Chuyên đề 5: Số phức - Chủ đề 5.2

CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017<br /> <br /> CHUYÊN ĐỀ 5 - SỐ PHỨC<br /> <br /> Bài 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI<br /> VỚI HỆ SỐ THỰC TRÊN TẬP SỐ PHỨC<br /> A. KIẾN THỨC CƠ BẢN<br /> 1. Căn bậc hai của số phức: Cho số phức w . Mỗi số phức z thỏa mãn z 2  w được gọi là một căn<br /> bậc hai của w .<br /> 2. Phương trình bậc hai với hệ số thực<br /> Cho phương trình bậc hai ax 2  bx  c  0  a, b, c  ; a  0  . Xét   b 2  4ac , ta có<br />    0 : phương trình có nghiệm thực x  <br /> <br /> b<br /> .<br /> 2a<br /> <br />    0 : phương trình có hai nghiệm thực được xác định bởi công thức: x1,2 <br /> <br /> b  <br /> .<br /> 2a<br /> <br />    0 : phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức: x1,2 <br /> <br /> b  i |  |<br /> .<br /> 2a<br /> <br />  Chú ý.<br />  Mọi phương trình bậc n : Ao z n  A1 z n 1  ...  An 1 z  An  0 luôn có n nghiệm phức (không<br /> nhất thiết phân biệt).<br />  Hệ thức Vi–ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực: Cho phương trình bậc hai<br /> ax 2  bx  c  0  a  0  có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 (thực hoặc phức). Ta có hệ thức Vi–ét<br /> b<br /> <br /> S  x1  x2   a<br /> <br /> <br />  P  x .x  c<br /> 1 2<br /> <br /> a<br /> <br /> B. KỸ NĂNG CƠ BẢN<br /> 1. Dạng 1: Tìm căn bậc hai của một số phức<br />  Trường hợp w là số thực: Nếu a là một số thực<br /> + a  0, a có các căn bậc hai là i | a | .<br /> + a  0 , a có đúng một căn bậc hai là 0.<br /> + a  0 , a có hai căn bậc hai là  a .<br /> Ví dụ 1: Ta có hai căn bậc hai của – 1 là i và i . Hai căn bậc hai của a 2 ( a là số thực khác 0) là<br /> ai và ai .<br />  Trường hợp w  a  bi  a, b  , b  0 <br /> Gọi z  x  yi  x, y    là một căn bậc hai của w khi và chỉ khi z 2  w , tức là<br />  x2  y 2  a<br /> 2<br /> x  yi   a  bi  x 2  y 2  2 xyi  a  bi  <br /> <br /> 2 xy  b<br /> <br /> Mỗi cặp số thực  x; y  nghiệm đúng hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai x  yi của số<br /> phức w  a  bi .<br /> Ví dụ 2: Tìm các căn bậc hai của w  5  12i .<br /> Gọi z  x  yi  x, y    là một căn bậc hai của số phức w  5  12i .<br /> <br /> Chủ đề 5.2 – Phương trình bậc hai với hệ số thực<br /> Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com<br /> <br /> 1|THBTN<br /> Mã số tài liệu: BTN-CD5<br /> <br /> CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017<br /> <br /> CHUYÊN ĐỀ 5 - SỐ PHỨC<br /> <br /> x  2<br /> x2  4  y  3<br />  x 2  y 2  5 <br /> 2<br /> <br /> Ta có z 2  w   x  yi   5  12i  <br /> <br /> 6 <br />  x  2<br /> 2 xy  12<br /> y  x<br /> <br /> <br />   y  3<br /> <br /> Vậy w  5  12i có hai căn bậc hai là 2  3i và 2  3i .<br /> 2. Dạng 2: Giải phương trình bậc hai với hệ số thực và các dạng toán liên quan<br />  Giải các phương trình bậc hai với hệ số thực<br /> Ví dụ 3: Giải phương trình bậc hai sau: z 2  z  1  0<br /> Ta có   b 2  4ac  3  0<br /> <br /> 1 i 3<br /> .<br /> 2<br />  Giải phương trình quy về phương trình bậc hai với hệ số thực<br /> Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:<br /> – Bước 1: Nhẩm 1 nghiệm đặc biệt của phương trình.<br /> + Tổng các hệ số trong phương trình là 0 thì phương trình có một nghiệm x  1 .<br /> + Tổng các hệ số biến bậc chẵn bằng tổng các hệ số biến bậc lẻ thì phương trình có một nghiệm<br /> x  1 .<br /> + Định lý Bơdu:<br /> Phần dư trong phép chia đa thức f  x  cho x  a bằng giá trị của đa thức f  x  tại x  a.<br /> Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt là x1,2 <br /> <br /> Tức là f  x    x  a  g  x   f  a <br /> Hệ quả: Nếu f  a   0 thì f  x   x  a <br /> Nếu f  x   x  a  thì f  a   0 hay f  x   0 có một nghiệm x  a.<br /> – Bước 2: Đưa phương trình về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai bằng cách hân tích đa thức ở<br /> vế trái của phương trình thành nhân tử (dùng hẳng đảng thức, chia đa thức hoặc sử dụng lược đồ<br /> Hoocne) như sau:<br /> Với đa thức<br /> f  x   an x n  an 1 x n 1  ...  a1 x  a0 chia cho x  a có thương là<br /> g  x   bn 1 x n 1  bn  2 x n 2  ...  b1 x  b0 dư r<br /> <br /> an<br /> <br /> an 1<br /> <br /> a bn1  an<br /> <br /> an  2<br /> <br /> a2<br /> <br /> a1<br /> <br /> a0<br /> <br /> bn 2  abn 1  an  2<br /> <br /> bn3  abn 2  an3<br /> <br /> b1  ab2  a2<br /> <br /> b0  ab1  a1<br /> <br /> r  ab0  b0<br /> <br /> – Bước 3: Giải phương trình bậc nhất hoặc bậc hai, kết luận nghiệm<br /> Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ:<br /> – Bước 1: Phân tích phương trình thành các đại lượng có dạng giống nhau.<br /> – Bước 2: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện của ẩn phụ (nếu có).<br /> – Bước 3: Đưa phương trình ban đầu về phương trình bậc nhất, bậc hai với ẩn mới.<br /> – Bước 4: Giải phương trình, kết luận nghiệm.<br /> C. KỸ NĂNG SỬ DỤNG MÁY TÍNH<br /> 1. Chọn chế độ tính toán với số phức: MODE 2 màn hình hiện CMPLX.<br /> Nhập số thuần ảo i : Phím ENG<br /> 2. Tìm các căn bậc hai của một số phức<br /> Chủ đề 5.2 – Phương trình bậc hai với hệ số thực<br /> Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com<br /> <br /> 2|THBTN<br /> Mã số tài liệu: BTN-CD5<br /> <br /> CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017<br /> <br /> CHUYÊN ĐỀ 5 - SỐ PHỨC<br /> <br /> Ví dụ 5: Khai căn bậc hai số phức z  3  4i có kết quả:<br /> Cách 1:<br /> – Mode 2 (CMPLX)<br /> – Nhập hàm X 2<br /> – Sử dụng phím CALC, nhập từng giá trị vào, giá trị nào ra kết quả bằng z thì ta nhận.<br /> Cách 2:<br /> – Mode 1 (COMP)<br /> – Nhấn Shift + (Pol), ta nhập Pol  3; 4 <br /> – Nhấn Shift – (Rec), ta nhập Re c<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> X , Y : 2 , ta thu được kết quả X  1; Y  2 .<br /> <br /> – Vậy 2 số phức cần tìm là 1  2i và 1  2i .<br /> D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM<br /> Câu 1.<br /> <br /> Trong  , phương trình 2 x 2  x  1  0 có nghiệm là<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> A. x1  1  7i ; x2  1  7i .<br /> B. x1  1  7i ; x2  1  7i .<br /> 4<br /> 4<br /> 4<br /> 4<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> C. x1  1  7i ; x2  1  7i .<br /> D. x1  1  7i ; x2  1  7i .<br /> 4<br /> 4<br /> 4<br /> 4<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Câu 2.<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Khai căn bậc hai số phức z  3  4i có kết quả:<br /> A. z1  1  2i; z 2  1  2i .<br /> B. z1  1  2i; z2  1  2i .<br /> C. z1  1  2i; z 2  1  2i .<br /> <br /> Câu 3.<br /> <br /> <br /> <br /> D. z1  1  2i; z 2  1  2i .<br /> <br /> Trong  , nghiệm của phương trình z 3  8  0 là<br /> A. z1  2; z2  1  3i; z3  1  3i .<br /> C. z1  2; z2  1  3i; z3  1  3i .<br /> <br /> Câu 4.<br /> <br /> B. z1  2; z2  1  3i; z3  1  3i .<br /> D. z1  2; z2  1  3i; z3  1  3i .<br /> <br /> Trong  , phương trình z  z  2  4i có nghiệm là<br /> A. z  3  4i .<br /> <br /> Câu 5.<br /> <br /> B. z  2  4i .<br /> <br /> C. z  4  4i .<br /> <br /> D. z  5  4i .<br /> <br /> Hai giá trị x1  a  bi ; x2  a  bi là hai nghiệm của phương trình:<br /> A. x 2  2ax  a 2  b 2  0 .<br /> C. x 2  2ax  a 2  b 2  0 .<br /> <br /> Câu 6.<br /> <br /> Câu 7.<br /> <br /> B. x 2  2ax  a 2  b 2  0 .<br /> D. x 2  2ax  a 2  b 2  0 .<br /> <br /> [NC] Trong  , phương trình z 2  3iz  4  0 có nghiệm là<br />  z  3i<br /> z  i<br /> z  1 i<br /> A. <br /> .<br /> B. <br /> .<br /> C. <br /> .<br />  z  4i<br />  z  4i<br />  z  3i<br /> Trong  , phương trình z 2  z  1  0 có nghiệm là<br /> <br />  z  3  5i<br /> A. <br /> .<br />  z  3  5i<br /> Câu 8.<br /> <br />  z  2  3i<br /> D. <br /> .<br /> z  1 i<br /> <br /> <br /> 2  3i<br /> z <br /> 2<br /> B. <br /> .<br /> <br /> 2  3i<br /> z <br /> <br /> 2<br /> <br />  1  5i<br /> z <br /> 2<br /> C. <br /> .<br />  1  5i<br /> z <br /> <br /> 2<br /> <br /> Tính căn bậc hai của số phức z  8  6i ra kết quả:<br /> z  3  i<br /> z  3  i<br /> A. <br /> .<br /> B. <br /> .<br /> C.<br /> z  3  i<br />  z  3  i<br /> <br />  z  3  i<br /> z  3 i .<br /> <br /> <br /> Chủ đề 5.2 – Phương trình bậc hai với hệ số thực<br /> Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com<br /> <br />  1  3i<br /> z <br /> 2<br /> D. <br /> .<br />  1  3i<br /> z <br /> <br /> 2<br /> z  3  i<br /> D. <br /> .<br />  z  3  i<br /> 3|THBTN<br /> Mã số tài liệu: BTN-CD5<br /> <br /> CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017<br /> Câu 9.<br /> <br /> CHUYÊN ĐỀ 5 - SỐ PHỨC<br /> <br /> Trong  , nghiệm của phương trình z 2  5  0 là<br /> z  5<br /> A. <br /> .<br /> z   5<br /> <br /> <br />  z  4 5i<br /> B. <br /> .<br />  z   4 5i<br /> <br /> <br /> C.<br /> <br /> 5i .<br /> <br /> D.  5i .<br /> <br /> Câu 10. Trong  , nghiệm của phương trình z 2  5  12i là<br />  z  2  3i<br /> A. <br /> .<br /> B. z  2  3i .<br /> C. z  2  3i .<br />  z  2  3i<br /> Câu 11. Trong  , nghiệm của phương trình z 2  4 z  5  0 là<br />  z  2  i<br /> A. z  2  i .<br /> B. z  2  i .<br /> C. <br /> .<br />  z  2  i<br /> Câu 12. Trong  , tập nghiệm của phương trình z 2  2 z  1  2i  0 là<br /> A. S  2  i;  i .<br /> B. S  i  2;  i .<br /> C. S  2  i; 2  i .<br /> Câu 13. Cho z  3  4i . Tìm căn bậc hai của z .<br /> A. 2  i và 2  i .<br /> C. 2  i và 2  i .<br /> <br />  z  2  3i<br /> D. <br /> .<br />  z  2  3i<br /> <br /> D. z  2  i .<br /> <br /> D. S  2  i;  i .<br /> <br /> B. 2  i và 2  i .<br /> D.<br /> <br /> 3  2i và  3  2i .<br /> <br /> Câu 14. [NC] Cho z  1  i . Tìm căn bậc hai dạng lượng giác của z :<br /> A.<br /> <br /> 4<br /> <br /> B.<br /> <br /> <br />  <br /> <br /> 2  cos<br />  i sin<br />  và<br /> 8<br /> 8 <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 2  cos  i sin  .<br /> 4<br /> 4<br /> <br /> <br /> 4<br /> <br /> 7<br /> 7<br /> <br /> 2  cos<br />  i sin<br /> 8<br /> 8<br /> <br /> <br /> <br />  <br /> <br /> 2  cos<br />  i sin<br /> .<br /> 4<br /> 4 <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> D. 4 2  cos  i sin  và 4 2  cos<br />  i sin<br /> 8<br /> 8<br /> 8<br /> 8<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> .<br /> <br /> <br /> C.<br /> <br /> <br /> .<br /> <br /> <br /> Câu 15. [NC] Trong  , phương trình  z 2  i  z 2  2iz  1  0 có nghiệm là<br /> <br /> 3<br /> 3<br /> 1  2i  ;  2  i  ; 4i .<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> C.<br /> <br /> B. 1  i ; 1  i ; 2i .<br /> <br /> 2 1  i <br /> 2<br /> ,<br />  1  i  , i .<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> A.<br /> <br /> D. 1  2i ; 15i ; 3i .<br /> <br /> Câu 16. Trong  , phương trình z 4  6 z 2  25  0 có nghiệm là<br /> A. 8;  5i .<br /> <br /> B. 3;  4i .<br /> <br /> Câu 17. Trong  , phương trình z <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> A. 1  3 i .<br /> <br /> C. 5;  2i .<br /> <br /> D.   2  i  ;   2  i  .<br /> <br /> 1<br />  2i có nghiệm là<br /> z<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> B. 5  2 i .<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> C. 1  2 i .<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> D. 2  5 i .<br /> <br /> Câu 18. Trong  , phương trình z 3  1  0 có nghiệm là<br /> A. 1 ;<br /> <br /> 2i 3<br /> .<br /> 2<br /> <br /> B. 1 ;<br /> <br /> 1 i 3<br /> .<br /> 2<br /> <br /> C. 1 ;<br /> <br /> 1 i 5<br /> .<br /> 4<br /> <br /> Chủ đề 5.2 – Phương trình bậc hai với hệ số thực<br /> Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com<br /> <br /> D. 1 ;<br /> <br /> 5i 3<br /> .<br /> 4<br /> <br /> 4|THBTN<br /> Mã số tài liệu: BTN-CD5<br /> <br /> CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017<br /> <br /> CHUYÊN ĐỀ 5 - SỐ PHỨC<br /> <br /> Câu 19. Trong  , phương trình z 4  1  0 có nghiệm là<br /> A. 1;  2i .<br /> B. 2;  2i .<br /> C. 3;  4i .<br /> <br /> D. 1;  i .<br /> <br /> Câu 20. Trong  , căn bậc hai của 121 là<br /> A. 11i .<br /> B. 11i .<br /> <br /> D. 11i và 11i .<br /> <br /> C. 11 .<br /> <br /> Câu 21. Phương trình 8 z 2  4 z  1  0 có nghiệm là<br /> 1 1<br /> 5 1<br /> A. z1   i; z2   i .<br /> 4 4<br /> 4 4<br /> 1 1<br /> 1 1<br /> C. z1   i; z2   i .<br /> 4 4<br /> 4 4<br /> <br /> 1 1<br /> 1 3<br />  i; z 2   i .<br /> 4 4<br /> 4 4<br /> 2 1<br /> 1 1<br /> D. z1   i; z2   i .<br /> 4 4<br /> 4 4<br /> <br /> B. z1 <br /> <br /> 2<br /> Câu 22. Biết z1 ; z2 là hai nghiệm của phương trình 2 z 2  3z  3  0 . Khi đó giá trị của z12  z2 là<br /> <br /> A.<br /> <br /> 9<br /> .<br /> 4<br /> <br /> B. 9 .<br /> <br /> 9<br /> D.  .<br /> 4<br /> <br /> C. 4 .<br /> <br /> Câu 23. Phương trình z 2  az  b  0 có một nghiệm phức là z  1  2i . Tổng 2 số a và b bằng:<br /> A. 0 .<br /> B. 3 .<br /> C. 3.<br /> D. 4 .<br /> 2<br /> Câu 24. Gọi z1 ; z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  4 z  5  0 . Khi đó phần thực của z12  z2 là<br /> <br /> A. 5.<br /> Câu 25.<br /> <br /> B. 6.<br /> <br /> C. 4.<br /> <br /> D. 7.<br /> <br /> Gọi z1 ; z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  2 z  4  0 . Khi đó A | z1 |2  | z2 |2 có giá trị là<br /> A. 7 .<br /> <br /> C. 4 .<br /> <br /> B. – 8.<br /> <br /> D. 8.<br /> <br /> Câu 26. Phương trình z 3  8 có bao nhiêu nghiệm phức với phần ảo âm?<br /> A. 1.<br /> B. 2.<br /> C. 3.<br /> <br /> D. 0.<br /> <br /> 2<br /> Câu 27. Biết z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình 2 z 2  3z  3  0 . Khi đó giá trị của z12  z2 là<br /> <br /> A. 4.<br /> <br /> B.<br /> <br /> 9<br /> .<br /> 4<br /> <br /> 9<br /> D.  .<br /> 4<br /> <br /> C. 9.<br /> <br /> Câu 28. Phương trình sau có mấy nghiệm thực: z 2  2 z  2  0<br /> A. 0.<br /> B. 1.<br /> C. 2.<br /> <br /> D. Vô số nghiệm.<br /> <br /> Câu 29. Tìm các căn bậc hai của 9 .<br /> A. 3i .<br /> B. 3.<br /> <br /> D. 3 .<br /> <br /> C. 3i .<br /> <br /> Câu 30. Trong  , phương trình z 4  4  0 có nghiệm là<br /> A.  1  4i  ;  1  4i  .<br /> <br /> B.  1  2i  ;  1  2i  .<br /> <br /> C.  1  3i  ;  1  3i  .<br /> <br /> D. ± 1 i  ;  1  i  .<br /> <br /> Câu 31. Giải phương trình z 2  2 z  7  0 trên tập số phức ta được nghiệm là<br /> A. z  1  2 2i .<br /> <br /> B. z  1  6i .<br /> <br /> C. z  1  2i .<br /> <br /> D. z  1  7i .<br /> <br /> Câu 32. Căn bậc hai của số phức 4  6 5i là<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> A.  3  5i .<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> B. 3  5i .<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> C.  3  5i .<br /> <br /> Câu 33. Gọi z là căn bậc hai có phần ảo âm của 33  56i . Phần thực của z là<br /> A. 6.<br /> B. 7.<br /> C. 4.<br /> Chủ đề 5.2 – Phương trình bậc hai với hệ số thực<br /> Cần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com<br /> <br /> D. 2.<br /> <br /> D. –4.<br /> 5|THBTN<br /> Mã số tài liệu: BTN-CD5<br /> <br />