Chương 3: Biến ngẫu nhiên nhiều chiều

Chia sẻ: Tôi Là Ai | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

440
lượt xem 39
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ở chương trước chúng ta quan tâm đến xác suất của biến ngẫu nhiên riêng rẽ. Nhưng trong thực tế nhiều khi ta phải xét đồng thời nhiều biến khác nhau có quan hệ tương hỗ,

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 3: Biến ngẫu nhiên nhiều chiều

Lu t phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên nhi u chi u Các khái ni m cơ s Các khái ni m cơ s Chương 3: Bi n ng u nhiên nhi u chi u chương trư c chúng ta quan tâm đ n xác su t c a bi n ng u nhiên riêng r . Nhưng trong th c t nhi u khi ta ph i xét đ ng th i nhi u bi n khác nhau có quan h tương h (ví d khi nghiên c u v sinh viên m t trư ng đ i h c thì c n quan Lê Xuân Lý, Tr n Minh Toàn (1) tâm đ n chi u cao, cân n ng, tu i, . . . ). Do đó d n đ n khái ni m bi n ng u nhiên nhi u chi u hay véctơ ng u nhiên. Vi n Toán ng d ng và Tin h c, ĐHBK Hà N i Đ cho đơn gi n, ta nghiên c u bi n ng u nhiên hai chi u (X, Y ), trong đó X, Y là các bi n ng u nhiên m t chi u. H u h t các k t qu thu đư c đ u có th m r ng khá d dàng cho trư ng h p bi n ng u nhiên n chi u. Hà N i, tháng 8 năm 2012 Bi n ng u nhiên hai chi u đư c g i là r i r c (liên t c) n u các thành ph n c a nó là các bi n ng u nhiên r i r c (liên t c). (1) Email: lexuanly@gmail.com,toantm24@gmail.com T.M. Toàn (SAMI-HUST) Bi n ng u nhiên nhi u chi u Hà N 1/30 i, tháng 8 năm 2012 1 / 30 T.M. Toàn (SAMI-HUST) Bi n ng u nhiên nhi u chi u Hà N 3/30 i, tháng 8 năm 2012 3 / 30 Lu t phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên nhi u chi u Các khái ni m cơ s Lu t phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên nhi u chi u Các khái ni m cơ s Các khái ni m cơ s Các khái ni m cơ s Đ nh nghĩa 3.1 Hàm phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên hai chi u (X, Y ) đư c xác đ nh như sau Tính ch t (ti p) Các hàm F (x, y) = P (X < x, Y < y), x, y ∈ R. (3.1) F (x, +∞) = P (X < x, Y < +∞) = P (X < x) =: FX (x) Nhi u tài li u g i hàm trên là hàm phân ph i xác su t đ ng th i c a hai bi n X và Y . F (+∞, y) = P (X < +∞, Y < y) = P (Y < y) =: FY (x) là các hàm phân ph i riêng c a các bi n ng u nhiên X và Y và còn đư c g i là Tính ch t các phân ph i biên c a bi n ng u nhiên hai chi u (X, Y ). 0 ≤ F (x, y) ≤ 1, ∀x, y ∈ R; F (x, y) là hàm không gi m theo t ng đ i s ; Đ nh nghĩa 3.2 F (−∞, y) = F (x, −∞) = 0, ∀x, y ∈ R và F (+∞, +∞) = 1; Hai bi n ng u nhiên X, Y đư c g i là đ c l p n u V i x1 < x2 , y1 < y2 ta luôn có F (x, y) = FX (x).FY (y), ∀x, y ∈ R. P (x1 ≤ X ≤ x2 , y1 ≤ y ≤ y2 ) = F (x2 , y2 ) + F (x1 , y1 ) − F (x1 , y2 ) − F (x2 , y1 ) . T.M. Toàn (SAMI-HUST) Bi n ng u nhiên nhi u chi u Hà N 4/30 i, tháng 8 năm 2012 4 / 30 T.M. Toàn (SAMI-HUST) Bi n ng u nhiên nhi u chi u Hà N 5/30 i, tháng 8 năm 2012 5 / 30
Lu t phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên nhi u chi u Phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên hai chi u r i r c Lu t phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên nhi u chi u Phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên hai chi u r i r c Phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên hai chi u Phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên hai chi u r ir c r ir c Trong đó Đ nh nghĩa 3.3 pij = P (X = xi , Y = yj ) ∀i = 1, m, j = 1, n. B ng phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên hai chi u (X, Y ) r i r c đư c xác đ nh Kích thư c b ng này có th ch y ra vô h n khi m, n ch y ra vô h n. như sau Tính ch t HH Y y1 ... yj ... yn pij ≥ 0 ∀i, j; X HH H j pij = 1; x1 p11 ... p1j ... p1n P (X = x1 ) i,j x2 p21 ... p2j ... p2n P (X = x2 ) . . . . . . . Hàm phân ph i xác su t đư c xác đ nh theo công th c F (x, y) = pij ; . . . . . . . . . . . . . . i,j: xi
Lu t phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên nhi u chi u Phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên hai chi u r i r c Lu t phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên nhi u chi u Phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên hai chi u liên t c Phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên hai chi u Phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên hai chi u r ir c liên t c Đ nh nghĩa 3.4 Chú ý 3.1 Hàm hai bi n không âm, liên t c f (x, y) đư c g i là hàm m t đ xác su t đ ng th i Hai bi n ng u nhiên X, Y đư c g i là đ c l p v i nhau n u ta có c a bi n ng u nhiên hai chi u liên t c (X < Y ) n u nó th a mãn P (X = xi , Y = yj ) = P (X = xi ).P (Y = yj ), ∀i = 1, m, j = 1, n P ((X, Y ) ∈ D) = f (x, y)dxdy ∀D ⊂ R2 . (3.2) D Các xác su t có đi u ki n v n đư c tính như thông thư ng, t c là Tính ch t P (X = xi , Y = yj ) P (X = xi |Y = yj ) = ho c x y P (Y = yj ) P (X = xi , Y ∈ D) F (x, y) = f (u, v)dudv; P (X = xi |Y ∈ D) = P (Y ∈ D) −∞ −∞ +∞ +∞ Công th c cũng tương t v i P (Y = yj |X = xi ) , P (Y = yj |X ∈ D). f (x, y)dxdy. −∞ −∞ T.M. Toàn (SAMI-HUST) Bi n ng u nhiên nhi u chi u Hà N 10/30 8 năm 2012 i, tháng 10 / 30 T.M. Toàn (SAMI-HUST) Bi n ng u nhiên nhi u chi u Hà N 11/30 8 năm 2012 i, tháng 11 / 30 Lu t phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên nhi u chi u Phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên hai chi u liên t c Các tham s đ c trưng c a bi n ng u nhiên hai chi u Kỳ v ng và phương sai c a các thành ph n Phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên hai chi u Kỳ v ng và phương sai c a các thành ph n liên t c Trư ng h p (X, Y ) r i r c Tính ch t (ti p) ∂ 2 F (x, y) EX = P (X = xi ) = xi pij ; EY = yj P (Y = yj ) = yj pij f (x, y) = ; i i j j i j ∂x∂y Các hàm m t đ biên VX = x2 pij − (EX)2 ; i VY = yj pij − (EY )2 . 2 i j i j +∞ theo x : fX (x) = f (x, y)dy; Trư ng h p (X, Y ) liên t c −∞ +∞ +∞ +∞ +∞ +∞ theo y : fY (y) = f (x, y)dx. EX = x.f (x, y)dxdy; EY = y.f (x, y)dxdy −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ Hai bi n ng u nhiên X và Y đư c g i là đ c l p n u f (x, y) = fX (x).fY (y) ∀x, y. +∞ +∞ +∞ +∞ Hàm m t đ có đi u ki n c a X khi đã bi t Y = y: VX = x2 .f (x, y)dxdy − (EX)2 ; VY = y 2 .f (x, y)dxdy − (EY )2 . −∞ −∞ −∞ −∞ f (x, y) ϕ (x|y) = . fY (y) T.M. Toàn (SAMI-HUST) Bi n ng u nhiên nhi u chi u Hà N 12/30 8 năm 2012 i, tháng 12 / 30 T.M. Toàn (SAMI-HUST) Bi n ng u nhiên nhi u chi u Hà N 14/30 8 năm 2012 i, tháng 14 / 30
Các tham s đ c trưng c a bi n ng u nhiên hai chi u Kỳ v ng và phương sai c a các thành ph n Các tham s đ c trưng c a bi n ng u nhiên hai chi u Hi p phương sai và h s tương quan Kỳ v ng và phương sai c a các thành ph n Hi p phương sai và h s tương quan Đ nh nghĩa 4.1 Cho bi n ng u nhiên hai chi u (X, Y ), hi p phương sai c a hai thành ph n X và Y , kí Chú ý 4.1 hi u là µXY , đư c xác đ nh b i Đ i v i bi n ng u nhiên Z = g(X, Y ) ta có µXY = E [(X − EX)(Y − EY )] = E(XY ) − EX.EY, (4.3) +∞ +∞ EZ = E [g(X, Y )] = g(x, y).f (x, y)dxdy trong đó E(XY ) đư c xác đ nh theo công th c −∞ −∞   i j xi yj pij ,  đ i v i bi n ng u nhiên r i r c   +∞ +∞ E(XY ) =    xy.f (x, y), đ i v i bi n ng u nhiên liên t c  −∞ −∞ T.M. Toàn (SAMI-HUST) Bi n ng u nhiên nhi u chi u Hà N 15/30 8 năm 2012 i, tháng 15 / 30 T.M. Toàn (SAMI-HUST) Bi n ng u nhiên nhi u chi u Hà N 16/30 8 năm 2012 i, tháng 16 / 30 Các tham s đ c trưng c a bi n ng u nhiên hai chi u Hi p phương sai và h s tương quan Các tham s đ c trưng c a bi n ng u nhiên hai chi u Hi p phương sai và h s tương quan Hi p phương sai và h s tương quan Hi p phương sai và h s tương quan Đ nh nghĩa 4.3 Ma tr n hi p phương sai c a bi n ng u nhiên hai chi u (X, Y ) đư c xác đ nh b i Đ nh nghĩa 4.2 µXX µXY Γ= Ta nói r ng X và Y không tương quan n u µXY = 0. µY X µY Y Nh n xét Đ nh nghĩa 4.4 µXY = µY X ; H s tương quan c a hai bi n ng u nhiên X và Y , ký hi u là ρXY và đư c xác đ nh Phương sai chính là trư ng h p riêng c a hi p phương sai theo công th c (V X = µXX , V Y = µY Y ); µXY ρXY = . (4.4) σX σY N u X, Y đ c l p thì ta có E(XY ) = EX.EY . Khi đó µXY = 0, t c là X và Y không tương quan. V y ta có, n u hai bi n ng u nhiên đ c l p thì không tương quan. Đi u ngư c l i chưa ch c đã đúng. Chú ý 4.2 Có th ch ng minh đư c |ρXY | ≤ 1. N u ρXY = ±1 ta nói hai bi n ng u nhiên X và Y có tương quan tuy n tính; N u ρXY = 0 ta nói hai bi n ng u nhiên X và Y là không tương quan. T.M. Toàn (SAMI-HUST) Bi n ng u nhiên nhi u chi u Hà N 17/30 8 năm 2012 i, tháng 17 / 30 T.M. Toàn (SAMI-HUST) Bi n ng u nhiên nhi u chi u Hà N 18/30 8 năm 2012 i, tháng 18 / 30
Hàm c a bi n ng u nhiên Hàm c a m t bi n ng u nhiên Hàm c a bi n ng u nhiên Hàm c a m t bi n ng u nhiên Hàm c a m t bi n ng u nhiên Hàm c a m t bi n ng u nhiên Ví d 2 Cho bi n ng u nhiên X có b ng phân ph i xác su t N u ta xác đ nh là m t hàm c a bi n ng u nhiên X thì Z tr thành m t bi n ng u X −1 0 1 2 3 nhiên m i. Ta s tìm hàm phân ph i xác su t cho Z trong m t s trư ng h p đơn gi n. P (X = x) 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 Đ nh nghĩa 5.1 Xác đ nh lu t phân ph i xác su t c a Z = X 2 và tìm kỳ v ng c a Z. Cho bi n ng u nhiên X có hàm phân ph i xác su t. Khi đó hàm phân ph i xác su t c a Z đư c xác đ nh theo cách sau: Gi i FZ (z) = P (Z < z) = P (g(X) < z) = P (X ∈ D), (5.5) Ta có X ∈ {−1, 0, 1, 2, 3}, suy ra Z ∈ {0, 1, 4, 9} v i các xác su t tương ng: trong đó D = {x|g(x) < z}. P (Z = 0) = P (X = 0) = 0.2; P (Z = 1) = P (X = 1) + P (X = −1) = 0.4; Tuy nhiên tùy vào t ng bài có th có các cách gi i ng n hơn. P (X = 4) = P (X = 2) = 0.2; P (Z = 9) = P (X = 3) = 0.2. Z 0 1 4 9 P (Z = z) 0.2 0.4 0.2 0.2 Kỳ v ng EZ = zi p i = 3. i T.M. Toàn (SAMI-HUST) Bi n ng u nhiên nhi u chi u Hà N 20/30 8 năm 2012 i, tháng 20 / 30 T.M. Toàn (SAMI-HUST) Bi n ng u nhiên nhi u chi u Hà N 21/30 8 năm 2012 i, tháng 21 / 30 Hàm c a bi n ng u nhiên Hàm c a m t bi n ng u nhiên Hàm c a bi n ng u nhiên Hàm c a hai bi n ng u nhiên Hàm c a m t bi n ng u nhiên Hàm c a hai bi n ng u nhiên Ví d 3 Xét bi n ng u nhiên Z = g(X, Y ), trong đó (X, Y ) là bi n ng u nhiên hai chi u đã bi t lu t phân ph i. Ta s xét lu t phân ph i xác su t c a Z trong m t s trư ng h p đơn Thanh AB dài 10cm b ng nhiên b gãy m t đi m C b t kỳ. Hai đo n AC và BC gi n theo cách sau: đư c dùng làm hai c nh c a m t hình ch nh t. Tìm hàm phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên ch di n tích hình ch nh t đó. FZ (z) = P (Z < z) = P (g(X, Y ) < z) = P ((X, Y ) ∈ D) , Gi i trong đó D {(x, y)|g(x, y) < z}. G i X là bi n ng u nhiên ch đ dài đo n AC, ta có X ∼ U (0; 10). G i Y là bi n ng u Đ i v i bi n ng u nhiên hai chi u liên t c (X, Y ) v i hàm m t đ đ ng th i f (x, y) ta có nhiên ch di n tích hình ch nh t, ta có Y = X(10 − X). Do X ∈ (0; 10) ⇒ Y = X(10 − X) ∈ (0; 25). V y ta có hàm phân ph i xác su t c a Y là P ((X, Y ) ∈ D) = f (x, y)dxdx, 0, y ≤ 0 FY (y) = . D 1, y > 25 V i 0 < y ≤ 25 ta có đ ng th i kỳ v ng FY (y) = P (Y < y) = P (X(10 − X) < y) = P X 2 − 10X + y > 0 +∞ +∞ =P X 5 + 25 − y EZ = E (g(X, Y )) = g(x, y).f (x, y)dxdy. √ −∞ −∞ 5− 25 − y =P 0 5 + 25 − y = . 5 T.M. Toàn (SAMI-HUST) Bi n ng u nhiên nhi u chi u Hà N 22/30 8 năm 2012 i, tháng 22 / 30 T.M. Toàn (SAMI-HUST) Bi n ng u nhiên nhi u chi u Hà N 23/30 8 năm 2012 i, tháng 23 / 30
Hàm c a bi n ng u nhiên Hàm c a hai bi n ng u nhiên Lu t s l n và đ nh lý gi i h n trung tâm Lu t s l n Hàm c a hai bi n ng u nhiên Lu t s l n Ví d 4 B t đ ng th c Trebyshev Hai ngư i b n h n g p nhau công viên trong kho ng th i gian t 17h đ n 18h. H h n nhau n u ngư i nào đ n trư c thì s đ i ngư i kia trong vòng 10 phút. Sau 10 phút đ i Đ nh lý 1: Cho Y là bi n ng u nhiên không âm. Khi đó v i > 0 tuỳ ý cho trư c ta có: n u không g p s v . Th i đi m đ n c a hai ngư i là ng u nhiên và đ c l p v i nhau 2 trong kho ng th i gian trên. Tính xác su t hai ngư i g p đư c nhau. E(Y ) P (Y ≥ ) < 2 Gi i Ch ng minh Quy g c th i gian v lúc 17h. G i X, Y là bi n ng u nhiên ch th i đi m ngư i A, B đ n, ta có  Y ∼ U (0; 60). Do X, Y đ c l p nên chúng có hàm m t đ đ ng th i X, Ta ch ng minh cho trư ng h p Y là bi n ng u nhiên liên t c. +∞ +∞ +∞  1 , (x, y) ∈ [0; 60]2 1 1 2 f (x, y) = 3600 . G i Z là bi n ng u nhiên ch kho ng th i gian gi a P (Y ≥ ) = f (y)dy = 2 .f (y)dy ≤ 2 y 2 .f (y)dy  0, ngư c l i +∞ th i đi m hai ngư i đ n. Ta có Z = |X − Y |. Khi đó, xác su t hai ngư i g p nhau là 1 E(Y 2 ) ≤ 2 y 2 .f (y)dy = 2 P (Z < 10) = P (|X − Y | < 10) = P ((X, Y ) ∈ D) , 0 trong đó D là giao mi n |X − Y | < 10 và hình vuông [0; 60]2 . V y Tuy nhiên d u b ng không th đ ng th i x y ra c 2 d u ≤ nên ta có ĐPCM. SD 1100 11 P (Z < 10) = = = . T.M. Toàn (SAMI-HUST) 3600 Bi n ng u nhiên nhi u chi u 3600 36 Hà N 24/30 8 năm 2012 i, tháng 24 / 30 T.M. Toàn (SAMI-HUST) Bi n ng u nhiên nhi u chi u Hà N 26/30 8 năm 2012 i, tháng 26 / 30 Lu t s l n và đ nh lý gi i h n trung tâm Lu t s l n Lu t s l n và đ nh lý gi i h n trung tâm Lu t s l n Lu t s l n Lu t s l n n 1 Áp d ng đ nh lý 2 v i X = n Xi ta có lu t s l n Trebyshev i=1 B t đ ng th c Trebyshev Lu t s l n Trebyshev Đ nh lý 2: Cho X là bi n ng u nhiên có EX = µ, V X = σ 2 h u h n. Khi đó v i >0 tuỳ ý cho trư c ta có: N u dãy các bi n ng u nhiên X1 , X2 , ...Xn , ... đ c l p, có kỳ v ng h u h n và phương σ2 sai b ch n (V Xi ≤ C v i C là h ng s ), khi đó v i > 0 tuỳ ý cho trư c ta có: P (|X − µ| ≥ ) < 2 n n 1 1 hay tương đương lim P (| Xi − EXi | < ) = 1 n→+∞ n n σ2 i=1 i=1 P (|X − µ| ≤ ) ≥ 1 − 2 H qu Ch ng minh N u dãy các bi n ng u nhiên X1 , X2 , ...Xn , ... đ c l p, có cùng kỳ v ng (EXi = µ) và Ta ch ng minh cho trư ng h p X là bi n ng u nhiên liên t c. phương sai b ch n (V Xi ≤ C v i C là h ng s ), khi đó v i > 0 tuỳ ý cho trư c ta có: Ta ch c n đ t Y = |X − µ|, l p t c áp d ng đ nh lý 1 ta có ĐPCM. n 1 lim P (| Xi − µ| < ) = 1 n→+∞ n i=1 T.M. Toàn (SAMI-HUST) Bi n ng u nhiên nhi u chi u Hà N 27/30 8 năm 2012 i, tháng 27 / 30 T.M. Toàn (SAMI-HUST) Bi n ng u nhiên nhi u chi u Hà N 28/30 8 năm 2012 i, tháng 28 / 30
Lu t s l n và đ nh lý gi i h n trung tâm Lu t s l n Lu t s l n và đ nh lý gi i h n trung tâm Đ nh lý gi i h n trung tâm Lu t s l n Bernoulli Đ nh lý gi i h n trung tâm Áp d ng lu t s l n Trebyshev v i trư ng h p Xi ∼ B(1, p) chính là s l n x y ra A trong phép th th i ta có lu t s l n Bernoulli. Đ nh lý gi i h n trung tâm Lu t s l n Bernoulli Gi s {Xn } là dãy bi n ng u nhiên đ c l p cùng phân ph i v i EXi = µ, V Xi = σ 2 . n Xét n phép th đ c l p, cùng đi u ki n. Đ t Xn = Xi . Khi đó v i n đ l n ta có: i=1 Trong m i phép th , xác su t x y ra A luôn là p. m là s l n x y ra A trong n phép th . σ2 khi đó v i > 0 tuỳ ý cho trư c ta có: Xn ∼ N (µ, ) n m lim P (| − p| < ) = 1 hay là n→+∞ n Xn − µ √ n ∼ N (0; 1) V i lu t s l n Bernoulli ta đã ch ng minh đư c đi u th a nh n trong ph n Đ NH σ NGHĨA XÁC SU T THEO TH NG KÊ, đó là v i n → +∞ thì m → p n T.M. Toàn (SAMI-HUST) Bi n ng u nhiên nhi u chi u Hà N 29/30 8 năm 2012 i, tháng 29 / 30 T.M. Toàn (SAMI-HUST) Bi n ng u nhiên nhi u chi u Hà N 30/30 8 năm 2012 i, tháng 30 / 30