Khảo sát cực trị hàm số 12

Chia sẻ: Tô Minh Thuận | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

929
lượt xem 257
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tính đơn điệu của hàm số Định lý: (điều kiện cần) Định lý: (điều kiện đủ) Định lý mở rộng B. Cực tri của hàm số: Định lý: Định lý: (dấu hiệu thứ nhất) Định lý : (dấu hiệu thứ hai) Định lý Bài 1: Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + m (1) . Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị; đồng thời ba điểm cực trị đó tạo thành một tam giác có diện tích bằng 32 2

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khảo sát cực trị hàm số 12

CỰC TRỊ HÀM BẬC BA I,Tóm tắt lý thuyết: 1.Hàm số y = f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a ≠ 0 ) 2.Đạo hàm : y ' = f ' ( x) = 3ax 2 + 2bx + c 3.Điều kiện tồn tại cực trị Hàm số y = f (x) có cực trị ⇔ y = f (x) có cực đại và cực tiểu ⇔ f ' ( x) = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆' = b 2 − 3ac  0 . 4.Kỹ năng tính nhanh cực trị: Bước1:Thực hiện phép chia f (x) cho f ' ( x) ta có: 1 b 2 b  bc  f ( x ) =  x +  f ' ( x ) + c −  x +  d −  3 9a  3 3a   9a  Tức là: f ( x) = q( x). f ' ( x) + r ( x)  2 b bc  f ' ( x1) = 0  y1 = f ( x1) = r ( x1) = 3 (c − 3a ) x1 + (d − 9a )  Bước 2:Do  nên   f ' ( x 2) = 0  y 2 = f ( x 2) = r ( x 2) = 2 (c − b ) x 2 + (d − bc )   3 3a 9a .Hệ quả:Đường thẳng đi qua CĐ,CT có phương trình là: 2 b bc Y = r (x) hay y = (c − ) + ( d − ) 3 3a 9a II.Các dạng bài tập: Dạng 1:Sự tồn tại và vị trí của các điểm cực trị: Bài tập: 1 Bài 1:Tìm m để hàm số : y = x 3 + mx 2 + (m + 6) x − (2m + 1) có cực đại và cực 3 tiểu Giải:Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ phương trình y ' ( x) = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ x 2 + 2mx + (m + 6) = 0 có hai nghiệm phânbiệt ⇔ ∆' = m 2 − m − 6 > 0 ⇔ (m < −2) ∪ (m > 3) Bài 2:Tìm m để hàm số y = (m + 2) x 3 + 3x 2 + mx − 5 có cực đại và cực tiểu Giải: Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ phương trình y ' ( x) = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ 3(m + 2) x 2 + 6 x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt m + 2 ≠ 0 m ≠ −2 ⇔ ⇔ 2 ⇔ −3 < m ≠ −2 < 1 ∆' = −3m − 6m + 9 > 0 m + 2 m − 3 < 0 2 1 Bài 3:Tìm m để hàm số y = x 3 + (m − 2) x 2 + (5m + 4) x + (m 2 + 1) đạt cực trị tại 3 x1,x2 thỏa mãn điều kiện x1
1 Bài 4:Tìm m để hàm số y = x 3 + (m + 3) x 2 + 4(m + 3) x + (m 2 − m) đạt cực trị tại 3 x1,x2 thỏa mãn điều kiện -1 0   f cd = f ( x 2) = −6 3  .Phương trình đường thẳng đi qua CĐ,CT là y = −6( x − 1)
Bài 2:Tìm m để hàm số f ( x) = 2 x 3 + 3(m − 1) x 2 + 6(m − 2) x − 1 có đường thẳngđi qua CĐ,CT song song với đường thẳng y = ax + b Giải: .Đạo hàm f ' ( x) = 6( x 2 + (m − 1) x + m − 2) f ' ( x) = 0 ⇔ g ( x) = x 2 + (m − 1) x + m − 2 = 0 hàm số có CĐ,CT ⇔ f ' ( x) = 0hayg ( x) = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ g = (m − 3) 2 > 0 ⇔ m ≠ 3 .Thực hiện phép chia f (x) cho g (x) ta có f ( x) = g ( x)[2 x + (m − 1)] − (m − 3) 2 x − (m 2 − 3m + 3) Với m ≠ 3 thì g ( x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại x1,x2  g ( x1) = 0  y1 = f ( x1) = −(m − 3) 2 x1 − (m 2 − 3m + 3)  do  nên   g ( x 2) = 0  y 2 = f ( x 2) = −(m − 3) 2 x 2 − (m 2 − 3m + 3)  suy ra đường thẳng qua CĐ,CT là( ∆ ): y = −(m − 3) 2 x − (m 2 − 3m + 3) ta có ( ∆ ) song song với đường m ≠ 3 m ≠ 3, a < 0 a < 0 a < 0 y = ax + b ⇔  ⇔ ⇔ ⇔ − (m − 3) = a ( m − 3) = −a m − 3 = ± − a m = 3 ± − a 2 2 vậy nếu a ≥ 0 thì không tồn tại m;nếu a
Ta có CĐ,CT nằm trên đường thẳng  3m − 1 = 2 − (3m − 1) 2 = −4  y = −4 x ⇔ ( ∆ ) ≡ ( y = −4 x ) ⇔  ⇔  1 ⇔ m =1  m(m − 1)(1 − 2m) = 0  m ∈ 0;1;    2 Bài 4: Tìm m để hàm số f ( x) = x 3 + mx 2 + 7 x + 3 có đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểu vuông góc với đường thẳng y = 3x − 7 Giải: Hàm số có CĐ,CT ⇔ f ' ( x) = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆' g = m 2 − 21 > 0 ⇔ m > 21 .Thực hiện phép chia f (x) cho f ' ( x) ta có 1 1 2 7m f ( x) = f ' ( x)[ x + m] − [21 − m 2 ] x + 3 − 3 9 9 9 Với m > 21 thì f ' ( x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại x1,x2  2 7m  y1 = f ( x1) = 9 (21 − m ) x1 + 3 − 9 2  f ' ( x1) = 0  do  nên   f ' ( x 2) = 0  y 2 = f ( x 2) = 2 (21 − m 2 ) x 2 + 3 − 7 m   9 9 2 7m suy ra đường thẳng qua CĐ,CT là( ∆ ): y = (21 − m 2 ) x + 3 − 9 9  m > 21  ta có ( ∆ ) vuông góc với đường thẳng y = 3x − 7 ⇔  2  (21 − m )3 = −1 2 9 dạng 3:sử dụng định lý viét cho các điểm cực trị 2 bài 1:Cho f ( x) = x 3 + (cos a − 3 sin a) x 2 − 8(1 + cos 2a) x + 1 3 1.CMR:hàm số luôn có cực đại và cực tiểu. 2.Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1,x2.CMR:x1 2 +x2 2 ≤ 18 Giải: 1.Xét phương trình: f ' ( x) = 2 x 3 + 2(cos a − 3 sin a) x − 8(1 + cos 2a) = 0 Ta có ∆' = (cos a − 3 sin a) 2 + 16(1 + cos 2a) ∆' = (cos a − 3 sin a ) 2 + 32 cos 2 a ≥ 0∀a cos a = 0 cos a = 0 Nếu ∆' = 0 thì  ⇔ ⇒ 0 = cos 2 a + sin 2 a = 1 ⇒ 0 = 1 ⇒ vôlý cos a − 3 sin a = 0 sin a = 0 Từ đó suy ra ∆' > 0∀a ⇔ f ' ( x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại x1,x2.
 x1 + x 2 = 3 sin a − cos a 2.Theo định lý Viét ta có   x1x 2 = −4(1 + cos 2a ) Suy ra x1 2 +x2 2 =(x1+x2) 2 -2x1x2= (3 sin a − cos a) 2 + 8(1 + cos 2a) = 9 sin 2 a − 6 sin a cos a + 17 cos 2 a Khi đó BĐT:x1 2 +x2 2 ≤ 18 ⇔ 9 sin 2 a − 6 sin a cos a + 17 cos 2 a ≤ 18(sin 2 a + cos 2 a) ⇔ 0 ≤ (3 sin a + cos a ) 2 luôn đúng 2 Bài 2: Cho f ( x) = x 3 + (m + 1) x 2 + (m 2 + 4m + 2) x 3 1.Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu. 2.Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm >1. 3.Gọi các điểm cực trị là x1,x2.tìm max của A= x1x 2 − 2( x1 + x 2) Giải: Đạo hàm f ' ( x) = 2 x 2 + 2(m + 1) x + m 2 + 4m + 3 1.-5 0  ( m ≤ −3 − 2 ) ∪ (m ≥ −3 + 2)  S   m < −3 1 <  2    x1 + x 2 = −( m + 1)  3.Theo định lý viét ta có  1 2  x1x 2 = 2 (m + 4m + 3)  m 2 + 4m + 3 1 1 9 Khi đó A= x1x 2 − 2( x1 + x 2) = + 2(m + 1) = [9 − (m + 4) 2 ] ≤ .9 = 2 2 2 2 9 Với m=-4 ∈ (−5;−1) thì Max A= 2