intTypePromotion=3

CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Chia sẻ: Do Van Quan | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:4

1
374
lượt xem
115
download

CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Quy tắc: 1. Tìm TXĐ của hàm số. 2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm xi mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. 3. Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập BBT. 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

CHUYÊN ĐỀ :TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

DẠNG 1: XÉT CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ

Quy tắc:

  1. Tìm TXĐ của hàm số.
  2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm xi mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
  3. Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập BBT.
  4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Bài 1. Xét chiều biến thiên các hàm số sau:

1) y = 2x  + 3x   + 2

2) y = (frac{1}{3}{x^3} - 3{x^2} + 8x - 2) 

3) y = x  - 2x  + x

4) y =(frac{{{x^2} - 2x + 5}}{{x - 1}})                  

5) y = x +                               

6) y =({x^3} + 3{x^2} + 3x + 2)

7)[y = 2{{ m{x}}^{ m{3}}}{ m{ +  3}}{{ m{x}}^{ m{2}}}{ m{ +  1}}]

8) (y = x - frac{2}{x})

 9)  y =(frac{1}{3}{x^3} - frac{1}{2}{x^2} - 2x - 2)                                    

10) y = x  - 2x  - 5 

11) y =(2{x^3} + 3{x^2} + 1)                     

12) y =({x^4} - 2{x^2} - 5)

13)[,y = frac{{{{ m{x}}^{ m{2}}} - 2{ m{x  +  3}}}}{{x + 1}}]                 

14) [y = frac{{3x + 2}}{{x + 1}},,,]

15)[{ m{y  =  }}{x^4} - 2{x^2} + 3,]

Bài 2. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:

            (a),,y = sqrt {25 - {x^2}} ,,,,,,,,,,,,,,,,,,b),,y = frac{x}{{sqrt {16 - {x^2}} }},,,,,,,,,,,,,,,,,,c),,y = frac{{{x^3}}}{{sqrt {{x^2} - 6} }},,,,,,,,,,,,,,,,,d),,y = frac{{sqrt x }}{{x + 100}})

Bài 3. Chứng minh rằng:

  1. Chứng minh rằng hàm số f(x) = (sqrt {4 - {x^2}} )nghịch biến trên đoạn (left[ {0;2} ight])
  2. Hàm số [y = x + sqrt {1 - {x^2}} ] đồng biến trên khoảng (left( { - 1;frac{1}{{sqrt 2 }}} ight)) và nghịch biến trên khoảng (left( {frac{1}{{sqrt 2 }};1} ight)).
  3. Hàm số [y = sqrt {{x^2} - x - 20} ]  nghịch biến trên khoảng (left( { - infty ; - 4} ight)) và đồng biến trên khoảng (left( {5; + infty } ight)).

Bài 4. Chứng minh rằng:

  1. (fleft( x ight) = {x^3} + x - cos x - 4)đồng biến trên R
  2. (fleft( x ight) = cos 2x - 2x + 3) nghịch biến trên R.
  3. (fleft( x ight) = x + {cos ^2}x) đồng biến trên R.

Bài 5. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

            (a),,y = sin x,,,x in left( {0;2pi } ight),b),,y = x - sin x,,,x in left[ {0;2pi } ight],,,,,,,,,,,c),,y = x + 2cos x,,,x in left( {frac{pi }{6};frac{{5pi }}{6}} ight))

DẠNG 2: TÌM THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN MIỀN K

Phương pháp: Sử dụng các kiến thức sau đây:

  1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
  • Nếu (f'(x) ge 0,,,forall x in K) thì f(x) đồng biến trên K.
  • Nếu (f'(x) le 0,,,forall x in K) thì f(x) nghịch biến trên K.
  1. Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c có biệt thức (Delta  = {b^2} - 4ac). Ta có:
  • (f(x) ge 0,,,forall x in R, Leftrightarrow left{ egin{array}{l}a > 0Delta  le 0end{array} ight.)
  • (f(x) le 0,,,forall x in R, Leftrightarrow left{ egin{array}{l}a < 0Delta  le 0end{array} ight.)
  1. Xét bài toán: “Tìm m để hàm số y = f(x,m) đồng biến trên K”. Ta thực hiện theo các bước sau:
  • B1. Tính đạo hàm f’(x,m).
  • B2. Lý luận:
    Hàm số đồng biến trên K( Leftrightarrow f'(x,m) ge 0,,,forall x in K) ( Leftrightarrow m ge g(x),forall x in K,,left( {m le g(x)} ight))
  • B3. Lập BBT của hàm số g(x) trên K. Từ đó suy ra giá trị cần tìm của tham số m.

Cách khác: (Phương pháp tam thức bậc 2)

 Ta chuyển yêu cầu bài toán Û so sánh một số a với các nghiệm của tam thức bậc hai

Cần nhớ: Cho f(x) = ax  + bx + c   (a 0) 

  1.    f(x) ³ 0   "x Î [mathbb{R}] Û  [left{ egin{array}{l}a > 0Delta  le 0end{array} ight.]
  2.    [f(x) le 0,,,,forall x in mathbb{R} Leftrightarrow left{ egin{array}{l}a < 0Delta  le 0end{array} ight.]  
  3.     [{x_1} < alpha  < {x_2} Leftrightarrow af(alpha ) < 0]
  4.      [alpha  < {x_1} < {x_2} Leftrightarrow left{ egin{array}{l}Delta  > 0af(alpha ) > 0frac{S}{2} > alpha end{array} ight.]
  5.      [{x_1} < {x_2} < alpha  Leftrightarrow left{ egin{array}{l}Delta  > 0af(alpha ) > 0frac{S}{2} < alpha end{array} ight.]

So sánh hai số a, b với các nghiệm của tam thức bậc hai:

[egin{array}{l}1.,left[ egin{array}{l}{x_1} < alpha  < {x_2} < eta alpha  < {x_1} < eta  < {x_2}end{array} ight. Leftrightarrow f(alpha ).f(eta ) < 02.,{x_1} < alpha  < eta  < {x_2} Leftrightarrow left{ egin{array}{l}a.f(alpha ) < 0a.f(eta ) < 0end{array} ight.3.,alpha  < {x_1} < {x_2} < eta  Leftrightarrow left{ egin{array}{l}Delta  > 0a.f(alpha ) > 0a.f(eta ) > 0frac{S}{2} in (alpha ;eta )end{array} ight.4.,{x_1} < {x_2} < alpha  < eta  Leftrightarrow left{ egin{array}{l}Delta  > 0a.f(alpha ) > 0frac{S}{2} < alpha end{array} ight.5.,alpha  < eta  < {x_1} < {x_2} Leftrightarrow left{ egin{array}{l}Delta  > 0a.f(eta ) > 0frac{S}{2} > eta end{array} ight.end{array}]

Bài 1: a)Với giá trị nào của a, hàm số (fleft( x ight) = frac{4}{pi }x - an x,,,x in left[ {0;frac{pi }{4}} ight]) nghịch biến trên R ?

           b) Với giá trị nào của m, hàm số [f(x) = m{x^3} - 3{x^2} + left( {m - 2} ight)x + 3] nghịch biến trên R ?

Bài 2: Với giá trị nào của m, hàm số [fleft( x ight) = frac{{ - 3{x^2} + mx - 2}}{{2x - 1}}] nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.

Bài 3: Định m để hàm số (y = frac{{mx + 1}}{{x + m}}) luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

Bài 4: Tìm m để hàm số (y = frac{1}{3}m{x^3} - left( {m - 1} ight){x^2} + 3left( {m - 2} ight)x + frac{1}{3}) đồng biến trên [mleft( {sqrt {{x^2} - 2x + 2}  + 1} ight) + x(2 - x) le 0,,(1)].

Bài 5: Tìm m để hàm số [m le frac{{{t^2} - 2}}{{t + 1}}] nghịch biến trên nửa khoảng (t in [1;2]).

Bài tập về nhà:

Bài 1. Tìm các giá trị của tham số a để hàm số [fleft( x ight) = frac{1}{3}{x^3} + ,a{x^2} + 4{ m{x  +  3}}] đồng biến trên R

Bài 2. Với giá trị nào của m, hàm số (left( { - infty ;1} ight]) đồng biến trên mỗi khoảng xác định ?

Bài 3. Định a để hàm số [x =  - frac{1}{2} vee x = frac{3}{2}] luôn đồng biến trên R ?

Bài 4. Cho hàm số ( - ). Xác định m để hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

Bài 5. Cho hàm số ( - 12). Chứng minh rằng hàm số luôn nghịch biến trên R với mọi m.

Bài 6. Tìm m để hàm số y = 3x3 – 2x2 + mx – 4 đồng biến trên khoảng ( - infty ).

Bài 7. Tìm m để hàm số y = 4mx3 – 6x2 + (2m – 1)x + 1 tăng trên khoảng (0;2).

Bài 8. Cho hàm số [ Leftrightarrow left{ egin{array}{l}2x - y - m = 0x + sqrt {xy}  = 1end{array} ight. Leftrightarrow left{ egin{array}{l}2x - y - m = 0sqrt {xy}  = 1 - xend{array} ight.].

a)  Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
b)  Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng [left{ egin{array}{l}xy ge 0x le 1end{array} ight.].

DẠNG 3:SỬ SỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Phương pháp: Sử dụng kiến thức sau:

  • f(x) đồng biến trên đoạn [left[ {a;,,b} ight]] thì [fleft( a ight) le fleft( x ight) le fleft( b ight),,,forall x in left[ {a;,,b} ight]]
  • f(x) nghịch biến trên đoạn [left[ {a;,,b} ight]] thì [fleft( a ight) ge fleft( x ight) ge fleft( b ight),,,,,forall x in left[ {a;,,b} ight]]

Bài 1: Cho hàm số (fleft( x ight) = 2sin x + an x - 3x).

  1. Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng (left[ {0;frac{pi }{2}} ight)).
  2. Chứng minh rằng: (2sin x + an x > 3x,forall x in left( {0;frac{pi }{2}} ight)).

Bài 2: a) Chứng minh rằng hàm số (fleft( x ight) = an x - x) đồng biến trên nửa khoảng (left[ {0;frac{pi }{2}} ight)).

          b)Chứng minh rằng ( an x > x + frac{{{x^3}}}{3},forall x in left( {0;frac{pi }{2}} ight)).

Bài tập về nhà:

Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

  1. (sin x < x,forall x > 0) và (sin x < 0,forall x < 0)
  2. (cos x > 1 - frac{{{x^2}}}{2},forall x e 0)
  3. (sin x > x - frac{{{x^3}}}{6},forall x > 0) và (sin x < x - frac{{{x^3}}}{6},forall x < 0)
  4. (sin x + an x > 2x,forall x in left( {0;frac{pi }{2}} ight))
  5. (sin x > frac{{2x}}{pi },forall x in left( {0;frac{pi }{2}} ight))
  6. ( an x > sin x) với (0 < x < frac{pi }{2})

Bài 2. Cho hàm số (fleft( x ight) = frac{4}{pi }x - an x,,,x in left[ {0;frac{pi }{4}} ight]).

  1. Xét chiều biến thiên của hàm số trên đoạn (left[ {0;frac{pi }{4}} ight]).
  2. Từ đó suy ra rằng: ( an x le frac{pi }{4}x,forall x in left[ {0;frac{pi }{4}} ight]).

Bài 3. Chứng minh rằng: (1 + frac{1}{2}x - frac{{{x^2}}}{8} < sqrt {1 + x}  < 1 + frac{1}{2}x) với (x in left( {0; + infty } ight))

ïDẠNG 4: SỬ SỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM DUY NHẤT

LOẠI 1: CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ 1 NGHIỆM

Bài 1: Cho hàm số (fleft( x ight) = 2{x^2}sqrt {x - 2} ).

  1. Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng (left[ {2; + infty } ight)).

       b.  Chứng minh rằng phương trình (2{x^2}sqrt {x - 2}  = 11) có một nghiệm duy nhất.

Bài 2: Cho hàm số f(x) = sin2x + cosx.

  1. CMR hàm số đồng biến trên đoạn (left[ {0;frac{pi }{3}} ight]) và nghịch biến trên đoạn (left[ {frac{pi }{3};pi } ight]).

Chứng minh rằng với mọi (m in left( { - 1;1} ight)), phương trình sin2x + cosx = m có một nghiệm duy nhất thuộc đoạn (left[ {0;pi } ight]).

LOẠI 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Bài 1: Giải phương trình: ({x^5} + {x^3} - sqrt {1 - 3x}  + 4 = 0)

Bài 2: Giải phương trình: x^5+x^3-sqrt(1-3x)+4=0

Bài 3: Giải phương trình: sqrt(x+1)+sqrt(x+3)+sqrt(2x-1)=3+sqrt2

Bài 4: Giải phương trình: 2x  + (1 - 2x)^4 =1/27 

 

Để xem bản đầy đủ, đúng định dạng, mời quý Thầy cô và các em học sinh vui lòng đăng nhập để tải tài liệu về máy.

Quý Thầy/cô, phụ huynh và các em học sinh có thể tham khảo thêm bài học Ổn tập chương 1 Giải tích 12 để có thêm nguồn tài liệu tham khảo trong quá trình dạy và học.

Nếu gặp khó khăn khi giải bài tập, các em học sinh có thể tham khảo phần Hướng dẫn giải bài tập SGK bài ôn tập chương 1 Giải tích 12.

Để chuẩn bị tốt cho kì thi THPT Quốc gia môn Toán, các em học sinh có thể tham gia làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Ứng dụng đạo hảm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản