Chuyên đề Tính diện tích tam giác, diện tích tứ giác nhờ sử dụng các tỉ số lượng giác

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

Thêm vào BST

Báo xấu

20
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Gửi đến các bạn Chuyên đề Tính diện tích tam giác, diện tích tứ giác nhờ sử dụng các tỉ số lượng giác giúp các bạn học sinh có thêm nguồn tài liệu để tham khảo cũng như củng cố kiến thức trước khi bước vào kì kiểm tra. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề Tính diện tích tam giác, diện tích tứ giác nhờ sử dụng các tỉ số lượng giác

CHUYÊN ĐỀ TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC, DIỆN TÍCH TỨ GIÁC NHỜ SỬ DỤNG CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 .Ta đã biết cách tính diện tích tam giác theo một công thức rất quen thuộc là S  ah, trong đó a là độ dài một 2 cạnh của tam giác, h là chiều cao ứng với cạnh đó. .Bây giờ ta vận dụng các tỉ số lượng giác, các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để xây dựng thêm các công thức tính diện tích tam giác, tứ giác. B. BÀI TẬP MINH HỌA Ví dụ 1. Chứng minh rằng diện tích một tam giác bằng nửa tích hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy. Giải Gọi  là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC của tam giác ABC. Vẽ đường cao CH. Xét ACH vuông tại H có CH  AC.sin  1 1 Diện tích ABC là S  AB.CH . Do dó S  AB. AC.sin  . 2 2 1 Lưu ý: Nếu   900 , ta có ngay S  AB. AC 2 Như vậy sin 900  1, điều này sẽ học ở các lớp trên. Ví dụ 2. Tứ giác ABCD có AC  m, BD  n, góc nhọn tạo bởi hai đường chéo bằng  . Chứng minh rằng diện tích của tứ giác này được tính theo công thức 1 S  mn sin  . Giải 2    . Gọi O là giao điểm của AC và BD. Giả sử BOC Vẽ AH  BD, CK  BD. Ta có AH  OA sin  ; CK  OC sin  và OA  OC  AC. 1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Diện tích tứ giác ABCD là: 1 1 S  S ABD  SCBD  BD. AH  BD.CK 2 2 1 1  BD( AH  CK )  BD(OAsin   OC sin  ) 2 2 1 1 1  BD sin  (OA  OC )  AC.BD sin   mn sin  2 2 2 Lưu ý: 1 1 • Nếu AC  BD ta có ngay S  AC.BD  mn 2 2 • Phương pháp tính diện tích của tứ giác trong ví dụ này là chia tứ giác thành hai tam giác không có điểm trong chung, rồi tính diện tích của từng tam giác. Ví dụ 3. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi độ dài các cạnh BC, CA, AB lần lượt là a, b, c. Tính diện tích tam giác ABC biết a  4 2cm, b  5cm, c  7cm. Giải Theo định lí côsin ta có: a 2  b 2  c 2  2bc cos A.   2 Do đó 4 2  52  7 2  2.5.7.cos A 3 9 4 Suy ra cos A   sin A  1  cos 2 A  1   5 25 5 1 1 4 Vậy diện tích tam giác ABC là: S  bc sin A  .5.7.  14  cm 2  2 2 5 Nhận xét: Trong cách giải trên ta đã tìm cos A rồi suy ra sin A. Ta cũng có thể vận dụng định lí côsin để tìm cos B rồi suy ra sin B (hoặc tìm cos C rồi suy ra sin C ) Ví dụ 4. Tứ giác ABCD có AC  BD  12cm. Góc nhọn giữa hai đường chéo là 45. Tính diện tích lớn nhất của tứ giác đó. Giải Gọi O là giao điểm của AC và BD. Giả sử  AOD  45. Diện tích tứ giác ABCD là: 1 1 2 2 S AC.BD.sin 45  AC.BD.  . AC.BD 2 2 2 4 2  AC  BD  Theo bất đẳng thức Cô‐si, ta có: AC.BD     2  2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2 2  AC  BD  2 2 Do đó S     .6  9 2  cm 2  4  2  4 Vậy max S  9 2cm2 khi AC  BD  6cm. Ví dụ 5. Cho tam giác ABC ,  A  60. Vẽ đường phân giác AD. 1 1 3 Chứng minh rằng:   AB AC AD Giải Ta có 1 1 1 S ABD  AB. AD.sin 300  AB. AD. 2 2 2 1 1 1 S ACD  AC. AD. sin 30  AC. AD. . 2 2 2 1 1 3 S ABC  AB. AC .sin 60  AB. AC. 2 2 2 1 1 1 1 1 3 Mặt khác S ABD  S ACD  S ABC nên AB. AD.  AC . AD.  AB. AC. 2 2 2 2 2 2 Do đó AD  AB  AC   AB. AC 3 AB  AC 3 1 1 3 Suy ra  hay   . AB.AC AD AB AC AD Nhận xét: Phưong pháp giải trong ví dụ này dựa trên quan hệ tổng diện tích các tam giác ABD và tam giác ACD bằng diện tích tam giác ABC. Ví dụ 6. Tam giác ABC có mỗi cạnh đều nhỏ hơn 4cm. Chứng minh rằng tam giác này có diện tích nhỏ hơn 7cm 2 Giải Giả sử   , khi đó A  60 và sin A  3  C A B 2 Diện tích tam giác ABC là: 1 1 3 S AB. AC.sin A  .4.4.  4 3  6,92...  7  cm 2  . 2 2 2 Nhận xét: Do vai trò các góc A, B, C của tam giác ABC là như nhau nên ta có thể giả sử A  B  , từ đó suy ra A  60, dẫn tới sin A  3  C 2 3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN • Tính diện tích Bài 1. Chứng minh rằng diện tích cùa hình bình hành bằng diện tích của hai cạnh kề nhân với sin của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng chứa hai cạnh ấy.     0    45  . Chứng minh rằng diện tích Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCD, AC  a và BAC 1 2 của hình chữ nhật ABCD là S  a sin 2 2 Bài 3. Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox lấy điểm A và C, trên tia Oy lấy điểm B và D sao cho OA OB S  m,  n. Chứng minh rằng AOB  m.n OC OD SCOD Bài 4. Tam giác nhọn ABC có BC  a, CA  b, AB  c. Gọi diện tích tam giác ABC là S. Chứng b2  c2  a 2 minh rằng S  . Áp dụng với a  39, b  40, c  41 và  A  45. Tính S. 4 cot A Bài 5. Cho góc xOy có số đo bằng 45. Trên hai cạnh Ox và Oy lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho OA  OB  8cm. Tính diện tích lớn nhất của tam giác AOB. Bài 6. Cho tam giác nhọn ABC. Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm M,N, P sao cho 1 1 1 1 AM  AB, BN  BC , CP  CA. Chứng minh rằng diện tích tam giác MNP nhỏ hơn diện 4 3 2 3 tích tam giác ABC. Bài 7. Cho đoạn thẳng AB  5cm. Lấy điểm O nằm giữa A và B sao cho OA  2cm. Trên một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Một góc vuông đỉnh O có hai cạnh cắt các tia Ax, By lần lượt tại D và E. Tính diện tích nhỏ nhất của tam giác DOE. Bài 8. Cho hình bình hành ABCD, góc B nhọn. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên các đường thẳng DC và BC. a) Chứng minh rằng KAH  ABC , từ đó suy ra KH  AC .sin B;   60. Tính diện tích AHK và tứ giác AKCH. b) Cho AB  a, BC  b và B • Chứng minh các hệ thức Bài 9. Cho tam giác ABC ( AB  AC ),  A  60. Đường phân giác ngoài tại đỉnh A cắt đường thẳng 1 1 1 BC tại N. Chứng minh rằng:   AB AC AN Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A  AB  AC  . Các đường phân giác trong và ngoài tại đỉnh A của tam giác cắt đường thẳng BC tại M và N. Chứng minh rằng: 1 1 2 1 1 2 a)   b)   AM AN AB AM AN AC 4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Bài 11. Cho tam giác ABC ,  A    900. Vẽ đường phân giác AD. Chứng minh rằng:  2 cos 1 1 2   AB AC AD Bài 12. Cho góc xOy có số đo bằng 30. Trên tia phân giác của góc đó lấy điểm A sao cho OA  a . Qua A vẽ một đường thẳng cắt Ox và Oy theo thứ tự tại B và C. 1 1 Tính giá trị của tổng  OB OC Bài 13. Cho hình bình hành ABCD, góc nhọn giữa hai đường chéo bằng góc nhọn của hình bình hành. Chứng minh rằng độ dài hai đường chéo tỉ lệ với độ dài hai cạnh kề của hình bình hành. • Tính số đo góc. Tính độ dài Bài 14. Tam giác nhọn ABC có AB  4, 6cm; BC  5, 5cm và có diện tích là 9, 69cm 2 . Tính số đo góc B (làm tròn đến độ).   90. Biết AB  4cm, BC  3cm và diện tích của hình bình Bài 15. Cho hình bình hành ABCD, B hành là 6 3cm 2 . Tính số đo các góc của hình bình hành. Bài 16. Cho tam giác ABC có diện tích S  50cm2 ,  A    90. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt 1 lấy các điểm D và E sao cho ADE nhọn, có diện tích là S1  S . Chứng minh rằng 2  DE  10 tan  cm  2 Bài 17. Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Biết AB  4, 7cm, AC  5,3cm và  A  72. Tính độ dài AD (làm tròn đến hàng phần mười). Bài 18. Cho tam giác ABC , AB  6cm, AC  12cm,  A  120. Vẽ đường phân giác AD. Tính độ dài AD. Bài 19. Cho tam giác ABC , AB  5cm, BC  7 cm, CA  8cm. Vẽ đường phân giác AD. Tính độ dài AD. 1 1 1 Bài 20. Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Biết   , tính số đo góc BAC. AB AC AD HƯỚNG DẪN     90. Bài 1. Xét hình bình hành ABCD, D Vẽ đường cao AH. Xét tam giác ADH vuông tại H, ta có: AH  AD.sin  5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Diện tích hình bình hành ABCD là: S  CD. AH  CD. AD.sin  . Vậy S  AD.DC.sin  . Bài 2. Xét ABC vuông tại B có AB  AC cos   a cos  ; BC  AC sin   a sin  Diện tích hình chữ nhật ABCD là: S  AB.BC  a cos  . a sin   a 2 sin  cos  1 2 1  a .2 sin  cos   a 2 sin 2 2 2 1 1 Bài 3. Tacó S AOB  OA.OB sin  ; SCOD  OC .OD sin  . 2 2 1 S AOB OA.OB sin  OA OB Do đó  2  .  m.n SCOD 1 OC.OD sin  OC OD 2 Bài 4. Vì ABC nhọn nên theo định lí côsin ta có a 2  b 2  c 2  2bc cos A b2  c2  a2  cos A  2bc cos A b 2  c 2  a 2 b 2  c 2  a 2 1 Ta có cot A    (vì S  bc sin A) sin A 2bc sin A 4S 2 b2  c2  a 2 Do đó S  . 4 cot A Áp dụng: Với a  39, b  40, c  41 và  A  45 ta có: 402  412  392 S  440 (đvdt) 4 cot 450 Bài 5. Ta đặt diện tích tam giác AOB là S. 1 1 Ta có S  OA.OB sin O  OA.OB sin 45 2 2 1 2 2  OA.OB.  OA.OB 2 2 4 2 2  OA  OB   8  Nhưng OA.OB        16  2  2 6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
2 Do đó S  .16  4 2  cm 2  khi OA  OB  4cm 4 Vậy max S  4 2cm2 1 3 Bài 6. Tacó AM  AB  BM  AB; 4 4 1 2 BN  BC  CN  BC ; 3 3 1 1 CP  CA  AP  CA. 2 2 Ta đặt S AMP  S1 ; S BMN  S 2 ; SCNP  S3 và S ABC  S Khi đó: 1 1 1 1 1 1 1 S1  AM . AP sin A  . AB. AC.sin A  . AB. AC.sin A  S 2 2 4 2 8 2 8 1 1 3 1 1 1 1 S2  BM .BN sin B  . AB. BC.sin B  . BA.BC.sin B  S 2 2 4 3 4 2 4 1 1 2 1 1 1 1 S3  CN .CP sin C  . CB. .CA.sin C  . CB.CA.sin C  S 2 2 3 2 3 2 3 1 1 1 17 17 7 Vậy S1  S 2  S3      S  S . Do đó S MNP  S  S  S 8 4 3 24 24 24 7 8 1 S MNP  S S  S. 24 24 3 Cách giải khác: (không dùng tỉ số lượng giác) (h.5.10) 3 Vẽ đoạn thẳng AN. Xét các tam giác NMB và NAB có BM  AB và chung chiều cao vẽ từ 4 4 3 đỉnh N nên S 2  S NAB . 1 4 1 Xét các tam giác ABN và ABC có BN  BC nên 3 1 S ABN  S  2  3 3 1 1 Từ (1) và (2) suy ra S 2  . S  S 4 3 4 1 1 Chứng minh tương tự ta được S3  S ; S1  S 3 8 7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
1 1 1 7 8 1 Do đó S MNP  S      S  S S  S 8 4 3 24 24 3 Bài 7. Ta có   ).  (cùng phụ với BOE AOD  BEO Ta đặt     AOD   thì BEO OA 2 Xét AOD vuông tại O, ta có: OD   cos  cos  OB 3 Xét BEO vuông tại B, ta có: OE   sin  sin  Diện tích tam giác DOE là: 1 1 2 3 6 S  OD.OE  . .  * 2 2 cos  sin  2 sin  cos  Áp dụng bất đẳng thức x 2  y 2  2 xy ta được: sin 2   cos 2   2 sin  cos  hay 1  2sin  cos  6 6 Thay vào (*) ta đươc: S   2 sin  cos  1 (dấu “=” xảy ra khi sin   cos     45) Vậy min S  6cm 2 khi   45 Nhận xét: Việc đặt  AOD   giúp ta tính được các cạnh góc vuông của DOE , từ đó tính được diện tích của tam giác này theo các tỉ số lượng giác của góc  . Do đó việc tìm min S đưa về tìm max  sin  cos   đơn giản hơn. Bài 8. a) Ta có AB / /CD mà AH  CD nên AH  AB. K • ADH và ABK có: H   90; B D  (hai góc đối của hình bình hành). Do đó ADH ∽ ABK (g.g). AD AH Suy ra  AB AK AK AH AH Do đó   (vì AD  BC ) AB AD BC B • KAH và ABC có KAH  );  (cùng phụ với BAK AK AH  . AB BC Do đó KAH ∽ ABC (c.g.c). 8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
KH AK Suy ra  AC AB AK Xét ABK vuông tại K có sin B  AB KH Vậy  sin B hay KH  AC.sin B AC 1 1 ab 3 b) Diện tích tam giác ABC là S  AB.BC .sin B  ab.sin 60  (đvdt). 2 2 4 2 S KAH  AK  3    sin B   2 Vì S KAH ∽ S ABC nên  S ABC  AB  4 3 3 ab 3 3 3ab Suy ra S KAH  S ABC   (đvdt) 4 4 4 16 ab 3 Ta có S ABCD  ab sin 60  (dvdt) 2 1 1 S ABK  BA.BK .sin 60  .BA.  BA cos 60  .sin 60 2 2 1 1 3 a2 3  a.a. .  (đvdt) 2 2 2 8 1 1 S ADH  DA.DH .sin 60  .DA.  DA cos 60  .sin 60 2 2 1 1 3 b2 3  b 2 . .  (đvdt) 2 2 2 8 Mặt khác S AKCH  S ABCD  S ABK  S ADH ab 3 a 2 3 b 2 3 3 Nên S AKCH  2  8  8  8  4ab  a 2  b 2  (đvdt)   1800  600  : 2  600   NAB Bài 9. Ta có NAx 1 S ANC  AN . AC.sin 60 2 1 S ANB  AN . AB.sin 60 2 1 S ABC  AB. AC.sin 60 2 Vì S ANC  S ANB  S ABC 9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
1 1 1 nên AN . AC.sin 60  AN . AB.sin 60  AB. AC.sin 60 2 2 2 Do đó AN  AC  AB   AB. AC AC  AB 1 1 1 1 Suy ra  hay   AB. AC AN AB AC AN 5.10. a) AM, AN là hai đường phân giác của hai góc kề bù nên AM  AN . 1 1 2 S ABM  AB. AM .sin 450  AB. AM . ; 2 2 2 1 1 2 S ABN  AB. AN .sin 450  AB. AN . ; 2 2 2 1 S AMN  AM . AN (vì AMN vuông tại A). 2 Mặt khác, S ABM  S ABN  S AMN nên: 1 2 1 2 1 AB. AM .  AB. AN .  AM . AN 2 2 2 2 2 2 Do đó AB  AM  AN  .  AM . AN . 2 AM  AN 1 1 1 2  hay +  ; AM . AN 2 AM AN AB AB. 2 b) Góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng AN, AC là 45. 1 1 2 Ta có S ANC  AC. AN .sin 45  AC . AN . ; 2 2 2 1 1 2 S AMC  AC . AM .sin 45  AC. AM . ; 2 2 2 1 S AMN  AM . AN (vì AMN vuông tại A). 2 1 2 1 2 1 Mặt khác, S ANC  S AMC  S AMN nên AC. AN .  AC. AM .  AM . AN . 2 2 2 2 2 2 Do đó AC  AN  AM  .  AM . AN 2 AN  AM 1 1 1 2 Suy ra  hay -  AM . AN 2 AM AN AC AC. 2 10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Bài 11. • Trường hợp góc A nhọn Ra đặt  A   1  Ta có S ABD  AB. AD.sin 2 2 1  1 S ACD  AC . AD.sin ; S ABC  AB. AC.sin  2 2 2 Mặt khác, S ABD  S ACD  S ABC nên 1  1  1 AB. AD.sin  AC. AD.sin  AB. AC.sin  2 2 2 2 2     Suy ra AB. AD.sin  AC. AD.sin  AB. AC.2.sin cos 2 2 2 2   (vì sin   2 sin cos ) 2 2  Do đó AD  AB  AC   AB. AC.2.cos 2   2.cos 2.cos AB  AC 2 dẫn tới 1  1  2 Suy ra  AB. AC AD AB AC AD • Trường hợp góc A tù    thì BAx Ta đặt BAC   180   .  là góc nhọn. Khi đó BAx Ta có S ABD  S ACD  S ABC 1  1  1 Do đó AB. AD.sin  AC . AD.sin  AB. AC.sin 180    2 2 2 2 2 1 180   180   1      AB. AC.2.sin cos  AB. AC.2.sin  90   cos  90   2 2 2 2  2  2 1   AB. AC.2.cos sin 2 2 2  Suy ra AD  AB  AC   AB. AC.2.cos 2   2.cos 2.cos AB  AC 2 hay 1  1  2 Do đó  AB. AC AD AB AC AD 11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
1 1 2 Nhận xét: Nếu  A  90 thì ta chứng minh được   , vẫn phù hợp với kết luận của AB AC AD bài toán. Bài 12. 1 Ta có S AOB  OA.OB.sin150 2 1 S AOC  OA.OC .sin150 2 1 S BOC  OB.OC.sin 300 2 Mặt khác, S AOB  S AOC  S BOC 1 1 1 nên OA.OB.sin15  OA.OC .sin15  OB.OC .2 sin15 cos15 2 2 2 Do đó OA  OB  OC   2OB.OC cos15. Suy ra OB  OC  2 cos15 hay 1  1  2  6 2  6 2 OB.OC OA OB OC a.4 2a Bài 13. Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Ta đặt OC  OA  x, OD  OB  y , AD  m, CD  n. Giả sử  AOD   ADC    90. Xét OCD có  AOD là góc ngoài nên  C D AOD   2 1  C Mặt khác D  D ADC   . Suy ra C  2 1 1 1 1 ; S 1  Ta có S ADO  m. y sin D1 DCO  n.x sin C1 2 2 Mặt khác S ADO  S DCO nên m. y  n.x. x m 2x m AC AD Do đó    hay  y n 2y n BD DC 1 Bài 14. Ta có S  AB.BC sin B 2 2S 2.9, 69  sin B    sin 500 AB.BC 4, 6.5,5 12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
  50. Vậy B Bài 15. Ta có S  AB. AC.sin B S 6 3 3 sin B     sin 60 AB.BC 4.3 2   60  D Vậy B   60; A  C   120. Bài 16. Ta đặt AD  x, AE  y. 1 Khi đó diện tích ADE là S1  x. y sin  ; 2 1 S1  S  25cm 2 2 Ta có DE 2  x 2  y 2  2 xy cos  Mặt khác x 2  y 2  2 xy (dấu “=” xảy ra khi x  y ). Do đó DE 2  2 xy  2 xy cos   2 xy 1  cos   2  2 xy sin  1  cos   4S1 1  cos   100.2sin 2      100 tan sin  sin    2 2sin cos 2 2   Vậy DE  100 tan  10 tan 2 2  2 cos 1 A 2 (bài 5.11) Bài 17. Ta có   AB AC AD 1 1 2 cos 360 10 2 cos 360 Do đó     4, 7 5,3 AD 4, 7.5,3 AD 4, 7.5,3.2.cos 360 Suy ra AD   4, 0  cm  10  2 cos 1 A 2 Bài 18. Ta có   AB AC AD 13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
1 1 2 cos 600 1 1 Do đó      AD  4  cm  6 12 AD 4 AD Bài 19. Vì cạnh CA là cạnh lớn nhất nên góc B là góc lớn nhất trong ABC. Ta thấy AC 2  AB 2  BC 2 (vì 82  52  7 2 ) nên góc B là góc nhọn, do dó ABC là tam giác nhọn. Theo định lí côsin ta có: BC 2  AB 2  AC 2  2bc cos A  7 2  52  82  2.5.8 cos A 1 Do đó cos A   A  600 2 1 A 2 cos 300 Ta có:   AB AC AD 3 2. 1 1 2  13  3  AD  40 3  cm     5 8 AD 40 AD 13  2 cos    . Ta có 1  1  Bài 20. Ta đặt BAC 2 AB AC AD 1 1 1 Mặt khác   AB AC AD  2 cos Suy ra 2  1 . Do đó 2 cos   1  cos   1  cos 600 AD AD 2 2 2  Do đó  cos 600    1200 2 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐Toán Học Sơ Đồ‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com