Các mô hình mạng

Chia sẻ: Thi Sms | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

57
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tìm một phương án cực biên ban đầu. – Xác định các biến cơ sở xB, các hệ số hàm mục tiêu tương ứng cB. Xác định chỉ số của m biến cơ sở: r(1), r(2), ..., r(m). – Tìm ma trận cơ sở B ứng với các cột với chỉ số: r(1), r(2), ..., r(m), ma trận nghịch đảo B–

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các mô hình mạng

Các xác su t Pθ(θ1) = 0,2, Pθ(θ2) = 0,5, Pθ(θ3) = 0,3 là các xác su t c a các tr ng thái có th x y ra ñã ñư c ư c lư ng t các s li u th ng kê s n có trư c ñây. Chúng ñư c g i là các xác su t tiên nghi m (Prior Probabilities). Còn quy trình ra quy t ñ nh trên ñây ñư c g i là phân tích quy t ñ nh Bayes d a trên xác su t tiên nghi m. Như v y, trong m c 1.3 chúng ta ñã áp d ng quy trình ra quy t ñ nh ki u này ñ ñưa ra quy t ñ nh trong môi trư ng r i ro. 2.2. Phân tích quy t ñ nh Bayes d a trên xác su t h u nghi m Chúng ta quay l i ví d 1 nêu trên và b ng VI.8. Tuy nhiên, trong m c này θ ñư c dùng ñ ch kì v ng c a nhu c u th trư ng Z. − Gi s r ng, Z là bi n ng u nhiên tuân theo phân ph i chu n N(θ, 10), trong ñó E(Z) = θ và D(Z) = 10. V y hàm m t ñ c a Z v i ñi u ki n θ = θj chính là (z −θ j ) 2 1 ( ) − z / θ = θj = 2×10 fZ e 2π×10 − Phân ph i xác su t tiên nghi m c a θ là Pθ(θ1) = 0,2, Pθ(θ2) = 0,5, Pθ(θ3) = 0,3 như ñã bi t. − Ngoài ra, sau khi kh o sát chi ti t hơn, gi s ñã bi t thêm ñư c thông tin m i Z = 10. Chúng ta có th k t h p thông tin này và phân ph i xác su t tiên nghi m c a θ ñ tìm phân ph i xác su t h u nghi m c a θ khi bi t Z nh n m t giá tr z nào ñó. Sau ñó d a vào các xác su t h u nghi m (Posterior Probabilities) tìm ñư c, m t quy t ñ nh h p lí s ñư c ñưa ra d a trên Tiêu chu n giá tr kì v ng. Quy trình ra quy t ñ nh như v y ñư c g i là phân tích quy t ñ nh Bayes d a trên xác su t h u nghi m. Kí hi u hθ(θj/Z=z) là các xác su t h u nghi m, j =1, 2,..., n, có th ch ng minh ñư c m t cách t ng quát công th c sau ñây (trong ví d nêu trên, n = 3): ( )() f Z z / θ = θ j Pθ θ j ( ) hθ θj / Z = z = (*) n ∑ f Z ( z / θ = θk ) Pθ ( θk ) k =1 Áp d ng công th c (*) cho ví d ñang xét khi z = 10, ta có: 1 − 2×2,5 0, 2 × e hθ(θ1/Z=10) = = 0,089, 1 1 − − 2×2,5 2×2,5 0, 2 × e + 0,5 + 0, 3 × e 0,5 hθ(θ2/Z=10) = = 0,777, 1 1 − − 2×2,5 2×2,5 0, 2 × e + 0,5 + 0, 3 × e Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình V n trù h c ………………………………..........170
1 − 2×2,5 0,3 × e hθ(θ3/Z=10) = = 0,134. 1 1 − − 2×2,5 2×2,5 0, 2 × e + 0,5 + 0, 3 × e Căn c Tiêu chu n kì v ng l i nhu n t i ña c n quy t ñ nh l a ch n a2 vì: 3 3  ( ) 3 Max {E(X/ai)} = Max  ∑ vijh θ θ j / Z = 10  i=1  j=1  i=1 = Max {12,716; 13,644; 12,000} = 13,644 = E(X/a2 ). Chú ý: Ví d trên ñây có tính ch t minh h a cho các quy trình quy t ñ nh Bayes d a trên xác su t h u nghi m. Trong các trư ng h p phân ph i xác su t c a Z là phân ph i r i r c thì trong công th c (*) có th thay hàm m t ñ có ñi u ki n b i các xác su t có ñi u ki n. 3. CÂY QUY T ð NH VÀ CÁC BÀI TOÁN QUY T ð NH NHI U GIAI ðO N 3.1. Bài toán quy t ñ nh nhi u giai ño n Chúng ta hãy xét l i ví d 1 m c 1.3 và th c hi n vi c ra quy t ñ nh d a trên Tiêu chu n kì v ng l i nhu n t i ña v i s tr giúp c a cây quy t ñ nh (xem hình VI.1). Trên cây quy t ñ nh này có m t nút quy t ñ nh (hình ch nh t), mà t i ñó c n ra quy t ñ nh ñ l a ch n m t trong các hành ñ ng a1, a2, a3 hay a4. Ngoài ra, trên cây quy t ñ nh này còn có b n nút tr ng thái, mà t i ñó chúng ta c n xem xét kh năng x y ra c a m i m t trong b n tr ng thái. Các nút tr ng thái ñư c n i v i nút quy t ñ nh b i các nhánh c a cây quy t ñ nh. 4 Ta có EV1 = E(X/a1) = ∑ v1jp(θ j ) = 50 × 0,2 + 50 × 0,4 +50 × 0,3 + 50 × 0,1 = 50 j=1 USD. Tương t , EV2 = E(X/a2) = 53,4 USD; EV3 = E(X/a3) = 53,6 USD và EV4 = E(X/a4) = 51,4 USD. V y chúng ta l a ch n hành ñ ng a3, t c là ñ t mua 12 hòm cam cho m i ngày do nút tr ng thái s 1 có giá tr kì v ng l n nh t. Có th th y r ng, cây quy t ñ nh cho phép trình bày vi c ra quy t ñ nh m t cách tr c quan hơn so v i vi c s d ng b ng pay-off như trong m c 1.3. Ngoài ra, cây quy t ñ nh còn có th ñư c s d ng cho các bài toán ra quy t ñ nh nhi u giai ño n.
1 EV 1 2 3 4 1 a1 EV 2 2 3 a2 4 0 1 2 3 4 1 2 3 4 Hình VI.1. Cây quy t ñ nh Ví d 1: Cây quy t ñ nh v i nhi u nút quy t ñ nh, bài toán ra quy t ñ nh nhi u giai ño n, ñ nh giá thông tin m i. Các công ti c n phát tri n s n ph m m i thư ng mu n xây d ng các nhà máy th nghi m (phát tri n) s n ph m trư c khi xây d ng nhà máy s n xu t s n ph m m t cách ñ i trà. Tuy nhiên, vi c xây d ng nhà máy th nghi m nhi u khi khá t n kém, nên trong các ñi u ki n c th cũng c n cân nh c xem có nên xây d ng nhà máy th nghi m hay không. B i v y, khi mu n phát tri n m t s n ph m m i, có ba phương án hành ñ ng c n xem xét ñ l a ch n: - S n xu t s n ph m m t cách ñ i trà ngay không qua giai ño n th nghi m. - Xây d ng nhà máy th nghi m. - D ng, không tri n khai vi c s n xu t s n ph m m i. Ngoài ra, c n cân nh c xem chi phí xây nhà máy th ngh êm (ñ thu th p thêm thông tin m i v quy trình s n xu t hay nhu c u c a th trư ng ñ i v i s n ph m m i) cho phép t i m c nào. Nói cách khác, c n tìm hi u ñ bi t thông tin m i do nhà máy th nghi m mang l i ñư c ñ nh giá là bao nhiêu? Cây quy t ñ nh cho bài toán ra quy t ñ nh nhi u giai ño n này ñư c minh h a trên hình VI.2. Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình V n trù h c ………………………………..........172
o hq ca 12250000, xs 0,7 5 hq thÊp –1525000, xs 0,3 00 1 75 h q c ao = 81 12250000, xs 0,85 EV 5 50 6 837 1 01 r hq t = ¹i t E V6 hÊp t® –1525000, xs xuÊ r ¹i t ¶n s Êt ® 0,15 3 EV7 = o xu ca 0 s¶n dõng 0, xs 1,0 dõn u¶ g 7 u q ,8 h q c ao hiÖ sx 0 12250000, xs 0,1 8 00 x©y nh m¸y thÝ nghiÖm 0 1 47 2 1 tr hq t =– x hiÖu s 0 ¹i hÊp EV2 =8147000 EV8 ® – 1525000, xs 0,9 uÊ t qu¶ nx th s¶ Êp 4 dõn EV g dõn 9 = 0 g dõng 9 0, xs 1,0 EV =0 10 dõng 0, xs 1,0 10 Hình VI.2. Cây quy t ñ nh v i nhi u nút quy t ñ nh Gi i thích: Trên cây quy t ñ nh có ba nút quy t ñ nh (khung hình ch nh t). Nút 3 và nút 4 s d ng thông tin do nhà máy th nghi m ñem l i ñ quy t ñ nh xem có nên s n xu t ñ i trà hai không. Nút 1 là nút ñưa ra quy t ñ nh l a ch n m t trong ba phương án hành ñ ng: S n xu t ñ i trà, xây nhà máy th nghi m hay d ng. Các nút còn l i là các nút tr ng thái (khoanh tròn), mà t i ñó c n tính các giá tr kì v ng (l i nhu n có th ñ t ñư c). Hành ñ ng theo phương án s n xu t ñ i trà (ñi t nút 1 t i nút 5), ph i tính t i hai tr ng thái: s n xu t cho hi u qu cao v i xác su t là 0,7 và giá tr l i nhu n là 12250000 USD; hi u qu th p v i xác su t là 0,3 và giá tr l i nhu n là -1525000 USD (hay th t thu là 1525000 USD). Hành ñ ng theo phương án xây nhà máy th nghi m (ñi t nút 1 t i nút 2) cũng ph i tính t i hai tr ng thái: nhà máy th nghi m cho hi u qu cao ho c cho hi u qu th p v i các xác su t tương ng là 0,8 và 0,2. ng v i t ng tr ng thái ñó c n ñưa ra các quy t ñ nh (t i các nút quy t ñ nh 3 và 4) là có nên s n su t ñ i trà hay d ng h n vi c s n xu t s n ph m m i... Ph n còn l i c a cây quy t ñ nh dành cho b n ñ c t gi i thích. ð ñưa ra quy t ñ nh l a ch n theo Tiêu chu n kì v ng l i nhu n t i ña, chúng ta b t ñ u t vi c tính kì v ng l i nhu n c a các nút (r c a cây quy t ñ nh) 5, 6, 7, 8, 9 và 10 và thu ñư c các giá tr kì v ng theo th t là: 8117500, 10183750, 0, -147000, 0 và 0 (USD). So sánh các kì v ng l i nhu n t i nút 6 và nút 7, chúng ta ñưa ra quy t ñ nh ch n phương án s n xu t ñ i trà cho nút 3. Lúc này nút 3 có kì v ng l i nhu n là
10183750 USD. Tương t , so sánh các kì v ng l i nhu n t i nút 8 và nút 9, chúng ta ñưa ra quy t ñ nh ch n d ng s n xu t cho nút 4 v i kì v ng l i nhu n là 0 USD. T ñó chúng ta xác ñ nh ñư c các kì v ng l i nhu n c a các nút tr ng thái 5, 2, 10 (là các nút n i tr c ti p t i nút 1) theo th t là là 8117500, 8147000 và 0 USD. B i v y chúng ta ch còn ph i cân nh c ñ l a ch n ho c xây nhà máy th nghi m ho c s n xu t ñ i trà. Do vi c xây nhà máy th nghi m cho l i nhu n nhi u hơn vi c s n xu t ñ i trà m t lư ng ti n là 8147000 - 8117500 = 29500 USD, nên thông tin m i do nhà máy th nghi m mang l i ñư c ñ nh giá là 29500 USD. V y quy t ñ nh cu i cùng ñư c ñưa ra như sau: N u chi phí xây nhà máy th nghi m th p hơn 29500 USD thì nên trư c tiên xây nhà máy th nghi m và sau ñó ti n hành s n xu t ñ i trà. N u trái l i, nên s n xu t ñ i trà s n ph m ngay mà không xây nhà máy th nghi m (phương án hành ñ ng như v y s mang l i kì v ng l i nhu n 8117500 USD). 3.2. Phân tích Bayes s d ng cây quy t ñ nh Ví d 2: Trong các ví d 1 m c 3.1, vi c xây d ng cây quy t ñ nh là d a trên các xác su t tiên nghi m. Trong ví d này, cây quy t ñ nh ñư c xây d ng d a trên xác su t h u nghi m, ñư c tính toán căn c ñ nh lí Bayes, nh m giúp cho m t công ti d u khí quy t ñ nh m t trong ba l a ch n: li u có nên mua tài li u tư v n ñ a ch t trư c khi khoan hay c ti n hành khoan gi ng l y d u ngay t i m t ñ a ñi m khoan gi ng d u ñã kí ñư c h p ñ ng, ho c không ti n hành khoan gi ng mà nên bán l i h p ñ ng. Giám ñ c s n xu t c a công ti cho r ng khi khoan m t gi ng d u t i khu v c này thì có ba h u qu sau có kh năng x y ra: Gi ng khô (không d u), D u chua (d u t p khó l c) và D u ng t (d u tinh d l c). T i vùng ñ t trên, nơi có khu v c c a công ti, nhi u gi ng d u ñã ñư c khoan v i s li u th ng kê như sau: t l gi ng không d u là 60%, gi ng có d u chua là 20% và gi ng có d u ng t là 20%. Theo ñánh giá c a bà giám ñ c, v i gi ng d u khô (không d u) th t thu trung bình là 50000 USD, v i gi ng d u chua l i nhu n trung bình ñ t ñư c là 200000 USD, còn v i gi ng d u ng t l i nhu n trung bình là 500000 USD. Trong trư ng h p công ti không khoan gi ng mà bán l i h p ñ ng thì thu ñư c 80000 USD. Công ti cũng có th mua thêm tài li u ñ a ch t t phía tư v n v i giá 25000 USD. Qua th ng kê, ñã bi t ñư c thông tin sau ñây v phía tư v n: Trong các gi ng không d u ñã khoan có 10% s gi ng ñã ñư c tư v n nên khoan, 90% ñã ñư c tư v n không nên khoan. Trong các gi ng d u chua ñã khoan có 40% s gi ng ñã ñư c tư v n nên khoan và 60% ñã ñư c tư v n không nên khoan. Trong các gi ng d u ng t ñã khoan có 50% s gi ng ñã ñư c tư v n nên khoan và 50% ñã ñư c tư v n không nên khoan. G i s ki n gi ng khoan lên không có d u là s ki n A, có d u chua là B và có d u ng t là C. Lúc ñó có các xác su t (th c nghi m) sau: P(A) = 60%, P(B) = 20%, P(C) = Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình V n trù h c ………………………………..........174
20%. G i s ki n (tư v n cho là) nên khoan là F, không nên khoan là U. Lúc ñó có th coi P(F/A) = 10%, P(F/B) = 40%, P(F/C) = 50%, P(U/A) = 90%, P(U/B) = 60%, P(U/C) = 50%. Theo ñ nh lí Bayes, các xác su t h u nghi m ñư c tính như sau (xem hình V.3 v i các xác su t t i nút tr ng thái s 6)): P(F / A)P(A) P(A/F) = P(F / A)P(A) + P(F / B)P(B) + P(F / C)P(C) 0,1× 0, 6 0, 06 = = = 0,2500. 0,1× 0, 6 + 0, 4 × 0, 2 + 0, 5 × 0, 2 0, 24 0,4 × 0,2 0,5 × 0,2 Tương t , ta có: P(B/F) = = 0,3333 và P(C/F) = = 0,4176. 0,24 0,24 Ti p t c áp d ng ñ nh lí Bayes, chúng ta cũng có: P(U / A) × P(A) P(A/U) = P(U / A) × P(A) + P(U / B) × P(B) + P(U / C) × P(C) 0,9 × 0, 6 0,54 = = = 0,7105. 0,9 × 0, 6 + 0, 6 × 0, 2 + 0,5 × 0, 2 0, 76 0,12 0,10 Tương t , cũng có: P(B/U) = = 0,1579 và P(C/U) = = 0,1316. 0, 76 0, 76
80000 USD 25 –50000 USD xs 0, 3 khô an khoan chua kho 200000 USD EV6 = 2 6250 0 6 ên 4 xs 0,33 0 ,2 n ngät xs x s 0, 500000 USD 42 2 xs 00 kh ông 0 ,7 6 80000 USD 23 8 nên Ên 2 =1 kh −v oa n 4 EV x s 0,7 1 at kho – 50000 USD mu an k hô EV7= chua xs 0,16 200000 USD 61842 1 7 ngät sx 0, 500000 USD 13 kh« n gm ua t − vÊ 80000 USD n 5 0 x s 0,6 –50000 USD khoa k hô n EV 8= 1 1000 chua xs 0,20 8 0 200000 USD ngät xs 0 , 20 500000 USD Hình VI.3. Cây quy t ñ nh v i xác su t h u nghi m Sau khi ñã tính ñư c các xác su t h u nghi m trên ñây, chúng ta xây d ng ñư c cây xác su t như trên hình VI.3 và tính ñư c kì v ng l i nhu n c a các nút 6, 7 và 8 theo th t là 262500, 61842 và 110000 USD. Do ñó t i nút quy t ñ nh s 3, quy t ñ nh là ti n hành khoan gi ng v i kì v ng l i nhu n là 262000. T i nút quy t ñ nh s 4, quy t ñ nh là bán l i h p ñ ng v i l i nhu n là 80000. Còn t i nút quy t ñ nh s 5, quy t ñ nh là ti n hành khoan gi ng v i kì v ng l i nhu n là 110000. Sau ñó ti p t c tính kì v ng l i nhu n t i nút tr ng thái s 2 (là 123800). Cu i cùng so sánh các l i nhu n t i các nút s 2 và s 5 ñ ch n phương án hành ñ ng mang l i kì v ng l i nhu n l n hơn: C n ph i mua tài li u tư v n ñ bi t có nên khoan hay không trong trư ng h p giá mua tài li u tư v n th p hơn hi u s 123800 - 110000 = 13800 USD. N u giá mua tài li u tư v n ñ t hơn 13800 USD thì nên ti n hành khoan ngay mà không nên mua tài li u tư v n. Như v y, v i giá tài li u tư v n là 25000, rõ ràng chúng ta nên ti n hành khoan ngay và không c n mua tài li u tư v n. Chú ý: Rõ ràng r ng, m t khi có thông tin m i thì chúng ta ph i xem xét l i quy t ñ nh. Ch ng h n, chúng ta có bài toán phân tích ñ nh y quy t ñ nh khi l i nhu n PS Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình V n trù h c ………………………………..........176
thu ñư c khi khoan m t gi ng d u ng t không ph i là 500000 USD, mà bi n thiên tăng d n t 200000 t i 500000 USD (ñ ñơn gi n, gi s m i n c tăng là 2000 USD). Lúc ñó, v i các tính toán tương t như ñã làm và v i giá mua tài li u tư v n ch ng h n là 25000 USD, có th ch ra r ng: V i PS trong kho ng 200000 t i 312000 USD thì nên l a ch n vi c bán l i h p ñ ng. V i PS trong kho ng 312000 t i 388000 USD thì nên mua tài li u tư v n. Còn n u PS l n hơn 388000 USD thì nên khoan ngay mà không c n mua tài li u tư v n. 4. RA QUY T ð NH D A TRÊN TIÊU CHU N KÌ V NG TH A D NG T I ðA 4.1. Khái ni m hàm th a d ng Trong các m c 1.3 và 1.4, quy t ñ nh trong môi trư ng r i ro ñư c ñưa ra căn c các tiêu chu n giá tr kì v ng l i nhu n t i ña. Khi so sánh ñ l a ch n m t trong hai phương án hành ñ ng A ho c B, phương án nào cho giá tr kì v ng l i nhu n l n hơn s ñư c ưu tiên l a ch n hơn. Tuy nhiên, vi c ñưa ra quy t ñ nh căn c vào các giá tr kì v ng l i nhu n hay kì v ng th t thu (có tính ti n b c, v t ch t) không ph i lúc nào cũng t ra h p lí. Nhi u khi quy t ñ nh ñư c ñưa ra d a trên các giá tr th a d ng (là các ch s ño ñ th a mãn, ti n d ng c a phương án ñư c l a ch n, các giá tr như v y có th ñư c coi là các giá tr “tinh th n” ). Ví d 1: V ñ th a d ng c a m t phương án hành ñ ng. Ch m t doanh nghi p có tài s n tr giá 100000 USD v i xác su t g p ph i s c r i ro hàng năm (như h a ho n hay thiên tai làm thi t h i toàn b tài s n trên) là 0,1%. Gi s doanh nghi p có th mua b o hi m toàn b t m t trong hai công ti b o hi m v i giá tương ng là 125 USD/năm và 150 USD/năm. Hãy l a ch n m t trong ba phương án: A − mua b o hi m giá 125 USD hay B − mua b o hi m giá 150 USD hay phương án C − không mua b o hi m. N u không mua b o hi m, kì v ng th t thu là 100000 × 0,1% = 100 USD, còn n u mua b o hi m thì ch u chi phí là 125 USD ho c 150 USD. Do ñó, theo tiêu chu n giá tr kì v ng, rõ ràng nên ch n phương án C (không mua b o hi m tr c ti p) v i kì v ng th t thu t i thi u. Trên th c t phương án A thư ng ñư c ch doanh nghi p l a ch n. ðó là vì ch doanh nghi p ñánh giá phương án A mang l i ñ th a d ng cao nh t so v i phương án B và phương án C, do c m th y phương án A có chi phí th p và ñ m b o tránh ñư c r i ro. ði u này ñư c gi i thích chính xác hơn thông qua khái ni m hàm tho d ng, cho phép lư ng hoá ñư c ñ tho d ng c a các phương án. Kí hi u phương án A b i giá tr xA = −125, phương án B b i giá tr xB = −150 và phương án C b i l1 = (0, 0,999; −125, 0; −150, 0; −100000, 0,001; −150000, 0). ñây, l1 ñư c hi u gi ng như m t trò chơi x s mà ngư i chơi có th nh n ñư c gi i 0 USD (không m t gì) v i xác su t 0,999, gi i −100000 USD (ph i b ra 100000 USD) v i xác su t 0,001, các gi i khác là −125, −150 và −150000 USD v i xác su t là 0. C n ñưa ra quy t ñ nh ñ l a ch n trong các phương án A ho c B (mua vé b o hi m tr c ti p) hay phương án C (chơi x s “b o hi m” ñ có vé b o hi m). Gi s chúng ta có thêm m t phương án D v i kí hi u là l2 = (0, 0,999; −125, 0; −150, 0; −100000, 0;
−150000, 0,001). Phương án D ñư c coi là m t trò chơi x s “b o hi m” khác. Lúc này c n l a ch n trong các phương án A, B, C, D m t phương án mua b o hi m h p lí nh t. G i giá tr th a d ng c a các phương án A, B, C và D là u(A), u(B), u(C) và u(D). Phương án nào có giá tr tho d ng cao nh t s ñư c l a ch n. V n ñ ñ t ra là hàm u(.) nên ñư c ñ nh nghĩa như th nào? ð nh nghĩa 1: Xét t p h p X = {x1, x2,..., xr} là t p h p các gi i thư ng và t p h p các x s L tương ng v i X g m các ph n t lj = (x1, p1j; x2, p2j; ...; xr, prj) trong ñó r ∑ pij = 1, pij ≥ 0 ∀i . M t hàm s u(.) xác ñ nh trên t p U = X∪L ñư c g i là hàm th a i=1 r d ng, n u u là hàm tăng trên t p X và u(lj) = ∑ u(x i )pij . i=1 Giá tr u(lj) ñư c g i là giá tr tho d ng hay kì v ng th a d ng c a x s lj. D th y, m t gi i thư ng xi cũng có th ñư c coi là m t cu c x s có d ng l = (x1, 0; x2, 0; ...; xi, 1; ...; xr, 0). Theo ñ nh nghĩa 1 trên ñây, u(l) = u(xi). 4.2. Tiêu chu n kì v ng th a d ng t i ña Xét các phương án c a t p U. Tiêu chu n kì v ng tho d ng t i ña ñư c phát bi u ñơn gi n như sau: Phương án nào có kì v ng th a d ng cao hơn thì ñư c ưu tiên l a ch n hơn. Như v y khi xét m t t p con h u h n ph n t c a U, chúng ta luôn có th l a ch n ñư c m t phương án có kì v ng th a d ng cao nh t. Chú ý: Có th ch ra r ng hàm th a d ng u(.) luôn t n t i n u các t p h p X và L th a mãn m t s tiên ñ . ðây là m t v n ñ có tính ch t lí thuy t và phương pháp lu n khá ph c t p, chúng ta không ñi sâu vào chi ti t. ði u chúng ta quan tâm t i lúc này là quy trình tính toán ñ xây d ng hàm tho d ng u(.). Quay tr l i ví d 1 trên, ta xét t p X = {x1, x2, x3, x4, x5} = {0, −125, −150, −100000, −150000} và t p L g m các cu c x s “b o hi m” ng v i X. Trư c h t, do x5 = −150000 là giá tr nh nh t trên t p X nên ñ t u(x5) = 0. Do x1 = 0 là giá tr l n nh t trên X, nên ñ t u(x1) = 1. Như v y d i giá tr c a hàm u(.) ñư c ch n là [0, 1]. ð xác ñ nh u(x2) c n tìm ñư c m t cu c x s l = (x1, p; x2, 0; x3, 0; x4, 0; x5, 1 − p) v i p c n xác ñ nh sao cho u(l) = u(x1)p + u(x5)(1 − p) = u(x2). ð xác ñ nh p, c n ñ t câu h i d ng “xác su t”: Tìm xác su t p sao cho vi c mua b o hi m v i giá là 125 USD cũng thu ñư c s th a mãn gi ng như khi tham gia trò chơi x s l, trong ñó k t c c ñư c 0 USD x y ra v i xác su t p và k t c c ñư c −1500000 USD x y ra v i xác su t 1 − p? Vi c xác ñ nh p có tính ch quan nhưng ph i d a trên các quy t c ch t ch (mà do khuôn kh c a giáo trình nên không trình bày ñây). Gi s xác ñ nh ñư c p = 0,8 thì u(x2) = u(x1)p + u(x5)(1 − p) = 1×0,8 + 0×0,2 = 0,8. Câu h i tương t ñư c ñ t ra Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình V n trù h c ………………………………..........178
v i x3 và x4, ñ xác ñ nh ñư c, ch ng h n, u(x3) = 0,7 và u(x4) = 0,1. Như v y, chúng ta ñã xây d ng ñư c hàm th a d ng u(.) cho ví d ñang xét, v i ñ th u1 trên hình V.4. D a trên ñ th u1 và tiêu chu n kì v ng th a d ng, chúng ta quy t ñ nh l a ch n phương án A: mua b o hi m toàn b tài s n v i giá 125 USD/năm. Có th ch ng minh ñư c r ng vi c ra quy t ñ nh d a trên tiêu chu n kì v ng th a d ng t i ña không ph thu c vào thang t l c a u(.), t c là n u hàm u (.) ñã ñư c xây d ng thì ∀ α > 0, ∀ β, hàm w(x) = αu(x) + β cũng là hàm th a d ng. B i v y, d i giá tr ban ñ u c a u(.) có th ch n b t kì, ch ng h n như [-5, 5] hay [0, 10]. u 0,8 0,7 u3 u2 u1 –150 x 0,1 (149850) 0 –125 –150000 –100000 (150000) (149875) (0) (50000) Hình VI.4. ð th hàm th a d ng Tuy nhiên, hình d ng c a hàm u(.) l i ph thu c vào vi c l a ch n các giá tr p khi tr l i các câu h i “xác su t”. ði u này có nghĩa là m i con ngư i có ki u xây d ng hàm th a d ng c a mình. Hình VI.4, ngoài ñ th hàm th a d ng u(.) có d ng u1, còn minh h a hai d ng ñ th hàm th a d ng khác là u2 và u3. Các ñ th này có ý nghĩa gì, v n ñ này s ñư c phân tích v n t t thông qua khái ni m ngư ng m o hi m (Risk Premium). ð nh nghĩa 1: ng v i m i cu c x s l = (x1, p1; x2, p2; ...; xr, pr) ∈ U và m t hàm th a d ng u(.) xác ñ nh trên U, s sau ñây ñư c g i là ngư ng m o hi m c a U(.): π = E(x/p) – u−1(E(u/p)) r trong ñó E(x/p) là giá tr kì v ng c a l ñư c tính b i E(x/p) = ∑ x i pi , còn E(u/p) là i =1 r kì v ng th a d ng c a l ñư c tính như ñã bi t E(u/p) = u(l) = ∑ u(x i )pi . i=1 Xét hàm th a d ng ñã xác ñ nh trên v i ñ th u1 và cu c x s C. D dàng tính ñư c E(x/p ) = −100 USD. Do E(u/p) = 0,999 + 0,0001 = 0,9991 nên u−1(E(u/p)) = u−1(0,9991) ≈ −6 (n u n i suy tuy n tính). Như v y, π = E(x/p) − u−1(E(u/p)) ≈ −100 +6 = −94.
Chú ý: Có th ch ng minh ñư c r ng n u hàm th a d ng u(.) là hàm l i (l i ng t) thì π ≤ 0 (< 0) v i m i cu c x s . Còn n u hàm th a d ng u(.) là hàm lõm (lõm ng t) thì π ≥ 0 (> 0) v i m i cu c x s . Quay l i ví d ñang xét, do hàm u(.) v i ñ th u1 ñã xây d ng là l i ng t nên ta luôn có π = E(x/p) – u−1(E(u/p)) < 0. ði u này cũng có nghĩa là u(E(x/p)) < E(u/p), t c là ñ th a d ng c a kì v ng l i nhu n là nh hơn kì v ng th a d ng do cu c x s mang l i. Trong trư ng h p hàm th a d ng có ñ th u3 (trên hình V.4) thì π > 0 và do ñó u(E(x/p)) > E(u/p), t c là ñ th a d ng c a kì v ng l i nhu n là l n hơn kì v ng th a d ng do cu c x s mang l i. T các phân tích trên, ta th y n u ngư i ra quy t ñ nh có hàm th a d ng u(.) l i thì ngư i ñó có tính “hư ng m o hi m” (Risk Prone), còn n u trái l i, u(.) lõm thì có tính “tránh m o hi m” (Risk Averse). V i u(.) tuy n tính, ngư i ra quy t ñ nh có tính h p lí (Risk Neutral). ði u này ñư c th hi n khá tr c quan trên hình V.4 n u ta quy l i thang b c gi i thư ng: thay vì các cu c x s “b o hi m” ñã nói t i trong ví d , chúng ta xét các cu c x s th t s v i gi i thư ng (ñư c quy l i g c t a ñ ) thu c vào kho ng 0 USD t i 150000 USD. V i ñ th u1 ta th y, các gi i thư ng khá cao ngư i ra quy t ñ nh có tính “hư ng m o hi m” v n ch có ñ th a d ng (m c ñ th a mãn) th p, ch ng h n gi i thư ng 149500 USD ch mang l i ñ th a d ng là 0,7 và ñ th a mãn tăng r t nhanh khi m c gi i thư ng tăng sát 150000 USD. ð th u3 cũng có th ñư c phân tích tương t ñ th y tính “tránh m o hi m” c a ngư i ra quy t ñ nh. Ví d 2: M t nhà ñ u tư có 10000 USD có th ñ u tư vào th trư ng ch ng khoán. Anh ta có th l a ch n hai công ti X và Y ñ ñ u tư (gi s r ng hai công ti X và Y là hoàn toàn ñ c l p v i nhau). Theo tính toán sơ b và d ñoán c a chuyên gia thì nhà ñ u tư có th nh n ñư c g p ñôi s ti n ñ u tư v i xác su t 0,6 và có th m t ñi m t n a s ti n ñ u tư v i xác su t 0,4 khi ñ u tư vào m t trong hai công ti trên. Anh ta xem xét các l a ch n sau: - ð u tư toàn b s ti n vào m t trong hai công ti (phương án A). - ð u tư 5000 USD vào công ti X (phương án B). - ð u tư 5000 USD vào công ti X và 5000 USD vào công ti Y (phương án C). - Không ñ u tư vào hai công ti trên (phương án D). Ngoài ra, gi s ñã bi t hàm tho d ng c a ngư i ñ u tư t i m t s m c l i nhu n: u(−5000) = 0; u(−2500) = 0,2; u(0) = 0,4; u(2500) = 0,7; u(5000) = 0,9; u(10000) = 1. Hãy xác ñ nh phương án ñ u tư d a trên tiêu chu n kì v ng tho d ng t i ña. Tính kì v ng tho d ng cho phương án A: E(u/pA) = 0,6×u(10000) + 0,4×u(−5000) = 0,6. Tương t , E(u/pB) = 0,6×u(5000) + 0,4×u(−2500) = 0,6×0,9 + 0,4×0,2 = 0,62 Nh m tính kì v ng tho d ng cho phương án C, chúng ta s d ng hàm sinh (0,6a1 + 0,4 b1)(0,6a2 + 0,4 b2) = 0,36 a1a2 + 0,24a1b2 + 0,24b1a2 + 0,16b1b2 ñ xác ñ nh ñư c các xác su t: xác su t ñ u tư vào c hai công ti cùng lãi là 0,36; xác su t ñ u tư vào công ti X lãi và công ti Y l là 0,24; xác su t ñ u tư vào công ti X l và công ti Y lãi là 0,24; xác su t ñ u tư vào c hai công ti cùng l là 0,16. Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình V n trù h c ………………………………..........180