zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 3.2 - Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:77

Báo xấu

10
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Xác suất thống kê: Chương 3.2 - Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên" trình bày các nội dung chính sau đây: Phân phối xác suất đồng thời; Phân phối xác suất có điều kiện; Biến ngẫu nhiên độc lập. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Xác suất thống kê: Chương 3.2 - Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC School of Applied Mathematics and Informatics Chương 3 BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG(1) VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI SAMI.HUST – 2023 (1) Phòng BIS.201–D3.5 Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 3 – MỤC 3.2 1/77 SAMI.HUST – 2023 1 / 77
3.2. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 1 3.2.1 Phân phối xác suất đồng thời 3.2.1.1 Bảng phân phối xác suất đồng thời 3.2.1.2 Hàm phân phối xác suất đồng thời 3.2.1.3 Hàm mật độ xác suất đồng thời 3.2.1.4 Phân phối xác suất của hàm của hai biến ngẫu nhiên 3.2.1.5 Kỳ vọng của hàm của hai biến ngẫu nhiên 2 3.2.2 Phân phối biên 3.2.2.1 Bảng phân phối xác suất biên 3.2.2.2 Hàm phân phối xác suất biên 3.2.2.3. Hàm mật độ xác suất biên 3 3.2.3 Phân phối xác suất có điều kiện 3.2.3.1 Bảng phân phối xác suất có điều kiện 3.2.3.2 Hàm mật độ xác suất có điều kiện 3.2.4.3 Kỳ vọng có điều kiện 4 3.2.4 Biến ngẫu nhiên độc lập 5 Bài tập Mục 3.2 Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 3 – MỤC 3.2 2/77 SAMI.HUST – 2023 2 / 77
Bảng phân phối xác suất đồng thời Ví dụ 4 Trong Ví dụ 3, cặp giá trị (x, y) có thể có của (X, Y ) là (0; 0), (0; 1), (0; 2), (0; 3), (1; 0), (1; 1), (1; 2), (2; 0), (2; 1) và (3; 0). Bằng cách tính xác suất tại từng điểm P (X = x, Y = y) với x = 0; 1; 2; 3 và y = 0; 1; 2; 3 và x + y ≤ 3, x y 3−x−y (C5 )(C4 )(C3 ) P (X = x, Y = y) = 3 , C12 ta xác định được phân phối xác suất đồng thời của hai biến ngẫu nhiên X và Y như trong bảng dưới đây. HH Y 0 1 2 3 X HH H 0 1/220 3/55 9/110 1/55 1 3/44 3/11 3/22 0 2 3/22 2/11 0 0 3 1/22 0 0 0 Bảng 1: Bảng phân phối xác suất đồng thời của hai biến ngẫu nhiên rời rạc trong Ví dụ 3 Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 3 – MỤC 3.2 3/77 SAMI.HUST – 2023 3 / 77
Bảng phân phối xác suất đồng thời Định nghĩa 1 Hàm xác suất đồng thời của hai biến ngẫu nhiên rời rạc X và Y , ký hiệu là pX,Y (x, y), là hàm thỏa mãn (a) pX,Y (x, y) ≥ 0 với mọi (x, y) ∈ R2 . (b) x∈SX y∈SY pX,Y (x, y) = 1. (c) pX,Y (x, y) = P (X = x, Y = y). Miền giá trị của biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc (X, Y ) là SX,Y = (x, y) ∈ R2 | pX,Y (x, y) > 0 . Hàm xác suất đồng thời pX,Y (x, y) của X và Y được giả thiết là bằng 0 tại mọi (x, y) ∈ SX,Y . / Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 3 – MỤC 3.2 4/77 SAMI.HUST – 2023 4 / 77
Bảng phân phối xác suất đồng thời Định lý 1 Với mọi A ⊂ SX,Y , P [(X, Y ) ⊂ A] = pX,Y (x, y). (1) (x,y)∈A Ví dụ 5 Trong Ví dụ 4, nếu A = {(x, y) ∈ R2 | x + y ≤ 1}, thì 1 3 3 7 P [(X, Y ) ⊂ A] = pX,Y (0, 0) + pX,Y (0, 1) + pX,Y (1, 0) = + + = . 220 55 44 55 Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 3 – MỤC 3.2 5/77 SAMI.HUST – 2023 5 / 77
Bảng phân phối xác suất đồng thời Định nghĩa 2 Bảng phân phối xác suất đồng thời của hai biến ngẫu nhiên rời rạc X và Y có dạng HH Y y1 ... yj ... yn X HH H x1 pX,Y (x1 , y1 ) ... pX,Y (x1 , yj ) ... pX,Y (x1 , yn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi pX,Y (xi , y1 ) ... pX,Y (xi , yj ) ... pX,Y (xi , yn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . xm pX,Y (xm , y1 ) ... pX,Y (xm , y2 ) ... pX,Y (xm , yn ) Bảng 2: Bảng phân phối xác suất đồng thời của hai biến ngẫu nhiên rời rạc X và Y trong đó, xi , i = 1, . . . , m, yj , j = 1, . . . , n, là các giá trị có thể có của các biến thành phần X và Y tương ứng. Bảng này có thể ra vô hạn nếu m, n nhận giá trị ∞. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 3 – MỤC 3.2 6/77 SAMI.HUST – 2023 6 / 77
Hàm phân phối xác suất đồng thời Định nghĩa 3 Hàm hai biến FX,Y (x, y) xác định bởi FX,Y (x, y) = P (X < x, Y < y), x, y ∈ R (2) được gọi là hàm phân phối xác suất đồng thời của hai biến ngẫu nhiên X và Y . Từ (2) và Định nghĩa 2, hàm phân phối xác suất đồng thời của hai biến ngẫu nhiên rời rạc X và Y được xác định bởi FX,Y (x, y) = pX,Y (xi , yj ). (3) xi
Hàm phân phối xác suất đồng thời Tính chất 1 (a) 0 ≤ FX,Y (x, y) ≤ 1 với mọi x, y. (b) Nếu x < x1 , y < y1 thì FX,Y (x, y) ≤ FXY (x1 , y1 ). (c) limx→∞ FX,Y (x, y) = limy→∞ FX,Y (x, y) = 0; limx→∞,y→∞ FX,Y (x, y) = 1. (d) Với x1 < x2 , y1 < y2 ta luôn có P (x1 ≤ X < x2 , y1 ≤ Y < y2 ) = FX,Y (x2 , y2 ) − FX,Y (x2 , y1 ) − FX,Y (x1 , y2 ) + FX,Y (x1 , y1 ). (4) Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 3 – MỤC 3.2 8/77 SAMI.HUST – 2023 8 / 77
Hàm mật độ xác suất đồng thời Định nghĩa 4 Giả sử FX,Y (x, y) là hàm phân phối xác suất đồng thời của hai biến ngẫu nhiên liên tục X và Y . Khi đó, hàm mật độ xác suất đồng thời của hai biến ngẫu nhiên này là hàm hai biến fX,Y (x, y) thỏa mãn: x y FX,Y (x, y) = fX,Y (u, v)dudv. (5) −∞ −∞ Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 3 – MỤC 3.2 9/77 SAMI.HUST – 2023 9 / 77
Hàm mật độ xác suất đồng thời Cho trước FX,Y (x, y), Định nghĩa 4 suy ra fX,Y (x, y) là đạo hàm của hàm FX,Y (x, y), nếu đạo hàm này tồn tại. Định lý 2 ∂ 2 FX,Y (x, y) fX,Y (x, y) = . (6) ∂x∂y Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 3 – MỤC 3.2 10/77 SAMI.HUST – 2023 10 / 77
Hàm mật độ xác suất đồng thời Với biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục (X, Y ), thì SX,Y = {(x, y) ∈ R2 | fX,Y (x, y) > 0}. Tính chất 2 (a) fX,Y (x, y) ≥ 0 với mọi x, y. +∞ +∞ (b) fX,Y (x, y)dxdy = 1. −∞ −∞ (c) Với A ⊂ SX,Y , P [(X, Y ) ⊂ A] = fX,Y (x, y)dxdy. (7) A Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 3 – MỤC 3.2 11/77 SAMI.HUST – 2023 11 / 77
Hàm mật độ xác suất đồng thời Ví dụ 7 Biến ngẫu nhiên hai chiều liên tục (X, Y ) có hàm mật độ xác suất là k, 0 ≤ x ≤ 6, 0 ≤ y ≤ 3, fX,Y (x, y) = 0, nếu trái lại. (a) Tìm hằng số k. (b) Cho A = {(x, y) ∈ R2 | 2 ≤ x < 4; 2 ≤ y < 3}, tính P [(X, Y ) ⊂ A]. Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 3 – MỤC 3.2 12/77 SAMI.HUST – 2023 12 / 77
Hàm mật độ xác suất đồng thời Giải. Miền A được minh họa trong Hình 1. y A 3 2 0 x 2 4 6 Hình 1: Miền A trong Ví dụ 7 Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 3 – MỤC 3.2 13/77 SAMI.HUST – 2023 13 / 77
Hàm mật độ xác suất đồng thời (a) Sử dụng Tính chất 2(a),(b), ta có k ≥ 0 và +∞ +∞ 6 3 1= fX,Y (x, y)dxdy = dx kdy = 18k. −∞ −∞ 0 0 Suy ra, k = 1/18. (b) Sử dụng Tính chất 2(c), 4 3 1 1 P [(X, Y ) ∈ A] = P (2 ≤ X < 4; 2 ≤ Y < 3) = dx dy = . 18 9 2 2 Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 3 – MỤC 3.2 14/77 SAMI.HUST – 2023 14 / 77
Phân phối xác suất của hàm của hai biến ngẫu nhiên Xét biến ngẫu nhiên W := g(X, Y ), trong đó, X và Y là các biến ngẫu nhiên đã biết luật phân phối và g(x, y) là một hàm hai biến nhận giá trị thực. Ta phân tích phân phối xác suất của W trong một số trường hợp đơn giản. Định lý 3 Với A = (x, y) ∈ R2 | g(x, y) < w , FW (w) = P [(X, Y ) ⊂ A]. (8) Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 3 – MỤC 3.2 15/77 SAMI.HUST – 2023 15 / 77
Phân phối xác suất của hàm của hai biến ngẫu nhiên Ví dụ 8 Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên trong Ví dụ 7. Tìm hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên W = max(X, Y ). Giải. Ta có 1 FW (w) = P (W < w) = P [max(X, Y ) < w] = P (X < w, Y < w) = dxdy, 18 D 2 trong đó, D = {(x, y) ∈ R | (x < w, y < w)}. Nếu w ≤ 0, FW (w) = 0. w w 1 w2 Nếu 0 < w ≤ 3, FW (w) = dx 18 dy = 18 . 0 0 Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 3 – MỤC 3.2 16/77 SAMI.HUST – 2023 16 / 77
Phân phối xác suất của hàm của hai biến ngẫu nhiên w 3 1 w Nếu 3 < w ≤ 6, FW (w) = dx 18 dy = 6 . 0 0 Nếu w > 6, FW (w) = 1. Vậy  0  2 nếu w ≤ 0, w  nếu 0 < w ≤ 3, 18 FW (w) = w 6 nếu 3 < w ≤ 6,   1 nếu w > 6. Trong trường hợp biến ngẫu nhiên W liên tục, để tìm hàm mật độ xác suất fW (w), ta sử dụng tính chất dFW (w) fW (w) = . (9) dw Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 3 – MỤC 3.2 17/77 SAMI.HUST – 2023 17 / 77
Kỳ vọng của hàm của hai biến ngẫu nhiên Định lý 4 Cho W = g(X, Y ) là một hàm của hai biến ngẫu nhiên X và Y . Khi đó, E(W ) = E[g(X, Y )] = g(x, y)pX,Y (x, y) (10) x∈SX y∈SY nếu X và Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc có hàm xác suất đồng thời pX,Y (x, y) và +∞ +∞ E(W ) = E[g(X, Y )] = g(x, y)fX,Y (x, y)dxdy (11) −∞ −∞ nếu X và Y là các biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất đồng thời fX,Y (x, y). Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 3 – MỤC 3.2 18/77 SAMI.HUST – 2023 18 / 77
Kỳ vọng của hàm của hai biến ngẫu nhiên Ví dụ 9 Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên trong Ví dụ 7. Tìm kỳ vọng của biến ngẫu nhiên W = XY . Giải. Sử dụng kết quả của Ví dụ 7 và (11), 6 3 6 1 1 36 E(W ) = xy dy dx = xdx = = 4, 5. 18 4 8 0 0 0 Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 3 – MỤC 3.2 19/77 SAMI.HUST – 2023 19 / 77
Kỳ vọng của hàm của hai biến ngẫu nhiên Định lý 5 Cho h(X, Y ) và g(X, Y ) là các hàm của hai biến ngẫu nhiên X và Y . Khi đó, E[g(X, Y ) ± h(X, Y )] = E[g(X, Y )] ± E[h(X, Y )]. Hệ quả 1 (a) Nếu g(X, Y ) = g(X) và h(X, Y ) = h(Y ) thì ta nhận được E[g(X) ± h(Y )] = E[g(X)] ± E[h(Y )]. (b) Nếu g(X, Y ) = X và h(X, Y ) = Y thì E(X ± Y ) = E(X) ± E(Y ). Viện Toán ứng dụng và Tin học (HUST) MI2020-CHƯƠNG 3 – MỤC 3.2 20/77 SAMI.HUST – 2023 20 / 77

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.