Chương 4: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống trong miền tần số rời rạc

Chia sẻ: Le Ngoc Thin | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

238
lượt xem 68
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Vào những năm thập kỷ 60, khi công nghệ vi xử lý phát triển chưa mạnh thì thời gian xử lý phép tóan DFT trên máy tương đối chậm, do số phép nhân phức tương đối lớn. Để tính X(k), ứng với mỗi giá trị k cần có N phép nhân và (N-1) phép cộng, vậy với N giá trị k thì cần có N2 phép nhân và N(N-1) phép cộng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 4: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống trong miền tần số rời rạc

Chương : 4 BIỂU I N N I U Ệ ỐN G O N G D Ễ TÍ H Ệ VÀ H TH TR M I N ẦN Ố ỜIR ẠC Ề T S R 4.1 KHÁI NiỆM DFT 4.2 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT) 4.3 CÁC TÍNH CHẤT DFT 4.4 KHÔI PHỤC BIẾN ĐỔI Z & FT TỪ DFT 4.5 BiẾN ĐỔI FOURIER NHANH (FFT)  1
4.1 KHÁI NiỆM DFT −∞ Biến đổi Fourier dãy X ( e jω ) = ∑ x( n )e − jωn n =∞ x(n): X(ω ) có các hạn chế khi xử lý trên thiết bị, máy tính:  Tần số ω liên tục  Độ dài x(n) là vô hạn: n biến thiên -∞ đến ∞ Khi xử lý X(Ω) trên thiết bị, máy tính cần:  Rời rạc tần số ω -> ω K  Độ dài x(n) hữu hạn là N: n = 0 ÷ N -1 ⇒ Biến đổi Fourier của dãy có độ dài hữu hạn theo tần số rời rạc, gọi tắt là biến đổi Fourier rời rạc – DFT (Discrete Fourier Transform)  2
 DFT của x(n) có độ dài N định nghĩa: 2π  N −1 − j kn  ∑ x ( n )e N : 0 ≤ k ≤ N − 1 X ( k ) =  n =0 0 : k còn lại   N −1 ∑ 2π −j x(n)WN : 0 ≤ k ≤ N − 1 kn WN = e N X ( k ) =  n =0 0 : k còn lại   WN tuần hoàn với độ dài N: 2π 2π −j ( r + mN ) −j r WNr + mN ) = e ( N =e N = WN r  3
X(k) biểu diễn dưới dạng modun & argument: jϕ ( k ) X (k ) = X (k ) e X (k ) - phổ rời rạc biên độ Trong đó: ϕ (k ) = arg[ X (k )] - phổ rời rạc pha 2π 1 N −1 j kn   IDFT: x(n) =  N ∑ X ( k )e N : 0 ≤ n ≤ N −1 k =0 0 : n còn lại   Cặp biến đổi Fourier rời rạc:  N −1  X ( k ) = ∑ x( n)WN kn : 0 ≤ k ≤ N −1  n =0  x ( n) = 1 N −1  ∑ X (k )WN−kn : 0 ≤ n ≤ N −1 N k =0   4
Ví dụ 4.2.1: Tìm DFT của dãy: x(n) = 1,2,3,4 ↑ { } 3 2π X ( k ) = ∑ x ( n)W kn −j n= 0 4 W =e 1 4 4 = − j; W = −1;W = j 4 2 4 3 3 X (0) = ∑ x(n)W40 = x(0) + x(1) + x(2) + x(3) = 10 n =0 3 X (1) = ∑ x(n)W4n = x(0) + x(1)W41 + x(2)W42 + x(3)W43 = −2 + j 2 n =0 3 X (2) = ∑ x(n)W42 n = x(0) + x(1)W42 + x(2)W44 + x(3)W46 = −2 n =0 3 X (3) = ∑ x(n)W43 n = x(0) + x(1)W43 + x(2)W46 + x(3)W49 = −2 − j 2 n =0  5
Ví dụ: 4.2.2: a) Tìm FT của dãy x(n)=an u(n), với /a/
 Biến đổi DFT của x(n): ( ) 1− aN N −1 N −1 k n X (k ) = ∑ a nWN = ∑ aW kn N = n =0 n =0 1 − aWNk 1− aN X (k ) = 2π 1 − 2a cos k + a2 N 2π a sin k arg[ X (k )] = arctg N 2π a cos k −1 N  7
4 jω 8 a=3/4 0 π 2π ω /X(k)/ 4 /X(e )/ a=3/4 8 N=16 0 8 16 k  8
π/2 jω a=3/4 0 π 8 2π ω -π/2 arg[X(k)] a=3/4 arg[X(e )] N=16 0 8 8 16 k  9
a) Tuyến tính DFT DFT  Nếu: x1 ( n )N ←  → X 1( k )N  x2 ( n )N ← → X 2 ( k )N  DFT  Thì: a1 x1 ( n )N + a2 x2 ( n )N ←  → a1 X 1( k )N + a2 X 2 ( k )N  Nếu: Lx1 = N1 ≠ N 2 = L x2 Chọn: N = max{ N1 , N 2 } b) Dịch vòng: DFT  Nếu: x( n )N ← → X ( k )N  DFT kn  Thì: x( n − n0 )N ← → WN 0 X ( k )N  gọi là dịch vòng của x(n)N đi n0 đơn vị Với: x( n − n0 )N = ~( n − n0 )N rect N (n) x  10
Ví dụ 4.3.1: Cho: x ( n) = 1,2,3,4 ↑ { } a) Tìm dịch tuyến tính: x(n+3), x(n-2) 4 4 x(n) 4 3 2 1 n 0 1 2 3 x(n+3) x(n-2) b)Tìm dịch vòng: x(n+3) , x(n-2) 4 4 3 3 a) 2 2 1 n 1 n -3 -2 -1 0 0 1 2 3 4 5  11
x(n) x(n-1)4 b) 4 4 3 3 2 2 1 1 n n 0 1 2 3 0 1 2 3 N x(n+1)4 4 3 2 1 n 0 1 2 3  12
c) Chập vòng: DFT DFT  Nếu: x1( n )N ←  → X 1( k )N x2 ( n )N ←  → X 2 ( k )N DFT  Thì: x1 ( n )N ⊗ x2 ( n )N ← → X 1( k )N X 2 ( k )N  N −1 Với: x1 ( n )N ⊗ x2 ( n )N = ∑ x1( m )N x2 ( n − m )N Chập vòng 2 dãy x1(n) & x2(n) m= 0 Và: x2 ( n − m )N = ~2 ( n − m )N rect N ( n ) x Dịch vòng dãy x2(-m) đi n đ/vị Chập vòng có tính giao hoán: x1 ( n )N ⊗ x2 ( n )N = x2 ( n )N ⊗ x1 ( n )N Nếu: L x1 = N1 ≠ N 2 = L x2 Chọn: N = max{ N1 , N 2 }  13
Ví dụ 4.3.2: Tìm chập vòng 2 dãy N −1 x3 ( n )N = x1 ( n )N ⊗ x2 ( n )N = ∑ x1 ( m )N x2 ( n − m )N với N-1≥ n m= 0 ≥0  Chọn độ dài N: N1 = 3, N 2 = 4 ⇒ N = max{ N1 , N 2 } = 4 3 x3 ( n )4 = x1 ( n )4 ⊗ x2 ( n )4 = ∑ x1( m )4 x2 ( n − m )4 : 0 ≤ n ≤ 3 m =0  Đổi biến n->m:  Xác định x2(-m)4:  14
x2(m) x2(-m) 4 4 3 3 2 2 1 m 1 m 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 ~ x 2 (− m ) ~ x2 ( − m )4 = x2 ( − m )rect 4 ( n) 4 4 3 3 2 2 1 m 1 m -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0 1 2 3  15
 Xác định x2(n-m) là dịch vòng của x2(-m) đi n đơn vị với 3 ≥ n ≥ 0 x2(-m)4 x2(1-m)4 4 4 3 3 2 2 1 m 1 m 0 1 2 3 0 1 2 3 x2(2-m)4 x2(3-m)4 4 4 3 3 2 2 1 m 1 m 0 1 2 3 0 1 2 3  16
Nhân các mẫu 3 x1(m) & x2(n-m) x3 ( n )4 = ∑ x1 ( m )4 x2 ( n − m )4 : 0 ≤ n ≤ 3 m =0 và cộng lại: 3  n=0: x3 ( 0 )4 = ∑ x1( m )4 x2 ( 0 − m )4 = 26 m =0 3  n=1: x3 (1 )4 = ∑ x1 ( m )4 x2 (1 − m )4 = 23 m =0 3  n=2: x3 ( 2 )4 = ∑ x1( m )4 x2 ( 2 − m )4 = 16 m =0 3  n=3: x3 ( 3 )4 = ∑ x1 ( m )4 x2 ( 3 − m )4 = 25 m =0 Vậy:  17
N −1 N −1 Biến đổi DFT 2 dãy: X 1 (k ) = X 2 (k ) = ∑ x1 (n)W = ∑ WNkn  kn n= 0 n= 0 Ví dụ 4.3.3: Tìm 0 ập vòng 2 dãy x (n)=x (n)=rect (n) N −1 ch k = 0 : X 1 (0) = ∑ W = N n=0 N : k = 0 X 1 (k ) =  1 − WN  0: k ≠ N −1 kN k ≠ 0 : X 1 ( k ) = ∑ WN =kn =0 n= 0 1 − WNk N 2 : k = 0 X 3 (k ) = X 1 (k ) X 2 (k )  0: k ≠ 1 N −1 N : n = 0 x3 (n) = x1 (n) ⊗ x2 (n) = ∑ X 3 (k )W − kn N = N k =0  0: n ≠  18
d) Tính đối xứng: DFT  Nếu: x( n )N ←  → X ( k )N   Thì: x∗ ( n )N ←  → X ∗ ( − k )N DFT e) Quan hệ Parseval: DFT  Nếu: x( n )N ←  → X ( k )N  N −1 N −1 1 ∑ ∑ 2 2  Thì: x( n )N = X ( k )N n= 0 N k =0  19
f) Chập tuyến tính sử dụng DFT:  Kết quả phép chập tuyến tính của 2 dãy x1(n)N1 và x2(n)N2 sẽ giống với chập vòng nếu thêm các mẫu 0 vào sau các dãy x1(n) và x2(n) để có chiều dài tối thiểu là N1+N2 - 1: x1(n)N1 * x2(n)N2 = x1(n)N1+N2 -1 ⊗ x2(n) N1+N2 -1  Lưu đồ phép chập tuyến tính thông qua DFT được mô tả: X1(k) x1(n)N1+N2 -1 DFT X3(k) x IDFT x3(n)N1+N2 -1 x2(n)N1+N2 -1 DFT X2(k)  20