyên đề 3: Các dấu hiệu chia hết
1/ Chia hết cho 4: 2 chữ số tận cùng lặp thành 1 số chia hết cho 4.
2/ Chia hết cho 8: 3 chữ số tận cùng lặp thành 1 số chia hết cho 8.
3/ Chia hết cho 11: hiệu giữa tổng các số ở vị trí lẽ và tổng các số ở vị trí chẵn (từ phải sang trái)
chia hết cho 11.
4/ Các số chia hết cho 25 thì 2 chữ số tận cùng tạo thành 1 số chia hết cho 25.
5/ Các số chia hết cho 125 thì 3 chữ số tận cùng tạo thành 1 số chia hết 125.
6/ Các số có chữ số tận cùng là 0,2,4,6,8 thì chia hết cho 2.
7/ Các số có tổng các chử số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.
Ví dụ:
644 chia hết cho 4, vì 44 chia hết cho 4.
1560 chia hết cho 8, vì 560 chia hết cho 8.
44847 chia hết cho 11, vì (4+8+7)-(4+4) chia hết cho 11.
5623475 chia hết cho 25, vì 75 chia hết cho 25.3
3145689125 chia hết cho 125, vì 125 chia hết cho 125.
Chuyên đề 4: Quan hệ giữa parabol và đường
thẳng
Hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng là
nghiệm của phương trình: (1)
Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì đường thẳng không giao với parabol
Nếu phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt.
Nếu phương trình (1) có nghiệm kép thì đường thẳng cắt parabol tại 2 điểm trùng nhau, khi đó ta
nói đường thẳng tiếp xúc với parabol.
Chuyên đề 5: Giải phương trình nghiệm nguyên
bằng phương pháp lùi vô hạn
Phương pháp chung
* Phương trình nghiệm nguyên có dạng:
(*)
Với n là số tự nhiên lớn hơn 1, các tham số nguyên và các ẩn được
giải bằng phương pháp lùi vô hạn như sau:
+ Sử dụng tính chất chia hết để chứng minh cùng chia hết cho một số nguyên tố
p. Từ đó suy ra: cùng chia hết cho p.
+ Đặt (suy ra cũng nhận các giá trị
nguyên).
Phương trình (*) trở thành:
Hoàn toàn tương tự, ta lại chứng minh được cùng chia hết cho p, suy ra
cùng chia hết cho .
+ Quá trình này tiếp tục mãi, suy ra cùng chia hết cho với m là một số nguyên
dương lớn tùy ý. Điều này xảy ra khi và chỉ khi
Vậy: phương trình (*) có nghiệm nguyên duy nhất
* Một số dạng phương trình nghiệm nguyên khác cũng giải được bằng phương pháp lùi vô hạn