Các công thức phần xác suất

Chia sẻ: Nguyen Danh Thu Thu | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

159
lượt xem 28
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Xác suất của biến cố: m(A) P(A) = n(A) P(B)+P(C) A=B+C ⇒ P(A)=P(B+C) = A=B.C ⇒ P(A)=P(B.C) = nếu B và C là xung khắc P(B)+P(C)-P(B.C) nếu B và C là không xung khắc

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các công thức phần xác suất

A. Một số công thức phần xác suất Xác suất của biến cố: I. m(A) P(A) = * n(A) nếu B và C là xung khắc P(B)+P(C) A=B+C ⇒ P(A)=P(B+C) = * P(B)+P(C)-P(B.C) nếu B và C là không xung khắc P(B).P(C) nếu B và C là độc lập • A=B.C ⇒ P(A)=P(B.C) = P(B).P(C/B)=P(C).P(B/C) nếu B và C là không độc lập * A1A 2 ...An =A1 +A 2 +... +A n * A 1 + A 2 + ...An = A 1 . A 2 ... A n * P(A)+ P(A ) =1 Pn ( x) = Cnpx (1 − p) n −x x • Công thức Bernoulli: , x = 0,1,2,…,n n P(A) = ∑P(Hi )P(A/H i ) Công thức Xác suất đầy đủ: • i =1 Công thức Bayes: • P(H i )P(H i /A) P(H i )P(H i /A) P(H i /A) = =n ∀ i = 1,2,..,n P(A) ∑P(H i )P(H i /A) i=1 Biến ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất: II. 1. Các tham số đặc trưng: n ∑ ipi nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc x i=1 E(X) = +∞ ∫ xf(x) nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục −∞ n ∑ 2 x p i nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc i i=1 E(X2) = +∞ ∫ x 2 f ( x ) nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục −∞ () V(X)= E ( X − E ( X ) ) 2 = E X 2 − ( E ( X ) ) 2 σ( X ) = V ( X ) 1
2. Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng: ♦X∼ A(P) ⇒ X 0 1 P 1-p p P ( X = x ) = p x (1 − p ) 1− x x = 0;1 * * E(X)=p ; V(X)=p(1-p) ; σ ( X ) = p (1 − p ) ♦ X∼ B(n,p) ⇒ X 0 1 … x … n P C 0 p 0 q n− 0 C 1 p1q n−1 … C x p x q n− x … C n p n q 0 n n n n ( q=1-p ) P( X = x ) = C nx p x ( 1 − p ) n− x x = 0,1,..., n * σ ( X ) = npq * E(X)=np ; V(X)=npq ; x0 ∈ N * Mốt của X∼ B(n,p): x0 = np + p −1 ≤ x 0 ≤ np + p ♦ X∼ P(λ) ⇒ λx e − λ P ( X = x ) = C p (1 − p ) n− x ≈ x x * ; x=0,1,2,… n x! ( n khá lớn, p khá nhỏ; λ=np ) σ( X ) = λ * E(X)=V(X)=λ; * Mốt của X∼ P(λ): λ − 1 ≤ x 0 ≤ λ ; x0∈ N (x− )2 μ 1 − ♦ X∼ N(µ ,σ 2) ⇒ f(x) = 2 (σ>0) e 2σ 2∏ * E(X)=µ ; V(X)=σ 2 ; σ (X)=σ  b −µ   a −µ  * P ( a < X < b) = Φ   −Φ   σ σ 0 0 µ + ,5 b−   * P(Xa) ≈ 0,5 − 0  Φ  σ 2
ε  ( ) * P X −µ U α ) =α U∼ N(),1) * Định nghĩa: , * Chú ý: U 1− =− α U 0 , 025 =1,96 U 0 , 05 =1,645 U ; ; α • Giá trị tới hạn Student: ( ) P T > Tα( n ) = α T∼ T(n) * Định nghĩa: , n ≥ 30 T1( n ) = − α n ) Tα n ) ≈ U α T( ( ; với * Chú ý: −α • Giá trị tới hạn Khi bình phương: ( ) P χ 2 > χ α2( n ) = α χ2∼χ 2(n) * Định nghĩa: , • Giá trị tới hạn Fisher- Snedecor: ( ) ( n ,n ) * Định nghĩa: P F > Fα 1 2 =α F ∼ F(n1,n2) , 1 Fα1 , n2 ) = (n2 , n1 ) (n * Chú ý: F− 1α III. Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc Tổng X …. …. x1 x2 xi xn Y P(x1,y1) P(x2,y1) …. P(xi,y1) …. P(xn,y1) P(Y=y1) y1 P(x1,y2) P(x2,y2) ….. P(xi,y2) ….. P(xn,y2) P(Y=y2) y2 … …. …. … … … …. …. P(x1,yj) P(x2,yj) …. P(xi,yj) …… P(xn,yj) P(Y=yj) yj …. …. …. …. …. …. ….. …. P(x1,ym) P(x2,ym) …. P(xi,ym) ….. P(xn,ym) P(Y=ym) ym Tổng P(X=x1) P(X=x2) … P(X=xi) …. P(X=xn) 1 ( ) ( ) • P xi , y j = P X = xi , Y = yj ) = P (xi , ) P ( =y j ) = P (x ) m n P(X = i ∑ ∑ • x yj ; Y ,y i j j= i= 1 1 (X ) =x i , Y = y j )) = P (( X =xi ) / (Y = y j •P P (Y = y j ) 3
• µ XY = Cov ( X , Y ) = E ( ( ( X − E ( X ) ) ( (Y − E (Y ) ) ) = ∑ ∑ xi y j P ( xi , y j ) − E ( X ) E (Y ) n m i =1 j =1 µ ρ = XY • σX ) ( ) σ ( XY Y V ( aX +bY ) = a 2V ( X ) +b 2V (Y ) + 2abCov ( X , Y ) • III. Một số quy luật số lớn: • Bất đẳng thức Trêbưsép: X bất kỳ; E(X), V(X) hữu hạn; ε>0 V (X ) P ( X − E ( X ) < ε ) ≥1 − ε2 ⇔ P ( X − (X ≥ )≤ ε V (X ) ) E ε 2 • Định lý Trêbưsép: X1, X2,…, Xn độc lập từng đôi; E(Xi), V(Xi) hữu hạn ∀i=1,2,…,n; ε>0 1 n  1n ε= Lim P ∑i − ∑ X i ) <  1 E( X n  n i= n→ ∞   i=1 1 • Định lý Bernoulli: f là tần suất xuất hiện biến cố A trong lược đồ Bernoulli với 2 tham số n, p ε Lim P ( f − < )= p 1 ε > 0 , ta có n→ ∞ B. Một số công thức trong phần Thống kê toán I. Một số công thức trên mẫu: () 1k 1k x = ∑ i xi ; x = ∑ i xi2 2 Ms = x 2 − x 2 n n ; n i =1 n i =1 1k n = ∑ i ( xi − µ) 2 s= *2 Ms ; s n n −1 n i =1 Tần suất mẫu f là hình ảnh của tham số p trong tổng thể ở trên mẫu. * µσ  ⇒ ( )   2 Tổng thể : X∼ N µ , σ N , 2 ⇒ X∼ *  n   () () σ2 E X =µ VX = , n 4
 pq  ) = pq  ⇒ E( f ) = p V( f Tổng thể X∼ A(p) ⇒ f ∼ N p, , *  n n ( khi n đủ lớn). II. Một số công thức về ước lượng: 1. Ước lượng giá trị tham số µ trong quy luật N ( µ , σ 2 ) Trường hợp đã biết σ 2 Trường hợp chưa biết σ 2 (thường gặp) (ít gặp) Cô n ≤ 30 n>30 ng t hứ c σ σ s s s s Tα( n −1) < µ < x + Tα( n −1) x − Uα < µ < x + Uα < µ < x + x− x− Uα Uα KTC n n n n n n đối 2 2 2 2 2 2 xứng σ µ< KTC s s Tα −) (n 1 x+ µ< x+ µ < x+ Uα Uα ước n n n lượng µ max σ KTC s s µ> Tα( n −1) µ > x− µ > x− x− Uα Uα ước n n n lượng µ min Công 4σ 2 2 4s 2 2 4s 2 ≥ (Tα( n −1) ) 2 * ≥ ≥ n Uα / 2 * * thức n Uα / 2 n 2 /2 I0 2 I 02 xác I0 định kích thước I ε mẫu mới = (n*) sao Chú ý : cho: Giữ 2 nguyên độ tin cậy (1-α ) và muốn độ dài khoảng tin cậy đối xứng I ≤ I0 2. Ước lượng giá trị tham số p trong quy luật A(p) f (1 − f ) f (1 − f ) f− Uα < p < f + KTC đối xứng Uα n n 2 2 5
KTC ước lượng p max f (1 − f ) p< f + Uα n KTC ước lượng p min f (1 − f ) p>f − Uα n 4 f (1 − f )U2 Công thức xác định kích ≥ n* thước mẫu mới (n*) sao cho: α/ 2 2 I0 Giữ nguyên độ tin cậy (1-α) và muốn độ dài khoảng tin I cậy đối xứng I ≤ I0 Chú ý : ε = 2 Chú ý: M Nếu P= thì có thể ước lượng M qua P và N (quan hệ M và P là thuận chiều), có thể N ước lượng N qua P là M (quan hệ N và P là ngược chiều). ( ) 2 3. Ước lượng giá trị tham số σ 2 trong quy luật N μ,σ Trường hợp đã biết µ Trường hợp chưa biết µ Công thức (ít gặp) (thường gặp) σ ( n −1) s ( n −1) s 2 *2 *2 2 ns ns > 2 lượng σ 2 min χ 2(n− ) 2(n ) χ 1 α α Một số công thức về kiểm định giả thuyết thống kê III. ♦Kiểm định về tham số của quy luật phân phối gốc 1. Bài toán kiểm định về tham số µ trong quy luật N ( µ , σ 2 ) : a. Bài toán so sánh µ với giá trị thực cho trước µ 0 Trường hợp σ 2 đã biết (ít gặp) Cặp giả thuyết cần kiểm Miền bác bỏ của giả thuyết H0 định 6
( ) H0: µ = µ 0 x −µ     n Wα = = ; U >U α  0 U H1: µ > µ 0 σ     ( ) µ = µ0 x −µ   H0:   n Wα =  = ; U U α / 2  U H1: µ ≠ µ 0 σ     Trường hợp σ chưa biết (thường gặp) 2 Cặp giả thuyết Miền bác bỏ của giả thuyết H0 cần Trường hợp n ≤ 30 Trường hợp n>30 kiểm định ( ) H0: µ = µ 0   x − µ0   n ( ) ; T > Tα( n −1)  Wα = T =   x − µ0 n H1: µ > µ 0     s Wα = U = ; U > Uα      s   ( ) ( ) H0: µ = µ 0     x − µ0 n x − µ0     n ; T < −Tα( n −1)  Wα = T = Wα = U = ;U < −U α  H1: µ < µ 0     s s     ( ) ( ) H0: µ = µ 0     x − µ0 n x − µ0 n     ; T > Tα( n −1)  Wα = U = Wα = T = ; U > Uα / 2  H1: µ ≠ µ 0 /2     s s     b. Bài toán so sánh hai tham số µ1 với µ 2 của 2 quy luật phân phối chuẩn Trường hợp σ 12 , σ 22 đã biết (ít gặp) Cặp giả thuyết cần kiểm Miền bác bỏ của giả thuyết H0 định H0: µ1 = µ 2     H1: µ1 > µ 2 x −x   Wα =  = ; U >U α  1 2 U σ1 σ2 2 2   +   n1 n2       µ1 = µ 2 H0: x1 − x 2   Wα =  = ; U
    H0: µ1 = µ 2 x1 − x 2   Wα =  = ; U >U α / 2  U H1: µ1 ≠ µ 2 σ12 σ2 2   +   n1 n2   Trường hợp σ 1 , σ 2 chưa biết; n1 ≥ 30 , n2 ≥ 30 (thường gặp) 2 2 Cặp giả thuyết cần kiểm Miền bác bỏ của giả thuyết H0 định     H0: µ1 = µ 2 x1 − x 2   Wα =  = ; U >U α  U H1: µ1 > µ 2 2 2 s1 s   +2   n1 n2       µ1 = µ 2 H0: x1 − x 2   Wα =  = ;U Uα / 2  U H1: µ1 ≠ µ 2 2 s2 s1   +2   n1 n2   Trường hợp σ 12 , σ 22 chưa biết Cặp giả thuyết cần kiểm Miền bác bỏ của giả thuyết H0 định H0: µ1 = µ 2     H1: µ1 > µ 2 x1 −x 2   ; T > α ) T (k = = Wα T 2 2 s1 s2   +   n1 n2   µ1 = µ 2   H0:   µ1 < µ 2 H1: x1 − 2   x ; T < Tα )  − (k =T= Wα  2 2 s1 s2   +   n1 n2   8
H0: µ1 = µ 2     H1: µ1 ≠ µ 2 x1 −x 2  ( ) = = ; T >Tαk 2  Wα T / 2 2 s1 s2   +   n1 n2   (n1 − )(n 2 − ) 2 1 1 s1 / n1 k= c= ; (s / n1 ) +(s 2 / n 2 ) (n 2 − )c 2 +(n1 − )(1 −c ) 2 2 2 1 1 1 2. Bài toán kiểm định về tham số σ 2 trong quy luật N ( µ , σ 2 ) : a. Bài toán so sánh σ 2 với giá trị thực cho trước σ 0 2 Cặp giả thuyết cần kiểm Miền bác bỏ của giả thuyết H0 định ( n −1) s 2 ; χ 2 > χ 2( n −1)  H0: σ 2 = σ 02 2 Wα = χ =  H1: σ > σ 0 2 2 α σ0 2   ( n −1) s 2 ; χ 2 < χ 2( n −1)  H0: σ = σ2 2 2 0 Wα = χ =  H1: σ 2 < σ 02 1−α σ0 2    2 ( n − 1) s 2  χ 2 > χ α2 (/n−1) hay χ 2 < χ 12−(αn−1)  Wα =  χ = ; H0: σ = σ 2 2 0 2 /2 σ 02   H1: σ 2 ≠ σ 02 b. Bài toán so sánh hai tham số σ 12 với σ 22 của 2 quy luật phân phối chuẩn Cặp giả thuyết cần Miền bác bỏ của giả thuyết H0 kiểm định H0: σ 12 = σ 22   2 s1 Wα = = 2 ; F >Fα 1 −, n2 − ) (n 1 1 F  H1: σ 1 > σ 2 2 2 s2   H0: σ 12 = σ 22  ( n1 − , n2 − )  2 s1 = = 2 ; F Fα( n12− 1, n2 − 1) hay F < F1(−nα1 −/ 1, n2 −1)  Wα =  F = 2 ; H1: σ 12 ≠ σ 2 2 / 2 s2   9
3. Bài toán kiểm định về tham số p trong quy luật A(p): a. Bài toán so sánh giá trị tham số p với giá trị thực p0 cho trước: Cặp giả thuyết cần Miền bác bỏ của giả thuyết H0 kiểm định p = p0 ( f − p0 ) n   H0:   Wα = = ; U >U α  U p 0 (1 − p 0 ) p > p0   H1:   ( f − p0 ) n p = p0   H0:   Wα = = ; U     Wα = = U U α/ 2  H1: p ≠ p0 p0 (1 −p0 )     b. Bài toán so sánh hai tham số p1 với p 2 của 2 quy luật Không-Một Cặp giả thuyết cần Miền bác bỏ của giả thuyết H0 kiểm định       f 1 −f 2 H0: p1 = p 2 =U = ; U > α Wα U  ( ) 1 1   H1: p1 > p 2 f 1 −f   n +    n2  1         f1 − f 2 H0: p1 = p 2 = = ; U α/ 2  Wα U U ( ) 1 1   H1: p1 ≠ p 2 f 1 −f   +   n  n2  1   n f +2 f 2 n =1 1 f Trong đó: n1 + 2 n ♦ Kiểm địnhphi tham số 10
• Kiểm định về dạng quy luật phân phối gốc: * Cặp giả thuyết cần kiểm định: H0: X ∼ Quy luật A H1: X ∼ Quy luật A (Xét quy luật A là rời rạc) * Miền bác bỏ của giả thuyết H0: (ni − i′)2   2 χ( r 1  n k Wα = χ = χ ∑ n′ > αk − −)  2 2 ;      i= 1 i Trong đó: k ∑n = n ; ni′ = np i ; Mẫu ngẫu nhiên 1 chiều về X là X(n); xi xuất hiện ni lần ; i i =1 pi = P( X = xi ) ; r là số tham số trong quy luật A cần ước lượng, tham số của quy luật A được ước lượng bằng phương pháp ước lượng hợp lý tối đa; • Kiểm định về tính độc lập hay phụ thuộc của 2 dấu hiệu định tính: * Cặp giả thuyết cần kiểm định: H0: X , Y là độc lập H1: X , Y là phụ thuộc * Miền bác bỏ của giả thuyết H0: 2  h  2 nij   k n∑ i = ∑i m j =χ= χ >χ 2 (( h − )( k − )) − 2 1 1 Wα 1 ;   α   1 j= n      1 Trong đó: Mẫu ngẫu nhiên 2 chiều về X,Y là X(n); giá trị (xi,yj )xuất hiện nij lần; h k h k h k ∑ ∑ ∑n ∑ =∑ i =∑ j =n . =m j , =ni , n n n m ij ij ij i= j= i= j= i= j= 1 1 1 1 1 1 • Kiểm định Jarque-Bera về dạng phân phối chuẩn: H0 : X tuân theo quy luật phân phối chuẩn H1: X không tuân theo quy luật phân phối chuẩn +>   2 (a4 − 2  a3 3) → MBB của H0 : Wα = JB =  + ; JB > α  χ2(2) n   6 24    ( a3 là hệ số bất đối xứng, a4 là hệ số nhọn) ------------------------------------------------------------------------------------- 11
12