zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Trung học phổ thông

Chuyên đề đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

Chia sẻ: Duong Minh Thong | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:51

Báo xấu

765
lượt xem 252
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chuyên đề đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(1) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

Trường THPT Chuyên Tiền Giang Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán Chuyªn ®Ò Nhóm thực hiện: • Dương Minh Thông • Phạm Hữu Hiệp • Nguyễn Trung Sơn • Đặng Hoàng Long • Huỳnh Tuấn Trường Năm học: 2010-2011 1
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán Các bạn đọc giả thân mến! Nhằm giúp các bạn học sinh có điều kiện hiều sâu hơn về chuyên đề “phương trình đường thẳng”, đồng thời khơi dậy ở các bạn sự yêu thích và lòng say mê với bộ môn hình học ở trường THPT, nhóm học sinh chúng tôi đã biên soạn cuốn chuyên đề “phương trình đường thẳng ”. Chúng tôi nhận thấy bên cạnh sách giáo khoa, các bạn học sinh cần phải nâng cao kiến thức, kĩ năng toàn diện để chuẩn bị cho kì thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh đại học. Cuốn chuyên đề sẽ là một tài liệu hữu ích cho các bạn tự củng cố và bồi dưỡng kiến thức hình học của mình. Các bạn có thể sử dụng cuốn chuyên đề như một tài liệu ôn tập tốt trong các kì thi tốt nghiệp THPT cũng như các kì thi học sinh giỏi. Hy vọng với cuốn sách này, các bạn học sinh sẽ thêm yêu mến bộ môn hình học, tự tin trong quá trình học tập và nghiên cứu toán sau này. Mặc dù chúng tôi đã cố gắng hết mình để cuốn chuyên đề được hoàn hảo nhất nhưng chắc hẳn nó vẫn còn nhiều thiếu sót, xin các bạn hãy lượng thứ và xin các bạn hãy đóng góp ý kiến cho chúng tôi về địa chỉ :”lớp 10 Toán, trường THPT Chuyên Tiền Giang” để chúng tôi có thật nhiều kinh nghiệm trong các cuốn chuyên đề sau. Cuối cùng chúng em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Tấn Đạt đã tạo điều kiện thuận lợi nhất để chúng em hoàn thành quyển chuyên đề này! (Nhóm học sinh lớp 10 Toán) 2
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán Sô löôïc veà ñöôøng thaúng: Một đường thẳng được hiểu như là một đường dài (vô hạn), mỏng (vô cùng) và thẳng tuyệt đối. Trong hình học Euclide, có một và chỉ có một đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ khác nhau. Đường thẳng này tạo ra đoạn nối ngắn nhất giữa hai điểm đó. Hai hay ba điểm nằm trên cùng một đường thẳng được gọi là cộng tuyến. Trong một mặt phẳng, hai đường thẳng khác nhau hoặc là song song tức không bao giờ gặp nhau, hoặc giao nhau tại một và chỉ một điểm. Hai mặt phẳng giao nhau nhiều nhất là một đường thẳng. Đường thẳng trong mặt phẳng Descartes có thể được mô tả bằng phương trình tuyến tính. Khái niệm trực quan về đường thẳng có thể được hình thức hóa bằng nhiều cách. Nếu hình học được phát triển theo phương pháp tiên đề (như trong tác phẩm Các phần tử của Euclid hay trong tác phẩm sau này Cơ sở của hình học của David Hilbert), thì đường thẳng chẳng được định nghĩa gì cả, mà chỉ được đặc trưng bởi các tính chất của nó trong hệ tiên đề. "Bất kỳ thứ gì thỏa mãn các tiên đề của đường thẳng thì nó chính là đường thẳng.". Trong khi Euclide đã từng định nghĩa đường thẳng là cái gì đấy "có chiều dài mà không có bề dày", thực ra ông chưa bao giờ dùng định nghĩa mơ hồ này ở các chứng minh phía sau trong tác phẩm của mình. Trong không gian Euclide Rn (và cũng như trong mọi không gian vector khác), chúng ta định nghĩa đường thẳng L là tập con của không gian đang xét và có dạng: 3
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán với a và b là hai vector cho trước trong Rn, đồng thời b phải khác vector 0. Vector b xác định hướng của đường thẳng, và a là một điểm nằm trên đường thẳng. Chọn các vector a và b khác nhau có thể dẫn đến kết quả cùng một đường thẳng. Trong không gian hai chiều, chẳng hạn trong một mặt phẳng, hai đường thẳng khác nhau hoặc là hai đường thẳng song song hoặc phải cắt nhau tại một điểm. Tuy nhiên, trong không gian nhiều hơn hai chiều, hai đường thẳng có thể không song song nhau mà cũng chẳng cắt nhau, và hai đường thẳng như vậy gọi là hai đường thẳng chéo nhau. Trong R2, mọi đường thẳng được biểu diễn bởi một phương trình tuyến tính có dạng với a, b và c là các hệ số thực cố định trong đó a và b không đồng thời bằng 0. Các tính chất quan trọng của đường thẳng trong không gian hai chiều là độ dốc, giao điểm của nó với trục Ox, giao điểm của nó với trục Oy. Trừu tượng hơn, người ta thường nghĩ về trục số thực như là một nguyên mẫu điển hình cho một đường thẳng, và giả định rằng mỗi điểm trên đường thẳng tương ứng một-một với một số thực nào đó trên trục số thực. Thế nhưng ta hoàn toàn có thể sử dụng cả số “siêu thực” và kể cả đường thẳng dài trong lý thuyết topo để làm nguyên mẫu cho đường thẳng. Tính chất “thẳng” của đường thẳng, thường được hiểu là tính chất cho phép đường thẳng cực tiểu hóa khoảng cách giữa hai điểm, mà về sau có thể được tổng quát hóa thành khái niệm đường trắc địa trong đa tạp khả vi. Tuy nhiên, ở đây ta chỉ xét đường thẳng trong mặt phẳng Descartes (Oxy) và phương trình đường thẳng có thể được mô tả bằng phương trình tuyến tính(1). Phương trình tuyến tính (hay còn gọi là (1) phương trình bậc một hay phương trình bậc nhất) là một phương trình đại số có dạng: b là một hằng số (hay hệ số bậc 0). • • a là hệ số bậc một. Phương trình bậc một được gọi là phương trình tuyến tính vì đồ thị của phương trình này (xem hình bên) là đường thẳng (theo Hán-Việt, tuyến nghĩa là thẳng). 4
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán Ch¬ng mét 5
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán Nhaéc laïi lyù thuyeát: I. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG: 1. Phương trình tổng quát của đường thẳng: a. Khái về phương trình tổng quát của đường thẳng: r Vector a ≠ 0 đr c gọi là vetor chỉ phương (VTCP) của đường thẳng ượ • r r (d) ⇔ a P(d ) hay a ⊂ (d ) . Vector n ≠ 0 được gọi là vetor pháp tuyến (VTPT) r của đường thẳng (d ) ⇔ n ⊥ (d ) . • Phương trình tổng quát của đường thẳng (d) có dạng: Ax + By + C = 0 r r r với A2 + B 2 ≠ 0 có VTPT n ( A; B ) ; VTCP a ( − B; A ) hoặc a ( B; − A ) . r Như vậy, phương trình đường thẳng (d) đi qua M ( x0 ; y0 ) và có VTPT n ( A; B ) là A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) = 0 ( 2 ) . Chuù yù:  Đường thẳng ( d1 ) P( d 2 ) ⇒ VTCP của ( d1 ) là VTCP của ( d 2 ) ; VTPT của ( d1 ) là VTPT của ( d 2 ) .  Đường thẳng ( d1 ) ⊥ ( d 2 ) ⇒ VTCP của ( d1 ) là VTPT của ( d 2 ) ; VTPT của ( d1 ) là VTCP của ( d 2 ) . r rr r  Nếu u ( X ; Y ) ; v ⊥ u thì v ( Y ; − X ) .  Nếu đường thẳng (d) cắt Ox tại A(a; 0) và cắt Oy tại B(0; b) với a, b xy ≠ 0 thì phương trình ( d ) : + = 1 , gọi là phương trình đường thẳng theo ab đoạn chắn AB. r  Nếu đường thẳng (d) có VTPT n ( A; B ) thì phương trình đường thẳng (d) có dạng Ax + By + m = 0. r  Nếu đường thẳng (d) có VTCP a ( a1 ; a2 ) thì phương trình đường thẳng (d) có dạng a2 x − a1 y + m = 0  Nếu đường thẳng (d) đi qua M 0 ( x0 ; y0 ) thì phương trình đường thẳng (d) có dạng α ( x − x0 ) + β ( y − y0 ) = 0 với điều kiện α 2 + β 2 > 0 Đặc biệt: Nếu ( d ) ⊥ Ox thì β = 0, khi đó phương trình đường thẳng ( d ) : x = x0 . Nếu ( d ) ⊥ Oy thì α = 0, khi đó phương trình đường thẳng ( d ) : y = y0 . Sau đó diễn tả thêm một điều kiện khác để xác định tham số m hay α , β . 6
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán b. Phương trình đường thẳng theo hệ số góc: Định nghĩa: Gọi α là góc tạo bởi chiều dương của trục Ox và đường thẳng (d) (góc xuất phát từ chiều dương trục Ox quay theo một chiều nhất đ ịnh đ ến g ặp đ ường th ẳng (d) lần đầu tiên), ta định nghĩa k = tan α là hệ số góc của đường thẳng (d). Theo định nghĩa nêu trên: nếu (d) ⊥ thì không tồn tại hệ số góc của đường thẳng (d). Tính chất: r a Nếu (d) có VTCP a ( a1 ; a2 ) thì (d) có hệ số góc k = a , với a1 ≠ 0. 2  1 r Ngược lại, nếu (d) có hệ số góc k thì (d) có một VTCP là a ( 1; k ) r n Nếu (d) có VTPT n ( n1 ; n2 ) thì (d) có hệ số góc k = − n , ∀n2 ≠ 0 . 1  2 r n ( k ; −1) Ngược lại, nếu (d) có hệ số góc k thì (d) có mộy VTPT là Nếu ( d ) P∆ thì kd = k∆ .   Nếu ( d ) ⊥ ∆ thì kd .k∆ = −1 . Phương trình đường thẳng qua một điểm và có hệ số góc: Phương trình đường thẳng đi qua M ( x0 ; y0 ) và có hệ số góc k có dạng: Đặc biệt: khi ( d ) ⊥ Ox thì phương trình (d) có dạng: x = x0 . Chuù yù:  Khi sử dụng hệ số góc để viết phương trình một đường thẳng ta cần phải xét hai trường hợp: đường thẳng đó vuông góc với Ox và đường thẳng đó không vuông góc với Ox.  Nếu phương trình đường thẳng ( d ) : α ( x − x0 ) + β ( y − y0 ) = 0 với β ≠ 0 sẽ trở thành: α α ( x − x0 ) thì tỉ số k = − chính là hệ số góc của đườnh thẳng (d), do đó ta có y − y0 = − β β thể nói phương trình đường thẳng dạng: y − y0 = k ( x − x0 ) là trừng hợp đặc biệt của phương trình đường thẳng dạng: α ( x − x0 ) + β ( y − y0 ) = 0 . c. Sự đối xứng: Điểm M’ đối xứng của M qua đường thẳng (d): •  Cách 1: Viết phương trình đường thẳng (d’) qua M và vuông góc v ới (d), tìm giao điểm H của (d) và (d’), do H là trung điểm của MM’, từ đó suy ra toạ độ của M’.  Cách 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng (d’) qua M và vuông góc với r(d),uuuu định tham số tH của giao điểm H gi ữa (d) và (d’), do xác uuuuu r MM ' = 2.MH nên tM = 2tH, từ đó suy ra toạ độ M’. 7
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán  Cách 3: Lấy một điểm H có toạ độ phụ thuộc tham số trên đường (d), uuuu uu rr diễn tả điều kiện MH .ad = 0 , suy ra toạ độ điểm H, từ đó tính toạ độ của điểm M’ Chuù yù: Để tìm hình chiếu của điểm M lên đường thẳng (d) ta tìm điểm H trong cách 1. i. ii. Cách thứ 2, 3 giúp ta giải quyết được bài toán: Từ một đi ểm M cho tr ước k ẻ đường thẳng vuông góc với một đường thẳng (d) cho trước, cắt (d) tại H, kéo dài MH một đoạn HM’ saocho MM’ = k.MH, xác định toạ độ điểm M’. • Đường thẳng (d’) đối xứng của đường thẳng (d) qua điểm M:  Cách 1: Lấy hai điểm N, K có toạ độ tùy ý trên đường thẳng (d), tìm toạ độ hai điểm đối xứng N’ và K’ của chúng qua M, đường thẳng (d’) chính là đường thẳng đi qua hai điểm N’ và K’.  Cách 2: Lấy điểm N có toạ độ tùy ý trên đường thẳng (d), tìm to ạ đ ộ đi ểm đối xứng của N qua M, đường thẳng (d’) chính là đường thẳng qua N’ và song song với (d).  Cách 3: Viết dạng phương trình đường thẳng (d’): ax + by + m = 0 song song với (d):ax + by + c = 0, sau đó diễn tả điều kiện : d ( M , ( d ') ) = d ( M , ( d ) ) để tính m, suy ra kết quả. • Đường thẳng (d’) đối xứng của đường thẳng (d) qua đường thẳng ( ∆ ) :  Cách: Tìm giao điểm I của (d) và ( ∆ ) , lấy M có toạ độ tùy ý trên (d) với M ≠ I, tìm toạ độ điểm M’ đối xứng với M qua ( ∆ ) , đường thẳng (d’) chính là đường thẳng qua hai điểm I và M’. Đặc biệt: Khi (d) và ( ∆ ) song song nhau, thì đường thẳng (d’) là đường thẳng qua M’ và song song với (d). d. Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng (d1): Ax1 + By1 + C1 = 0 và (d2): Ax2 + By2 + C2 = 0 Vị trí tương Kết luận theo tỉ số Kết luận theo định thức đối của (d1) và (d2) A1 B1 A1 B1 ≠ D= ≠ 0 .Khi đó toạ độ giao A2 B2 A2 B2 điểm là:  Dx x = D B1 C1  Cắt nhau với Dx =   y = Dy B2 C2   D C1 A1 và Dy = C2 A2 8
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán D = 0 và ( Dx ≠ 0 hay Dy ≠ 0 ) Song song nhau A1 B1 C1 = ≠ A2 B2 C2 ur uu r Vuông góc nhau n1 ⊥ n2 ⇔ A1. A2 + B1 .B2 = 0 Trùng nhau D = Dx = Dy = 0 A1 B1 C1 = = A2 B2 C2 2. Phương trình tham số của đường thẳng: r Đường thẳng (d) đi qua M 0 ( x0 ; y0 ) và có các vector chỉ phương a ( a1 ; a2 ) có:  x = x0 + ta1 ,( t ∈ ¡ )  Phương trình tham số:   y = y0 + ta2 x − x0 y − y0 = , với a1 , a2 ≠ 0.  Phương trình chính tắc: a1 a2 • Từ phương trình tham số nếu ta sử dụng phương pháp cộng đại số để khử mất tham số t thì ta được phương trình tổng quát. • Ngược lại, từ phương trình tổng quát, ta chọn một điểm trên đường thẳng và chỉ ra vector chỉ phương thì có thể lập được phương trình tham số của đường thẳng đó. • Từ phương trình chính tắc, ta nhân chéo hai vế và rút gọn thì được phương trình tổng quát. x − x0 y − y0 a ⇒ y − y0 = 2 ( x − x0 ) = • Phương trình chính tắc: a1 , ( hsg: hệ số góc) a2 a1 { hsg k • Có thể sử dụng hệ phương trình theo tham số của hai đường thẳng và tùy theo hệ này vô nghiệm hay có một nghiệm duy nhất hay có vô số nghiệm mà hai đường thẳng này song song nhau hay cắt nhau hay trùng nhau. II. KHOẢNG CÁCH – GÓC: 1. Tính khoảng cách: Cho đường thẳng (d): Ax + By + C = 0 và điểm M ( xM ; yM ) . Ta có: AxM + ByM + C d ( M ;( d ) ) = A2 + B 2 1 = .BC.d ( A; BC ) Chú ý: i/ S ABC 2 ii/ Cho đường thẳng (d): Ax + By + C = 0 và hai điểm M ( xM ; yM ) và N ( xN ; yN ) 9
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán ( AxM + ByM + C ) ( AxN + ByN + C ) < 0 ⇔ M và N nằm hai bên đường thẳng (d). ( AxM + ByM + C ) ( AxN + ByN + C ) > 0 ⇔ M và N nằm cùng một bên đường thẳng (d). Phương trình đường phân giác của góc hợp bởi hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng (d1): A1x + B1y + C1 = 0 và (d2): A2x + B2y + C2 = 0. Gọi ( ∆ ) là phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng này, ta có: A1 x + B1 y + C1 A2 x + B2 y + C2 ∀M ( x; y ) ∈ ( ∆ ) ⇔ d ( M ; ( d1 ) ) = d ( M ; ( d 2 ) ) ⇔ = A12 + B12 A2 2 + B2 2 Chia hai trường hợp, sau đó nhân chéo, rút gọn rồi suy ra phương trình hai đường phân giác ( ∆1 ) , ( ∆ 2 ) Chú ý:i) Để phân biệt được phương trình phân giác của góc nhọn và góc tù ta có nhiều cách thực hiện như: Xác định dấu của từng vùng mà hai đường thẳng chia mặt phẳng toạ độ, từ đó • biết dấu của các vùng chứa phân giác góc nhọn và góc tù, suy ra phương trình của chúng. 2 2 Tính góc: Nếu cos ( ∆1 ; d1 ) > ÷ thì ( ∆1 ) là phân giác góc nhọn (hay tù)  hay < • 2 2÷   của góc tạo bởi (d1) và (d2). Lấy một điểm N có toạ độ đặc biệt trên (d1), tính d1 = d ( N ; ( ∆1 ) ) và • d 2 = d ( N ; ( ∆ 2 ) ) , khoảng cách nào nhỏ hơn thì đường phân giác tương ứng là đường phân giác uuủa góc nhọn. c ur uu r ur r Tính n1.n2 với n1 ( A1 ; B1 ) và n2 ( A2 ; B2 ) . • ur uur ∗ Nếu n1.n2 < 0 thì phương trình phân giác góc tù là: A1 x + B1 y + C1 A2 x + B2 y + C2 =− A +B A2 2 + B2 2 2 2 1 1 ur uu r ∗ Nếu n1.n2 > 0 thì phương trình phân giác góc tù là: A1 x + B1 y + C1 A2 x + B2 y + C2 = A12 + B12 A2 2 + B22 ii) Để viết phương trình phân giác trong hay ngoài của một góc trong một tam giác ta có thể thực hiện như sau: • Lập phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh AB và AC. • Tìm phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng này. • Xét một trong hai kết quả, ví dụ như ( ∆1 ) :f(x;y) = A’x + B’y + C’ = 0. Tính f(xB;yB) và f(xC;yC). ∗ Nếu tích f(xB;yB).f(xC;yC) < 0 thì B, C nằm hai bên ( ∆1 ) nên ( ∆1 ) là phân giác trong. ∗ Nếu tích f(xB;yB).f(xC;yC) > 0 thì B, C nằm một bên ( ∆1 ) nên ( ∆1 ) là phân giác ngoài. 10
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán iii) Một cách khác để viết phương trình phân giác trong và ngoài của một tam giác: uuur uuu r AB uuu uuuu r r Tính toạ độ hai vector AB, AC , từ đó tính tọa độ hai vector đơn vị của chúng a AB = uuu r AB uuu r uuu AC r r uuu uuu r r và a AC = uuu , xác định toạ độ vector tổng a = a AB + a AC , đây chính là vector chỉ phương r AC r uuu uuu r r của đường phân giác trong của góc A. Tương tự b = a AB − a AC là vector chỉ phương của đường phân giác ngoài của góc A. 2. Tính góc: Nếu hai đường thẳng (d1) và (d2) có hai vector pháp tuyến lần lượt là A1 A2 + B1 B2 ur uu r ( ) r r cos ( d1 ; d 2 ) = cos n1 ; n2 = n1 ( A1 ; B1 ) và n 2 ( A2 ; B2 ) thì . A12 + B12 . A2 2 + B12 Chú ý: uuu uuu rr i) Để tính góc trong µ của ∆ABC ta dùng công thức cos µ = cos ( AB; AC ) . A A kd1 − kd2 ii) Gọi ϕ là góc tạo bởi (d1) và (d2), thì ta có: tan ϕ = . 1 + kd1 .kd2 Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M và hợp với đường thẳng (d) một góc α cho trước: Kiểm tra đường thẳng: x = xM xem có thoả điều kiện bài toán không? Giả sử ∆ không vuông góc với Ox, khi đó phương trình uu r ∆ : y − yM = k ( x − xM ) ⇔ kx − y − ( kxM − yM ) = 0 có VTPT n∆ = ( k ; −1) . Tính cosin góc của hai đường thẳng ( ∆ ) và (d), cho nó bằng cos α , giải tìm k. Kết luận. Chú ý: i) Ta có thể sử dụng phương trình ∆ dạng α ( x − x0 ) + β ( y − y0 ) = 0 , với điều kiện α 2 + β 2 > 0 , thực hiện như trên để dẫn đến một phương trình bậc hai theo α , β . Khi đó ta không cần thực hiện việc kiểm tra trường hợp ∆ ⊥ Ox . kd − k∆ ii) Ta có thể dùng công thức tính góc, theo hàm tan: tan α = . 1 + kd .k∆ 11
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán Ch¬ng hai 12
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán Phần 1: Các ví dụ Ví dụ 1: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết nếu B (2;-1), đường cao và phân giác trong qua hai đỉnh A, C lần lượt là 3x – 4y + 27 = 0 ; x + 2y – 5 = 0. Giải Phương trình BC vuông góc đường cao AH, qua B có dạng 4x + 3y + c = 0 ⇔ 4.2 + 3.(−1) + c = 0 ⇔ c = −5 Vậy BC: 4 x + 3 y − 5 = 0 Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình 4 x + 3 y − 5 = 0 • x + 2 y − 5 = 0  x = −1 ⇔ y = 3 Vậy C(-1;3) Gọi B’ là đối xứng của B qua phân giác C. BB’ có dạng 2x − y + c = 0 ⇔ 2.2 − ( −1) + c = 0 ⇔ c = −5 Suy ra BB’: 2 x − y − 5 = 0 Toạ độ giao điểm M của BB’ và phân giác tại C là (3;1)  xB ' = 2 xM − xB = 4 Mà M là trung điểm BB’nên   yB ' = 2 yM − yB = 3 Vậy B’(4;3) Vì yB ' = yC = 3 nên AC : y = 2 Điểm A là giao điểm cua đường cao AH và AC, nên A(-5;3) Vậy phương trình đường thẳng AB y − 3 −1 − 3 = x+5 2+5 ⇔ 4x + 7 y −1 = 0 13
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán Vậy AB: 4 x + 7 y − 1 = 0 BC: 4 x + 3 y − 5 = 0 AC: y = 2 Ví dụ 2: Trên mặt phẳng toạ độ, cho tam giác ABC với một cạnh có trung điểm là M(-1;1), còn hai cạnh kia có phương trình là x + y – 2 = 0, 2x + 6y + 3 = 0 Giải Gọi ABC là tam giác đã cho Giả sử M (-1;1) là trung điểm BC và AB: x + y – 2 = 0 và AC: 2x + 6y + 3 = 0 15 −7 Suy ra A( ; ) 44  xB + xC = −2 M(-1;1) là trung điểm BC nên   yB + yC = 2 −9 1 17 Mà B ∈ AB và C ∈ AC nên B( ; ), C( ; ) 44 44 Ví dụ 3: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A (1;1). Hãy tìm diểm B trên y = 3 và C trên trục hoành sao cho tam giác ABC đều. Giải  AB = (b − 1) 2 + 4 2 2 Gọi B (b;3) và C (c; 0). Ta có  AC = (c − 1) + 1 2  BC 2 = (c − b) 2 + 9  Tam giác ABC đều nên AB = AC = BC hay AB 2 = AC 2 = BC 2 (b − 1) 2 + 4 = (c − 1) 2 + 1  ⇒ (c − 1) + 1 = (c − b) + 9 2 2  Giải hệ phương trình tao được 3+ 4 3 5 3+3 • B1 ( ;3); C1 ( ;0) 3 3 3− 4 3 5 3 +3 • B2 ( ;3); C2 ( ;0) 3 3 14
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán ∆ : 2x – y – 1 = 0 Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tạo độ Oxy cho 1 Và cho 5 điểm A (0;-1), B (2;3); C ( ;0), E (1;6), F (-3;-4) 2 ∆ điểm D sao cho A, B, C, D là hàng điểm điều hoà. 1. Tìm trên uuuu uuuu r r ∆ 2. Tìm điểm M trên sao cho EM + FM có độ dài nhỏ nhất nhỏ nhất. Giải ∆ 1. Dễ thấy A, B, C nằm trên . Ta có uur −1 u CA = ( ; −1) 2 uuu 3 r CB = ( ;3) 2 uur −1 uuu u r ⇒ CA = CB 3 A, B, C, D là hàng điểm điều hoà khi đó uuu 1 uuu r r DA = DB 3  1 x A − x D = ( x B − xD )   3 ⇔ y − y = 1 (y − y ) A D B D  3  x = −1 ⇔ D  y D = −3 ⇔ C (−1; −3) ∆ 2. Goi M(x ; y)∈ là điểm cần tìm, nên y = 2x + 1 uuuu r EM = ( x − 1; y − 6) uuuu r FM = ( x + 3; y + 4) uuuu uuuu r r ⇒ EM + FM = (2 x + 2; 2 y − 2) = (2 x + 2; 4 x − 4) uuuu uuuu r r 85 ⇒ EM + FM = (2 x + 2) 2 + (4 x − 4) 2 ≥ 5 15
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán 3 1 Dấu “=” xảy ra khi x = ,y= 5 5 31 Vậy M ( ; ) 55 Ví dụ 5: Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau và tìm toạ độ giao điểm trong trường hợp cắt nhau: a) ∆1 : x + y − 2 = 0; ∆2 : 2x + y − 3 = 0 .  x = 1 − 4t b) ∆1 : 2 x + 4 y − 10 = 0 ∆2 :   y = 2 + 2t  x = −6 − 5t c) ∆1 : 8 x + 10 y − 12 = 0 ∆2 :   y = 6 − 4t Giải a) ∆1 : x + y − 2 = 0; ∆2 : 2x + y − 3 = 0 số giao điểm của ∆1 và ∆ 2 chính là số nghiệm của hệ phương trình:  x+ y−2=0  2 x + y − 3 = 0 Giải hệ này chúng ta có một cặp nghiệm (x , y) = (1 ; 1). Vậy hai đường thẳng này cắt nhau tại 1 điểm tọa độ giao điểm (x , y) = (1 ; 1).  x = 1 − 4t b) ∆1 : 2 x + 4 y − 10 = 0 ∆2 :   y = 2 + 2t Từ phương trình đường thẳng ∆ 2 ta có x = (1 – 4t) và y = (2 + 2t) thay vào ∆1 ta được 2(1 – 4t) + 4(2 + 2t) = 0 ⇔ 10 – 8t + 8t = 0  10 = 0 (vô lí)  hai đường thẳng này không có điểm chung. Vậy hai đường thẳng ∆1 và ∆ 2 song song với nhau.  x = −6 + 5t c) ∆1 : 8 x + 10 y − 12 = 0 ∆2 :   y = 6 − 4t r r Đường thẳng ∆ 2 có vtcp là u = (5;−4) nên ∆ 2 có vtpt là n = (4;5) . ∆ 2 đi qua điểm có tọa độ (-6 ; 6) nên ∆ 2 có pt tổng quát là : 4(x + 6) + 5(y – 6) = 0  4x + 5y – 6 = 0. Số giao điểm của ∆1 và ∆ 2 chính là số nghiệm của hệ phương trình: 16
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán 8 x + 10 y − 12 = 0  4 x + 5 y − 6 = 0 Hệ này có vố số nghiệm nên ∆1 và ∆ 2 trùng nhau. Ví dụ 6: Xác định góc giữa hai đường thẳng a) ∆1 : 4 x − 2 y + 6 = 0; ∆2 : x − 3y +1 = 0  x = 1 − 4t b) ∆1 : 2 x + 4 y − 10 = 0 ∆2 :   y = 2 + 2t c) d1: x – 2y + 5 = 0 d2: 3x – y = 0. Giải a) ∆1 : 4 x − 2 y + 6 = 0; ∆2 : x − 3y + 1 = 0 a1a2 + b1b2 ta có: cos ( ∆1 , ∆ 2 ) = a12 + b12 a2 + b22 2 với a1 = 4 ; b1 = -2 ; a2 = 1 ; b2 = -3 Vậy | 4.1 + (−2).(−3) | | 10 | 10 10 1 Cos ( ∆1 ; ∆ 2 ) = = = = = 20 . 10 20 . 10 20 2 4 + (−2) . 1 + (−3) 2 2 2 2 ⇒ ( ∆1 ; ∆ 2 ) = 450  x = 1 − 4t b) ∆1 : 2 x + 4 y − 10 = 0 ∆2 :   y = 2 + 2t r r Đường thẳng ∆ 2 có vtcp là u ∆2 = (−4 ; 2) vì vậy vtpt của ∆ 2 là n∆2 = (2 ; 4) r Đường thẳng ∆1 có vtpt là n∆1 = (2 ; 4) . Vậy | 2.2 + 4.4 | | 20 | 20 Cos ( ∆1 ; ∆ 2 ) = = = =1 20 . 20 20 2 2 + (4) 2 . 2 2 + (4) 2 ⇒ ( ∆1 ; ∆ 2 ) = 0 0 c) d1: x – 2y + 5 = 0 d2: 3x – y = 0. Ta có: a1a2 + b1b2 3+ 2   5 1 Cos d1 ; d 2  = = = = 1 + 4. 9 + 1 5 2   2 a12 + b12 . a2 + b2 2 2 Vậy góc giữa d1 và d2 = 45o 17
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán Ví dụ 7: Chứng minh rằng hai đường thẳng sau vuông góc với nhau:  x = 1 − 2t ∆1 : 2 x − 2 y − 10 = 0 ∆2 :  a)  y = 2 + 2t ∆1 : y = 3x + 5 ∆ 2 : 2 y + 6x − 4 = 0 b) Giải  x = 1 − 2t a) ∆1 : 2 x − 2 y − 10 = 0 ∆2 :   y = 2 + 2t r Đường thẳng ∆ 2 có vtcp là u ∆ 2 = (−2 ; 2) vì vậy vtpt của ∆ 2 là r n∆ 2 = (2 ; 2) r Đường thẳng ∆1 có vtpt là n∆1 = (2 ; − 2) . Vì vậy | 2.2 + (−2).2 | |0| Cos ( ∆1 ; ∆ 2 ) = = =0 8. 8 2 2 + (−2) 2 . 2 2 + ( 2) 2 ⇒ ( ∆1 ; ∆ 2 ) = 9 0 0 Vậy hai đường thẳng trên vuông góc với nhau. b) ∆1 : y = 3 x + 5 ∆ 2 : 2 y + 6x − 4 = 0 Đường thẳng ∆ 2 : 2y +6x – 4 = 0  y = -3x + 2.  ∆ 2 có hệ số góc k2 = -3 Đường thẳng ∆1 có hệ số góc k1 = 3.  k1.k2 = 3.(-3)= 0  ∆1 và ∆ 2 vuông góc với nhau. Ví dụ 8: Tính khoảng cách từ điểm đến dường thẳng được cho tương ứng như sau: a) A(3 ; 5) và ∆ : 4x + 3y + 1 = 0 b) B(1 ; 2) và ∆' : 3x – 4y + 1 = 0 Giải: 4.(3) + 3.(5) + 1 28 d ( A, ∆) = = a) Ta có: 16 + 9 5 3.(1) − 4.(2) + 1 4 d ( A, ∆ ' ) = = b) 9 + 16 5 18
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán Ví dụ 9: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng được cho tương ứng như sau:  x = 1 − 2t a) A(4 ; -2) và đường thẳng d:   y = 2 + 2t x = 1 − t b) B(-7 ; 3) và đường thẳng d’:   y = 3t Giải  x = 1 − 2t a) A(4 ; -2) và đường thẳng d:   y = 2 + 2t r Đường thẳng d đi qua điểm có tọa độ (1 ; 2) và có vtcp là u d = (−2 ; 2) vì r vậy vtpt của d là nd = (2 ; 2) Phương trình tổng quát của đường thẳng d là: 2(x – 1) +2(y – 2) = 0  2x +2y - 6 = 0 Ta có: 2.( 4) + 2.( −2) − 6 2 2 1 d ( A, d ) = = = = 4+4 8 22 2 x = 1 − t b) B(-7 ; 3) và đường thẳng d’:   y = 3t r Đường thẳng d đi qua điểm có tọa độ (1 ; 0) và có vtcp là u d = (−1; 3) vì r vậy vtpt của d là nd = (3;1) Phương trình tổng quát của đường thẳng d là: -1(x – 1) +3(y – 0) = 0  - x + 3y +1 = 0 Ta có: − 1.( −7) + 3.(3) + 1 17 d ( A, d ) = = . 1+ 9 10 19
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Lớp 10 Toán Phần 2: Bài tập vận dụng Bài 1. Cho tam giác ABC có A(1;2), B(-2;-1) và C(2;-2). a) Viết phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, BC và AC. b) Viết phương trình tham số của đường cao CE, trung tuyến BM và đường trung trực của cạnh BC. Bài 2. Cho điểm A(-1;1) và đường thẳng d: a) Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với d qua A. b) Tìm trên d điểm C và trên trục hoành điểm D sao cho A là trung điểm của CD. Bài 3. Cho điểm A(-1;3) và đường thẳng d: x – 2y + 2 = 0. Dựng hình chữ nhật ABCD sao cho B, C thuộc đường thẳng d, C có hoành độ âm và . Tìm tọa độ các điểm B, C, D. Bài 4. Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;3), đường phân giác CE: x + 2y = 0 và đường cao BD: Tìm tọa độ điểm B và C. Bài 5. Cho điểm M(1;3). Viết phương trình đường thẳng qua M cắt tia Ox tại A(a,0) và tia Oy tại B(0,b) (a, b > 0) sao cho OA + OB là nhỏ nhất. Bài 6: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho (D):xcosa + ysina + 2cosa + 1= 1. Chứng minh rằng khi a thay đổi (D) luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định 2. Cho I(-2;1). Dựng IH vuông góc với (D) ( H nằm trên D ) và kéo dài IH một đoạn HN = 2IH. Tính toạ độ của N theo a. 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.