Chuyên đề Tỉ số lượng giác của góc nhọn, hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:30

Thêm vào BST

Báo xấu

30
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Với Chuyên đề Tỉ số lượng giác của góc nhọn, hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông dưới đây sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập củng cố lại kiến thức và kỹ năng giải bài tập để chuẩn bị cho kỳ kiểm tra sắp tới đạt được kết quả mong muốn. Mời các bạn tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề Tỉ số lượng giác của góc nhọn, hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

CHUYÊN ĐỀ TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN, HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ Một số tính chất của các tỉ số lượng giác  Cho hai góc  ,  phụ nhau. Khi đó: sin   cos  ; cos   sin  ; tan   cot  ; cot   tan  .  Cho góc nhọn  . Ta có: 0  sin   1; 0  cos   1; sin 2   cos2   1; tan  .cot   1; sin  cos  tan   ; cot   . cos  sin  B.CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO Dạng 1: Các bài toán tính toán Phương pháp giải Bước 1: Đặt độ dài cạnh, góc bằng ẩn. Bước 2: Thông qua giả thiết và các hệ thức lượng lập phương trình chứa ẩn. Bước 3: Giải phương trình, tìm ẩn số. Từ đó tính độ dài đoạn thẳng hoặc góc cần tìm. Bài tập minh họa Câu 1: Tam giác ABC có  A  60; AB  28cm; AC  35cm . Tính độ dài BC. Lời giải 1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Kẻ BH  AC ( H  AC ) Xét tam giác vuông AHB vuông tại H có: 1 A  28.cos 60  28.  14  cm  AH  AB.cos  2 3 BH  AB.sin  A  28.sin 60  28.  14 3  cm  2  HC  AC  AH  35  14  21 cm   BC 2  BH 2  HC 2  588  441  1029  BC  7 21 Vậy BC  7 21  cm  Chú ý Bằng cách tính tương tự như trên có: tam giác ABC có  A  60; AB  a; AC  b thì BC 2  a 2  b 2  ab ; 3 S ABC  ab . 4   45; PTQ Câu 2: Cho hình vẽ sau biết QPT   120; QT  8cm; TR  5cm . a) Tính PT. b) Tính diện tích tam giác PQR. Lời giải Kẻ QM  PR (M thuộc tia đối tia TP). 2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
  QTM Có PTQ   180  QTM   180  PTQ   180  120  60   8.sin 60  8. 3  4 3  cm  Xét tam giác vuông QTM có: QM  QT .sin QTM 2   8.cos 60  8. 1  4  cm  TM  QT .cos QTM 2  TM  TR  M nằm giữa T và R. QM 4 3 4 3 Xét tam giác vuông QPM có: PM     4 3  cm   tan QPM tan 45 1  PT  PM  TM  4 3  4  4   3  1  cm   PR  PT  TR  4   3  1  5  4 3  1 cm  1 2 1    S PQR  QM .PR  4 3. 4 3  1  6  2 3  cm 2  2 Vậy PR  4 3  1 cm  ; S PQR  6  2 3  cm 2  .   60; C Câu 3: Cho ABC có B   80 . Tính số đo góc tạo bởi đường cao AH và trung tuyến AM. Lời giải Gọi góc tạo bởi đường cao AH và trung tuyến AM là  . MH Xét tam giác AMH vuông tại H có tan    MH  tan  . AH AH BH  HC Lại có: BH  HC   BM  MH    MC  MH   2 MH  MH  2 AH Mà BH  (hệ thức lượng trong tam giác vuông AHB)  tan B AH CH  (hệ thức lượng trong tam giác vuông AHC).  tan C 3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
 1 1   1 1  AH .    AH .      tan B tan C   tan      1  1  tan B tan C 1   MH        1120 2 2 AH 2  tan B    tan C Vậy số đo góc tạo bởi đường cao AH và trung tuyến AM xấp xỉ bằng 1120 . Câu 4: Tính chu vi và diện tích hình thang cân ABCD biết hai cạnh đáy AB  12cm, CD  18cm,  ADC  75 . Lời giải 1 Diện tích hình thang được tính bởi công thức S  h  AB  CD  2 (Trong đó h là chiều cao của hình thang). Đối với bài tập này, chúng ta đã biết độ dài hai cạnh đáy. Do vậy, ta cần tìm chiều cao. Kẻ AH  CD, BK  CD . CD  AB Do ABCD là hình thang cân nên HK  AB  12cm, DH  KC   3cm . 2  AH AH Trong tam giác AHD vuông tại H ta có: tan D  tan 75   AH  11,196cm DH 3 1 1 Từ đó, S ABCD  AH .  AB  CD   .11,196. 12  18   167,94cm 2 . 2 2 Để tính chu vi hình thang, ta cần tính AD. Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông ADH ta có: AD 2  AH 2  HD 2  134,35cm . Suy ra AD  11, 59cm . Ngoài ra, ta cũng có thể sử dụng công thức tỉ số lượng giác của góc trong tam giác vuông ADH để tính AD. Do đó, chu vi hình thang cân ABCD là AB  BC  CD  DA  12  11, 59  18  11,59  53,18cm . Dạng 2: Chứng minh đẳng thức, mệnh đề Phương pháp giải Đưa mệnh đề về dạng đẳng thức, sử dụng hệ thức lượng và một số kiến thức đã học biến đổi các vế trong biểu thức, từ đó chứng minh các vế bằng nhau. 4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Bài tập minh họa Câu 1: Cho ABC có  A  60 . Kẻ BH  AC ; CK  AB . a) Chứng minh KH  BC.cos  A. b) Trung điểm của BC là M. Chứng minh MKH là tam giác đều. Lời giải  a) Xét AHB và AKC vuông tại H, K có: chung góc BAC AB AH Suy ra AHB ∼ AKC  g .g    AC AK  và Xét AHK và ABC chung góc BAC AB AH  AC AK AH KH Suy ra AHK ∼ ABC   AB BC AH  HK  BC.  BC.cos  A. AB   BC. 1  1 BC (1). b) Theo câu a) có HK  BC .cosBAC 2 2 Mặt khác xét tam giác HBC vuông tại H có: HM là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC 1  HM  BC (2). 2 1 Tương tự có KM  BC (3). 2 Từ (1), (2) và (3) có HM  HK  KM suy ra HKM là tam giác đều. Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại B. Lấy điểm M trên cạnh AC. Kẻ AH  BM , CK  BM  a) Chứng minh: CK  BH .tan BAC  MC BH .tan 2 BAC b) Chứng minh:  MA BK Lời giải 5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
  BCK a) Xét AHB và BKC vuông tại H và K có: HBA  (cùng phụ với CBH  ). CK BC BC  AHB ∼ BKC  g .g     CK  BH .   BH .tan BAC BH AB AB  b) Theo câu a) ta có: CK  BH .tan BAC MC CK  MC BH .tan BAC Mà  (vì CK / / AH )   (1) MA AH MA AH BK BC 1 BC  tan BAC Mặt khác AHB ∼ BKC      (2) AH AB AH AB.BK BK  MC BH .tan 2 BAC Từ (1) và (2) suy ra  MA BK   120 , tia Ax tạo với tia AB góc BAx Câu 3: Cho hình thoi ABCD có BAD   15 , cắt BC, CD lần 1 1 4 lượt tại M, N. Chứng minh: 2  2  AM AN 3 AB 2 Lời giải Từ A dựng đường thẳng vuông góc với AN cắt CD tại P, hạ AH  CD  H  CD  .   BAM Có BAD   MAP   PAD   120  15  90  PAD   PAD   120  15  90  15 Xét ABM và ADP có:   PAD MAB  (theo trên) BA  AD (tính chất hình thoi)   PDA MBA  (tính chất hình thoi)  ABM  ADP  g.c.g   AM  AP Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông NAP vuông tại A đường cao AH, ta có: 1 1 1 1 1 1 2  2  2  2  2  AP AN AH AM AN AH 2 3 3 Mà AH  sin  ADH . AD  sin 60. AD  . AD  AB 2 2 6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
1 1 1 1 1 4 Từ (1) và (2) ta có: 2  2  2  2  2  AM AN  3  AM AN 3 AB 2  AB   2  1 1 4 Vậy 2  2  . AM AN 3 AB 2 7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
C.TRẮC NGHỆM RÈN LUYỆN PHẢN XẠ  Câu 1: Cho tam giác MNP vuông tại M . Khi đó cos MNP bằng M N P MN MP MN MP A. . B. . C. . D. . NP NP MP MN Câu 2: M N P  bằng: Cho tam giác MNP vuông tại M . Khi đó tan MNP MN MP MN MP A. . B. . C. . D. . NP NP MP MN Câu 3: Cho a là góc ngọn bất kỳ. Chọn khẳng định đúng. A. sin a + cos a = 1 . B. sin2 a + cos2 a = 1 .C. sin 3 a + cos3 a = 1 .D. sin a - cos a = 1 . Câu 4: Cho a là góc nhọn bất kỳ. Chọn khẳng định sai. sin a cos a A. tan a = . B. cot a = . C. tan a. cot a = 1 . D. tan2 a - 1 = cos2 a . cos a sin a Câu 5: Cho a và b là hai góc nhọn bất kỳ thoả mãn a + b = 90 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. tan a = sin b . B. tan a = cot b . C. tan a = cos b . D. tan a = tan b . Câu 6: Khẳng định nào sau đây là đúng? Cho hai góc phụ nhau thì A. sin góc nọ bằng cosin góc kia. B. sin hai góc bằng nhau. C. tan góc nọ bằng cotan góc kia. D. Cả A, C đều đúng. Câu 7: Cho tam giác ABC vuông tại C có AC = 1cm, BC = 2cm . Tính các tỉ số lượng giác sin B; cos B . 1 2 3 5 2 5 A. sin B = ; cos B = . B. sin B = ; cos B = . 3 3 5 5 1 2 2 5 5 C. sin B = ; cos B = . D. sin B = ; cos B = . 2 5 5 5 8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Câu 8: Cho tam giác ABC vuông tại C có BC = 1, 2cm, AC = 0, 9cm . Tính các tỉ số lượng giác sin B; cos B . A. sin B = 0, 6; cos B = 0, 8 . B. sin B = 0, 8; cos B = 0, 6 . C. sin B = 0, 4; cos B = 0, 8 . D. sin B = 0, 6; cos B = 0, 4 . Câu 9: Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 8 cm, AC = 6 cm . Tính tỉ số lượng giác tanC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2). A. tan C » 0, 87 . B. tan C » 0, 86 . C. tan C » 0, 88 . D. tan C » 0, 89 . Câu 10: Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 9cm, AC = 5cm . Tính tỉ số lượng giác tanC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 1) A. tan C » 0, 67 . B. tan C » 0, 5 . C. tan C » 1, 4 . D. tan C » 1, 5 . Câu 11: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH có AB = 13cm, BH = 0, 5dm . Tính tỉ số lượng giác sin C (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2) A. sin C » 0, 35 . B. sin C » 0, 37 . C. sin C » 0, 39 . D. sin C » 0, 38 . Câu 12: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH có AC = 15cm,CH = 6cm . Tính tỉ số lượng giác cos B . 5 21 2 3 A. sin C = . B. sin C = . C. sin C = . D. sin C = . 21 5 5 5 Câu 13: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH có CH = 4cm, BH = 3cm . Tính tỉ số lượng giác cosC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2). A. cos C » 0, 76 . B. cos C » 0, 77 . C. cos C » 0, 75 . D. cos C » 0, 78 . Câu 14: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH có CH = 11cm, BH = 12cm . Tính tỉ số lượng giác cosC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2). A. cos C » 0, 79 . B. cos C » 0, 69 . C. cos C » 0, 96 . D. cos C » 0, 66 . Câu 15: Cho tam giác ABC vuông tại A . Hãy tính tanC biết rằng tan B = 4 . 1 1 A. tan C = . B. tan C = 4 . C. tan C = 2 . D. tan C = . 4 2 Câu 16: Cho tam giác ABC vuông tại A . Hãy tính tanC biết rằng cot B = 2 . 1 1 A. tan C = . B. tan C = 4 . C. tan C = 2 . D. tan C = . 4 2 7 Câu 17: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5cm, cotC = . Tính độ dài các đoạn thẳng AC và 8 BC (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2) A. AC » 4, 39 (cm ); BC » 6, 66(cm ) . B. AC » 4, 38(cm ); BC » 6, 65(cm ) . 9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
C. AC » 4, 38 (cm ); BC » 6, 64 (cm ) . D. AC » 4, 37 (cm ); BC » 6, 67 (cm ) . 5 Câu 18: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 9 cm, tan C = . Tính độ dài các đoạn thẳng AC và 4 BC . (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2). A. AC = 11, 53; BC = 7, 2 . B. AC = 7; BC » 11, 53 . C. AC = 5, 2; BC » 11 . D. AC = 7, 2; BC » 11, 53 . 2 Câu 19: Cho a là góc nhọn. Tính sin a, cot a biết cos a = . 5 21 3 21 21 5 A. sin a = ; cot a = . B. sin a = ; cot a = . 25 21 5 21 21 3 21 2 C. sin a = ; cot a = . D. sin a = ; cot a = . 3 21 5 21 3 Câu 20: Tính sin a, tan a biết cos a = . 4 4 3 7 3 A. sin a = ; tan a = . B. sin a = ; tan a = . 7 4 4 7 7 7 7 7 C. sin a = ; tan a = . D. sin a = ; tan a = . 4 3 3 4 Câu 21: Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh cot 50 và cot 46 . A. cot 46 = cot 50 . B. cot 46 > cot 50 . C. cot 46 < cot 50 . D. cot 46 ³ cot 50 . Câu 22: Không dùng bảng số và máy tính, hãy so sánh sin 20 và sin 70 . A. sin 20 < sin 70 . B. sin 20 > sin 70 . C. sin 20 = sin 70 . D. sin 20 ³ sin 70 . Câu 23: Sắp xếp các tỉ số lượng giác sin 40, cos 67, sin 35, cos 4435¢, sin 2810¢ theo thứ tự tăng dần. A. cos 67 < sin 35 < sin 2810¢ < sin 40 < cos 4525¢ . B. cos 67 < cos 4525¢ < sin 40 < sin 2810¢ < sin 35 . C. cos 67 > sin 2810¢ > sin 35 > sin 40 > cos 4525¢ . D. cos 67 < sin 2810¢ < sin 35 < sin 40 < cos 4525¢ . Câu 24: Sắp xếp các tỉ số lượng giác tan 43, cot 71, tan 38, cot 6915¢, tan 28 theo thứ tự tăng dần. A. cot 71 < cot 6015¢ < tan 28 < tan 38 < tan 43 . B. cot 6015¢ < cot 71 < tan 28 < tan 38 < tan 43 . C. tan 28 < tan 38 < tan 43 < cot 6015¢ < cot 71 . D. cot 6015¢ < tan 28 < tan 38 < tan 43 < cot 71 . Câu 25: Tính giá trị biểu thức A = sin2 1 + sin 2 2 + ... + sin 2 88 + sin 2 89 + sin2 90 10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
93 91 A. A = 46 . B. A = . C. A = . D. A = 45 . 2 2 Câu 26: Tính giá trị biểu thức sin2 10 + sin 2 20 + ... + sin 2 70 + sin 2 80 A. 0 . B. 8 . C. 5 . D. 4 . Câu 27: Cho a là góc nhọn bất kỳ. Khi đó sin 6 a + cos6 a + 3 sin2 a cos2 a bằng A. C = 1 - 3 sin2 a. cos2 a . B. 1 . C. C = sin2 a. cos2 a . D. C = 3 sin2 a. cos2 a - 1 . Câu 28: Cho a là góc nhọn bất kỳ. Khi đó C = sin 4 a + cos 4 a bằng: A. C = 1 - 2 sin2 a. cos2 a . B. C = 1 . C. C = sin2 a. cos2 a . D. C = 1 + 2 sin 2 a. cos2 a . Câu 29: Cho a là góc nhọn bất kỳ. Rút gọn P = (1 - sin2 a). cot2 a + 1 - cot2 a ta được: A. P = sin2 a . B. P = cos2 a . C. P = tan2 a . D. P = 2 sin2 a . Câu 30: Cho a là góc nhọn bất kỳ. Cho P = (1 - sin2 a). tan2 a + (1 - cos2 a). cot2 a , chọn kết luận đúng. A. P > 1 . B. P < 1 . C. P = 1 . D. P = 2 sin2 a . cos2 a - sin2 a Câu 31: Cho a là góc nhọn bất kỳ. Biểu thức Q = bằng: cos a. sin a A. Q = cot a - tan a . B. Q = cot a + tan a . C. Q = tan a - cot a . D. Q = 2 tan a . 1 + sin2 a Câu 32: Chọn a là góc nhọn bất kỳ. Biểu thức Q = . 1 - sin2 a A. Q = 1 + tan2 a . B. Q = 1 + 2 tan2 a . C. Q = 1 - 2 tan2 a . D. Q = 2 tan2 a . 2 sin a + cos a Câu 33: Cho tan a = 2 . Tính giá trị của biểu thức G = . cos a - 3 sin a 4 6 A. G = 1 . B. G = - . C. G = - . D. G = - 1 . 5 5 Câu 34: Cho tam giác nhọn ABC hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H . Biết HD : HA = 3 : 2 . Khi  . tan ACB đó tan ABC  bằng: 3 5 A. 3 . B. 5 . C. . D. . 5 3 Câu 35: Cho tam giác nhọn ABC hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H . Biết HD : HA = 1 : 2 . Khi  . tan ACB  đó tan ABC bằng: A. 2 . B. 3 . C. 1 . D. 4 . 3 Câu 36: Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc a , biết sin a = . 5 3 3 4 4 3 4 A. cos a = , tan a = , cot a = . B. cos a = , tan a = , cot a = . 4 4 5 5 4 3 11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
4 3 4 3 4 4 C. cos a = , tan a = , cot a = . D. cos a = , tan a = , cot a = . 5 4 5 4 5 3 5 Câu 37: Cho a là góc nhọn bất kỳ. Tính cot a biết sin a = . 13 12 11 5 13 A. cot a = . B. cot a = . C. cot a = . D. cot a = . 5 5 12 5 Câu 38: Tính giá trị biểu thức B = tan 10. tan 20. tan 30..... tan 80 . A. B = 44 . B. B = 1 . C. B = 45 . D. B = 2 . Câu 39: Tính giá trị biểu thức B = tan 1. tan 2. tan 3..... tan 88. tan 89 A. B = 44 . B. B = 1 . C. B = 45 . D. B = 2 . cos2 a - 3 sin2 a Câu 40: Cho kết luận đúng về giá trị biểu thức B = biết tan a = 3 . 3 - sin2 a A. B > 0 . B. B < 0 . C. 0 < B < 1 . D. B = 1 . HƯỚNG DẪN 1. Lời giải: = MN Ta có cos MNP NP Đáp án cần chọn là A. 2. Lời giải: = MP Ta có tan MNP . MN Đáp án cần chọn là D. 3. Lời giải: Chọn a là góc bất kỳ, khi đó sin2 a + cos2 a = 1 Đáp án cần chọn là B. 4. Lời giải: Chọn a là góc nhọn bất kỳ, khi đó: sin2 a + cos2 a = 1 ; tan a. cot a = 1 sin a cos a tan a = ; cot a = ; cos a sin a 1 1 + tan2 a = ; cos2 a 1 1 + cot2 a = . sin2 a Đáp án cần chọn là D. 12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
5. Lời giải: Với hai góc a, b mà a + b = 90 Ta có: sin a = cos b; cos a = sin b; tan a = cot b; cot a = tan b . Đáp án cần chọn là B. 6. Lời giải: Với hai góc phụ nhau thì sin góc nọ bằng sin góc kia và tan góc nọ bằng cotan góc kia. Đáp án cần chọn là D. 7. Lời giải: C 1 2 A B Theo định lý Pytago ta có: AB 2 = AC 2 + BC 2  AB = 12 + 22 = 5 . AC 1 5 BC 2 2 5 Xét tam giác ABC vuông tại C có sin B = = = ; cos B = = = . AB 5 5 AB 5 5 Đáp án cần chọn là B. 8. Lời giải: C 0,9 1,2 A B Theo định lý Pytago ta có: AB 2 = AC 2 + BC 2  AB = 0, 92 + 1, 22 = 1, 5 AC 0, 9 3 BC 1, 2 4 Xét tam giác ABC vuông tại C có sin B = = = = 0, 6 và cos B = = = = 0, 8 . AB 1, 5 5 AB 1, 5 5 Đáp án cần chọn là A. 9. Lời giải: A 6 C 8 B 13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Theo định lý Pytago ta có: BC 2 = AC 2 + AB 2  AB = 82 - 62 » 5, 29 . AB 5, 29 Xét tam giác ABC vuông tại C có tan C = » » 0, 88 . AC 6 Đáp án cần chọn là C. 10. Lời giải: Theo định lý Pytago ta có: BC 2 = AC 2 + AB 2  AB = 92 - 52 = 2 14 . AB 2 14 Xét tam giác ABC vuông tại C có tan C = = » 1, 5 . AC 5 Đáp án cần chọn là D. 11. Lời giải: A C H B Đổi 0, 5dm = 5cm Xét tam giác ABC vuông tại A , theo hệ thức lượng AB 2 132 trong tam giác vuông ta có: AB 2 = BH .BC  BC = = = 33, 8cm BH 5 AB 13  sin C = = » 0, 38 BC 33, 8 Đáp án cần chọn là D. 12. Lời giải: Xét tam giác AHC vuông tại H , theo định lý Pytago ta có: AH 3 21 21 AH 2 = AC 2 - CH 2 = 152 - 62 = 189  AH = 3 21  sin C = = = AC 15 5 , C 21 Mà tam giác ABC vuông tại A nên B là hai góc phụ nhau. Do đó cos B = sin C = . 5 Đáp án cần chọn là B. 13. Lời giải: 14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
A C H B Xét tam giác ABC vuông tại A có BC = BH + CH = 7cm Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có AC 5, 29 AC 2 = CH .BC  AC 2 = 4.7  AC » 5, 29cm  cos C = = » 0, 76 . BC 7 Đáp án cần chọn là A. 14. Lời giải: Xét tam giác ABC vuông tại A có BC = BH + CH = 11 + 12 = 23cm . Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: AC 253 AC 2 = CH .BC  AC 2 = 11.23 = 253  AC = 253cm  cos C = = » 0, 69 . BC 23 Đáp án cần chọn là B. 15. Lời giải:  +C  = 90  cotC = tan B = 4 Vì tam giác ABC vuông tại A nên B 1 Mà cotC . tan C = 1  tan C = . 4 Đáp án cần chọn là A. 16. Lời giải:  +C  = 90  tan C = cot B = 2 Vì tam giác ABC vuông tại A nên B . Đáp án cần chọn là C. 17. Lời giải: A C B AC 7 35 Vì tam giác ABC vuông tại A nên cotC =  AC = AB. cotC = 5. = » 4, 38 cm . AB 8 8 Theo định lý Pytago ta có BC 2 = AB 2 + AC 2 = 52 + 4, 382  BC » 6, 65 . 15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Vậy AC » 4, 38(cm ); BC » 6, 65 (cm ) . Đáp án cần chọn là B. 18. Lời giải: AB 5 Vì tam giác ABC vuông tại A nên tan C =  AC = AB : tan C = 9 : = 7, 2 cm AC 4 9 41 Theo định lý Pytago ta có BC 2 = AB 2 + AC 2 = 92 + 7, 22 = 132, 84  BC = » 11, 53 . 5 Vậy AC = 7, 2; BC » 11, 53 . Đáp án cần chọn là D. 19. Lời giải: 4 21 21 Ta có sin2 a + cos2 a = 1  sin2 a = 1 - cos2 a = 1 - =  sin a = . 25 25 5 2 cos a 5 = 2 . Lại có cot a = = sin a 21 21 5 21 2 Vậy sin a = ; cot a = . 5 21 Đáp án cần chọn là D. 20. Lời giải: 9 7 7 Ta có sin2 a + cos2 a = 1  sin2 a = 1 - cos2 a = 1 - =  sin a = . 16 16 4 7 sin a 7 Lại có tan a = = 4 = . cos a 3 3 4 7 7 Vậy sin a = ; tan a = . 4 3 Đáp án cần chọn là C. 21. Lời giải: Vì 46 < 50  cot 46 > cot 50 . Đáp án cần chọn là B. 22. Lời giải: Vì 20 < 70  sin 20 < sin 70 . Đáp án cần chọn là A. 23. Lời giải: 16. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Ta có cos 67 = sin 23 vì 67 + 23 = 90 ; cos 4435 ¢ = sin 4525 ¢ vì 4435¢ + 4525¢ = 90 Mà 23 < 2810¢ < 35 < 40 < 4525¢ nên sin 23 < sin 2810¢ < sin 35 < sin 40 < sin 4525¢  cos 67 < sin 2810¢ < sin 35 < sin 40 < cos 4525¢ . Đáp án cần chọn là D. 24. Lời giải: Ta có cot 71 = tan 19 vì 71 + 19 = 90; cot 6915¢ = tan 2045¢ vì 6915¢ + 2045¢ = 90 Mà 19 < 2045¢ < 28 < 38 < 43 nên tan 19 < tan 2045¢ < tan 28 < tan 38 < tan 43  cot 71 < cot 6015¢ < tan 28 < tan 38 < tan 43 . Đáp án cần chọn là A. 25. Lời giải: Ta có sin2 89 = cos2 1; sin2 88 = cos2 2;...; sin2 46 = cos2 44 và sin2 a + cos2 a = 1 Nên A = (sin2 1 + sin2 89) + (sin2 2 + sin2 88) + ... + (sin2 44 + sin2 46) + sin2 45 + sin2 90 = (sin2 1 + cos2 1) + (sin2 2 + cos2 2) + ... + (sin2 44 + cos2 44) + sin2 45 + sin2 90 1 3 91 = 1 + 1 + ... + 1 + + 1 = 44.1 + = . 44 so 1 2 2 2 91 Vậy A = . 2 Đáp án cần chọn là C. 26. Lời giải: Ta có sin2 80 = cos2 10; sin2 70 = cos2 20; sin2 60 = cos2 30; sin2 50 = cos2 40 và sin2 a + cos2 a = 1 Nên sin2 10 + sin2 20 + sin2 30 + sin2 40 + sin2 50 + sin2 60 + sin2 70 + sin2 80 = sin2 10 + sin2 20 + sin2 30 + sin2 40 + cos2 40 + cos2 30 + cos2 20 + cos2 10 = (sin2 10 + cos2 10) + (sin2 20 + cos2 20) + (sin2 30 + cos2 30) + (sin2 40 + cos2 40) = 1+1+1+1 = 4. Vậy giá trị cần tìm là 4 . Đáp án cần chọn là D. 27. Lời giải: Ta có sin6 a + cos6 a + 3 sin2 a. cos2 a = sin6 a + cos6 a + 3 sin2 a. cos2 a.1 = sin6 a + cos6 a + 3 sin2 a. cos2 a.(sin2 a + cos2 a) (vì sin2 a + cos2 a = 1 ) = (sin2 a)3 + 3(sin2 a)2 . cos2 a + 3 sin2 a.(cos2 a)2 + (cos2 a)3 = (sin2 a + cos2 a)3 = 1 (vì sin2 a + cos2 a = 1 ) Đáp án cần chọn là B. 17. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
28. Lời giải: Ta có C = sin4 a + cos4 a = sin 4 a + cos4 a + 2 sin2 a. cos2 a - 2 sin2 a. cos2 a = (sin2 a + cos2 a)2 - 2 sin2 a. cos2 a = 1 - sin2 a. cos2 a (vì sin2 a + cos2 a = 1 ) Vậy C = 1 - 2 sin2 a. cos2 a . Đáp án cần chọn là A. 29. Lời giải: cos a Với cot a = ; sin 2 a + cos2 a = 1 sin a A = (1 - sin2 a). cot2 a + 1 - cot2 a = cot2 a - sin2 a. cot2 a + 1 - cot2 a cos2 a = 1 - sin2 a. 2 = 1 - cos2 a = sin2 a . sin a Vậy P = sin2 a . Đáp án cần chọn là A. 30. Lời giải: sin a cos a Với tan a = ; cot a = ; sin2 a + cos2 a = 1  sin2 a = 1 - cos2 a, cos2 a = 1 - sin2 a . cos a sin a sin2 a cos2 a P = (1 - sin2 a). tan2 a + (1 - cos2 a). cot2 a = cos2 a. + sin2 a. = sin2 a + cos2 a = 1 . cos2 a sin2 a Đáp án cần chọn là C. 31. Lời giải: sin a cos a Với tan a = ; cot a = ta có: cos a sin a cos2 a - sin 2 a cos2 a sin2 a cos a sin a Q= = - = - = cot a - tan a . cos a. sin a sin a. cos a sin a. cos a sin a cos a Vậy Q = cot a - tan a . Đáp án cần chọn là A. 32. Lời giải: sin a Với tan a = ; cos2 a = 1 - sin 2 a cos a 2 1 + sin2 a 1 - sin2 a + 2 sin2 a 1 - sin2 a 2 sin2 a æ sin a ö÷ Q= = = + = 1 + 2. çç ÷÷ = 1 + 2 tan2 a . 2 1 - sin a 2 1 - sin a 2 1 - sin a 2 cos a è cos a ÷ø ç Vậy Q = 1 + 2 tan2 a . Đáp án cần chọn là B. 33. Lời giải: Vì tan a = 2 nên cos a ¹ 0 18. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
sin a cos a 2 + 2 sin a + cos a 2. tan a + 1 Ta có G = = cos a cos a = cos a - 3 sin a cos a sin a 1 - 3 tan a - 3. cos a cos a 2.2 + 1 5 Thay tan a = 2 ta được G = = - = -1 . 1 - 3.2 5 Vậy G = -1 . Đáp án cần chọn là D. 34. Lời giải: A E H B D C AD AD Xét tam giác vuông ABD và ADC , ta có tan B = ; tan C = . BD CD AD 2 Suy ra tan B. tan C = (1) BD.CD  = CAD    = ADC  = 90 Lại có HBD (cùng phụ với ACB ) và HDB . DH BD Do đó D BDH  D ADC (g.g) suy ra = , do đó BD .DC = DH .AD (2). DC AD AD 2 AD Từ (1) và (2) suy ra tan B. tan C = = (3). DH .AD DH HD 3 HD 3 HD 3 5 Theo giả thiết = suy ra = hay = , suy ra AD = HD . AH 2 AH + HD 2 + 3 AD 5 3 5 HD 5 Thay vào (3) ta được: tan B. tan C = 3 = . DH 3 Đáp án cần chọn là D. 35. Lời giải: AD AD Xét tam giác vuông ABD và ADC , ta có tan B = ; tan C = . BD CD AD 2 Suy ra tan B. tan C = (1) BD.CD  = CAD    = ADC  = 90 Lại có HBD (cùng phụ với ACB ) và HDB . DH BD Do đó D BDH  D ADC (g.g) suy ra = , do đó BD .DC = DH .AD (2). DC AD 19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
AD 2 AD Từ (1) và (2) suy ra tan B. tan C = = (3). DH .AD DH HD 1 HD 1 HD 1 Theo giả thiết = suy ra = hay = , suy ra AD = 3HD . AH 2 AH + HD 2 + 1 AD 3 3HD Thay vào (3) ta được: tan B. tan C = = 3. DH Đáp án cần chọn là B. 36. Lời giải: 3 9 Ta có sin a = , suy ra sin2 a = , mà sin2 a + cos2 a = 1 , do đó: 5 25 9 16 4 cos2 a = 1 - sin 2 a = 1 - = suy ra cos a = . 25 25 5 sin a 3 4 3 5 3 Do đó tan a = = : = . = . cos a 5 5 5 4 4 cos a 4 3 4 5 4 cot a = = : = . = . sin a 5 5 5 3 3 4 3 4 Vậy cos a = , tan a = , cot a = . 5 4 3 Đáp án cần chọn là B. 37. Lời giải: 5 25 25 144 Ta có sin a = suy ra sin 2 a = mà sin2 a + cos2 a = 1 do đó cos2 a = 1 - sin2 a = 1 - = 13 169 169 169 12 Suy ra cos a = . 13 cos a 12 5 12 13 12 Do đó cot a = = : = . = . sin a 13 13 13 5 5 Đáp án cần chọn là A. 38. Lời giải: Ta có tan 80 = cot10; tan 70 = cot 20; tan 50 = cot 40; cot 60 = cot 30 và tan a. cot a = 1 Nên B = tan 10. tan 20. tan 30. tan 40. tan 50. tan 60. tan 70. tan 80 = tan 10. tan 20. tan 30. tan 40. cot 40. cot 30. cot 20. cot10 = (tan 10. cot10).(tan 20. cot20).(tan 30. cot 30).(tan 40. cot 40) = 1.1.1.1 = 1 . Vậy B = 1 . Đáp án cần chọn là B. 39. Lời giải: Ta có tan 89 = cot1; tan 88 = cot 2;...; tan 46 = cot 44 và tan a. cot a = 1 20. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com