Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên_chương 7

Chia sẻ: Nguyễn Thị Giỏi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:21

Thêm vào BST

Báo xấu

365
lượt xem 64
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Từ luật phân phối của đại lượng ngẫu nhiên rút ra và số đặc trưng cho đại lượng ngẫu nhiên đó ( giúp ta so sánh giữa các đại lượng với nhau) được gọi là các đặc trưng số.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên_chương 7

Chöông V. CAÙC ÑAËC TRÖNG SOÁ CUÛA ÑAÏI LÖÔÏNG NGAÃU NHIEÂN §1. Caùc ñaëc tröng soá Töø luaät phaân phoái cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân ruùt ra vaøi soá ñaëc tröng cho ñaïi löôïng ngaãu nhieân ñoù (giuùp ta so saùnh giöõa caùc ñaïi löôïng vôùi nhau) ñöôïc goïi laø caùc ñaëc tröng soá.
1.1. Mod[X] (mode) Ñònh nghóa Mod[X] laø giaù trò maø taïi ñoù X nhaän xaùc suaát lôùn nhaát (neáu X rôøi raïc) hay haøm maät ñoä ñaït cöïc ñaïi (neáu X lieân tuïc). VD Cho X rôøi raïc coù luaät phaân phoái X 0 1 2 4 5 8 PX 0,1 0,2 0,3 0,05 0,25 0,1 Mod[X] = 2.
: 1.2. Trung vò X (Med[X]) Trung vò laø 1 giaù trò cuûa X maø taïi ñoù xaùc suaát ñöôïc : : é ù é ù chia ñoâi, nghóa laø P êX £ X ú = P êX ³ X ú . ë û ë û VD Cho X rôøi raïc coù luaät phaân phoái X 1 2 3 4 5 PX 0,1 0,2 0,15 0,1 0,45 : X = Med[X] = 4
1.3. Kyø voïng toaùn M(X) 1.3.1. Ñònh nghóa Cho X rôøi raïc coù phaân phoái X x1 x 2 … x i … x n PX p1 p2 … pi … pn thì n M(X) = x1p1 + x 2 p 2 + ... + x n p n = ∑ x i pi +∞ i =1 + Neáu X lieân tuïc thì M(X) = ∫ xf (x)dx . −∞
VD Trong bình ñöïng 10 quaû caàu gioáng nhau nhöng khaùc troïng löôïng goàm 5 quaû naëng 1kg, 2 quaû 2kg vaø 3 quaû 3 kg. Laáy ngaãu nhieân 1 quaû, goïi X laø troïng löôïng quaû caàu ñoù. X coù luaät phaân phoái X 1kg 2kg 3kg PX 0,5 0,2 0,3 Suy ra M(X) = 1.0,5 + 2.0,2 + 3.0,3 = 1,8kg.
1.3.2. YÙ nghóa Kyø voïng laø giaù trò trung bình (theo xaùc suaát) cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân X, laø trung taâm ñieåm cuûa phaân phoái maø caùc giaù trò cuï theå cuûa X seõ taäp trung quanh ñoù.
Baøi toaùn Cho ñaïi löôïng ngaãu nhieân X vaø Y = ϕ(X) . Tính M(Y) = M[ϕ(X)]. a/ Tröôøng hôïp X rôøi raïc X x1 x2 … xi … PX xn p1 p2 … pi … Xeùt baûng pn ϕ(X) ϕ(x1 ) ϕ(x 2 ) … ϕ(x i ) … ϕ(x n ) PY p1 p2 … pi … pn n M[ϕ(X)] = ∑ ϕ(x i )pi i =1
VD Cho Y = j (X) = X2, bieát X –1 0 1 2 PX 0,1 0,3 0,4 0,2 Ta coù j (X) 1 0 1 4 PY 0,1 0,3 0,4 0,2 Þ M[j (X)] = 1.0, 1+ 0.0, 3+ 1.0, 4+ 4.0, 2 = 1, 3
b/ Tröôøng hôïp X lieân tuïc coù haøm maät ñoä f(x) +¥ thì M[j (X)] = ò j (x)f(x)dx. - ¥ Chuù yù Trong baûng phaân phoái cuûa X coù moät Mod[X] vaø ñoái : xöùng thì Mod[X] = X = M(X). VD X 1 2 4 6 7 PX 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1
1.4. Phöông sai D(X) 1.4.1. Ñònh nghóa D(X) = M{[X - M(X)]2 } hoaëc D(X) = M[(X - m 2 ], m = M(X). ) VD X 1 2 3 PX 0,2 0,7 0,1 m = M(X) = 1.0, 2 + 2.0, 7 + 3.0, 1 = 1, 9 2 2 2 Þ D(X)=(1 -1,9) .0,2+(2 -1,9) .0,7+(3 -1,9) .0,1
Coâng thöùc thöôøng duøng 2 2 D(X) = M(X ) - [M(X)] Khi ñoù n n 2 æ ö D(X) = å x p j - ç å x jp j ÷ , X rôøi raïc. 2 j ç ÷ ÷ j= 1 ç j= 1 è ø +¥ +¥ 2 æ ö ÷ D(X) = ò x 2 f(x)dx - ç ò xf(x)dx ÷ , X lieân tuïc. ç ÷ ç è- ¥ ÷ ø - ¥ VD Trong ví duï treân ta coù D(X) = 1 .0, 2 + 2 .0, 7 + 3 .0, 1 - (1, 9) . 2 2 2 2
1.4.2. YÙ nghóa Phöông sai laø sai soá bình phöông trung bình cuûa ñaïi löôïng ngaãu nhieân X so vôùi trung taâm ñieåm kyø voïng. Phöông sai duøng ñeå ño möùc ñoä phaân taùn cuûa X quanh kyø voïng. 1.5. Ñoä leäch tieâu chuaån s(X) = D(X)
Baøi taäp Baøi 1. Moät baø meï sinh 2 con (moãi laàn sinh 1 con). Xaùc suaát sinh con trai laø 0,51. Goïi X laø soá con trai trong 2 laàn sinh. Tính kyø voïng vaø phöông sai cuûa X.
Baøi 2. Moät loâ haøng goàm 10 saûn phaåm toát vaø 2 pheá phaåm. Laáy ngaãu nhieân 2 saûn phaåm töø loâ haøng ñoù, goïi X laø soá pheá phaåm trong 2 saûn phaåm laáy ra. Tính kyø voïng vaø phöông sai cuûa X.
Baøi 3. Theo thoáng keâ, moät ngöôøi Myõ 25 tuoåi seõ soáng theâm treân 1 naêm coù xaùc suaát laø 0,992 vaø ngöôøi ñoù cheát trong voøng 1 naêm tôùi laø 0,008. Moät chöông trình baûo hieåm ñeà nghò ngöôøi ñoù baûo hieåm sinh maïng cho 1 naêm vôùi soá tieàn chi traû laø 1000 USD, phí baûo hieåm laø 10 USD. Hoûi coâng ty ñoù coù laõi khoâng ?
Baøi 4. Moät ngöôøi mua 1 veù xoå soá trò giaù 2.000 ñoàng. Bieát raèng veù soá coù 6 chöõ soá. Cô caáu truùng giaûi: + Moät giaûi 8 truùng 2 chöõ soá cuoái thöôûng 20.000ñ. + Moät giaûi 7 truùng 3 chöõ soá cuoái thöôûng 50.000ñ. + Naêm giaûi 6 truùng 4 chöõ soá cuoái thöôûng 100.000ñ. + Hai giaûi 5 truùng 4 chöõ soá cuoái thöôûng 200.000ñ. + Ba giaûi 4 truùng 5 chöõ soá cuoái thöôûng 500.000ñ. + Hai giaûi 3 truùng 5 chöõ soá cuoái thöôûng 1 trieäu. + Moät giaûi nhì truùng 5 chöõ soá cuoái thöôûng 2 trieäu. + Moät giaûi nhaát truùng 5 chöõ soá cuoái thöôûng 5 trieäu. + Moät giaûi ñaëc bieät truùng 5 chöõ soá cuoái thöôûng 50 trieäu ñoàng. Hoûi ngöôøi mua veù soá coù laõi khoâng?
§2. CAÙC ÑAËC TRÖNG SOÁ CUÛA VECTOR (X, Y) 2.1. Ñaëc tröng cuûa phaân phoái coù ñieàu kieän 2.1.1. Tröôøng hôïp rôøi raïc X x1 x2 … xi … xm PX/Y=yj P1/j p2/j … pi/j … pm/j Y y1 y2 … yj … yn PY/X=xi q1/i q2/i … qj/i … qn/i
a/ Kyø voïng coù ñieàu kieän cuûa X vôùi ñieàu kieän Y = yj m M [X / Y = y j ] = åi= 1 x ip i / j Kyø voïng coù ñieàu kieän cuûa Y vôùi ñieàu kieän X = xi n M [Y / X = x i ] = å j= 1 y jq j / i
b/ Kyø voïng coù ñieàu kieän cuûa X vôùi ñieàu kieän Y + M(X/Y) laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân nhaän giaù trò M(X/yj) khi Y = yj vaø Y(Y) = M(X / Y) . + M(Y/X) laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân nhaän giaù trò M(Y/xi) khi X = xi vaø Y(X) = M(Y / X) . 2.1.2. Tröôøng hôïp lieân tuïc M(X / y) = ò xf(x / y)dx = Y(y) M(Y / x) = ò yf(y / x)dy = Y(x) .
2.2. Kyø voïng cuûa haøm 1 vector ngaãu nhieân (rôøi raïc) Cho (X, Y) coù phaân phoái P[X=xi, Y=yj] = pij vaø Z = j (X, Y) thì m n M(Z) = M[j (X, Y)] = å å i = 1 j= 1 j (x i , y j )p ij .