intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Chuyên đề về Phương trình lượng giác

Chia sẻ: Tran Duy Thuc Thuc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:39

Thêm vào BST
Báo xấu
210
lượt xem 12
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chuyên đề Phương trình lượng giác giúp các bạn nắm bắt được những kiên thức về công thức lượng giác, phương trình lượng giác. Đặc biệt, với những bài tập được đưa ra ở cuối tài liệu sẽ giúp các bạn nắm bổ sung thêm kiến thức về lĩnh vực này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề về Phương trình lượng giác

  1. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Chuyên đề phương trình lượng giác Phần 1. Ôn tập công thức lượng giác A. Lý Thuyết I. Các công thức cơ bản sin x cos x a) sin 2 x  cos 2 x  1 b) tan x  c) cot x  cos x sin x 1 1 d) 1  tan 2 x  e) 1  cot 2 x  f) tan x. cot x  1 cos 2 x sin 2 x II. Giá trị lượng giác cung liên quan đặc biệt 1) Hai cung đối nhau 2) Hai cung bù nhau 3) Hai cung khác nhau 2  cos( x)  cos x sin(  x)  sin x sin( x  2 )  sin x sin( x)   sin x cos(  x)   cos x cos( x  2 )  cos x tan( x)   tan x tan(  x)   tan x tan( x  2 )  tan x cot( x)   cot x cot(  x)   cot x cot( x  2 )  cot x 4) Hai cung khác nhau  5) Hai cung phụ nhau sin(  x)   sin x     sin  x   cos x ; cos  x   sin x cos(  x)   cos x 2  2  tan(  x)  tan x     tan  x   cot x ; cot   x   tan x cot(  x)  cot x 2  2  III. Công thức cộng 1) sin(a  b)  sin a cos b  sin b cos a tan a  tan b 3) tan(a  b)  2) cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b 1  tan a tan b IV. Công thức nhân đôi. 2 tanx 1) sin 2x  2 sinx cosx 3) tan 2x  2 1  tan x 2 2 2 2 2) cos 2x  cos x  sin x  1  2 sin x  2 cos x  1 V.Công thức nhân ba 3 3 1) sin 3x  3sinx  4 sin x 2) cos 3x  4 cos x  3cosx . x VI. Công thức hạ bậc. Công thức viết các hàm lượng giác theo t  tan 2 2 2 1  cos 2x  2 cos x 2t 1 t 2t sin x  2 cos x  2 tanx  2 2 1  cos 2x  2 sin x 1 t 1 t 1 t VI. Công thức biến đổi tổng và tích 1. Công thức biến đổi tích thành tổng Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 1
  2. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM sin a cos b  1 sin(a  b)  sin(a  b) 2 cos a cos b  cos(a  b)  cos(a  b) 1 2 sin a sin b  cos(a  b)  cos(a  b) 1 2 2. Công thức biến đổi tổng thành tích ab a b sin a  sin b  2 sin . cos 2 2 ab a b sin a  sin b  2 cos .sin 2 2 ab a b cos a  cos b  2 cos . cos 2 2 ab a b cos a  cos b  2 sin .sin 2 2 VII. Một số nhóm công thức thường gặp khi giải phương trình lượng giác. sin(a  b) sin(a  b) 1) tan a  tan b  4) cot a  cot b   cos a cos b sin a sin b sin(a  b) 4 4 2 2 5) sin x  cos x  1  2 sin x.cos x 2) tan a  tan b  6 6 2 2 cos a cos b 6) sin x  cos x  1  3sin x.cos x sin(a  b) 3) cot a  cot b  sin a sin b B. Bài tập Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau: a) cos4 x sin4 x cos2x . sin x cos x cosx cosx d) 2 tan 2x . 1 2 cosx sin x cosx sin x b) cos4 x sin4 x 1 sin 2x . 2 e) 4 sin x cos3 x 4 sin3 x cos x sin 4x . 6 6 2 2 5 5 c) sin x cos x 1 3 sin x.cos x . f) 4 sin x cos x 4 sin x cos x sin 4x . Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau: sin 5x sin 3x sin 4x a) tan 4x . cos 5x cos 3x co s 4x 2 b) cos x sin x 1 sin 2x . 2 c) 1 sin 2x sin x cos x . d) cot x tan x 2 cot2x . 3 Bài 3. Cho sin x ,x 0; . Tính giá trị của biểu thức P cos x cos 2x . 5 2 Bài 4. Cho x ; và tan x 1 Tính giá trị của biểu thức A cos x sin x . 2 4 2 Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 2
  3. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Bài 5. Cho tan x 2 Tính giá trị của biểu thức sau: 2 sin x cos x 2 sin3 x sin2 x cos x cos3 x a) A . c) C . cos x sin x 3 cos x 2 sin x cos2 x 2 sin2 x sin x cos x 2 sin x sin2 x cos x cos x b) B . d) D . 3 cos2 x 2 sin x cos x 3 cos x 2 sin x cos2 x x x 2 sin 3 cos 1 2 2 1 Bài 6. Cho tan x ,x 0; . Tính giá trị của biểu thức P . 2 2 x x 5 sin 2 cos 2 2 2 2 Bài 7. Cho sin x ,x ; . Tính giá trị của biểu thức P cos x . 3 2 3 1 Bài 8. Cho sin x ,x ; . Tính giá trị của biểu thức P sin2x cos2x . 3 2 .......................................................................................................................... Phần 2. Phương trình lượng giác I. Phương trình lượng giác cơ bản A. Lý thuyết cần nhớ x    k2 1. Phương trình: sin x  sin   x      k2 , k  Z  x    k2 2. Phương trình: cos x  cos   x    k2 , k  Z  3. Phương trình: tan x  tan     k, k  Z 4. Phương trình: cot x  cot     k, k  Z B. Bài tập rèn luyện Bài 9. Giải các phương trình sau:   3   a) sin 3x    b) sin(3x - 2) = 1,5 c) 2 cos 2 x    1  6 2  5  3 d) cos(3x - 15o) = cos150o e) tan(2x + 3) = tan f) cot(45o - x) = 3 3  2   5    g) sin3x - cos2x = 0 h) sin x    cos 3x i) sin 3x    cos 3x    0  3   6   4 x     j) cos   cos(2 x  30 o ) k) cos2x = cosx l) sin  x   sin 2 x   2 4   4      1   3 m) sin x    1 n) sin12 x    o) cos 6 x     12   6 2  2 2 p) cos(  5x)  1 q) tan(3  6 x)  1 r) tanx  6   3   1  5   12  3 s) tan  2 x   t) cot   12 x   3 u) cot   5x   4  3  6   7  3 Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 3
  4. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM v) sin 12  3x   w) cos2 x  a   sin 3x 2 x) sin(3x  b)  cos 5x 2    5   7  y) tan  x   cot   x z) cot 3  x   tan  7x  4   6   12  Bài 10. Giải các phương trình sau trên khoảng đã cho : 1 1 a) sin 2x với 0 x . b) cot 3x với x 0. 2 3 2 1 c) sin x với 0 x 2 . d) 2 cos x 1 0 với x . 2 2 3 2 Bài 11. Giải các phương trình sau : a) 2 sin2 x 1 c) sin x 1 2 cos x 1 0 b) 2 cos 2x 3 2 cos x 1 0 d) tan x 1 tan x 3 0 e) cot x 1 tan x 3 0 f) cos 5x 2 sin2 x 1 Bài 12. Giải các phương trình sau : a) sin x sin 3x cos x 0 c) sin 3x.sin2x sin 4x sin x b) sin 5x sin x 2 cos2 x 1 d) 2 cos4 x 1 2 sin4 x e) cos2x sin x cos x f) sin x 2 cos2 2x 1 Bài 13. Giải các phương trình sau : a) 4 sin x cos x cos2x 1 c) sin 3x.sin2x sin 4x cos2x cos 3x 2 2 b) sin 5x cos x sin x cos 5x 2 cos x 1 d) 1 cos 2x sin x cos x 5 e) 4 cos2x sin x cos x sin 8x f) sin4 x cos4 x 8 Bài 14. Giải các phương trình sau : a) 4 sin3 x cos2x 3 sin x c) sin2x 3 cos x 4 cos3 x b) 2 sin2x cos x sin 3x 1 d) 2 sin 3x sin x 1 cos 4x II. Phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác A. Lý thuyết cần nhớ Dạng 1: a sin2 x b sin x c 0( ) , đặt: t sin x, t 1 . Pt ( ) trở thành: a t 2 bt c 0. Dạng 2: acos2 x bco s x c 0( ) , đặt: t cos x, t 1 . Pt ( ) trở thành: a t 2 bt c 0. Dạng 3: atan2 x b tan x c 0( ) , đặt: t tanx . Pt ( ) trở thành: a t 2 bt c 0. Dạng 4: acot2 x b cot x c 0( ) , đặt: t cotx . Pt ( ) trở thành: a t 2 bt c 0. Phương trình bậc cao hơn theo một hàm số lượng giác ta làm tương tự.  Chú ý: Các công thức lượng giác thường sử dụng trong dạng này là: 1) sin 2 x  cos 2 x  1 cos 2x cos 2x sin2 x 1 2 3) cos4 x sin4 x 1 sin 2x 2) cos 2x 2cos x 2 1 4 cos 2x 1 2 2 sin x 4) sin6 x cos6 x 1 3 sin2 x.cos2 x . Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 4
  5. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 1 co s 2x 1 co s 2x 5) cos2 x 6) sin2 x 2 2 7) cos3x 4cos3x 3cosx 8) sin 3x 3 sin x 4 sin3 x B. Bài tập mẫu: Ví dụ 1. Giải phương trình: cos 2x 3 sin2 x 2 0 (1) Phân tích: Thấy có 2x và góc x nên nghĩ đến công thức nhân đôi cos2x 1 2 sin2 x đưa về phương trình bậc hai theo sin. Giải (3) 1 2 sin2 x 3 sin2 x 2 0 2 sin2 x 3 sin x 1 0 x k2 sin x 1 2 1 x k2 , k Z . sin x 6 2 5 x k2 6 Ví dụ 2. Giải phương trình: cos 4x 12 sin2 x 1 0 (2) (CĐ Khối A,B,D – 2011) Phân tích:Trong bài toán có chứa góc x và 4x nên ta nghĩ đến việc đưa về cùng góc bằng công thức hạ 1 cos 2x bậc nâng cung của sin2 x . Vì khi sử dụng công thức hạ bậc nâng cung ta đã đưa về cos2x 2 nên ta chọn công nhân đôi của cos 4x 2cos 2 2x 1 . Khi đó phương trình sẽ đưa về bậc hai theo cos2x. Giải 1 cos 2x (2) 2cos 2 2x 1 12. 1 0 cos 2 2x 3cos2x 2 0 2 t 1(n ) Đặt t cos 2x, t 1 . Pt trở thành: t 2 3t 2 0 . t 2(l ) Với t 1 , ta có : cos 2x 1 x k , k Z . Ví dụ 3. Giải phương trình: cos4 x sin4 x cos 4x 0 (3) Phân tích:Ta thấy cos4 x sin4 x cos2x , chỉ cần sử dụng công thức nhân đôi của 2 cos 4x 2 cos 2x 1 . Khi đó phương trình (2) sẽ trở thành phương bậc hai theo cos2x.Khi đã quen rồi thì các Em có thể xem như phương trình bậc 2 theo ẩn là một hàm số lượng giác, không cần đặt t cho nhanh. Giải (3) cos 2x sin2 x cos 2x sin2 x 2cos 2 2x 1 0 2cos 2 2x cos 2x 1 0 cos 2x 1 x k 2 , k Z . 1 cos 2x x k2 2 6 Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 5
  6. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ví dụ 4. Giải phương trình: 2cos 2 x  1  cos3x  4 . Phân tích:Khi gặp bài lượng giác đầu tiên ta đánh giá về hàm số lượng giác,các góc trong đó . Thử đưa về cùng hàm cùng góc nếu có thể. Bài bày ta thấy phương trình chỉ có chứa một hàm cos nên ta nghĩ đến việc đưa về cùng góc. Ta nhớ cos3x 4cos3x 3cosx và cos2x 2 cos2 x 1 . Khi đó sẽ được phương trình bậc 3 theo cos. Giải (4)  2  2cos x 1  1  4cos x  3cos x  4cos 3 x  4cos 2 x  3cos x  3  0 2 3 1 3  cos x   cos x   (loai)  cos x  1 . 2 2 1   cos x  1  x  k 2 ,  k  Z  .  cos x   x    k 2 ,  k  Z  . 2 3 3x Ví dụ 5. Giải phương trình: cos x  cos 2  5 . 4 3x 1  3x  Phân tích:Trước tiên ta thử hạ bậc nâng cung cos 2  1  cos  ,tới đây ta sẽ thấy mối liên hệ 4 2 2  1 giữa x và 3x/2. Không quen nhìn thì ta đặt t=x/2, khi đó phương trình sẽ có dạng cos 2 t  1  cos3t  . 2 Khi đó giải như Ví dụ 4. Giải x 3t 1 Đặt t  , phương trình (5) trở thành: cos 2 t  cos 2  2cos 2t  1  1  cos3t  2 2 2  4cos t  2  1  4cost  3cos t  3cos t  4cos t  4cost  3  0 . Các em tự giaỉ tiếp nhé!! 2 3 3 2 Ví dụ 6. Giải phương trình: 2  3tan x  sin 2 x  0  6  . Phân tích: Khi gặp bài toán có chứa tan và cot ta nhớ đặt điều kiện và xem mối liên hệ giữa các góc 2t trong bài toán. Bài này chưa tanx và sin2x nên ta nghĩ đến công thức t  tan x  sin 2 x  . Khi 1 t2 đó bài toán trở thành phương trình đa thức. Giải Điều kiện: cos x  0 . Đặt: t  tan x .Phương trình (6) trở thành: 2t 2  3t   0  3t 3  2t 2  t  2  0  t  tan x  x... ! 1 t 2 Các Em tự giải tiếp nhé…! Ví dụ 7. Giải phương trình: 2sin 2 x  tan 2 x  2  7  . x Phân tích: Bài này nếu đặt t  tan đưa về phương trình đa thức theo t cũng được nhưng bậc khá 2 1 1 cao. Ta thử nhớ công thức 1  tan 2 x  2  tan 2 x  2  1 và sin 2 x  1  cos2 x . Khi đó bài cos x cos x toán đưa về phương trình trùng phương theo cos. Giải Điều kiện: cos x  0 . Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 6
  7. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM cos 2 x  1(l ) Cách 1:  7   2 1  cos 2 x    1  2  2cos 4 x  cos 2 x  1  0   2 1 cos 2 x cos x  1  2  k  2cos2 x  1  0  cos 2 x  0  x   ,  k  Z . . 4 2  k So với điều kiện ta có nghiệm của phương trình (7) là x   ,k Z . 4 2 sin 2 x 1 Cách 2:  7   2 .cos 2 x  tan 2 x  2  2 tan 2 x.  tan 2 x  2  tan 4 x  tan 2 x  2  0 cos x2 1  tan x 2  tan x  1  tan x  2(l )....! . 2 2 17 Ví dụ 8. Giải phương trình: sin8 x  cos8 x  cos 2 2 x 8 . 16 Giải Ta có: 2  1  1 sin x  cos x   sin x  cos x   2sin x.cos x  1  sin 2 2 x   sin 4 2 x  1  sin 2 2 x  sin 4 2 x . 8 8 4 4 2 4 4 1  2  8 8   Pt (8)  16 1  sin 2 2 x  sin 4 2 x   17 1  sin 2 2 x   2sin 4 2 x  sin 2 2 x  1  0 1  8  sin 2 x  1(loai) 2  k  2 1  1  2sin 2 2 x  0  cos 4 x  0  x   ,  k  Z . sin 2 x  8 4  2 Ví dụ 9. Giải phương trình: sin8 x  cos8 x  2  sin10 x  cos10 x   cos 2 x  9  . 5 4 Phân tích: Bài này ta để ý tí sẽ thấy bậc 8 và bậc 10 khi chuyển sang vế trái đặt ra làm nhân tử chung sẽ xuất hiện cos2x. Cụ thể:  9  sin8 x  2sin10 x  cos8 x  2cos10 x  cos 2 x  sin8 x 1  2sin 2 x   cos8 x 1  2cos 2 x   cos 2 x 5 5 4 4 Giải cos 2 x  sin 8 x 1  2sin 2 x   cos8 x 1  2cos 2 x   cos 2 x 5 5  9  sin8 x  2sin10 x  cos8 x  2cos10 x  4 4  9   sin 8 x cos 2 x  cos8 x cos 2 x  cos 2 x   cos 2 x  cos8 x  sin 8 x   cos 2 x 5 5 4 4  cos 2 x  cos 4 x  sin 4 x  cos 4 x  sin 4 x   cos 2 x  0 5 4  1   4.cos 2 x.cos 2 x 1  sin 2 2 x   5cos 2 x  0  2    1    cos 2 x.  4 cos 2 x. 1  1  cos 2 2 x    5   0   2   cos 2 x  0     x   k. ,  k  Z  .  2 cos 2 x  2 cos 2 x  5  0(VN ) 3 4 2 Ví dụ 10. Giải phương trình: cos 2 x  cos x  sin x  2  0 10  . 2 Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 7
  8. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Phân tích: Bài này khá dễ rồi nhỉ.! Ta chỉ cần đưa về phương trình bậc 2 theo sin như sau: cos 2 x  1  2sin 2 x;cos 2 x  1  sin 2 x . Giải sin x  1 10   2sin x  1  sin x  sin x  2  0  3sin x  sin x  4  0   2 2 2 4 sin x  (loai )  3  x  k 2 ,  k  Z  . 2 C. Bài tập rèn luyện: Bài 15.Giải các phương trình sau: a) cos2 x  5cos x  2  0 b) 2cos2 x  cos x 1  0 c) cot 2 x  4cot x  3  0   d) tan 2 x  1  3 tan x  3  0 e) cos 2x  9cos x  5  0 f) cos 2 x  sin x  3  0 Bài 16.Giải các phương trình sau: a) 3 sin 2 2 x  7 cos 2 x  3  0 b) 6 cos 2 x  5 sin x  7  0 c) cos 2x  5 sin x  3  0 d) cos 2x  cos x  1  0 e) 6 sin 3x  cos 12 x  14 2 f) 4 sin 4 x  12 cos 2 x  7 g) 8 sin 2 x  cos x  5 Bài 17.Giải các phương trình sau: 3 a) sin3 x  3sin 2 x  2sin x  0 b) sin 2 2 x  2cos 2 x   0 c) 5sin 3x  cos 6 x  2  0 4 d) 2cos 2 x  cos x  1 e) 4sin 4 3x  12cos2 3x  7  0 f) 5sin 2 x  3sin x  2  0 Bài 18.Giải các phương trình sau: a) 3  tan x  cot x   2.  2  sin x  . sin x sin 5 x e)  . 1 1 2 3 5 b)   . sin 5 x cos x sin 2 x sin 4 x f)  1. 6x 8x 5sin x c) 2cos2  1  3cos  0 . 5 5 5x x d) sin  5cos3 x.sin . 2 2  5   7    g) sin  2 x    3cos  x    1  sin x; x   ; 2  .  2   2  2  Bài 19.Giải các phương trình sau:     2 2 a) sin 2 x  3 cos 2 x  5  cos  2 x   . e) cot x  tan x  sin 2 x  .  6 sin 2 x 1 1 f) sin 2 x.  cot x  tan 2 x   4cos 2 x . b) 2sin 3x   2cos3x  . sin x cos x   g) tan 3  x    tan x  1 . c)   cos x 2sin x  3 2  2cos x  1  1. 2  4 1  sin 2 x h) 1  tan x 1  sin 2 x   1  tan x . x 3x x 3x 1 d) cos x.cos .cos  sin x sin sin  . 2 2 2 2 2 i) sin 2 x  cos x  3  2 3 cos3 x  3 3 cos 2 x  8   3 cos x  sin x  3 3 . Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 8
  9. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM  1   1  j) 4  sin 2 x  2   4  sin x  7.  sin x   sin x  k) tan 2 x  tan x.tan 3x  2 (ĐHQG Hà Nội 1996). l) 4  sin 3x  cos 2 x   5  sin x  1 III. Phương trình bậc nhất theo sin và cos. A. Lý thuyết cần nhớ Dạng cơ bản : a sin x b cos x c ( ). Cách giải 1:  Điều kiện để phương trình có nghiệm: a 2 b2 c.  Chia hai vế pt ( ) cho a 2 b2 0 ta được: a b c sin x . cos x a 2 b2 a 2 b2 a 2 b2  Bấm máy( nếu góc có giá trị đẹp), trong trường hợp không đẹp cứ đặt: a b cos ; sin . a2 b2 a2 b2 c c  Phương trình trở thành: sin x .cos sin .cos x sin x . a2 b2 a2 b2 Tới đây là dạng cơ bản !!! Cách giải 2: x  Kiểm tra xem cos 0 x k2 có phải là nghiệm không?? Nếu phải thì ta được một 2 họ nghiệm này. x x 1 t2 2t  cos 0 x k2 , đặt: t tan cos x ; sin x . Khi đó phương 2 2 1 t2 1 t2 trình ( ) trở thành : b c t2 2at c b 0 t tan x x ...! Mở rộng 1 : a sin x b cos x c siny hoặc a sin x b cos x c cosy . Mở rộng 2 : a sin x b cos x c siny d cos y . Sử dụng cách giải 1 của dạng cơ bản đối với hai dạng mở rộng này. Chú ý: Các công thức lượng giác thường sử dụng trong dạng này là: 1) sin(a  b)  sin a cos b  sin b cos a 2) cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b B. Bài tập mẫu: Ví dụ 11. Giải phương trình: 3 cos 2 x  sin 2 x  2 11 . Phân tích: Nếu thuộc kỉ công thức cộng em đưa vế trái về sin hay cos đều như nhau. Nếu quen sin đướng trước thì ta sắp xếp phương trình lại một tí…! Giải 1 3   11  sin 2 x  3 cos 2 x  2  sin 2 x  cos 2 x  1  sin 2 x.cos  sin cos 2 x  1 2 2 3 3   11  sin  2 x    1  x   k 2 ,  k  Z  .  3 12 Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 9
  10. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 3 1 Ví dụ 12. Giải phương trình: 8sin x   12  . cos x sin x Phân tích: Các em để ý không phải là luôn luôn nhưng khi thấy xuất hiện 3 thì thường là rơi vào dạng bậc nhất theo sin và cos hoặc mở rộng của nó.!! Giải sin x  0 Điều kiện:  . cos x  0 12  8sin 2 x.cos x  3 sin x  cos x  4cos x 1  cos 2 x   3 sin x  cos x  3cos x  4cos 2 x.cos x  3 sin x  cos x  3 sin x  2cos3x 1 3    cos x  sin x  cos3x  cos cos x  sin sin x  cos3x 2 2 3 3    x   k 2   ,  k  Z . 6 cos   x   cos 3x   3   x     k 2  12 Ví dụ 13. Giải phương trình: sin 3x  3 cos9 x  1  4sin 3 3x 13 . Phân tích: Thấy 3 là ta thử nghĩ đên dạng bậc nhất theo sin và cos, nhưng bài khác góc và lệch bậc?? Để ý tý Em sẽ thấy công thức nhân 3 (sin thì 3-4). Ta thấy sin 9 x  3sin 3x  4sin3 3x . Giải 13   3sin 3x  4sin 3 x   3 cos 9 x  1  sin 9 x  3 cos 9 x  1   k 2  x   1 3 1    ,  k  Z . 18 9  sin 9 x  cos 9 x   sin  9 x    sin   2 2 2  3 6  x  7  k 2  54 9 Ví dụ 14. Giải phương trình: cos x  3 sin x  2cos3x 14  . Phân tích: Đây là dạng mở rộng 1, em cứ giải tương tự như dạng cơ bản. Chia hai vế của phương trình cho 2 được: 1 3 cos x  sin x  cos3x vì vế phải là hàm cos nên để cho tiện thì các em cũng đưa vế trái về hàm 2 2 1 3     cos. Tức là: cos x  sin x  cos .cos x  sin .sin x  cos  x   . 2 2 3 3  3 Giải 1 3     14   cos x  sin x  cos3x  cos .cos x  sin .sin x  cos3 x  cos  x    cos3 x....!! 2 2 3 3  3 Các em tự giải tiếp nhé…! Ví dụ 15. Giải phương trình: cos 3x  sin 5x  3  cos 5x  sin 3x  15 . Phân tích: Đây là dạng mở rộng 2. Đưa các giá trị lượng giác cùng góc đưa về một vế. là chuyển góc 3x về một vế và 5x về một vế. Tiếp theo Em cứ giải tương tự như dạng cơ bản . Giải Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 10
  11. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 3 1 1 3 15  3sin 3x  cos 3x  sin 5x  3cos 5x  sin 3x  cos 3x  sin 5x  cos 5x 2 2 2 2      sin  3x    sin  5x   ….!!! Các em tự giải tiếp nhé…!  6  3 2  x x Ví dụ 16. Giải phương trình:  sin  cos   3 cos x  2 16  . (ĐH- D-2007)  2 2 Phân tích: Câu này khá cơ bản, thấy số 3 là khả năng phương trình bậc nhất theo sinx và cosx rồi. Chỉ cần khai triển hằng đẳng thức và đưa về đúng dạng thôi. Giải x x x x 16  sin 2 cos2  2sin cos  3 cos x  2  sin x  3 cos x  1 2 2 2 2 1 3 1   1     sin x  cos x   cos sin x  sin cos x   sin  x    sin 2 2 2 3 3 2  3 6    x   6  k 2  ,  k  Z .  x    k 2  2 Ví dụ 17. Giải phương trình: 4  sin 4 x  cos4 x   3 sin 4 x  2 17  . 1 1 Phân tích: Nhớ lại sin 4 x  cos4 x  1  sin 2 2 x  1  1  cos 4 x  . Tới đây các Em thu gọn lại sẽ ra 2 4 dạng cơ bản. Giải Ta có: sin 4 x  cos 4 x   sin 2 x  cos 2 x   2sin 2 x cos 2 x  1  sin 2 2 x  1  1  cos 4 x  . 2 1 1 2 4 17   4 1  1  cos 4 x   3 sin 4 x  2  3 sin 4 x  cos 4 x  2 1  4       sin  4 x    1  x    k ,  k  Z  .  6 6 4 1 Ví dụ 18. Giải phương trình: 1  sin 3 2 x  cos3 2 x  sin 4 x 18 . 2 Phân tích: Câu rơi vào dạng đặt nhân tử chung rồi. Thầy sẽ nói kỉ phần sau. Giải 18  2  sin 4 x  2 sin3 2 x  cos3 2 x   0  2  sin 4 x  2 sin 2 x  cos 2 x 1  sin 2 x cos 2 x   0  2  sin 4 x   sin 2 x  cos 2 x  2  2sin 2 x cos 2 x   0  2  sin 4 x  sin 2 x  cos 2 x  2  sin 4x   0 sin 2 x  cos 2 x  1  0   2  sin 4 x  .  sin 2 x  cos 2 x  1  0    2  sin 4 x  0(vn)    x    k   2 ,  k  Z . 4 sin 2 x  cos 2 x  1  sin  2 x       4 2  x    k  2 Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 11
  12. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ví dụ 19. Giải phương trình: tan x  3cot x  4 sin x  3 cos x   19  . Phân tích: Bài toán có tan và cot các Em nhớ phải đặt điều kiện và sau khi giải xong phải kết hợp điều kiện. Gặp tan và cot suy nghĩ tự nhiên là ta cứ chuyển về cos và sin. Qui đồng đồng bỏ mẫu,khi bài toán không đúng dạng thì các thường các Em phải phát được nhân tử chung trước. Cái này cần rèn luyện. Giải 19  sin x cos x 3 cos x sin x    4 sin x  3 cos x  sin 2 x  3cos 2 x  4sin x cos x sin x  3 cos x       sin x  3 cos x sin x  3 cos x  2sin 2 x sin x  3 cos x  0     sin x  3 cos x  sin x  3 cos x  2sin 2 x  0 sin x  3 cos x  0   sin x  3 cos x  2sin 2 x  0     tan x   3x  k ,  k  Z  . 3 1 3   sin x  3 cos x  2sin 2 x  sin x  cos x  sin 2 x 2 2    x    k 2   ,  k  Z . 3  sin  x    sin 2 x    3  x  4  k 2  9  4 So với điều kiện ta có nghiệm của pt (19) là: x    k 2 ; x   k 2 ,  k  Z  . 3 9 Ví dụ 20. Giải phương trình: sin x  cos x  sin x  cos x 3 3  20 . Giải  20  sin x sin 2  x 1  cos x  cos x  0   sin x cos 2 x  cos3 x  cos x  0 3   cos x  sin x cos x  cos 2 x  1  0  cos x  0      sin x cos x  cos x  1  2     x   k ,  k  Z  . 2 1 1  cos 2 x    sin 2 x   1  sin 2 x  cos 2 x  3(vn) 2 2 B. Bài tập rèn luyện: Bài 20.Giải các phương trình sau: a) 2sin x  2 cos x  2 b) sin 2 x  3 cos 2 x  2 c) sin 4 x  3 cos 4 x  2 d) cos x  3 sin x  1 e) 3 cos3x  sin3x  2  0 f) cos 2 x  2sin 2 x  3 Bài 21.Giải các phương trình sau: Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 12
  13. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 1 a) 2sin 2 x cos2 x  3 cos 4 x   2 b) sin 2 x  sin 2 x  2     5 2 c) 2 cos  x    3cos  x    d) cos2 x  3 sin 2 x  1  sin 2 x  6  3 2 e) 5sin 2 x  6cos2 x  13 f) 2sin 3x  sin 2 x  3 cos 2 x g) sin 3x  sin 5 x  3 cos5 x  cos3 x  h) 3 sin 4 x  cos 4 x  sin x  3 cos x i) sin 7 x  cos 6 x  3  sin 6 x  cos 7 x  j) sin 5x  3 cos5x  2cos3x Bài 22.Giải các phương trình sau:   1 a) sin 4  x    cos4 x  b) 4sin3 x cos3x  4cos3 x sin 3x  3 3 cos 4 x  3  4 4 c) 2 2  sin x  cos x  cos x  3  cos2 x d)  2cos x  1 sin x  cos x   1 2 e) 2cos 2 x  6  cos x  sin x  f) sin x  3 cos x  sin x  3 cos x 1 g) 4sin3 x  1  3sin x  3 cos3x h) sin x cos 4 x  3 cos5x  2  sin 4 x cos x cos x  sin 2 x i) 4sin 2 x  3cos 2 x  3  4sin x 1 j)  3 2cos 2 x  sin x  1 Bài 23.Giải các phương trình sau: 1 a) tan x  3  b) 3 sin 6 x  4cos 3 2 x  1  3cos 2 x cos x 5  3  c) cos3 x cos3x  sin3 x sin 3x  d) 4sin 2 x  3cos 2 x  5cos  3x  0 8  2  x  3  e) 4sin 2  3 cos 2 x  1  2cos 2  x   f) cos 2 x  3 sin 2 x  3 sin x  cos x  4  0 2  4  g)  sin x  cos x   2 1  sin 2 x   sin x  cos x  2 3 IV. Phương trình đẳng cấp sin và cos A. Lý thuyết cần nhớ Dạng 1: a sin 2 x  b sin x cos x  c cos2 x  d 1 Cách 1:Chia hai vế cho cos2 x hoặc sin 2 x . Bước 1: Kiểm tra cosx = 0 phải là nghiệm của phương trình này không?? Nếu phải thì nhận nghiệm này. Bước 2: Xét cos x  0 . Chia cả 2 vế của phương trình (1) cho cos 2 x ta được: sin 2 x cos 2 x  a tan 2 x  b tan x  c  d 1  tan 2 x  sin x cos x d 1  a 2  b 2 c 2 cos 2 x  2 cos x cos x cos x cos x   a  d  tan x  b tan x  c  d  0 . 2 Dạng 2: a sin 3 x  b sin 2 x cos x  c sin x cos2 x  d cos3 x  0  2  Dạng 3: a sin 4 x  b sin 3 x cos x  c sin 2 x cos2 x  d sin x cos3 x  e cos4 x  0  3 Cách giải: Chia hai vế của (2) cho cos3 x hoặc sin 3 x . Chia hai vế của (3) cho cos4 x hoặc sin 4 x rồi làm như trên. Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 13
  14. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM B. Bài tập mẫu: Ví dụ 21. Giải phương trình: cos2 x  3 sin 2 x  1  sin 2 x  21 . Giải Cách 1: TH1: Xét cos x  0  sin x  1. Khi đó phương trình (21) vô nghiệm.  TH2: Do cos x  0  x   k ,  k  Z  không là nghiệm của phương trình (21) nên ta chia hai vế 2 của phương trình (21) cho cos2 x được: cos2 x sin x cos x 1 sin 2 x  21   2 3   cos2 x cos2 x cos2 x cos2 x  1  2 3 tan x  1  tan 2 x  tan 2 x  2 tan 2 x  2 3 tan x  0  tan x  0  x  k   ,  k  Z .  tan x   3  x     k  3 Cách 2:    21  cos2 x  sin 2 x  3 sin 2 x  1  cos 2 x  3 sin 2 x  1  sin  2 x    1  3 Các Em tự giải tiếp nhé…! Ví dụ 22. Giải phương trình: cos3 x  4sin 3 x  3cos x sin 2 x  sin x  0  22  . Giải TH1: Xét cos x  0  sin x  1. Khi đó phương trình (22) vô nghiệm.  TH2: Do cos x  0  x   k ,  k  Z  không là nghiệm của phương trình (22) nên ta chia hai vế 2 của phương trình (22) cho cos3 x được: cos3 x sin 3 x cos x sin 2 x sin x  22   4  3  0 cos3 x cos3 x cos2 x cos3 x    1  4 tan 3 x  3tan 2 x  tan x 1  tan 2 x  0    3tan 3 x  3tan 2 x  tan x  1  0   tan x  1 tan 2 x  3  0    tan x  1  x    k  ,  k  Z . 4   tan x   3    x    k 3  6 Ví dụ 23. Giải phương trình: 3cos4 x  4cos2 x sin 2 x  sin 4 x  0  23 . Giải TH1: Xét cos x  0  sin x  1. Khi đó phương trình (23) vô nghiệm.  TH2: Do cos x  0  x   k ,  k  Z  không là nghiệm của phương trình (23) nên ta chia hai vế 2 của phương trình (23) cho cos4 x được: cos 4 x cos 2 x sin 2 x sin 4 x  23  3  4  0 cos 4 x cos 4 x cos 4 x Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 14
  15. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM      x    k  tan x  1 2  tan x 1 4  tan 4 x  4 tan 2 x  3  0   2   , k  Z.  tan x  3  tan x   3  x     k  3 Ví dụ 24. Giải phương trình: sin 2 x  2 tan x  3  24 . Giải  Điều kiện : cos x  0  x   k ,  k  Z  . 2  2 tan x  2 tan x 1  tan 2 x   3 1  tan 2 x  2sin x cos x 1 1  24  2  2 tan x. 2  3. 2 cos x cos x cos x   2 tan 3 x  3tan 2 x  4 tan x  3  0  tan x  1  x   k ,  k  Z  . 4 Ví dụ 25. Giải phương trình: sin x sin 2 x  sin 3x  6cos3 x  25 . Giải TH1: Xét cos x  0  sin x  1. Khi đó phương trình (25) vô nghiệm.  TH2: Do cos x  0  x   k ,  k  Z  không là nghiệm của phương trình (25) nên ta chia hai vế 2 của phương trình (25) cho cos3 x được: 2sin x sin x cos x 3sin x  4sin 3 x cos3 x  25    6 cos3 x cos3 x cos3 x sin 2 x sin 3 x 2 cos 2 x  3 sin x . 1 cos x cos 2 x t  4 cos3 x    6  2 tan 2 x  3tan x 1  tan 2 x  4 tan 3 x  6  0  tan x  2  x  arc tan 2  k  tan x  2 tan x  3tan x  6  0    ,  k  Z .  x     k 3 2  tan x   3  3 Ví dụ 26. Giải phương trình: sin 3x  cos3x  2cos x  0  26 . Phân tích: Các Em nhớ lại sin 3x  3sin x  4sin 3 x;cos3x  4cos3 x  3cos x . Khi đó viết lại phương trình các Em sẽ phát hiện đây dạng đẳng cấp bậc 3. Chia hai vế của phương trình cho cos3 x ,nhưng nhớ phải xét cos x  0 trước. Giải  26  3sin x  4sin3 x    4cos3 x  3cos x   2cos x  0  3sin x  4sin 3 x  4cos3 x  cos x  0  TH1: Xét cos x  0  sin x  1. Khi đó phương trình   vô nghiệm.  TH2: Do cos x  0  x   k ,  k  Z  không là nghiệm của phương trình   nên ta chia hai vế của 2 phương trình   cho cos3 x được: 3sin x 1 sin 3 x cos3 x cos x 1    . 2  4 3  4  . 0 cos x cos x cos x cos x cos x cos2 x 3     3tan x 1  tan 2 x  4 tan 3 x  4  1  tan 2 x  0  Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 15
  16. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM      x    k  tan x 1 ,  k  Z . 4   tan 3 x  tan 2 x  3 tan x  3  0     tan x   3  x     k  3 Ví dụ 27. Giải phương trình: sin x  cos3 x  3sin 2 x cos x  0  27  . Giải TH1: Xét cos x  0  sin x  1. Khi đó phương trình  27  vô nghiệm.  TH2: Do cos x  0  x   k ,  k  Z  không là nghiệm của phương trình  27  nên ta chia hai vế 2 của phương trình  27  cho cos3 x được: cos3 x sin 2 x cos x  27   sin x . 1  cos x cos 2 x cos3 x  3 cos3 x    0  tan x tan 2 x  1  1  3tan 2 x  0    tan x  1  x  4  k  tan x  3tan x  tan x  1  0   3 2  ,  k  Z .  tan x  1  2    x  arctan 1  2  k  Ví dụ 28. Giải phương trình:  9     cos 2  3  2 x   3 cos  4 x    1  sin   2 x  , x   ; 2   28  . 2  2   3  Giải  28  cos 2 2 x  3 sin 4 x  1  sin 2 x  2 TH1: Xét cos x  0  sin x  1. Khi đó phương trình   vô nghiệm.  TH2: Do cos x  0  x   k ,  k  Z  không là nghiệm của phương trình   nên ta chia hai vế của 2 phương trình   cho cos2 2x được: cos 2 2 x sin 2 x cos 2 x 1 sin 2 2 x     2 3   cos 2 2 x cos 2 2 x cos 2 2 x cos 2 2 x     xk  tan 2 x 0 ,  k  Z . 2  2 tan 2 2 x  2 3 tan 2 x  0     tan x   3 x     k   6 2 C. Bài tập rèn luyện Bài 24.Giải các phương trình sau: a) sin2 x  2 cos2 x  3sin x cos x b) sin2 x  3sin x cos x  1 c) 2sin2 x  3cos2 x  cos2 x  5sin 2 x  0 d) 5sin2 2 x  6sin 4 x  2cos2 2 x  0 e) 5sin2 x  5sin2 x  4cos2 x  0 f) 2sin2 3x  10sin6 x  cos2 3x  2 g) sin4 x  cos4 x  3sin x cos x  0 Bài 25.Giải các phương trình sau: Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 16
  17. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 1 a) 3 sin x  cos x  b) sin 2 x  3cos2 x  sin 2 x  2 cos x c) sin3x  cos3x  sin x  cos x d) sin3x  2 cos3 x e) sin 2 x  tan x  1  3sin x  cos x  sin x   3 f) sin x  4sin 3 x  cos x  0 g) tan x sin 2 x  2sin 2 x  3  cos 2 x  sin x.cos x  h) sin 3x  cos3x  2cos x  0 5sin 4 x.cos x cos 2 x 1 i) 6sin x  2cos3 x  j) cot x  1   sin 2 x  sin 2 x 2cos 2 x tan x  1 2 V. Phương trình dạng đối xứng: A. Lý thuyết cần nhớ Dạng 1: a  sin x  cos x   b sin x cos x  c  0 t 2 1 Cách giải: Đặt t  sin x  cos x, t  2  t   sin x  cos x   sin x cos x  2 2 thay vào phương 2 trình ta sẽ đưa về phương trình đa thức. Dạng 2: a  sin x  cos x   b sin x cos x  c  0 1 t 2 Cách giải: Đặt t  sin x  cos x, t  2  t 2   sin x  cos x   sin x cos x  2 . 2 Dạng 3: a  tan 2 x  cot 2 x   b  tan x  cot x   c  0 Cách giải: Điều kiện: sin 2 x  0 Đặt t  tan x  cot x, t  2  t 2   tan x  cot x   tan 2 x  cot 2 x  t 2  2 . 2 Dạng 4: a  tan 2 x  cot 2 x   b  tan x  cot x   c  0 Cách giải: Điều kiện: sin 2 x  0 Đặt t  tan x  cot x  t 2   tan x  cot x   tan 2 x  cot 2 x  t 2  2 . 2 Dạng 5: a  sin 4 x  cos4 x   b sin 2 x  c  0 1 1 Cách giải: Đặt t  sin 2 x, t  1  sin 4 x  cos 4 x  1  sin 2 2 x  1  t 2 . 2 2 Dạng 6: a  sin 4 x  cos4 x   b cos 2 x  c  0 Cách giải: Đặt t  cos 2 x, t  1  sin 4 x  cos 4 x  1  sin 2 2 x  1  1  cos 2 2 x    t 2 . 1 1 1 1 2 2 2 2 Dạng 7: a  sin 6 x  cos6 x   b sin 2 x  c  0 3 3 Cách giải: Đặt t  sin 2 x, t  1  sin 6 x  cos6 x  1  sin 2 2 x  1  t 2 . 4 4 Dạng 8: a  sin 6 x  cos6 x   b cos 2 x  c  0 Cách giải: Đặt t  cos 2 x, t  1  sin 6 x  cos6 x  1  sin 2 2 x  1  1  cos 2 2 x    t 2 . 3 3 1 3 4 4 4 4 Dạng 9: a sin 4 x  b cos4 x  c cos 2 x  d  0 Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 17
  18. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM  2 1  cos 2 x 1  t  4  1 t  2 sin x   sin x    2 2   2  Cách giải: Đặt t  cos 2 x, t  1    . cos 2 x  1  cos 2 x  1  t  1 t  2  4  2 2 cos x   2   Chú ý:Dạng 5,6,7,8,9 thật ra có thể xem như là phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác nên các Em có thể xem lại mục II. Nên ở đây Thầy chỉ đưa ra ví dụ của dạng 1 và 2 thôi nhé! Bài tập mẫu: Ví dụ 29. Giải phương trình: cos x  sin x  3sin x cos x 1  0  29 . Giải t 2 1 Đặt t  sin x  cos x, t  2  t 2   sin x  cos x   sin x cos x  2 . Phương trình (29) trở thành: 2 t  1(n) t 2 1 t  3.  1  0  3t  2t  5  0   2 . 2 t   5 (l )  3 Với Đặt t  1 , ta có : sin x  cos x  1 (Đây là phương trình bậc nhất theo sin cos đã biết. Các Em tự giải tiếp nhé..!) Ví dụ 30. Giải phương trình: cos x  sin x  6sin x cos x  1 30  . Giải 1 t2 Đặt t  cos x  sin x  , t  2  t 2   cos x  sin x   sin x cos x  2 . Phương trình (30) trở 2 thành: t  1(n) 1 t2 t  6.  1  3t  t  2  0   2 . 2 t   2 (n)  3 Thay t trở ngược lại   các Em tự giải tiếp nhé…!   Ví dụ 31. Giải phương trình: 2 cos  x    sin 2 x  1  31 .  4 Phân tích: Phương trình có vẻ chưa đúng dạng lắm. Thật ra các Em chỉ cần biến đổi ra về cùng góc là thấy đúng dạng ngay. Giải      31  2  cos .cos x  sin .sin x   2sin x cos x  1  cos x  sin x  2sin x cos x  1  0   4 4  Tới đây các Em làm tiếp pt   như trên nhé….! Ví dụ 32. Giải phương trình: 1  sin x 1  cos x   2 32 . Phân tích: Các Em để ý này đã cùng góc rồi do vậy nhân phân phối và và thu gọn thôi…! Giải 32  sin x  cos x  sin x cos x 1  2  sin x  cos x  sin x cos x 1  0  Tới đây các Em làm tiếp pt   như trên nhé….! Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 18
  19. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM Ví dụ 33. Giải phương trình: sinx+sin 2 x  cos3 x  0 33 . Giải  33  sinx+sin 2 x  cos xcos2 x  0  sinx 1  sinx   cosx 1  sin 2 x   0 s inx=1   1  sin x   s inx+cosx 1-sinx    0   sinx +cosx-sinxcosx=0   Các Em giải tiếp lần lượt từng phương trình riêng để thuận lợi nhé…! C. Bài tập rèn luyện Bài 26.Giải các phương trình sau: a) 3  sin x  cos x   2sin x cos x  3  0 b) sin x  cos x  4sin x cos x  4  0 c) 4sin x cos x  2  sin x  cos x   1  0 d) 2sin 2 x  3 6  sin x  cos x   8  0 Bài 27.Giải các phương trình sau: a) sin 2 x  2 2  sin x  cos x   5  0 b) sin x  cos x  7sin 2 x  1 c) sin3x  cos3x  2  sin x  cos x   1 d) 1  sin3 x  cos3 x  3sin x cos x  0 e) 2sin3 x  sin x  2cos3 x  cos x  cos 2 x f) cos 2 x  5  2  2  cos x sin x  cos x  g) sin3 x  cos3 x  cos 2 x h) 2sin x  cot x  2sin 2 x  1 i) 1  cos x  sin x  sin x 3 3 j) cot x  tan x  sin x  cos x VI. Đưa về phương trình tích: 1) Nhóm các góc phù hợp áp dụng công thức biến tổng thành tích hoặc biến tổng thành tích Ví dụ 34. Giải phương trình: sin 5x+cos 2 x  sin x  0 34  . Phân tích: Các Em để ý góc (5x-x):2=2x nên ta sẽ nhóm sin5x và sinx lại sữ dụng công thức biến tổng thành tích. Giải  34    sin 5 x+sin x   cos 2 x  0  2sin 4 x cos 2 x  cos 2 x  0  cos 2 x  2sin 4 x 1  0 cos 2 x  0   2sin 4 x  1  0 Các Em giải tiếp lần lượt từng phương trình riêng cho dễ nhé…! Ví dụ 35. Giải phương trình: cos3x+cos x  sin 4 x 35 . Phân tích: Các Em để ý cos3x + cosx có chưa cos2x và sin4x Em sử dụng công thức nhân đôi cũng có chứa cos2x nên ta sẽ có nhân chung là cos2x. Giải  35   cos 3x  cos x   2sin 2 x cos 2 x  2cos 2 x cos x  2sin 2 x cos 2 x  0 cos 2 x  0  cos x  sin 2 x  0 Các Em giải tiếp lần lượt từng phương trình riêng cho dễ nhé…! Ví dụ 36. Giải phương trình: cos x+cos 2 x  cos3x  cos 4 x  0 36  . Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 19
  20. Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM 3x  x 4 x  2 x Phân tích: Các Em để ý góc  nên ta nghĩ đến việc nhóm  cos3x  cos x  và 2 2  cos 4 x  cos 2 x  để biến đổi thành tích. Giải  36    cos 3x  cos x    cos 4 x  cos x   0  2 cos 2 x cos x  2 cos 3x cos x  0  2 cos x cos 2 x  cos 3x       cos x  0 x   k  x   k    2  2 cos 2 x  cos 3 x  0   cos 3x   cos 2 x cos 3x  cos   x   Các Em giải tiếp   nhé…! Ví dụ 37. Giải phương trình: sin x+sin3x  cos3x  cos x  0 37  . Giải  37    sin 3x  sin x    cos 3x  cos x   0  2sin 2 x cos x  2 cos 2 x cos x  0  2 cos x sin 2 x  cos 2 x        x   k cos x  0 x   k  2   2   sin 2 x  cos 2 x  0  cos 2 x  cos    2 x   cos 2 x   sin 2 x     2  Các Em giải tiếp   nhé…! Ví dụ 38. Giải phương trình: sin 2 x+sin 2 3x  cos2 2 x  cos2 4 x 38 . Phân tích: Trong phương trình có bậc hai,rất tự nhiên ta thử hạ bậc nâng cung xem. 1  cos 2 x 1  cos 6 x 1  cos 4 x 1  cos8 x sin 2 x  ;sin 2 3x  ;cos 2 2 x  ;cos 2 4 x  . Khi đó các hằng số tự 2 2 2 2 đã triệt tiêu đưa về cùng một vế ta sẽ thấy tương tự các bài ở trên. Giải 1  cos 2 x 1  cos 6 x 1  cos 4 x 1  cos8 x  38  +    cos8 x  cos 2 x  cos 6 x  cos 4 x  0 2 2 2 2 cos 5 x  0  2 cos 5 x cos 3x  2 cos 5 x cos x  0   cos 3x  cos x  0 Các Em giải tiếp nhé…! Ví dụ 39. Giải phương trình: sin 2 2 x+sin 2 4 x  sin 2 6 x 39 . Phân tích: Trong phương trình này ta không sử dụng công thức hạ bậc nâng hết vì như thế sẽ còn thừa số tự do và không đặt nhân tử chung được. Nên ta chỉ sử dụng công thức hạ bậc nâng cho 1  cos 4 x 1  cos12 x 12 x  4 x sin 2 2 x  ;sin 2 6 x  . Vì sao lại là sin 2 2 x;sin 2 6 x ??? AK…! Vì góc  4x 2 2 2 Hoặc Em cũng có thể kết hợp sin 2 4 x;sin 2 6 x . Giải Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.02: Bộ 500+ Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2020
576 tài liệu
913 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2