intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chương trình Toán THCS

Chia sẻ: Đức Tuấn | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:48

Thêm vào BST
Báo xấu
278
lượt xem 89
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chương trình Toán THCS trình bày về những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức, một số bất đẳng thức cân nhớ, các phương pháp chứng minh bất đẳng thức kèm theo bài tập ví dụ. Mời bạn đọc cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề: Bất đẳng thức trong chương trình Toán THCS

  1. Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS A - phÇn më ®Çu B - Nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ BÊt ®¼ng thøc I - §Þnh nghÜa: Cho hai sè: a, b ta nãi sè a lín h¬n sè b, ký hiÖu lµ: a > b nÕu a - b > 0 sè a nhá h¬n sè b, ký hiÖu lµ: a < b nÕu a - b < 0 II - TÝnh chÊt: 1) a > b ⇔ b < a At ®¬n ®iÖu) 2) a < b, c < d ⇒ a + c < b +d (Céng hai vÕ cña mét BÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu ta ®îc mét BÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu víi chóng) 3) a < b, c > d ⇒ a - c < b - d (trõ hai BÊt ®¼ng thøc ngùoc chiÒu ta ®îc mét BÊt ®¼ng thøc cã chiÒu lµ chiÒu cña BÊt ®¼ng thøc bÞ trõ) 4) Nh©n hai vÕ cña mét BÊt ®¼ng thøc a < b víi cïng mét sè a.m < b.m, m > 0 m a b.m, m < 0 5) Nh©n hai vÕ cña hai BÊt ®¼ng thøc kh«ng ©m cïng chiÒu ta ®îc mét BÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu: 0 b ⇒ an+1>b2n+1 vµ ann>0; a>1 ⇒ am > an; am < an víi 0 < a
  2. Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS C¸c tÝnh chÊt trªn cã thÓ chøng minh nhê ®Þnh nghÜa vµ c¸c tÝnh chÊt tríc. III - Mét sè BÊt ®¼ng thøc c©n nhí: 1) A 2k ≥ víi mäi A, DÊu"=" x¶y ra khi A=0 0 2) A ≥ 0, ∀A DÊu "=" x¶y ra khi A=0. 3) − A ≤ A ≤ A 4) A + B ≤ A + B DÊu "=" x¶y ra khi A.B ≥ 0 5) A − B ≥ A − B DÊu "=" x¶y ra khi A.B ≥ 0 vµ A ≥ B Chó ý: - Ngoµi c¸c BÊt ®¼ng thøc trªn cßn mét sè c¸c BÊt ®¼ng thøc ®óng kh¸c mang tÝnh tæng qu¸t h¬n nªn khi gi¶i bµi tËp cÇn chó ý. - Khi chøng minh song BÊt ®¼ng thøc a ≤ b ta ph¶i xÐt trêng hîp DÊu “=” x¶y ra khi nµo. c- c¸c ph¬ng ph¸p chøng minh BÊt ®¼ng thøc I -Ph¬ng ph¸p 1: ph¬ng ph¸p dïng ®Þnh nghÜa: (Ngêi thùc hiÖn: NguyÔn M¹nh Hëng) 1-Néi dung ph¬ng ph¸p: §Ó chøng minh BÊt ®¼ng thøc A>B ta chøng minh BÊt ®¼ng thøc A- B >0 2- KiÕn thøc cÇn vËn dông - C¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí ®Æc biÖt lµ: (A+B) 2=A+2AB+B2 n n 2 n - Tæng qu¸t: ( ∑ Ai) i =1 2 = ∑ Ai + 2 i =1 ∑ Ai. Aj; i < j i , j =1., 2 -2-
  3. Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS C¸c kỹ n¨ng biÕn ®æi ®ång nhÊt ®Ó biÕn ®æi hiÖu hai vÕ vÒ c¸c BÊt ®¼ng thøc ®óng hay ®iÒu kiÖn ®óng cña ®Ò bµi: 3-Bµi tËp ¸p dông Bµi 1- Chøng minh BÊt ®¼ng thøc a2+b2 ≥ab Gi¶i 1 3 1 3 XÐt hiÖu: a2+b2- ab = (a2+ 1 b2- 2. 4 ab)+ b2=( a- b)2+ b2 ≥ ®óng 0 2 4 2 4 1 2 3 2 1 3 víi mäi a, b v× ( a- b) ≥0; b ≥0 DÊu "=" x¶y ra khi (a- b)2= 2 4 2 4 b2=0 suy ra a = b = 0 VËy BÊt ®¼ng thøc ®îc chøng minh. Chøng minh t¬ng tù cho Bµi a2+b2 ≥ab n n Ta cã thÓ chøng minh cho Bµi to¸n tæng qu¸t: (an)2+(bn)2 ≥a .b Bµi 2 - Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n 0
  4. Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS VËy BÊt ®¼ng thøc ®îc chøng minh. Bµi 3: Cho a ≤ b ≤ c vµ x ≤ y ≤ z h·y chøng minh r»ng: a + b x + y ax + by . ≤ 2 2 2 Gi¶i a +b x +y ax +by 1 XÐt hiÖu: . − = (ax+ay+by+bx-2ax-2by) 2 2 2 4 1 1 = [(ay-ax)+(bx-by)]= (x-y)(b-a) ≤ 0 ( do x ≤ y vµ a ≤ b ) 4 4 DÊu "=" x¶y ra khi x=y hoÆc a=b VËy BÊt ®¼ng thøc thùc ®îc chøng minh Chøng minh t¬ng tù ta ®îc BÊt ®¼ng thøc: a + b + c x + y + z ax + by + cz . ≤ 3 3 3 B¹n ®äc cã thÓ tæng qu¸t bµi to¸n. Bµi 4: Cho a, b, c, d ,e lµ c¸c sè thùc chøng minh r»ng: a2+b2+c2+d2+e2 ≥a(b+c+d +e) Gi¶i XÐt hiÖu: a2+b2+c2+d2+e2- a(b+c+d +e) = a2+b2+c2+d2+e2- ab-ac-ad -ae 1 = ( 4a2+4b2+4c2+4d2+4e2- 4ab-4ac-4ad -4ae) 4 1 = [(a2+4b2+4ab)+(a2+c2+4ac)+(a2+4d2+4ad)+(a2+4e2+4ae)] 4 1 = [(a+2b)2+(a+2c)2+(a+2d)2+(a+2e )2] ≥0 4 Do (a+2b)2 ≥0 vµ (a+2c)2 ≥0 vµ (a+2d)2 ≥ vµ (a+2e )2 ≥ 0 0 a DÊu "=" x¶y ra khi b = c = d = e = 2 VËy BÊt ®¼ng thøc ®îc chøng minh. VËy BÊt ®¼ng thøc ®îc chøng minh. Bµi 5: Tæng qu¸t bµi 4 -4-
  5. Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS Cho ai i=1,2,..,n lµ c¸c sæ thùc. chøng minh r»ng: n n 2 ∑a a1 ∑ai 2 i ≥ i =1 n − 1 i =2 Chøng minh t¬ng tù bµi 4 4- Bµi tËp ¸p dông: H·y chøng minh c¸c BÊt ®¼ng thøc sau: 1/ 4.x2+y 2 ≥4xy 2/ x2+y2 +1 ≥ +x+y xy 3/ (x+y) (x3+y3) (x7+y7) ≤4(x11+y11) 4/ x1996+y1996+z1996):( x1995+y1995+z1995) ≥(x+y+z):3 5/ (a3+b3+c3) ≥(a+b+c)(a2+b2+c2): a,b,c >0 6/ Cho c¸c sè d¬ng a,b,c chøng minh r»ng: a 8 + b8 + c 8 1 1 1 a/ ≥ + + (abc )3 a b c a 3b b3c c 3a a 3c b3a c3b b/ + + + + + ≥ 6abc c a b b c a II - Ph¬ng ph¸p 2: Dïng tÝnh chÊt cña BÊt ®¼ng thøc ®Ó biÕn ®æi t¬ng ®¬ng: (Ngêi thùc hiÖn: §µo Trung TuyÕn) 1) Néi dung ph¬ng ph¸p: Khi chøng minh mét BÊt ®¼ng thøc nµo ®ã ta biÕn ®æi BÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh t¬ng ®¬ng víi mét BÊt ®¼ng thøc ®óng hoÆc mét BÊt ®¼ng thøc ®· ®îc chøng minh hoÆc ®iÒu kiÖn cña ®Ò bµi. 2) KiÕn thøc c¬ b¶n: C¸c tÝnh chÊt cña BÊt ®¼ng thøc. C¸c BÊt ®¼ng thøc thêng dïng. Kü n¨ng biÕn ®æi t¬ng ®¬ng mét BÊt ®¼ng thøc. -5-
  6. Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS C¸c H§ thøc 3- Bµi tËp mÉu Bµi 1: Chøng minh r»ng: x2+2y2+2z2 ≥2xy +2yz+2z-1 (*) Gi¶i (*) ⇔ x2+2y2+2z2 -2xy -2yz-2z +1 ≥0 ⇔ (x2-2xy+y2)+(y2-2yz+z2)+(z2-2z+1) ⇔ (x-y)2+(y-z)2+(z-1)2 ≥ BÊt ®¼ng thøc cuèi cïng ®óng víi mäi 0 x,y,z DÊu "=" x¶y ra khi x=y=z=1 VËy BÊt ®¼ng thøc d· cho ®îc chøng minh. Bµi 2: Chøng minh BÊt ®¼ng thøc: (a10+b10) (a2+b2) ≥(a8+b8) (a4+b4) Gi¶i (a10+b10) (a2+b2) ≥(a8+b8) (a4+b4) ⇔ (a10+b10) (a2+b2) - (a8+b8) (a4+b4) ≥0 ⇔ a12+ a10 b2+ a2 b10+ b12-a12 -a8 b4- a4 b8-b12 ≥0 ⇔ ( a10 b2-a8 b4) +( a2 b10- a4 b8 ≥0 ⇔ a8 b2(a2-b2) -a 2b8(a2-b2) ≥ 0 ⇔ a 2b2(a2-b2)( a2-b2)(a4+a2b2+b4) ≥0 ⇔ a 2b2(a2-b2)2(a4+a2b2+b4) ≥0 ®óng víi mäi a, b DÊu "=" x¶y ra khi a2=b2 ⇔ a=b hoÆc a=-b vµ a=0 hoÆc b=0 VËy BÊt ®¼ng thøc ban ®Çu ®îc chøng minh. *NhËn xÐt: Tõ kÕt qña bµi to¸n trªn ta cã bµi to¸n t¬ng tù: Cho 0 ≤ a ≤ b Chøng minh BÊt ®¼ng thøc: (a5+b5) (a+b) ≥(a2+b2) (a4+b4) -6-
  7. Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS Bµi 3: Chøng minh c¸c BÊt ®¼ng thøc (x-1)(x-3)(x-4 )(x-6) ≥ 9 - a) Cho a ≥c ≥0 vµ b ≥ chøng minh c c(a − c) + c(b − c) ≤ ab Gi¶i a) NhËn xÐt: Ta thÊy 3+4=1+6 nªn ta nh©n (x-1)( x-6) vµ (x-3)(x-4 ) (x-1)(x-3)(x-4 )(x-6) ≥ 9  (x-1)( x-6) (x-3)(x-4 )+9 ≥0 -  (x2-7x +6)(x2-7x+12)+9 ≥0  (x2-7x +6)(x2-7x+6+6)+9 ≥0  (x2-7x +6)2+6(x2-7x+6) +9 ≥0  (x2-7x +9)2 ≥0 BÊt ®¼ng thøc cuèi cïng ®óng víi mäi gi¸ trÞ cña x => (x-1)(x-3)(x-4 )(x-6) ≥ 9 - 7 ± 13 DÊu "=" x¶y ra khi x2-7x +9 =0  x= 2 b) c (a − c) + c(b − c) ≤ ab ( c (a − c) + c(b − c) )2 ≤ ( ab )2  c(a-c)+c(b-c) +2 c (a − c) c(b − c) ≤ ab  c2 +2c (a − c) (b − c) +(a-c)(b-c) ≥0 ( c- (a − c) (b − c) )2 ≥0 BÊt ®¼ng thøc cuèi cïng ®óng víi mäi gi¸ trÞ cña a,b,c tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña ®Ò bµi vËy c(a − c) + c(b − c) ≤ ab víi a ≥c ≥0 vµ b ≥c Bµi 4: Chøng minh BÊt ®¼ng thøc: 3 3 3 1 1 1 2 + + ≥4 ( + + ) . biÕt a,b,c >0 ab cb ac a+b c+b a+c -7-
  8. Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS Gi¶i 1 1 1 (a + b + c) Ta cã + + = . Do a, b, c >0 vµ (a+b)(b+c)(c+a) ≥ ab cb ac abc 8abc 1 1 1 8.(a + b + c) => + + ≥ Hay ab cb ac (a + b)(b + c)(c + a ) 1 1 1 4(a + b) + 4(b + c) + 4(c + a) + + ≥ ( a + b)(b + c)(c + a ) ab cb ac 1 1 1 8 8 8  2( + + ) ≥ (a + c)(b + c) + (a + b)(a + c) + (a + b)(b + c) (1) ab cb ac Trong (1) DÊu "=" x¶y ra khi a=b=c 1 4 MÆt kh¸c ta cã (a+b)2 ≥4ab ⇒ ≥ ( a + b) 2 t¬ng tù ta cã ab 1 4 1 4 ≥ 2 vµ ≥ cb (c + b ) ac (a + c) 2 1 1 1 4 4 4 suy ra + + ≥ (a + b)2 + (c + b) 2 + (a + c) 2 (2) ab cb ac Trong (2) DÊu "=" x¶y ra khi a=b=c 3 3 3 1 1 1 2 Tõ (1) vµ (2) Ta cã + + ≥4 ( + + ) ab cb ac a+b c+b a+c DÊu "=" x¶y ra khi a=b=c NhËn xÐt: §Ó chøng minh BÊt ®¼ng thøc nhiÒu khi ta biÕn ®æi tõ mét BÊt ®¼ng thøc ®óng cã d¹ng t¬ng tù nh BÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh. Sau ®©y lµ mét vÝ dô n÷a kiÓu nh vËy. Bµi 5: Cho 0 < a ,b, c vµ abc =1 chøng minh BÊt ®¼ng thøc sau: 1 1 1 + 3 + 3 3 ≤ 1 a + b +1 c + b + 1 a + c +1 3 3 3 Gi¶i Do 0 ≤ a ≤ b ≤ c => (a-b)2(a+b) ≥ DÊu "=" x¶y ra khi a=b 0  (a-b)(a+b)(a-b) ≥0 -8-
  9. Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS  (a2-b2)(a-b) ≥0  a3-a 2b-ab2+b3 ≥0  a3 +b3 ≥ 2b+ab2 a  a3 +b3 +1 ≥ 2b+ab2+abc  a3 +b3 +1 ≥ a (a+b+c)ab 1 1 c 1  ≤ = (a + b + c) (do abc= 1 => =c) a + b +1 3 3 ab(a + b + c) ab 1 c suy ra ≤ a 3 + b3 + 1 (a + b + c) 1 a T¬ng tù ta cã ≤ DÊu "=" x¶y ra khi b=c c3 + b3 + 1 (a + b + c) 1 b vµ ≤ DÊu "=" x¶y ra khi a=c a3 + c3 + 1 (a + b + c) Céng vÕ víi vÕ cña ba BÊt ®¼ng thøc cuèi cïng ta ®îc: 1 1 1 + 3 + 3 3 ≤ 1 a + b +1 c + b3 + 1 a + c +1 3 3 DÊu "=" x¶y ra khi a=b=c =1 4 - Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1: Cho 0 ≤ x,y,z ≤ 1 chøng minh: A) 0 ≤ x+y+z -xy-yz-zx ≤ 1 B) x2+y2+z2 ≤ 1+x 2 y +y2 z +z2 x x y z C) + yz + 1 xz + 1 + yx + 1 ≤ 2 Bµi 2: Cho a, b,c lµ ®é dµi ba c¹nh cña tam gi¸c, cã chu vi b»ng 2. Chøng minh r»ng: a2+b2+c2+2abc < 2 Bµi 3: Chøng minh víi mäi x, y > 2 ta cã: x4 - x 3y +x2 y2 -xy3 +y4 >x2+y2 Bµi 4: Cho a, b ,c lµ ba sè tuú ý thuéc ®o¹n [0,1]. Chøng minh: 1- a2+b2+c2 ≤ 1+ a 2 b +b2 c +c2 a 2- 2(a3+b3+c3) -(a2 b+b2 c+c2 a) ≤ 3 a b c 3- + + ≤ 2 bc + 1 ac + 1 ba + 1 -9-
  10. Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS III - Ph¬ng ph¸p 3: Dïng tÝnh chÊt cña tØ sè (Ngêi thùc hiÖn: §µo Thuû Chung) 1- Néi dung ph¬ng ph¸p: Khi vËn dông c¸c tÝnh chÊt cña tû sè th× viÖc chøng minh BÊt ®¼ng thøc trë nªn rÊt nhanh vµ gän. 2- KiÕn thøc cÇn vËn dông: - Víi ba sè d¬ng a,b.c a a a+c NÕu ≤ 1 Th× ≤ DÊu "=" x¶y ra khi a=b b b b+c a a a+c NÕu ≥ 1 Th× ≥ DÊu "=" x¶y ra khi a=b b b b+c a c a a+c c NÕu b, d >0 vµ ≤ ⇒ ≤ ≤ DÊu "=" x¶y ra khi b d b b+d d ad=bc 3- Bµi tËp mÉu: Bµi 1: Cho a,b, c lµ sè ®o ba c¹nh cña tam gi¸c: a b c Chøng minh r»ng:1< + + 0 vµ a+b > c; b+c >a Vµ c+a >b. c c c+c 2c c 2c Tõ a+b > c ⇒
  11. Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS a b c a b c - Ta cã + + > a +b + c + + =1 Do a, b, c b+c a+c b+a a +b + c a + b + c d¬ng a b c VËy 1< + + < 2 (®pcm) b+c a+c b+a NhËn xÐt: ë ®©y ta ®· sö dông tÝnh chÊt: - Víi ba sè d¬ng a,b,c a a a+c NÕu ≤ 1 Th× ≤ DÊu "=" x¶y ra khi a=b b b b+c a1 + a2 + ..... + an Bµi 2: Chøng minh r»ng N»m gi÷a gi¸ trÞ nhá b1 + b2 + .... + bn a1 a2 an nhÊt vµ gÝ trÞ lín nhÊt cña ( , , …, ) ë ®ã bi lµ c¸c sè d- b1 b2 bn ¬ng i=1,2,..,n Gi¶i a1 a2 an Gäi gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña ( , , …, ) thø tù b1 b2 bn lµ m vµ M ai Khi ®ã ta cã m ≤ ≤ M víi mäi i=1,2,…,n bi ⇒ mbi ≤ ai ≤ bi.M Do bi>0 víi mäi i=1,2,…,n LÇn lît cho i+ 1,2,..,n råi céng c¸c vÕ l¹i víi nhau ta ®îc: m( b1+b2+…+bn) < a1+a2+…+an < M( b1+b2+…+bn) a1 + a2 + ..... + an ⇔ m< < M Do ( b1+b2+…+bn) >0 (®fcm) b1 + b2 + .... + bn Bµi 3: Cho a>0 ,b>0 chøng minh r»ng: -11-
  12. Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS 1 a b a+b a b ( + )< < + 2 a +1 b +1 a + b +1 a + 1 b +1 Gi¶i 1 a b a+b Ta chøng minh ( + )< 2 a +1 b +1 a + b +1 a a a+b b a+b Do a > 0 ta cã Céng vÕ víi a+ 1 a + b +1 b +1 a + b + 1 a+b a b vÕ cña hai BÊt ®¼ng thøc nµy ta ®îc: < + (2) a + b +1 a + 1 b +1 1 a b a+b a b Tõ (1) Vµ ( 2) Ta ®îc: ( + )< < + 2 a +1 b +1 a + b +1 a + 1 b +1 4- Bµi tËp ¸p dông: 2004 2 2 + 4 + 6 + ... + 2004 Bµi 1: Chøng minh r»ng < < 2005 3 3 + 5 + 7 + ... + 2005 Bµi 2: Cho a, b lµ c¸c sè d¬ng tho¶ m·n ab =1 chøng minh r»ng: 1 1 a+b 1 1 + < < + 2a + 2 2b + 2 1 + a + b a + 1 b + 1 x a m x x + 2004a + 2005m m Bµi 3: Cho y ≤ ≤ chøng minh r»ng y ≤ ≤ b n a + 2004b + 2005n n IV - Ph¬ng ph¸p 4 Ph¬ng ph¸p ph¶n chøng (Ngêi thùc hiÖn: §ç V¨n Thµnh) 1- Néi dung ph¬ng ph¸p -12-
  13. Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS §Ó chøng minh A ≥ B ta gi¶ sö ph¶n chøng A 0,25 Gi¶i Gi¶ sö c¶ ba BÊt ®¼ng thøc a(1-b) > 0,25; b (1-c) >0,25; c(1-a) > 0,25 ®Òu ®óng khi ®ã a(1-b) b (1-c) c(1-a) >0,25 3 (1) MÆt kh¸c ta cã a(1-a) = a - a2 = 0,25 -(a2 -2. a.0,5 + 0.25 ) = 0,25 -( a-0,5 ) 2 ≤ 0,25 ⇒ a(1-a) ≤ 0.25 T¬ng tù ta cã b(1-b) ≤ 0,25 vµ c(1-c) ≤ 0,25 Nh©n vÕ víi vÕ cña ba BÊt ®¼ng thøc cuèi cïng ta ®îc: a(1-b) b (1-c) c(1-a) 0,25; b (1-c) >0,25; c(1-a) > 0,25 cã Ýt nhÊt mét BÊt ®¼ng thøc sai. Bµi 2: Chøng minh r»ng kh«ng cã ba sè x,y,z mµ cã thÓ tho¶ m·n ®ång thêi ba BÊt ®¼ng thøc sau: x < y − z , y < x − z , z < y−x Gi¶i: Gi¶ sö ph¶n chøng c¶ ba BÊt ®¼ng thøc trªn kh«ng cã BÊt ®¼ng thøc nµo sai nghÜa lµ c¶ ba BÊt ®¼ng thøc ®ã ®Òu ®óng khi ®ã ta cã: -13-
  14. Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS : x < y − z ⇔ x2 < (y-z )2 ⇔ x2 -(y-z )2 0 (*) Gi¶i: Gi¶ sö (*) kh«ng ®óng ⇒ cã Ýt nhÊt mét trong c¸c sè a,b,c ph¶i ≤ 0 Kh«ng mÊt t×nh tæng qu¸t gi¶ sö a ≤ 0. do abc >0 ⇒ bc 0 c0 T¬ng tù ®åi víi trêng hîp A ≤ 0 b0 ta còng ⇒ ®iÒu v« lÝ. VËy (*) ®îc chøng minh. Bµi 4: Chøng minh r»ng: Tæng cña mét ph©n sè d¬ng víi nghÞch ®¶o cña nã kh«ng nhá h¬n 2. Gi¶i: a a b a b Gi¶ sö ph¶n chøng >0 ta cã + < 2 ⇔ + - 2
  15. Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS VËy Tæng cña mét ph©n sè d¬ng víi nghÞch ®¶o cña nã kh«ng nhá h¬n 2. 4-Bµi TËp ¸p dông: Bµi1 Cho ba sè d¬ng nhá h¬n 2 a,b,c: chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét trong c¸c BÊt ®¼ng thøc sau lµ sai: a(2-b)>1; b(2- c) >1; c(2-a)>1 Bµi 2 Cho a,b,c lµ ba sè d¬ng tho¶ m·n abc =1 chøng minh r»ng: S=(a-1 +b-1)( b-1+c-1)(c-1+a-1) ≤ 1 Bµi 3 Cho a+b+2cd chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét BÊt ®¼ng thøc sau ®óng: c2> a: d2 > b a > 0 Bµi 4: Cho a,b,c,x,y,z lµ c¸c sè thùc tho¶ m·n:  (b − 1) − 4ac < 0 2 Chøng minh r»ng trong c¸c BÊt ®¼ng thøc sau cã Ýt nhÊt mét BÊt ®¼ng thøc sai ax2+bx +c ≤ y ; ay2+by +c ≤ z ; az2 + bz +c ≤ x V- Ph¬ng ph¸p 5: Ph¬ng ph¸p quy n¹p; (Ngêi thùc hiÖn: NguyÔn V¨n Thµnh) 1) Néi dung ph¬ng ph¸p; Cã rÊt nhiÒu c¸c BÊt ®¼ng thøc mµ b»ng c¸c c¸ch chøng minh th«ng thêng th× kh«ng thÓ chøng minh ®îc. Thêng c¸c BÊt ®¼ng thøc ®ã cã d¹ng d·y sè hoÆc nh÷ng BÊt ®¼ng thøc tæng qu¸t. Th«ng thêng ®Ó chøng minh c¸c BÊt ®¼ng thøc kiÓu nh vËy ta dïng ph¬ng ph¸p quy n¹p. §Ó chøng minh mét BÊt ®¼ng thøc ®óng víi mäi n ,b»ng ph¬ng quy n¹p chøng ta thùc hiÖn c¸c bíc sau; -15-
  16. Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS Bíc 1 KiÓm tra xem BÊt ®¼ng thøc ®óng víi ≤ n0 nµo ®o ( th«ng thêng ta chän n0 =0 hoÆc 1) Bíc 2 Gi¶ sö BÊt ®¼ng thøc ®óng víi ≤ k Bíc 3 ta chøng minh BÊt ®¼ng thøc ®óng víi ≤ k+1 Bíc 4 KÕt luËn BÊt ®¼ng thøc ®óng víi mäi 2- KiÕn thøc cÇn v©n dông: C¸c t×nh chÊt cña BÊt ®¼ng thøc: Kü n¨ng biÕn ®æi ®¼ng thøc vµ BÊt ®¼ng thøc. 3 Bµi tËp mÉu: Bµi 1: Chøng minh r»ng: a) [(a+b):2]n ≤ (an+bn):2 víi a+b ≥ 0 vµ N ∋n b) a + a + ..... + a < 1 + 4a + 1 a ≥0         2 n , dau Gi¶i a) +) Víi n =1 ta cã (a+b):2 ≤ (a+b):2 ®óng +) Gi¶ sö BÊt ®¼ng thøc ®óng víi n=k tøc lµ [(a+b):2] k ≤ (ak+bk):2 +) Ta chõng minh BÊt ®¼ng thøc ®óng víi n =k+1 Tøc lµ: [(a+b):2]K+1 ≤ (ak+1+bk+1):2 ThËt vËy: xÐt [(a+b):2]K+1=[(a+b):2]K[(a+b):2] ≤ [(ak+bk):2][ (a+b):2] Ta chøng minh (ak+bk) (a+b) ≤ 2(ak+1+bk+1) ⇔ ak+1+bk+1+ak b+abk ≤ 2(ak+1+bk+1) ⇔ ak+1+bk+1-ak bb - abk ≥0 ⇔ (a-b)( ak - bk) ≥ 0 * NÕu a,b ≥ 0 th× * ®óng. NÕu a ≥ 0 ≥ b ⇒ a-b ≥ 0 mµ a+b ≥0 (gt) ⇒ a ≥ -b ⇒ a ≥ b ⇒ ak ≥ b k ak - bk ≥0 -16-
  17. Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS ⇒ * ®óng Chøng minh t¬ng tù cho trêng hîp a ≤ 0 ≤ b ta ®îc * ®óng Do a+b ≥ 0 nªn a, b kh«ng cïng 1 +2 a >2 a ®óng ∀ a + Gi¶ sö BÊt ®¼ng thøc ®óng víi ≤ k tøc lµ: a + a + ..... + a < 1 + 4a + 1 a ≥0         2 k , dau + Ta chøng minh BÊt ®¼ng thøc ®óng víi ≤ k+1 tøc lµ a + a + ..... + a < 1 + 4a + 1 a ≥0         2 ( k + + 1), dau §Æt xn =  a + a + ..... + a ⇒ xk=  a + a + ..... + a xk+1=               n , dau k , dau a + a + ..... + a = a + xk         ( k + + 1), dau -17-
  18. Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS 1 + 4a + 1 Ta chøng minh a + xk < 2 a ≥ 0 ⇔ ( a + xk )2< ( 1 + 4a + 1 2 ) 2 ⇔ a+xk < 2 + 4a + 2 4a + 1 ⇔ 4xk
  19. Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS + Víi n =2: ta cã 9 ≥ 8 * ®óng + Víi n =3: ta cã 27 ≥ 27 * ®óng + Víi n = 4: ta cã 81 ≥ 64 * ®óng Gi¶ sö BÊt ®¼ng thøc * ®óng víi n =k ≥ 4 tøc lµ 3 k ≥ k3 Ta chøng minh BÊt ®¼ng thøc * ®óng víi n =k+1 tøc lµ 3 k+1 ≥ (k+1)3 ThËt vËy: Ta cã 3k+1 = 3. 3k ≥ 3 k3=k3 +3k2+ 3k +1 +k3-3k2 +k3 -3k -1 = =(k+1)3 +k2(k-3) +k(k2-3) -1 > (k+1)3 do k ≥ 4 nªn k2(k-3) +k(k2-3) >1 ⇒ 3k+1> (k+1)3 ⇒ BÊt ®¼ng thøc * ®óng víi n = k+1 VËy 3 n ≥ n3 ∀ n, Z+ ∋ n ⇒ 3n 3n ≥ 3n n3 ⇔ 3 3 ≥ n n ∀ n, Z+ ∋ n - Víi m lµ sè tù nhiªn - NÕu m ≤ n ⇒ n ⇒ n m ≤ n n m ≤ 3 3 - NÕu m ≥ n ⇒ m m ≥ m n ⇒ m n ≤ 3 3 n VËy víi m,n lµ c¸c sè nguyªn d¬ng trong c¸c sè m, m n cã Ýt nhÊt mét sè kh«ng vît qu¸ 3 3 . 4- Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1: a) Chøng minh r»ng víi n ≥ 3 ta cã 2n >2n +1 b) Chøng minh 1.2.3….n < 2-n. (n+1 )n c) ∀ n ≥1, Chøng minh: 1 1 1 d) 1+ + + ........ + ≥ 2 n +1 − 2 2 3 n Bµi 2: Chøng minh c¸c BÊt ®¼ng thøc sau: a) 2n+2 >2n+5 ∀ n ≥ 1, N ∋ n b) [(n+1)!]n ≤ 2!.4!….(2n)! ∀ n , N* ∋ n c) (2n)! < 22n(n!)2 ∀ n , N* ∋ n VI-Ph¬ng ph¸p 6 Dïng BÊt ®¼ng thøc trong tam gi¸c: -19-
  20. Chuyªn ®Ò: BÊt ®¼ng thøc trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS (Ngêi thùc hiÖn: NguyÔn Quang HiÒn) 1- Néi dung ph¬ng ph¸p NhiÒu BÊt ®¼ng thøc mµ c¸c yÕu tè cã liªn quan tíi c¶ sè vµ c¶ h×nh nªn khi gi¶i BÊt ®¼ng thøc ®ã ngoµi viÖc vËn dông c¸c tÝnh chÊt cña BÊt ®¼ng thøc ta ph¶i sö dông c¶ c¸c tÝnh chÊt kh¸c trong h×nh häc ®Æc biÖt lµ BÊt ®¼ng thøc trong tam gi¸c. 2- C¸c kiÕn thøc cÇn vËn dông: NÕu a, b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c th× ta cã - a, b, c >0 - |a-c| < b
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2