Chuyên đề Tính diện tích tam giác, diện tích tứ giác nhờ sử dụng các tỉ số lượng giác
lượt xem 3
download
Gửi đến các bạn Chuyên đề Tính diện tích tam giác, diện tích tứ giác nhờ sử dụng các tỉ số lượng giác giúp các bạn học sinh có thêm nguồn tài liệu để tham khảo cũng như củng cố kiến thức trước khi bước vào kì kiểm tra. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu.
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Chuyên đề Tính diện tích tam giác, diện tích tứ giác nhờ sử dụng các tỉ số lượng giác
- CHUYÊN ĐỀ TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC, DIỆN TÍCH TỨ GIÁC NHỜ SỬ DỤNG CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 .Ta đã biết cách tính diện tích tam giác theo một công thức rất quen thuộc là S ah, trong đó a là độ dài một 2 cạnh của tam giác, h là chiều cao ứng với cạnh đó. .Bây giờ ta vận dụng các tỉ số lượng giác, các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để xây dựng thêm các công thức tính diện tích tam giác, tứ giác. B. BÀI TẬP MINH HỌA Ví dụ 1. Chứng minh rằng diện tích một tam giác bằng nửa tích hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy. Giải Gọi là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC của tam giác ABC. Vẽ đường cao CH. Xét ACH vuông tại H có CH AC.sin 1 1 Diện tích ABC là S AB.CH . Do dó S AB. AC.sin . 2 2 1 Lưu ý: Nếu 900 , ta có ngay S AB. AC 2 Như vậy sin 900 1, điều này sẽ học ở các lớp trên. Ví dụ 2. Tứ giác ABCD có AC m, BD n, góc nhọn tạo bởi hai đường chéo bằng . Chứng minh rằng diện tích của tứ giác này được tính theo công thức 1 S mn sin . Giải 2 . Gọi O là giao điểm của AC và BD. Giả sử BOC Vẽ AH BD, CK BD. Ta có AH OA sin ; CK OC sin và OA OC AC. 1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
- Diện tích tứ giác ABCD là: 1 1 S S ABD SCBD BD. AH BD.CK 2 2 1 1 BD( AH CK ) BD(OAsin OC sin ) 2 2 1 1 1 BD sin (OA OC ) AC.BD sin mn sin 2 2 2 Lưu ý: 1 1 • Nếu AC BD ta có ngay S AC.BD mn 2 2 • Phương pháp tính diện tích của tứ giác trong ví dụ này là chia tứ giác thành hai tam giác không có điểm trong chung, rồi tính diện tích của từng tam giác. Ví dụ 3. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi độ dài các cạnh BC, CA, AB lần lượt là a, b, c. Tính diện tích tam giác ABC biết a 4 2cm, b 5cm, c 7cm. Giải Theo định lí côsin ta có: a 2 b 2 c 2 2bc cos A. 2 Do đó 4 2 52 7 2 2.5.7.cos A 3 9 4 Suy ra cos A sin A 1 cos 2 A 1 5 25 5 1 1 4 Vậy diện tích tam giác ABC là: S bc sin A .5.7. 14 cm 2 2 2 5 Nhận xét: Trong cách giải trên ta đã tìm cos A rồi suy ra sin A. Ta cũng có thể vận dụng định lí côsin để tìm cos B rồi suy ra sin B (hoặc tìm cos C rồi suy ra sin C ) Ví dụ 4. Tứ giác ABCD có AC BD 12cm. Góc nhọn giữa hai đường chéo là 45. Tính diện tích lớn nhất của tứ giác đó. Giải Gọi O là giao điểm của AC và BD. Giả sử AOD 45. Diện tích tứ giác ABCD là: 1 1 2 2 S AC.BD.sin 45 AC.BD. . AC.BD 2 2 2 4 2 AC BD Theo bất đẳng thức Cô‐si, ta có: AC.BD 2 2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
- 2 2 AC BD 2 2 Do đó S .6 9 2 cm 2 4 2 4 Vậy max S 9 2cm2 khi AC BD 6cm. Ví dụ 5. Cho tam giác ABC , A 60. Vẽ đường phân giác AD. 1 1 3 Chứng minh rằng: AB AC AD Giải Ta có 1 1 1 S ABD AB. AD.sin 300 AB. AD. 2 2 2 1 1 1 S ACD AC. AD. sin 30 AC. AD. . 2 2 2 1 1 3 S ABC AB. AC .sin 60 AB. AC. 2 2 2 1 1 1 1 1 3 Mặt khác S ABD S ACD S ABC nên AB. AD. AC . AD. AB. AC. 2 2 2 2 2 2 Do đó AD AB AC AB. AC 3 AB AC 3 1 1 3 Suy ra hay . AB.AC AD AB AC AD Nhận xét: Phưong pháp giải trong ví dụ này dựa trên quan hệ tổng diện tích các tam giác ABD và tam giác ACD bằng diện tích tam giác ABC. Ví dụ 6. Tam giác ABC có mỗi cạnh đều nhỏ hơn 4cm. Chứng minh rằng tam giác này có diện tích nhỏ hơn 7cm 2 Giải Giả sử , khi đó A 60 và sin A 3 C A B 2 Diện tích tam giác ABC là: 1 1 3 S AB. AC.sin A .4.4. 4 3 6,92... 7 cm 2 . 2 2 2 Nhận xét: Do vai trò các góc A, B, C của tam giác ABC là như nhau nên ta có thể giả sử A B , từ đó suy ra A 60, dẫn tới sin A 3 C 2 3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
- C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN • Tính diện tích Bài 1. Chứng minh rằng diện tích cùa hình bình hành bằng diện tích của hai cạnh kề nhân với sin của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng chứa hai cạnh ấy. 0 45 . Chứng minh rằng diện tích Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCD, AC a và BAC 1 2 của hình chữ nhật ABCD là S a sin 2 2 Bài 3. Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox lấy điểm A và C, trên tia Oy lấy điểm B và D sao cho OA OB S m, n. Chứng minh rằng AOB m.n OC OD SCOD Bài 4. Tam giác nhọn ABC có BC a, CA b, AB c. Gọi diện tích tam giác ABC là S. Chứng b2 c2 a 2 minh rằng S . Áp dụng với a 39, b 40, c 41 và A 45. Tính S. 4 cot A Bài 5. Cho góc xOy có số đo bằng 45. Trên hai cạnh Ox và Oy lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho OA OB 8cm. Tính diện tích lớn nhất của tam giác AOB. Bài 6. Cho tam giác nhọn ABC. Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy các điểm M,N, P sao cho 1 1 1 1 AM AB, BN BC , CP CA. Chứng minh rằng diện tích tam giác MNP nhỏ hơn diện 4 3 2 3 tích tam giác ABC. Bài 7. Cho đoạn thẳng AB 5cm. Lấy điểm O nằm giữa A và B sao cho OA 2cm. Trên một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Một góc vuông đỉnh O có hai cạnh cắt các tia Ax, By lần lượt tại D và E. Tính diện tích nhỏ nhất của tam giác DOE. Bài 8. Cho hình bình hành ABCD, góc B nhọn. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên các đường thẳng DC và BC. a) Chứng minh rằng KAH ABC , từ đó suy ra KH AC .sin B; 60. Tính diện tích AHK và tứ giác AKCH. b) Cho AB a, BC b và B • Chứng minh các hệ thức Bài 9. Cho tam giác ABC ( AB AC ), A 60. Đường phân giác ngoài tại đỉnh A cắt đường thẳng 1 1 1 BC tại N. Chứng minh rằng: AB AC AN Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC . Các đường phân giác trong và ngoài tại đỉnh A của tam giác cắt đường thẳng BC tại M và N. Chứng minh rằng: 1 1 2 1 1 2 a) b) AM AN AB AM AN AC 4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
- Bài 11. Cho tam giác ABC , A 900. Vẽ đường phân giác AD. Chứng minh rằng: 2 cos 1 1 2 AB AC AD Bài 12. Cho góc xOy có số đo bằng 30. Trên tia phân giác của góc đó lấy điểm A sao cho OA a . Qua A vẽ một đường thẳng cắt Ox và Oy theo thứ tự tại B và C. 1 1 Tính giá trị của tổng OB OC Bài 13. Cho hình bình hành ABCD, góc nhọn giữa hai đường chéo bằng góc nhọn của hình bình hành. Chứng minh rằng độ dài hai đường chéo tỉ lệ với độ dài hai cạnh kề của hình bình hành. • Tính số đo góc. Tính độ dài Bài 14. Tam giác nhọn ABC có AB 4, 6cm; BC 5, 5cm và có diện tích là 9, 69cm 2 . Tính số đo góc B (làm tròn đến độ). 90. Biết AB 4cm, BC 3cm và diện tích của hình bình Bài 15. Cho hình bình hành ABCD, B hành là 6 3cm 2 . Tính số đo các góc của hình bình hành. Bài 16. Cho tam giác ABC có diện tích S 50cm2 , A 90. Trên hai cạnh AB và AC lần lượt 1 lấy các điểm D và E sao cho ADE nhọn, có diện tích là S1 S . Chứng minh rằng 2 DE 10 tan cm 2 Bài 17. Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Biết AB 4, 7cm, AC 5,3cm và A 72. Tính độ dài AD (làm tròn đến hàng phần mười). Bài 18. Cho tam giác ABC , AB 6cm, AC 12cm, A 120. Vẽ đường phân giác AD. Tính độ dài AD. Bài 19. Cho tam giác ABC , AB 5cm, BC 7 cm, CA 8cm. Vẽ đường phân giác AD. Tính độ dài AD. 1 1 1 Bài 20. Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Biết , tính số đo góc BAC. AB AC AD HƯỚNG DẪN 90. Bài 1. Xét hình bình hành ABCD, D Vẽ đường cao AH. Xét tam giác ADH vuông tại H, ta có: AH AD.sin 5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
- Diện tích hình bình hành ABCD là: S CD. AH CD. AD.sin . Vậy S AD.DC.sin . Bài 2. Xét ABC vuông tại B có AB AC cos a cos ; BC AC sin a sin Diện tích hình chữ nhật ABCD là: S AB.BC a cos . a sin a 2 sin cos 1 2 1 a .2 sin cos a 2 sin 2 2 2 1 1 Bài 3. Tacó S AOB OA.OB sin ; SCOD OC .OD sin . 2 2 1 S AOB OA.OB sin OA OB Do đó 2 . m.n SCOD 1 OC.OD sin OC OD 2 Bài 4. Vì ABC nhọn nên theo định lí côsin ta có a 2 b 2 c 2 2bc cos A b2 c2 a2 cos A 2bc cos A b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 a 2 1 Ta có cot A (vì S bc sin A) sin A 2bc sin A 4S 2 b2 c2 a 2 Do đó S . 4 cot A Áp dụng: Với a 39, b 40, c 41 và A 45 ta có: 402 412 392 S 440 (đvdt) 4 cot 450 Bài 5. Ta đặt diện tích tam giác AOB là S. 1 1 Ta có S OA.OB sin O OA.OB sin 45 2 2 1 2 2 OA.OB. OA.OB 2 2 4 2 2 OA OB 8 Nhưng OA.OB 16 2 2 6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
- 2 Do đó S .16 4 2 cm 2 khi OA OB 4cm 4 Vậy max S 4 2cm2 1 3 Bài 6. Tacó AM AB BM AB; 4 4 1 2 BN BC CN BC ; 3 3 1 1 CP CA AP CA. 2 2 Ta đặt S AMP S1 ; S BMN S 2 ; SCNP S3 và S ABC S Khi đó: 1 1 1 1 1 1 1 S1 AM . AP sin A . AB. AC.sin A . AB. AC.sin A S 2 2 4 2 8 2 8 1 1 3 1 1 1 1 S2 BM .BN sin B . AB. BC.sin B . BA.BC.sin B S 2 2 4 3 4 2 4 1 1 2 1 1 1 1 S3 CN .CP sin C . CB. .CA.sin C . CB.CA.sin C S 2 2 3 2 3 2 3 1 1 1 17 17 7 Vậy S1 S 2 S3 S S . Do đó S MNP S S S 8 4 3 24 24 24 7 8 1 S MNP S S S. 24 24 3 Cách giải khác: (không dùng tỉ số lượng giác) (h.5.10) 3 Vẽ đoạn thẳng AN. Xét các tam giác NMB và NAB có BM AB và chung chiều cao vẽ từ 4 4 3 đỉnh N nên S 2 S NAB . 1 4 1 Xét các tam giác ABN và ABC có BN BC nên 3 1 S ABN S 2 3 3 1 1 Từ (1) và (2) suy ra S 2 . S S 4 3 4 1 1 Chứng minh tương tự ta được S3 S ; S1 S 3 8 7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
- 1 1 1 7 8 1 Do đó S MNP S S S S S 8 4 3 24 24 3 Bài 7. Ta có ). (cùng phụ với BOE AOD BEO Ta đặt AOD thì BEO OA 2 Xét AOD vuông tại O, ta có: OD cos cos OB 3 Xét BEO vuông tại B, ta có: OE sin sin Diện tích tam giác DOE là: 1 1 2 3 6 S OD.OE . . * 2 2 cos sin 2 sin cos Áp dụng bất đẳng thức x 2 y 2 2 xy ta được: sin 2 cos 2 2 sin cos hay 1 2sin cos 6 6 Thay vào (*) ta đươc: S 2 sin cos 1 (dấu “=” xảy ra khi sin cos 45) Vậy min S 6cm 2 khi 45 Nhận xét: Việc đặt AOD giúp ta tính được các cạnh góc vuông của DOE , từ đó tính được diện tích của tam giác này theo các tỉ số lượng giác của góc . Do đó việc tìm min S đưa về tìm max sin cos đơn giản hơn. Bài 8. a) Ta có AB / /CD mà AH CD nên AH AB. K • ADH và ABK có: H 90; B D (hai góc đối của hình bình hành). Do đó ADH ∽ ABK (g.g). AD AH Suy ra AB AK AK AH AH Do đó (vì AD BC ) AB AD BC B • KAH và ABC có KAH ); (cùng phụ với BAK AK AH . AB BC Do đó KAH ∽ ABC (c.g.c). 8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
- KH AK Suy ra AC AB AK Xét ABK vuông tại K có sin B AB KH Vậy sin B hay KH AC.sin B AC 1 1 ab 3 b) Diện tích tam giác ABC là S AB.BC .sin B ab.sin 60 (đvdt). 2 2 4 2 S KAH AK 3 sin B 2 Vì S KAH ∽ S ABC nên S ABC AB 4 3 3 ab 3 3 3ab Suy ra S KAH S ABC (đvdt) 4 4 4 16 ab 3 Ta có S ABCD ab sin 60 (dvdt) 2 1 1 S ABK BA.BK .sin 60 .BA. BA cos 60 .sin 60 2 2 1 1 3 a2 3 a.a. . (đvdt) 2 2 2 8 1 1 S ADH DA.DH .sin 60 .DA. DA cos 60 .sin 60 2 2 1 1 3 b2 3 b 2 . . (đvdt) 2 2 2 8 Mặt khác S AKCH S ABCD S ABK S ADH ab 3 a 2 3 b 2 3 3 Nên S AKCH 2 8 8 8 4ab a 2 b 2 (đvdt) 1800 600 : 2 600 NAB Bài 9. Ta có NAx 1 S ANC AN . AC.sin 60 2 1 S ANB AN . AB.sin 60 2 1 S ABC AB. AC.sin 60 2 Vì S ANC S ANB S ABC 9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
- 1 1 1 nên AN . AC.sin 60 AN . AB.sin 60 AB. AC.sin 60 2 2 2 Do đó AN AC AB AB. AC AC AB 1 1 1 1 Suy ra hay AB. AC AN AB AC AN 5.10. a) AM, AN là hai đường phân giác của hai góc kề bù nên AM AN . 1 1 2 S ABM AB. AM .sin 450 AB. AM . ; 2 2 2 1 1 2 S ABN AB. AN .sin 450 AB. AN . ; 2 2 2 1 S AMN AM . AN (vì AMN vuông tại A). 2 Mặt khác, S ABM S ABN S AMN nên: 1 2 1 2 1 AB. AM . AB. AN . AM . AN 2 2 2 2 2 2 Do đó AB AM AN . AM . AN . 2 AM AN 1 1 1 2 hay + ; AM . AN 2 AM AN AB AB. 2 b) Góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng AN, AC là 45. 1 1 2 Ta có S ANC AC. AN .sin 45 AC . AN . ; 2 2 2 1 1 2 S AMC AC . AM .sin 45 AC. AM . ; 2 2 2 1 S AMN AM . AN (vì AMN vuông tại A). 2 1 2 1 2 1 Mặt khác, S ANC S AMC S AMN nên AC. AN . AC. AM . AM . AN . 2 2 2 2 2 2 Do đó AC AN AM . AM . AN 2 AN AM 1 1 1 2 Suy ra hay - AM . AN 2 AM AN AC AC. 2 10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
- Bài 11. • Trường hợp góc A nhọn Ra đặt A 1 Ta có S ABD AB. AD.sin 2 2 1 1 S ACD AC . AD.sin ; S ABC AB. AC.sin 2 2 2 Mặt khác, S ABD S ACD S ABC nên 1 1 1 AB. AD.sin AC. AD.sin AB. AC.sin 2 2 2 2 2 Suy ra AB. AD.sin AC. AD.sin AB. AC.2.sin cos 2 2 2 2 (vì sin 2 sin cos ) 2 2 Do đó AD AB AC AB. AC.2.cos 2 2.cos 2.cos AB AC 2 dẫn tới 1 1 2 Suy ra AB. AC AD AB AC AD • Trường hợp góc A tù thì BAx Ta đặt BAC 180 . là góc nhọn. Khi đó BAx Ta có S ABD S ACD S ABC 1 1 1 Do đó AB. AD.sin AC . AD.sin AB. AC.sin 180 2 2 2 2 2 1 180 180 1 AB. AC.2.sin cos AB. AC.2.sin 90 cos 90 2 2 2 2 2 2 1 AB. AC.2.cos sin 2 2 2 Suy ra AD AB AC AB. AC.2.cos 2 2.cos 2.cos AB AC 2 hay 1 1 2 Do đó AB. AC AD AB AC AD 11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
- 1 1 2 Nhận xét: Nếu A 90 thì ta chứng minh được , vẫn phù hợp với kết luận của AB AC AD bài toán. Bài 12. 1 Ta có S AOB OA.OB.sin150 2 1 S AOC OA.OC .sin150 2 1 S BOC OB.OC.sin 300 2 Mặt khác, S AOB S AOC S BOC 1 1 1 nên OA.OB.sin15 OA.OC .sin15 OB.OC .2 sin15 cos15 2 2 2 Do đó OA OB OC 2OB.OC cos15. Suy ra OB OC 2 cos15 hay 1 1 2 6 2 6 2 OB.OC OA OB OC a.4 2a Bài 13. Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Ta đặt OC OA x, OD OB y , AD m, CD n. Giả sử AOD ADC 90. Xét OCD có AOD là góc ngoài nên C D AOD 2 1 C Mặt khác D D ADC . Suy ra C 2 1 1 1 1 ; S 1 Ta có S ADO m. y sin D1 DCO n.x sin C1 2 2 Mặt khác S ADO S DCO nên m. y n.x. x m 2x m AC AD Do đó hay y n 2y n BD DC 1 Bài 14. Ta có S AB.BC sin B 2 2S 2.9, 69 sin B sin 500 AB.BC 4, 6.5,5 12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
- 50. Vậy B Bài 15. Ta có S AB. AC.sin B S 6 3 3 sin B sin 60 AB.BC 4.3 2 60 D Vậy B 60; A C 120. Bài 16. Ta đặt AD x, AE y. 1 Khi đó diện tích ADE là S1 x. y sin ; 2 1 S1 S 25cm 2 2 Ta có DE 2 x 2 y 2 2 xy cos Mặt khác x 2 y 2 2 xy (dấu “=” xảy ra khi x y ). Do đó DE 2 2 xy 2 xy cos 2 xy 1 cos 2 2 xy sin 1 cos 4S1 1 cos 100.2sin 2 100 tan sin sin 2 2sin cos 2 2 Vậy DE 100 tan 10 tan 2 2 2 cos 1 A 2 (bài 5.11) Bài 17. Ta có AB AC AD 1 1 2 cos 360 10 2 cos 360 Do đó 4, 7 5,3 AD 4, 7.5,3 AD 4, 7.5,3.2.cos 360 Suy ra AD 4, 0 cm 10 2 cos 1 A 2 Bài 18. Ta có AB AC AD 13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
- 1 1 2 cos 600 1 1 Do đó AD 4 cm 6 12 AD 4 AD Bài 19. Vì cạnh CA là cạnh lớn nhất nên góc B là góc lớn nhất trong ABC. Ta thấy AC 2 AB 2 BC 2 (vì 82 52 7 2 ) nên góc B là góc nhọn, do dó ABC là tam giác nhọn. Theo định lí côsin ta có: BC 2 AB 2 AC 2 2bc cos A 7 2 52 82 2.5.8 cos A 1 Do đó cos A A 600 2 1 A 2 cos 300 Ta có: AB AC AD 3 2. 1 1 2 13 3 AD 40 3 cm 5 8 AD 40 AD 13 2 cos . Ta có 1 1 Bài 20. Ta đặt BAC 2 AB AC AD 1 1 1 Mặt khác AB AC AD 2 cos Suy ra 2 1 . Do đó 2 cos 1 cos 1 cos 600 AD AD 2 2 2 Do đó cos 600 1200 2 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐Toán Học Sơ Đồ‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Ôn thi chuyên đề: Khảo sát hàm số
15 p | 955 | 412
-
Khảo sát cực trị hàm số 12
5 p | 928 | 257
-
Phương pháp giải toán trọng tâm
368 p | 675 | 234
-
Tài liệu tham khảo ôn tập thi tốt nghiệm 2013 chuyên đề 7 phương pháp toạ độ trong không gian
13 p | 193 | 66
-
Tài liệu tham khảo ôn tập thi tốt nghiệm 2013 chuyên đề 6 khối đa diện và tròn xoay
18 p | 148 | 40
-
Phân tích bài thơ Chiều tối của Hồ Chí Minh để làm nổi bật tinh thần thép hoặc nét cổ hiện đại
9 p | 222 | 28
-
HỒN TRƯƠNG BA, DA HÀNG THỊT – NƠI KẾT THÚC CỦA CỔ TÍCH VÀ SỰ KHỞI ĐẦU
4 p | 175 | 21
-
Giáo án bài 1: Cổng trường mở ra - Ngữ văn 7 - GV.T. Tâm
8 p | 381 | 17
-
Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán (Chuyên) năm 2015-2016 - Sở GD&ĐT Bình Dương
2 p | 277 | 15
-
Tổng hợp 5 bài phân tích diễn biến tâm trạng của bà cụ Tứ trong truyện ngắn Vợ nhặt của Kim Lân
17 p | 192 | 11
-
Giáo án Hình học lớp 12: Chuyên đề 5 bài 3 - Thể tích khối đa diện
110 p | 24 | 5
-
Phân tích những chi tiết chính đưa đến việc nhận thức mới của nhân vật Đẩu trong Chiếc thuyền ngoài xa của Nguyễn Minh Châu
2 p | 55 | 4
-
Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phương pháp nêu vấn đề trong dạy học môn GDCD bậc trung học phổ thông
18 p | 32 | 4
-
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên môn Toán (chuyên) năm 2021-2022 - Sở GD&ĐT Kiên Giang
2 p | 68 | 4
-
Chuyên đề Diện tích hình chữ nhật
11 p | 21 | 4
-
Phân tích những đặc sắc nghệ thuật trong truyện ngắn Những đứa con trong gia đình
6 p | 142 | 3
-
Sáng kiến kinh nghiệm Tiểu học: Một vài biện pháp giúp học sinh lớp 2 biết kể chuyện sáng tạo
39 p | 27 | 3
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn