Chuyên đề ôn thi lượng giác

Chia sẻ: Hien Vu Xuan | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:19

Thêm vào BST

Báo xấu

222
lượt xem 59
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu ôn thi chuyên đề lượng giác giúp các bạn ôn thi cao đẳng đại học tốt hơn

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề ôn thi lượng giác

LƯỢNG GIÁC Chuyên đề: Phần 1: CÔNG THỨC A. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1. Hệ thức LG cơ bản + sin 2 α + cos 2 α = 1 + tan α .cot α = 1 sin α �π cos α � (α kπ ) + tan α = α + kπ � + cot α = � cos α sin α �2 � 1 �π 1 � = cot 2 α + 1 ( α kπ ) + = tan 2 α + 1�α + kπ � + sin 2 α cos α 2 �2 � 2. Công thức LG thường gặp * Công thức cộng: + sin ( a b ) = sinacosb sinbcosa + cos ( a b ) = cos a cos b msinasinb tana tanb + tan ( a b ) = 1 mtanatanb * Công thức nhân: + Nhân đôi: + Nhân ba: + sin 2a = 2sin a.cos a + cos 2a = cos 2 a − sin 2 a + cos 3a = 4 cos 3 a − 3cos a = 2 cos 2 a − 1 + sin 3a = 3sin a − 4sin 3 a = 1 − 2sin 2 a 3 tan a − tan 3 a + tan 3a = 1 − 3 tan 2 a 2 tan a + tan 2a = 1 − 2 tan 2 a * Tích thành tổng: 1 + cosa.cosb = [cos(a − b) + cos(a + b)] 2 1 + sina.sinb = [cos(a − b) − cos(a + b)] 2 1 + sina.cosb = [sin(a − b) + sin(a + b)] 2 * Tổng thành tích: a+b a −b a +b a −b + sin a + sin b = 2sin + sin a − sin b = 2 cos cos sin 2 2 2 2 a+b a −b a+b a −b + cos a + cos b = 2 cos + cos a − cos b = −2sin cos sin 2 2 2 2 sin(a b) + tan a tan b = cos a.cos b * Công thức hạ bậc: 1 1 + cos2a = (1+cos2a) + sin2a= (1 - cos2a) 2 2 a 1- t 2 2t 2t * Biểu diễn các hàm số LG theo t = tan : sin a = ; cos a = ; tan a = . 1+ t 1+ t 1− t2 2 2 2 3. Phương trình lượng giác cơ bản u = v + k 2π * cosu=cosv ⇔ u=± v+k2π * sinu=sinv u = π − v + k 2π * cotu=cotv ⇔ u=v+kπ ( k Z) . * tanu=tanv ⇔ u=v+kπ 1 Chuyên đề: LG
4. Một số phương trình LG thường gặp 1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác: a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng các công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản. b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những ph ương trình có d ạng a.sin x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các phương 2 trình này ta đặt t bằng hàm số LG.. 2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là a 2 + b 2 c 2 . b c Cách 1: Chia hai vế phương trình cho a rồi đặt = tan α , ta được: sinx+tanαcosx= cos α a a c c sinx cos α + sin α cosx= cos α sin(x+ α )= cos α . a a Cách 2: Chia hai vế phương trình cho a + b , ta được: 2 2 a b c sin x + cos x = a +b a +b a + b2 2 2 2 2 2 a b = cos β ; = sin β . Khi đó phương trình tương đương: Đặt: a2 + b2 a2 + b2 c c �� at hay sin ( x + β ) = cos β sin x + sin β cos x = = sin ϕ . a2 + b2 a 2 + b2 x Cách 3: Đặt t = tan . 2 3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx: Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*). π Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với x = + kπ . 2 + Giả sử cosx≠0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=0. �π 1 � + kπ � = tan 2 x + 1 � x Chú ý: 2 �2 cos x � Cách 2: Áp dụng công thức hạ bậc. 4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx: Dạng: a(sinx± cosx)+ bsinxcosx=c. Cách giải: Đặt t= sinx± cosx. Điều kiện | t | 2. Löu yù c coâg thöù: sin x + cos x = 2 sin � + � 2 cos � − π � � π� = caù n c x x � 4� 4� � � � � π� � π� sin x − cos x = 2 sin � − � − 2 cos � + � = x x 4� 4� � � B. CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1. cos 4 x − sin 4 x = cos2x 31 2. cos x + sin x = + cos4x 4 4 44 53 3. cos x + sin x = + cos4x 6 6 88 15 1 4. cos x − sin x = cos2x + cos6x 6 6 16 16 1 5. cos x.s inx − sin x.cos x = sin 4x 3 3 4 3 6. sin x.cos 3x + cos x.s in3x = sin 4x 3 3 4 7. cos x.cos 3x + sin x.s in3x = cos 3 2x 3 3 2 Chuyên đề: LG
13 8. cos x.cos 3x − sin x.s in3x = + cos4x 3 3 44 1 9. s inx.cos x.cos2x.cos4x = .sin 8x 8 2 10. tan x + cot x = sin 2x 11. cot x − tan x = 2 cot 2x Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN d¹ng 1 Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt vµ bËc hai , bËc cao víi 1 hµm sè lîng gi¸c §Æt HSLG theo t víi sinx , cosx cã ®iÒu kiÖn t 1 Gi¶i ph¬ng tr×nh ……….theo t NhËn t tho¶ m·n ®iÒu kiÖn gi¶i Pt lîng gi¸c c¬ b¶n Gi¶i ph¬ng tr×nh: 1: π π 1. sin3x = sin( − 2x ) 2. 2 cos( x + )− 3 =0 3. cos 3x = sin 2 x 4 3 π 1 π 2 4. sin2x = 5. 2 sin(2 x − )+ 3 =0 6. cos(x − ) = − 2 6 4 2 π π x 1 8.tan(2x- ).tan(π - ) =1 0 7. tan(x+60) =- 3 9. cot( -5x) = 4 2 7 3 π π π π 0 0 10.tan(2x+ )=tan( -3x) 11.tan(2x- )+cot(x+ )=0 12. cos(3x+20)=sin(40-x) 3 6 3 4 1 3 1 2:a)sin2x= 2 2 2 d) sin4x+cosx = 4 b)cos 2x = c)sin 2x +cos3x =1 2 4 2 3: 2cos2x- 4cosx=1 2/ 4sin3x+3 2 sin2x=8sinx 1/ 3/ 4cosx.cos2x +1=0 sinx 0 3 4 6/ sin3x+2cos2x-2=0 7/ a/ tanx+ -2 = 0 b/ +tanx=7 cos 2 x cot x c* / sin6x+cos4x=cos2x 5π 7π 8/sin( 2 x + )-3cos( x − 9/ sin 2 x − 2sin x + 2 = 2sin x − 1 )=1+2sinx 2 2 sin 2 2 x + 4 cos 4 2 x − 1 =0 10/ cos2x+5sinx+2=0 11/ tanx+cotx=4 12/ 2 sin x cos x 13/ sin x + 1 + cos x = 0 14/ cos2x+3cosx+2=0 Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt ®èi víi sinx vµ cosx : asinx+bcosx=c d¹ng 2: C¸ch 1: asinx+bcosx=c b � � a � x + cos x � c = sin C¸ch : 2 a b a � � §Æt cosx= 2 ; sinx= a + b2 a 2 + b2 b = tan α � a [ sin x + cos x.tan α ] = c §Æt a � a 2 + b 2 sin( x + α ) = c c � sin( x + α ) = cos α a 1− t2 x 2t t = tan ta cã sin x = � (b + c)t 2 − 2at − b + c = 0 ;cos x = C¸ch 3: §Æt 1+ t 1+ t 2 2 2 §¨c biÖt : 3 Chuyên đề: LG
π π sin x + 3 cos x = 2sin( x + ) = 2 cos( x − ) 1. 3 6 π π sin x cos x = 2 sin( x ) = 2 cos( x m ) 2. 4 4 π π sin x − 3 cos x = 2sin( x − ) = −2 cos( x + ) 3. 3 6 a +b c §iÒu kiÖn Pt cã nghiÖm : 2 2 2 gi¶i ph¬ng tr×nh : 1/ 2sin15x+ 3 cos5x+sin5x=0 6 1 b: 4sin x + 3cos x + =6 3 sin x + cos x = 2/ a: 4sin x + 3cos x + 1 cos x 1 3 sin x + cos x = 3 + c: 3 sin x + cos x + 1 2π 6π 3/ *t×m nghiÖm x ( ;) cos 7 x − 3 sin 7 x + 2 = 0 57 1 + cos x + cos 2 x + cos 3 x 2 = (3 − 3 sin x) 4/( cos2x- 3 sin2x)- 3 sinx-cosx+4=0 5/ 2 cos 2 x + cos x − 1 3 cos x − 2sin x.cos x =3 6/ 2 cos 2 x + sin x − 1 D¹ng 3 Ph¬ng tr×nh ®¼ng cÊp ®èi víi sin x vµ cosx §¼ng cÊp bËc 2: asin2x+bsinx.cosx+c cos2x=0 C¸ch 1: Thö víi cosx=0 Víi cosx 0 .Chia 2 vÕ cho cos2x ta ®îc: atan 2x+btanx +c=d(tan2x+1) C¸ch2: ¸p dông c«ng thøc h¹ bËc §¼ng cÊp bËc 3: asin3x+b.cos3x+c(sinx+ cosx)=0 hoÆc asin3x+b.cos3x+csin2xcosx+dsinxcos2x=0 Gi¶i ph¬ng XÐt cos3x=0 vµ cosx 0 Chia 2 vÕ cho cos2x ta ®îc Pt bËc 3 ®èi tr×nh víi tanx 1/a/ 3sin2x- 3 sinxcosx+2cos2x cosx=2 b/ 4 sin2x+3 3 sinxcosx-2cos2x=4 c/3 sin2x+5 cos2x-2cos2x-4sin2x=0 d/ 2 sin2x+6sinxcosx+2(1+ 3 )cos2x-5- 3 =0 2/ sinx- 4sin3x+cosx=0 2 c¸ch +/ (tanx -1)(3tan2x+2tanx+1)=0 π + sin3x- sinx+ cosx- sinx=0 (cosx- sinx)(2sinxcosx+2sin2x+1)=0 x = + kπ 4 2 2 3/ tanx sin x-2sin x=3(cos2x+sinxcosx) 4/ 3cos4x-4sin2xcos2x+sin4x=0 5/ 4cos3x+2sin3x-3sinx=0 3 7/ cos3x- sin3x= cosx+ sinx 6/ 2 cos x= sin3x 9/sin3(x- π /4)= 2 sinx 8/ sinx sin2x+ sin3x=6 cos3x Dang 4 Ph¬ng tr×nh vÕ tr¸i ®èi xøng ®èi víi sinx vµ cosx t 2 a(sin x+cosx)+bsinxcosx=c ®Æt t = sin x+cosx * t −1 2 bt2+2at-2c-b=0 at + b =c 2 t 2 ®Æt t = sin x- cosx * a(sin x- cosx)+bsinxcosx=c 1− t2 bt2 -2at+2c-b=0 at + b =c 2 Gi¶i ph¬ng tr×nh 1 1 1 1/ a/1+tanx=2sinx + b/ sin x+cosx= - cos x tan x cot x 2/ sin3x+cos3x=2sinxcosx+sin x+cosx 3/ 1- sin3x+cos3x= sin2x 4/ 2sinx+cotx=2 sin2x+1 5/ 2 sin2x(sin x+cosx)=2 4 Chuyên đề: LG
6/ (1+sin x)(1+cosx)=2 7/ 2 (sin x+cosx)=tanx+cotx 3 8/1+sin3 2x+cos32 x= sin 4x 9/* a* 3(cotx-cosx)-5(tanx-sin x)=2 2 9/b*: cos4x+sin4x-2(1-sin2xcos2x) sinxcosx-(sinx+cosx)=0 1 1 10 10/ sin x − cos x + 4sin 2 x = 1 11/ cosx+ +sinx+ = cos x sin x 3 12/ sinxcosx+ sin x + cos x =1 dang 5 Gi¶i ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p h¹ bËc C«ng thøc h¹ bËc 2 C«ng thøc h¹ bËc 3 1 + cos 2 x 3 sin x − sin 3 x 3 cos x + cos 3 x 1 − cos 2 x cos2x= ; sin2x= cos3x= ; sin3x= 2 2 4 4 Gi¶i ph¬ng tr×nh 1/ sin2 x+sin23x=cos22x+cos24x 2/ cos2x+cos22x+cos23x+cos24x=3/2 π 5x 9x 4/ cos3x+ sin7x=2sin 2( + 3/sin2x+ sin23x-3 cos22x=0 )-2cos2 42 2 6/sin 4x-cos 6x=sin( 10,5π + 10 x ) víi 5/ sin24 x+ sin23x= cos22x+ cos2x víi x (0; π ) 2 2 π x (0; ) 2 7/ cos x-5sin4x=1 4 8/ 4sin 3x-1=3- 3 cos3x 9/ sin22x+ sin24x= sin26x 10/ sin2x= cos22x+ cos23x 11/ (sin22x+cos42x-1): sin x cos x =0 12/ 4sin3xcos3x+4cos3x sin3x+3 3 cos4x=3 π kπ π kπ � � x=� + ;+ � 24 2 8 2 � πx − )-7/2 ( 13/ 2cos22x+ cos2x=4 sin22xcos2x 14/ cos4xsinx- sin22x=4sin2( 42 x − 1
1/ cos2x- cos8x+ cos4x=1 2/sinx+2cosx+cos2x-2sinxcosx=0 4/sin 3 x+2cosx-2+sin2 x=0 3/sin2x-cos2x=3sinx+cosx-2 3 sin2x+ 2 cos2x+ 6 cosx=0 5/ 3sinx+2cosx=2+3tanx 6/ 2 sin 3 x sin 5 x = 7/ 2sin2x-cos2x=7sinx+2cosx-4 8/ 3 5 5 1 10/ cos8x+sin8x=2(cos10x+sin10x)+ cos2x 9/ 2cos2x-8cosx+7= cos x 4 11/ 1+ sinx+ cos3x= cosx+ sin2x+ cos2x 12/ 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0 1 1 13/ sin2 x(tanx+1)=3sinx(cosx-sinx)+3 14/ 2sin3x- =2cos3x+ sin x cos x 15/cos3x+cos2x+2sinx-2=0 16/cos2x-2cos3x+sinx=0 1 17/ tanx–sin2x-cos2x+2(2cosx- )=0 cos x 1 − cos 2 x 18/sin2x=1+ 2 cosx+cos2x 19/1+cot2x= sin 2 2 x 1 20/ 2tanx+cot2x=2sin2x+ 21/cosx(cos4x+2)+ cos2x-cos3x=0 sin 2 x 22/ 1+tanx=sinx+cosx 23/ (1-tanx)(1+sin2x)=1+tanx π 2 1 1 25/ 2tanx+cotx= 3 + 24/ 2 2 sin( x + + )= 4 sin x cos x sin 2 x 26/ cotx-tanx=cosx+sinx 27/ 9sinx+6cosx-3sin2x+cos2x=8 Dang 8 : Ph¬ng tr×nh LG ph¶i thùc hiÖn c«ng thóc nh©n ®«i, h¹ bËc cos2x= cos2x- sin2x =2cos2x-1=1-2sin2x 1− t2 2t 2t sinx = ; cosx= tanx= sin2x=2sinxcosx 1+ t 1− t2 2 1+ t 2 2 tan x tan2x= 1 − tan 2 x Gi¶i ph¬ng tr×nh 1 1/ sin3xcosx= + cos3xsinx 2/ cosxcos2xcos4xcos8x=1/16 4 4/sin2x(cotx+tan2x)=4cos2x 3/tanx+2cot2x=sin2x 5/ sin4x=tanx 6/ sin2x+2tanx=3 7/ sin2x+cos2x+tanx=2 8/tanx+2cot2x=sin2x 9/ cotx=tanx+2cot2x 3 b* (1+sinx)2= cosx 10/a* tan2x+sin2x= cotx 2 Dang 9 : Ph¬ng tr×nh LG ph¶i thùc hiÖn phÐp biÕn ®æi tæng_tÝch vµ tÝch_tæng Gi¶i ph¬ng tr×nh 1/ sin8x+ cos4x=1+2sin2xcos6x 2/cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0 sin 3x − sin x ( 0; 2π ) = sin 2 x + cos 2 x t×m x 3/ 4/ sinx+sin2x+sin3x+sin4x=0 1 − cos 2 x 3 ( cos 2 x + cot 2 x ) π π � �� = 4sin � + x � � − x � 5/ sin5x+ sinx+2sin2x=1 cos 6/ cot 2 x − cos 2 x 4 4 � �� 7/ tanx+ tan2x= tan3x 8/ 3cosx+cos2x- cos3x+1=2sinxsin2x 6 Chuyên đề: LG
Phần 3: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích. Bài 1. Giải phương tình: sin2x + sin23x = cos22x + cos24x (1). Giải 1 − cos 2 x 1 − cos 6 x 1 + cos 4 x 1 + cos8 x + = + Phương trình (1) tương đương với: 2 2 2 2 ⇔ cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0 ⇔ 2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0 ⇔ 2cos5x(cos3x+cosx) = 0 ⇔ 4cos5x.cos2x.cosx = 0 π kπ π x= + 5 x = + kπ 10 5 2 cos 5 x = 0 π π lπ � cos 2 x = 0 � 2 x = + kπ � x = + , ( k , l , n �ﾢ ) 2 42 cos x = 0 π π x = + kπ x = + nπ 2 2 Bài 2. Giải phương trình: cos x+sin x = 2 ( cos x+sin x) (2). 6 6 8 8 Giải Ta có (2) ⇔ cos6x(2cos2x−1) = sin6x(1−2sin2x) ⇔ cos2x(sin6x–cos6x) = 0 ⇔ cos2x(sin2x–cos2x)(1+sin2x.cos2x) = 0 ⇔ cos2x = 0 π π kπ ⇔ 2x = + kπ � x = + , (k � ) ﾢ 2 42 Bài 3: Giải phương trình: 8 2 cos6 x + 2 2 sin 3 x sin 3 x − 6 2 cos 4 x − 1 = 0 (3). Giải Ta có: (3) � 2 2 cos3 x(4 cos3 x − 3cos x) + 2 2 sin 3 x sin 3 x − 1 = 0 � 2 cos 2 x.2 cos x cos 3x + 2sin 2 x.2sin x sin 3 x = 2 � (1 + cos 2 x)(cos 2 x + cos 4 x) + (1 − cos 2 x)(cos 2 x − cos 4 x) = 2 2 � 2(cos 2 x + cos 2 x cos 4 x) = 2 � cos 2 x(1 + cos 4 x) = 2 2 2 π � cos 2 x.cos 2 2 x = � cos 2 x = � x = � + kπ , ( k ﾢ ) 4 2 8 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số: 17 Bài 4. Giải phương trình lượng giác: sin 8 x + cos8 x = (4). 32 Giải Ta có (4) 4 4 � − cos 2 x � � + cos 2 x � 17 1 1 1 17 4 2 �+ � 2 � = 32 � 8 (cos 2 x + 6 cos 2 x + 1) = 32 �� 2 �� 1 t= 17 13 2 2 2 Đặt cos22x = t, với t∈[0; 1], ta có t + 6t + 1 = � t + 6t − = 0 � 13 4 4 t=− 2 cos 4 x + 1 1 1 1 π π π � cos 2 2 x = � Vì t∈[0;1], nên t = = ⇔cos4x = 0 ⇔ 4 x = + kπ � x = + k , ( k � ) ﾢ 2 2 2 2 2 8 4 Bài 5. Giải phương trình lương giác: 2sin3x – cos2x + cosx = 0 (5) Giải 7 Chuyên đề: LG
Ta có (5) ⇔ 2(1− cos2x)sinx + 2 – 2 cos2x + cosx – 1 = 0 ⇔ (1− cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx) − 1] = 0 ⇔ (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0 cos x = 1 � x = kπ ,k( �ﾢ ) 2 2sin x + 2 cos x + 2sin x cos x + 1 = 0 (*) Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | t | 2 , khi đó phương trình (*) trở thành: t=0 π � sin x = -cos x � x = − + nπ , ( n �ﾢ ) 2t + t2 – 1 + 1 = 0 ⇔ t2 + 2t = 0 � t = −2 (loﾹ i) 4 π Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = − + nπ ; x = kπ , n k 2 (, ﾢ) 4 Phương pháp 3: Quy phương trình lượng giác về việc giải hệ phương trình lượng giác b ằng cách đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức. Bài 6. Giải phương trình: π |sin x | = cos x (6). Giải Điều kiện: x ≥ 0 Do | sin x | 0, nên π |sin x | π 0 = 1 , mà |cosx| ≤ 1. k =n=0 � � x = kπ , ( k ﾢ + ) � = kπ 2 �π = 2 k2 n | sin x |= 0 x Do đó (6) � � �� x=0 � = nπ � = nπ �cos x |= 1 � = nπ , ( n ﾢ ) x x | x (Vì k, n ∈ Z). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0. Phương pháp 4: Sử dụng tính chất hàm số. x2 Bài 7: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương trình: 1 − = cos x . 2 Giải x2 Đặt f ( x)= cos x + . Dễ thấy f(x) = f(−x), ∀x ﾢ , do đó f(x) là hàm số chẵn vì vậy trước hết ta chỉ xét 2 với x ≥ 0. Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = −cosx+1, ∀x≥0 ⇒ f’(x) là hàm đồng biến, do đó f’(x)≥f’(0), với x≥0 ⇒ f(x) đồng biến với x≥0 . Mặt khác ta thấy f(0)=0, do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình. � π� 0; Bài 8: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng � �thoả mãn � 2� 2− n phương trình: sin n x + cos n x = 2 2 . Giải Đặt f(x) = sinnx + cosnx, ta có : f’(x) = ncosx.sinn-1x – nsinx.cosn-1x. = nsinx.cosx(sinn-2x – cosn-2x) �π� π � � 2−n 0; Lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng � �ta có minf(x) = f � � 2 2 , = � 2� 4 �� π Vậy x = là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. 4 BÀI TẬP Giải các phương trình sau: π ĐS: x = k 2π ; x = + n 2π 1. cos3x+cos2x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) 2 2. tanx.sin2x−2sin2x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất) π π + kπ ; x = + n2π ĐS: x = − HD: Chia hai vế cho sin2x 4 3 π π π 7π + k ; x = − + nπ ; x = + mπ . 3. 2sin3x−(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại) ĐS: x = 4 4 12 12 8 Chuyên đề: LG
π ĐS: x = k 4. |sinx−cosx| + |sinx+cosx|=2 (ĐH Quốc Gia Hà Nội) . 2 π 1 + k 2π ; x = α + n 2π ; x = π − α + l 2π ; với sin α = − . ĐS: x = 5. 4(sin3x−cos2x)=5(sinx−1) (ĐHL HN) 2 4 π ĐS: x = + kπ . 6. sinx−4sin3x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) 4 π� π� π π � � 7. sin �x − � sin 2 x.sin � + � (Học Viện BCVT) = ĐS: x = + k 3 x ; 4� � 4� 4 2 � 3 3 3 8. sin x.cos3x+cos x.sin3x=sin 4x π ĐS: x = k . HD: sin2x.sinx.cos3x+cos2x. cosx.sin3x=sin34x 12 −π + kπ x= 4 �π 1 1 7 � −π + = 4 sin � − x � + kπ ĐS: x = � 3π � 9. sin x �4 � sin � − x 8 � � 2� 5π + kπ x= 8 10. sin 3 x − 3 cos3 x = sin x cos 2 x − 3 sin 2 x cos x π π ĐS: x = − + kπ , x = + kπ HD: Chia hai vế cho cos3x 3 4 11. 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx π 2π ĐS: x = + kπ � x = � + k 2π (k �ﾢ ) HD: Đưa về cung x đặt thừa số 4 3 12. sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1). Giải ⇔2sinxcosx+2cos2x–1=1+sinx–3cosx. (1) ⇔2cos2x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0. ⇔2cos2x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0. Đặt t=cosx, ĐK t 1 , ta được: 2t2+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0. ∆ =(2sinx+3)2+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)2. 1 t= 1 � cos x = …(biết giải) ⇒ 2 2 t = sin x - 2 ( loa� i) 13. 2sinx+cotx=2sin2x+1. HD: Tương tự câu a ta có phương trình 2(1–2cosx)sin2x–sinx+cosx=0. Đặt t=sinx, ĐK t 1 . 2(1–2cosx)t2–t+cosx=0 … ∆ =(4cosx–1)2. 14. 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0. HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0. (sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(cos2x–sin2x)=0. (sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp … 2 ( cos x − sin x ) 1 15. Giải phương trình lượng giác: = tan x + cot 2 x cot x − 1 Giải cos x.sin 2 x.sin x. ( tan x + cot 2 x ) 0 Điều kiện: cot x 1 2 ( cos x − sin x ) 1 cos x.sin 2 x = = 2 sin x � Từ (1) ta có: sin x cos 2 x cos x cos x + −1 cos x sin 2 x sin x 9 Chuyên đề: LG
π + k 2πx= 2 4 ( k �ﾢ ) � 2 sin x.cos x = 2 sin x � cos x = � π 2 x = − + k 2π 4 π + k 2π ( k ﾢ ) So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là x = − 4 sin 4 x + cos 4 x 1 = ( tan x + cot x ) 16. Giải phương trình: sin 2 x 2 Giải sin 4 x + cos 4 x 1 = ( tan x + cot x ) (1) sin 2 x 2 Điều kiện: sin 2 x 0 1 12 1 − sin 2 2 x 1 � x cos x � 1 − 2 sin 2 x sin 1 1 2 =� + (1) � = � 1 − sin 2 2 x = 1 � sin 2 x = 0 � � sin 2 x 2 � x sin x � cos sin 2 x sin 2 x 2 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. π� � 2 2 17. Giải phương trình: 2 sin � − � 2sin x − tan x . = x 4� � Giải π� π� � � � � Pt⇔ 2 sin � − � 2 sin x − tan x (cosx ≠ 0) � �− cos � x − �cos x = 2 sin x.cos x − sin x 2 2 2 = x 1 2 � 4� 2� � � � � ⇔ (1–sin2x)(cosx–sinx) = 0 ⇔ sin2x = 1 hoặc tanx = 1. ( ) 18. Giải phương trình: sin 2 x ( cos x + 3) − 2 3cos x − 3 3cos2 x + 8 3 cos x − s inx − 3 3 = 0 . 3 Giải sin 2 x(cos x + 3) − 2 3.cos 3 x − 3 3.cos 2 x + 8( 3.cos x − sin x) − 3 3 = 0 � 2sin x.cos 2 x + 6 sin x.cos x − 2 3.cos 3 x − 6 3 cos 2 x + 3 3 + 8( 3.cos x − sin x) − 3 3 = 0 ⇔ −2 cos 2 x( 3 cos x − sin x) − 6. cos x( 3 cos x − sin x) + 8( 3 cos x − sin x) = 0 � ( 3 cos x − sin x)( −2 cos 2 x − 6 cos x + 8) = 0 π x = + kπ tan x = 3 � , k �Z 3 cos x − sin x = 0 3 � cos x = 1 � x = k 2π cos 2 x + 3cos x − 4 = 0 cos x = 4 (loai) � π� 19. Giải phương trình: cosx=8sin3 � + � x � 6� Giải � π� ( ) 3 cosx=8sin3 � + � cosx = 3 sin x + cos x x � 6� ⇔ 3 3 sin 3 x + 9sin 2 x cos x + 3 3 sin x cos 2 x + cos 3 x − cos x = 0 (3) Ta thấy cosx = 0 không là nghiêm (3) ⇔ 3 3 tan 3 x + 8 tan 2 x + 3 3 tan x = 0 � tan x = 0 � x = k π 2 ( cos x − sin x ) 1 20. Giải phương trình lượng giác: = tan x + cot 2 x cot x − 1 Giải cos x.sin 2 x.sin x. ( tan x + cot 2 x ) 0 Điều kiện: cot x 1 10 Chuyên đề: LG
2 ( cos x − sin x ) 1 cos x.sin 2 x = = 2 sin x � Từ (1) ta có: sin x cos 2 x cos x cos x + −1 cos x sin 2 x sin x � 2sin x.cos x = 2 sin x π x = + k 2π 2 4 ( k �ﾢ ) � cos x = � π 2 x = − + k 2π 4 π So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là x = − + k 2π ( k ) Zﾢ 4 21. Giải phương trình: cos 2 x + 5 = 2(2 − cos x)(sin x − cos x) Giải Phương trình ⇔ (cosx–sinx)2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0 cos x − sin x = −1 cos x − sin x = 5 (loai vi cos x − sin x 2) π ) ) ( ( π = 1 � sin x − π = sin π � x = 2 + k 2π ( k �Z ) � 2 sin x − 4 4 4 x = π + k 2π 22. Giải phương trình: 2cos3x + 3 sinx + cosx = 0 Giải π π 3 sin x + cos x + 2 cos 3x = 0 ⇔ sin sinx + cos cosx = – cos3x. 3 3 � π� � π� cos � − � cos(π − 3 x) ⇔ cos � − � − cos 3x = = x x ⇔ � 3� � 3� π kπ x= + π kπ 3 2 x= + (k Z) ⇔ ⇔ (k∈Z) π 3 2 x = + kπ 3 2+3 2 23. Giải phương trình cos3xcos3x – sin3xsin3x = 8 Giải 2+3 2 2+3 2 ⇔ cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) = Ta có: cos3xcos3x – sin3xsin3x = 8 8 π π 2+3 2 2 ⇔ cos 2 3 x + sin 2 3 x + 3 ( cos 3 x cos x − sin 3 x sin x ) = ⇔ cos 4 x = � x = � + k , k �Z . 2 2 16 2 24. Định m để phương trình sau có nghiệm � π� � π� � π� 4sin 3 x sin x + 4 cos �x − � � + � cos 2 � x + � m = 0 − + 3 cos x 2 4� � 4� 4� � � Giải Ta có: * 4sin 3 x sin x = 2 ( cos 2 x − cos 4 x ) ; � π� � π� � � π� � * 4 cos �x − � � + � 2 � � x − � cos 4 x � 2 ( sin 2 x + cos 4 x ) = cos 2 + = 3 cos x 4� � 4� � � 2� � � π � 1� π� 1� 2� � � = ( 1 − sin 4 x ) * cos � x + � �+ cos � x + =1 2 4 � 4 � 2� 2� 2 � � � Do đó phương trình đã cho tương đương: 1 1 2 ( cos 2 x + sin 2 x ) + sin 4 x + m − = 0 (1) 2 2 11 Chuyên đề: LG
� π� Đặt t = cos 2 x + sin 2 x = 2 cos � x − � điều kiện: − 2 t 2 ( 2 ). 4� � Khi đó sin 4 x = 2sin 2 x cos 2 x = t 2 − 1 . Ptrình (1) trở thành: t 2 + 4t + 2m − 2 = 0 (2) với − 2 t 2 (2) � t + 4t = 2 − 2m 2 Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đường ( D) : y = 2 − 2m (là đường song song với Ox và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 – 2m và (P): y = t 2 + 4t với − 2 t 2. x −2 2 y’ + y 2+4 2 2−4 2 Trong đoạn � 2; 2 � hàm số y = t 2 + 4t đạt giá trị nhỏ nhất là 2 − 4 2 tại t = − 2 và đạt giá trị lớn − , � � nhất là 2 + 4 2 tại t = 2 . Do đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi 2 − 4 2 2 − 2m 2 + 4 2 � −2 2 � � 2 . m2 −−−−−−−−−− −−−−−−−−−− o0o PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2009 KHỐI A cos 3x + sin 3 x � � 1. Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2π) của phương trình: 5 � x + = cos 2 x + 3 (Khối A_2002). sin 1 + 2 sin 2 x � � � Giải π 5π ĐS: x = ;x = . 3 3 cos 2 x 1 2. Giải phương trình: cot x − 1 = + sin 2 x − sin 2 x (Khối A_2003) 1 + tan x 2 Giải 12 Chuyên đề: LG
π + k π ( k Z) ĐS: x = 4 3. Giải phương trình: cos 2 3 x cos 2 x − cos 2 x = 0 (Khối A_2005) Giải kπ (k Z) ĐS: x = 2 ( ) 2 cos 6 x + sin 6 x − sin x cos x 4. Giải phương trình: =0 (Khối A_2006) 2 − 2 sin x Giải 5π + k 2π ( k Z) ĐS: x = 4 5. Giải phương trình: ( 1 + sin x ) cos x + ( 1 + cos x ) sin x = 1 + sin 2 x 2 2 (Khối A_2007) Giải 13 Chuyên đề: LG
π π + k π , x = + k 2π , x = k 2π ( k Z) ĐS: x = − 4 2 �π 1 1 7 � + = 4 sin � − x � � 3π � 6. sin x �4 (Khối A_2008) � sin � − x � � 2� Giải −π −π 5π + k π , ( k Z) + kπ , x = + kπ , x = ĐS: x = 4 8 8 ( 1 − 2 sin x ) cos x = 3. 7. Giải phương trình: (Khối A_2009) ( 1 + 2 sin x ) ( 1 − sin x ) Giải π 2π , ( k Z) ĐS: x = − +k 18 3 KHỐI B 8. Giải phương trình sin 2 3x − cos 2 4 x = sin 2 5 x − cos 2 6 x (Khối B_2002) Giải π π ; x = k , ( k Z) ĐS: x = k 9 2 14 Chuyên đề: LG
2 9. Giải phương trình cot x − tan x + 4 sin 2 x = (Khối B_2003) sin 2 x Giải π + k π , ( k Z) ĐS: x = 3 10. Giải phương trình 5sin x − 2 = 3 ( 1 − sin x ) tan x 2 (Khối B_2004) Giải π 5π + k 2π , ( k Z) + k 2π ; x = ĐS: x = 6 6 11. Giải phương trình 1 + sin x + cos x + sin 2 x + cos 2 x = 0 (Khối B_2005) Giải 2π + k 2π ( k Z) ĐS: x = 3 x� � 12. Giải phương trình: cot x + sin x �+ tan x tan � 4 = 1 (Khối B_2006) 2 � � Giải 15 Chuyên đề: LG
π 5π + k π , ( k Z) + kπ ; x = ĐS: x = 12 12 13. Giải phương trình: 2 sin 2 2 x + sin 7 x − 1 = sin x (Khối B_2007) Giải π 2π 5π 2π , ( k Z) ĐS: x = +k ;x = +k 18 3 18 3 14. Giải phương trình sin 3 x − 3 cos3 x = sin x cos 2 x − 3 sin 2 x cos x (Khối B_2008) Giải π π π + k ; x = − + k π , ( k Z) ĐS: x = 4 2 3 15. Giải phương trình: sin x + cos x sin 2 x + 3 cos 3 x = 2 ( cos 4 x + sin x ) . 3 (Khối B_2009) Giải π 2k π π , x = − − 2 k π , ( k Z) ĐS: x = + 42 7 6 KHỐI D 16. Tìm x∈[0;14] cos3x−4cos2x+3cosx−4=0 (Khối D_2002) Giải 16 Chuyên đề: LG
π 3π 5π 7π ĐS: x = ;x = ;x = ;x = 2 2 2 2 x π� 2 2x 2� 17. sin � − � x − cos = 0 tan (Khối D_2003) � 4� 2 2 Giải π + k π , ( k Z) ĐS: x = π + k 2π , x = − 4 18. Giải phương trình ( 2 cos x − 1) ( 2 sin x + cos x ) = sin 2 x − sin x (Khối D_2004) Giải π π + k 2π , x = − + k π , ( k Z) ĐS: x = 3 4 π� � π� 3 � 19. Giải phương trình: cos x + sin x + cos � − � �x − � = 0 − 4 4 x sin 3 (Khối D_2005) 4� � 4� 2 � Giải 17 Chuyên đề: LG
π + k π , ( k Z) ĐS: x = 4 20. Giải phương trình: cos3x+cos2x−cosx−1=0 (Khối D_2006) Giải 2π + k 2π , ( k Z) ĐS: x = 3 2 �x x� + cos � + 3 cos x = 2 21. Giải phương trình � (Khối D_2007) sin �2 2� Giải π π + k 2π , x = − + k 2π , ( k Z) ĐS: x = 2 6 22. Giải phương trình sin 3 x − 3 cos 3x = 2 sin 2 x (CĐ_A_B_D_2008) Giải π 4π 2π , ( k Z) + k 2π , x = ĐS: x = +k 3 15 5 23. Giải phương trình 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx (Khối D_2008) Giải 18 Chuyên đề: LG
2π π + k 2π , x = + kπ , ( k Z) ĐS: x = 3 4 24. Giải phương trình (1+2sinx)2cosx=1+sinx+cosx (CĐ_A_B_D_2009) Giải π 5π + k π , ( k Z) + kπ , x = ĐS: x = 12 12 25. Giải phương trình 3 cos 5 x − 2 sin 3 x cos 2 x − sin x = 0 (Khối D_2009) Giải π π π π + k , x = − + k , ( k Z) ĐS: x = 18 3 6 2 −Hết− 19 Chuyên đề: LG