Công thức lượng giác và bất đẳng thức cần nắm

Chia sẻ: Up Up | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

Thêm vào BST

Báo xấu

907
lượt xem 239
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bất đẳng thức là một chủ đề đa dạng và hấp dẫn với nhiều bạn trẻ. Nói đến bất đẳng thức nhiều bạn trong chúng ta thường quan tâm tới bất đẳng thức đại số mà ở đó có nhiều kĩ thuật để khai thác và chứng minh nhưng ngoài bất đẳng thức đại số thì chúng ta còn có cả bất đẳng thức hình học với những nét đẹp riêng của hình học trong đó .Bài viết sau đây sẽ trình bày phương pháp sử dụng lượng giác chứng minh bất đẳng thức hình học. Ở đó...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Công thức lượng giác và bất đẳng thức cần nắm

G.NTH 1. C¸c kiÕn thøc cÇn n¾m 1.1. C¸c hÖ thøc c¬ b¶n π 1 + 1 + tg2α = + cos 2 α + sin 2 α = 1 (α ≠ + kπ) cos α 2 2 kπ 1 + tgα . cotgα = 1 (α ≠ + 1 + cotg2α = (α ≠ kπ) ) sin 2 α 2 1.2. C«ng thøc céng gãc + cos(α ± β) = cosα cosβ  sinα sinβ + sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ tgα ± tgβ π + tg (α ± β) = (α ; β ≠ + kπ) 1  tgα tgβ 2 cot gα. cot gβ  1 + cotg(α ± β) = (α; β ≠ kπ) cot gα ± cot gβ 1.3. C«ng thøc nh©n + sin2α = 2 sinα cosα + cos2α = cos2α - sin2α = 2cos2α - 1 = 1 - 2sin2α 2 tgα π π + tg2α = (α ≠ + k ) 1 − tg α 2 4 2 cot g 2 α − 1 kπ + cotg2α = (α ≠ ) 2 cot gα 2 + sin3α = 3sinα - 4sin3α + cos3α = 4cos3α - 3cosα 3tgα − tg 3α π π + tg3α = (α ≠ + k ) 1 − 3tg α3 6 3 1.4. C«ng thøc h¹ bËc 1 + cos 2α 1 − cos 2α + cos2α = + sin2α = 2 2 π 1 − cos 2α (α ≠ + kπ) + tg2α = 1 + cos 2α 2 1.5. C«ng thøc biÕn ®æi tæng thµnh tÝch: α+β α −β + cosα + cosβ = 2cos cos 2 2 α +β αβ + cosα - cosβ = - 2sin sin 2 2 α+β αβ + sinα + sinβ = 2sin cos 2 2 α +β α −β + sinα - sinβ = = - 2cos sin 2 2 1
G.NTH sin(α ± β) π (α; β ≠ + kπ) + tgα ± tgβ = cos α. cos β 2 1.6. C«ng thøc biÕn ®æi tÝch thµnh tæng: 1 + cosα.cosβ = [cos(α + β) + cos(α − β)] 2 1 + sinα.sinβ = [cos(α − β) + cos(α + β)] 2 1 + sinα.cosβ = [sin(α + β) + sin(α − β)] 2 BiÓu thøc lîng gi¸c BiÓu thøc ®¹i sè C«ng thøc lîng gi¸c t¬ng tù 1 1+tan2t = 1 + x2 1 + tan2t cos 2 t 4x3 - 3x 4cos3t - 3cost 4cos3t - 3cost = cos3t 2x2 - 1 2cos2t - 1 2cos2t - 1 = cos2t 2x 2 tan t 2 tan t = tan2t 1 − tan 2 t 1 − tan 2 t 1− x2 2x 2 tan t 2 tan t = sin2t 1 + tan 2 t 1 + tan 2 t 1+ x2 x+y tan  + tan  tan  + tan  = tan(α+β) 1 − tan  tan  1 − tan  tan  1 − xy 1 1 − 1 = tan2α −1 x2 - 1 cos α cos α 2 2 ... .... ...... mét sè ph¬ng ph¸p lîng gi¸c ®Ó chøng minh bÊt ®¼ng thøc ®¹i sè I. D¹ng 1: Sö dông hÖ thøc sin2 + cos2 = 1 1) Ph¬ng ph¸p: x = sin α víi α ∈ [0, 2π] a) NÕu thÊy x2 + y2 = 1 th× ®Æt   y = cos α  x = r sin  víi α ∈ [0, 2π] b) NÕu thÊy x2 + y2 = r2 (r > 0) th× ®Æt   y = r cos  2. C¸c vÝ dô minh ho¹: VD1: Cho 4 sè a, b, c, d tho¶ m·n: a2 + b2 = c2 + d2 = 1 Chøng minh r»ng: − 2 ≤ a(c+d) + b(c-d) ≤ 2 2
G.NTH Gi¶i: c = sin v a = sin u ⇒ S = sinu(sinv+cosv) + cosu(sinv-cosv) §Æt  vµ  d = cos v b = cos u ⇒ P = a(c+d) + b(c-d) = (sinucosv+cosusinv) - (cosucosv - sinusinv) = sin(u+v) - cos(u+v) π  ⇔ S = 2 sin(u + v) −  ∈[− 2, 2] ⇒ − 2 ≤ S = a(c + d) + b(c − d) ≤ 2 (®pcm)  4 2 2  1  1 25 VD2: Cho a + b = 1. Chøng minh r»ng:  a 2 + 2  +  b 2 + 2  ≥ 2 2  a  b 2 Gi¶i: §Æt a = cosα vµ b = sinα víi 0 ≤ α ≤ 2π. ThÕ vµo biÓu thøc vÕ tr¸i råi biÕn ®æi. 2 2 2 2  2 1  2 1  2 12 1  a + 2  +  b + 2  =  cos α +  +  sin α + 2  cos α   sin α   a  b  2 cos 4 α + sin 4 α 1 1 = cos4α + sin4α + + 4 + 4 = cos 4 α + sin 4 α + +4 cos 4 α sin α cos 4 α. sin 4 α ( )   1 = cos 4 α + sin 4 α 1 + +4  cos α. sin α  4 4 [( ] )   1 = cos 2 α + sin 2 α − 2 cos 2 α sin 2 α 1 + +4  cos α. sin α  4 4 1  16   1 17 25 = 1 − sin 2 2α 1 + 4  + 4 ≥ 1 − (1 + 16) + 4 = + 4 = (®pcm)  sin 2α  2  2 2 2 B©y giê ta ®Èy bµi to¸n lªn møc ®é cao h¬n mét bíc n÷a ®Ó xuÊt hiÖn a2+b2=1 VD3: Cho a2 + b2 - 2a - 4b + 4 = 0. Chøng minh r»ng: A = a 2 − b 2 + 2 3ab − 2(1 + 2 3 )a + (4 − 2 3 )b + 4 3 − 3 ≤ 2 Gi¶i: BiÕn ®æi ®iÒu kiÖn: a2 + b2 - 2a - 4b + 4 = 0⇔ (a-1)2 + (b-2)2 = 1 a − 1 = sin α a = 1 + sin α ⇒ ⇒ A = sin 2 α − cos 2 α + 2 3 sin α cos α §Æt  b − 2 = cos α b = 2 + cos α π 3 1 A = 3 sin 2α − cos 2α = 2 sin 2α − cos 2α = 2 sin( 2α − ) ≤ 2 (®pcm) 2 2 6 VD4: Cho a, b tho¶ m·n : 5a + 12b + 7 = 13 3
G.NTH Chøng minh r»ng: a2 + b2 + 2(b-a) ≥ - 1 Gi¶i: BiÕn ®æi bÊt ®¼ng thøc: a2 + b2 + 2(b-a) ≥ - 1 ⇔ (a-1)2 + (b + 1)2 ≥ 1 a − 1 = R sin α a = R sin α + 1 víi R ≥ 0 ⇔ ⇔ (a − 1) 2 + (b + 1) 2 = R 2 §Æt   b + 1 = R cos α b = R cos α − 1 Ta cã: 5a + 12b + 7 = 13 ⇔ 5(R sin α + 1) + 12(R cos α − 1) + 7 = 13  5 5 12 ⇔ 5R sin α + 12R cosα = 13 ⇔ 1 = R sin α + cosα = R sin α + arccos  ≤ R  13 13 13 Tõ ®ã ⇒ (a-1)2 + (b+1)2 = R2 ≥ 1 ⇔ a2 + b2 + 2(b - a) ≥ - 1 (®pcm) II. D¹ng 2: Sö dông tËp gi¸ trÞ | sin α |≤ 1 ; | cos α | ≤ 1 1. Ph¬ng ph¸p:      x = sin  khi  ∈  − 2 ; 2  a) NÕu thÊy |x| ≤ 1 th× ®Æt     x = cos  khi  ∈ [ 0;  ]       x = m sin  khi  ∈  − 2 ; 2  b) NÕu thÊy |x| ≤ m ( m ≥ 0 ) th× ®Æt     x = m cos  khi  ∈ [ 0;  ]  2. C¸c vÝ dô minh ho¹: VD1: Chøng minh r»ng: (1+x)p + (1-x)p ≤ 2p ∀ |x| ≤ 1 ; ∀ P ≥ 1. Gi¶i: §Æt x = cosα víi α ∈ [0, π], khi ®ã (1 + x)p + (1 - x)p = (1+cosα)p + (1-cosα)p p p α  α α α α α    =  2 cos 2  +  2 sin 2  = 2 p  cos 2 p + sin 2 p  ≤ 2 p  cos 2 + sin 2  = 2 p  2  2  2  2 2 2 (®pcm) 3−2 3+2 VD2: Chøng minh r»ng: ≤ 3x 2 + x 1 − x 2 ≤ 2 2 Gi¶i: Tõ ®k 1 - x2 ≥ 0 ⇔ |x| ≤ 1 nªn §Æt x = cosα víi 0 ≤ α ≤ π ⇒ 1 − x 2 = sinα. Khi ®ã ta cã: P= 2 3 x 2 + 2 x 1 − x 2 = 2 3 cos 2  + 2 cos  sin  = 3 (1 + cos 2 ) + sin 2 4
G.NTH 3  π  1 = 2 cos2α + sin 2α + 3 = 2 sin 2α +  + 3 ⇒ 3 − 2 ≤ A ≤ 3 + 2 (®pcm)  3 2  2 [ (1 + a) ] VD3: Chøng minh r»ng: 1 + 1 − a 2 − (1 − a )3 ≤ 2 2 + 2 − 2a 2 (1) 3 Gi¶i: Tõ ®k |a| ≤ 1 nªn α α §Æt a=cosα víi α∈[0,π] ⇒ 1 − a = 2 sin ; 1 + a = 2 cos ; 1 − a 2 = sin α 2 2 α α α α α α  (1)⇔ 1 + 2 sin cos .2 2 cos 3 − sin 3  ≤ 2 2 + 2 2 sin cos  2 2 2 2 2 2 α α  α α  α α α α α α ⇔  sin + cos  cos − sin  cos2 + sin cos + sin 2  ≤ 1 + sin cos  2  2  2 2 2 2 2 2 2 2 α α  α α α α ⇔  sin + cos  cos − sin  = cos 2 − sin 2 = cos α ≤ 1 ®óng ⇒ (®pcm)  2  2 2 2 2 2 )( ) ( VD4: Chøng minh r»ng: S = 4 (1 − a 2 )3 − a 3 + 3 a − 1 − a 2 ≤ 2 Gi¶i: Tõ ®k |a| ≤ 1 nªn: §Æt a = cosα víi α ∈ [0, π] ⇒ 1 − a 2 = sinα. Khi ®ã biÕn ®æi S ta cã: S= 4(sin 3 α − cos 3 α) + 3(cos α − sin α) = (3 sin α − 4 sin 3 α) + (4 cos 3 α − 3 cos α) π  = sin 3α + cos 3α = 2 sin  3α +  ≤ 2 ⇒ (®pcm)  4 ) ( VD5: Chøng minh r»ng A = a 1 − b 2 + b 1 − a 2 + 3 ab − (1 − a 2 )(1 − b 2 ) ≤ 2 Gi¶i: Tõ ®iÒu kiÖn: 1 - a2 ≥ 0 ; 1 - b2 ≥ 0 ⇔ |a| ≤ 1 ; |b| ≤ 1 nªn.  π π §Æt a = sinα, b = sin β víi α, β ∈ − ;   2 2 Khi ®ã A = sin α cos β + cos α sin β − 3 cos(α + β) = π  1 3 = sin(α + β) − 3 cos(α + β) = 2 sin(α + β) − cos(α + β) = 2 sin(α + β) −  ≤ 2  3 2 2 (®pcm) VD6: Chøng minh r»ng: A = |4a3 - 24a2 + 45a - 26| ≤ 1 ∀a ∈ [1; 3] 5
G.NTH Gi¶i: Do a ∈ [1, 3] nªn |a-2| ≤ 1 nªn ta ®Æt a - 2 = cosα ⇔ a = 2 + cosα. Ta cã: A = 4(2 + cosα)3 − 24 2 + cosα)2 + 45 2 + cosα) − 26 = 4cos α − 3cosα = cos3α ≤1 ( ( 3 (®pcm) VD7: Chøng minh r»ng: A = 2a − a 2 − 3a + 3 ≤ 2 ∀ a ∈[0, 2] Gi¶i: Do a ∈ [0, 2] nªn |a-1| ≤ 1 nªn ta ®Æt a - 1 = cosα víi α ∈ [0, π]. Ta cã: 2(1 + cos α ) − (1 − cos α ) 2 − 3 (1 + cos α ) + 3 = 1 − cos 2 α − 3 cos α A= 1  π  3 = sin α − 3 cos α = 2 sin α − cos α  = 2 sin  α +  ≤ 2 (®pcm) 2   3   2 π 1 1 III. D¹ng 3: Sö dông c«ng thøc: 1+tg2 = ⇔tg2α= 2 −1 (α ≠ + kπ) cos α cos α 2 2 1) Ph¬ng ph¸p: a) NÕu |x| ≥ 1 hoÆc bµi to¸n cã chøa biÓu thøc x2 −1  π   3π  1 víi α∈ 0;  ∪ π,  th× ®Æt x = cos α  2  2  b) NÕu |x| ≥ m hoÆc bµi to¸n cã chøa biÓu thøc x 2 − m2  π   3π  m víi α∈ 0;  ∪ π,  th× ®Æt x = cos α  2  2  2. C¸c vÝ dô minh ho¹: a2 −1 + 3 VD1: Chøng minh r»ng A = ≤ 2 ∀ a ≥1 a Gi¶i: Do |a| ≥ 1 nªn :  π   3π  1 víi α∈ 0;  ∪ π,  ⇒ a 2 − 1 = tg 2 α = tgα . Khi ®ã: §Æt a = cos α  2  2  a 2 −1 + 3 π  = (tgα + 3) cosα = sin α + 3 cosα = 2 sin α +  ≤ 2 (®pcm) A=  3 a 5 − 12 a 2 − 1 VD2: Chøng minh r»ng: - 4 ≤ A = ≤ 9 ∀ a ≥1 a2 Gi¶i: 6
G.NTH Do |a| ≥ 1 nªn:  π   3π  1 víi α∈ 0;  ∪ π,  ⇒ a 2 − 1 = tg 2 α = tgα . Khi ®ã: §Æt a = cos α  2  2  5(1+ cos2α) 5−12 a2 −1 − 6sin2α = (5-12tgα)cos2α = 5cos2α-12sinαcosα= A= 2 2 a 5 13  5  5 13  5 12 = +  cos 2α − sin 2α  = + cos 2α + arccos  2 2  13 22  13  13 5 13  5  5 13 5 13 ⇒-4= + (−1) ≤ A = + cos 2α + arccos  ≤ + .1 = 9 (®pcm)  13  2 2 22 22 a 2 − 1 + b2 − 1 ∀ a ; b ≥1 ≤1 VD3: Chøng minh r»ng: A = ab Gi¶i: Do |a| ≥ 1; |b| ≥ 1 nªn .  π   3π  1 1 víi α∈ 0;  ∪ π,  . Khi ®ã ta cã: §Æt a = ;b= cos β cos α  2  2  A = ( tgα + tgβ) cos α cos β = sin α cos β + sin β cos α = sin(α + β) ≤ 1 (®pcm) a ≥ 2 2 ∀ a >1 VD4: Chøng minh r»ng: a + a −1 2 Gi¶i: Do |a| > 1 nªn:  π 1 a 1 1 1 víi α∈  0;  ⇒ = = §Æt a = . Khi ®ã: . cos α a 2 − 1 cos α tg 2 α sin α  2 a 1 1 1 1 22 = + ≥ 2. = ≥ 2 2 (®pcm) a+ . cos α sin α cos α sin α sin 2α a2 −1 VD5: Chøng minh r»ng y x 2 − 1 + 4 y 2 − 1 + 3 ≤ xy 26 ∀ x ; y ≥ 1 Gi¶i:   1  4 y2 − 1 3  x2 − 1 BÊt ®¼ng thøc ⇔ + + ≤ 26 (1) x y x y    π 1 1 Do |x|; |y| ≥ 1 nªn §Æt x = víi α, β∈ 0 . ; y= , cosβ cos α  2 7
G.NTH Khi ®ã: (1) ⇔ S = sinα + cosα(4sinβ + 3cosβ) ≤ 26 Ta cã: S ≤ sinα + cosα (4 2 + 32 )(sin 2 β + cos 2 β) = sin α + 5 cos α ≤ (12 + 52 )(sin 2  + cos 2  ) = 26 ⇒ (®pcm) 1 IV. D¹ng 4: Sö dông c«ng thøc 1+ tg2 = cos 2 α 1. Ph¬ng ph¸p:  π π a) NÕu x ∈ R vµ bµi to¸n chøa (1+x2) th× ®Æt x = tgα víi α ∈  − ,   2 2  π π b) NÕu x ∈ R vµ bµi to¸n chøa (x2+m2) th× ®Æt x = mtgα víi α ∈  − ,   2 2 2. C¸c vÝ dô minh ho¹: 3x 4x 3 − ≤1 VD1: Chøng minh r»ng: S = 1 + x2 (1 + x 2 )3 Gi¶i:  π π 1 §Æt x = tgα víi α ∈  − ,  ⇒ 1 + x 2 = , khi ®ã biÕn ®æi S ta cã: cos α  2 2 S = |3tgα.cosα - 4tg3α.cos3α| = |3sinα - 4sin3α| = |sin3α| ≤ 1 (®pcm) 3 + 8a 2 + 12a 4 VD2: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = (1 + 2a 2 ) 2 Gi¶i:  π π 3 + 4 tg 2 α + 3tg 4 α §Æt a 2 = tgα víi α∈ − ,  th× ta cã: A = (1 + tg 2 α) 2  2 2 3 cos 4 α + 4 sin 2 α cos 2 α + 3 sin 4 α = 3(sin 2 α + cos 2 α) 2 − 2 sin 2 α cos 2 α = (cos α + sin α) 2 2 2 sin 2 2α sin 2 2α 5 1 0 ⇒ = 3− ≤ A = 3− ≤ 2− =3 =3- 2 2 2 2 2 π 1 5 Víi α = 0 ⇒ a = 0 th× MaxA = 3 ; Víi α = ⇒ a = th× MinA = 2 4 2 (a + b)(1 − ab) 1 ≤ ∀ a, b ∈ R VD3: Chøng minh r»ng: (1 + a 2 )(1 + b 2 ) 2 Gi¶i: 8
G.NTH (a + b )(1 − ab) (tgα + tgβ)(1 − tgαtgβ) §Æt a = tgα, b = tgβ. Khi ®ã = (1 + a )(1 + b ) (1 + tg 2 α)(1 + tg 2β) 2 2 sin(α + β) cos α. cos β − sin α. sin β = cos 2 α cos 2 β. . cos α. cos β cos α. cos β sin[2(α + β)] ≤ (®pcm) 1 1 = sin(α + β) cos(α + β) = 2 2 | a −b | | b−c| | c −a | + ≥ ∀ , b,c VD4: Chøng minh r»ng: a (1+a2)( +b2) (1+b2)( +c2) (1+c2)( +a2) 1 1 1 Gi¶i: §Æt a = tgα, b = tgβ, c = tgγ. Khi ®ã bÊt ®¼ng thøc ⇔ | tg α − tg β | | tg β − tg γ | | tg γ − tg α | ⇔ + ≥ (1 + tg 2 α )(1 + tg 2 β ) (1 + tg 2 β )(1 + tg 2 γ ) (1 + tg 2 γ )(1 + tg 2 α ) sin(α − β) sin(β − γ ) sin( γ − α) ⇔ cos α cos β. + cos β cos γ. ≥ cos γ cos α. cos α. cos β cos β. cos γ cos γ. cos α ⇔ |sin(α-β)|+|sin(β-γ)| ≥ |sin(γ-α)|. BiÕn ®æi biÓu thøc vÕ ph¶i ta cã: |sin(γ-α)|= |sin[(α-β)+(β-γ)]| = |sin(α-β)cos(β-γ)+sin(β-γ)cos(α-β)| ≤ |sin(α-β)cos(β-γ)|+|sin(β-γ)cos(α-β)|=|sin(α-β)||cos(β-γ)|+|sin(β-γ)||cos(α-β)| ≤ |sin(α-β)|.1 + |sin(β-γ)|.1 = |sin(α-β)| + |sin(β-γ)| ⇒ (®pcm) ab + cd ≤ (a + c)(b + d ) (1) ∀a , b, c, d > 0 VD5: Chøng minh r»ng: Gi¶i: cd (1) ⇔ ab cd 1 ab + ≤1⇔ + ≤1 ( a + c )( b + d ) ( a + c )( b + d )  c  b  c  b  1 +  1 +   1 +  1 +   a  d   a  d   π c d §Æt tg2α= , tg2β= víi α,β ∈  0,  ⇒ BiÕn ®æi bÊt ®¼ng thøc  2 a b tg2α.tg2β 1 ⇔ + = cos2 α cos2 β + sin2 α sin2 β ≤ 1 (1 + tg α)(1 + tg β) (1 + tg α)(1 + tg β) 2 2 2 2 ⇔ cosα cosβ + sinα sinβ = cos(α-β) ≤ 1 ®óng ⇒ (®pcm) cd DÊu b»ng x¶y ra ⇔ cos(α-β) = 1 ⇔ α=β ⇔ = ab 6a + 4 | a 2 − 1 | VD6: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = a2 +1 9
G.NTH Gi¶i: α α α α + 4 | tg 2 − 1 | tg 2 − 1 6 tg 2 tg α 2 2 + 4. 2 = 3. 2 §Æt a = tg . Khi ®ã A = α α α 2 tg 2 + 1 1 + tg 2 tg 2 + 1 2 2 2 A = 3sin α + 4 |cosα| ≥ 3 sinα + 4.0 = 3sinα ≥ 3.(-1) = -3 Sö dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy - Schwarz ta cã: A2 = (3sinα + 4 |cosα|)2 ≤ (32 + 42)(sin2α + cos2α) = 25 ⇒ A ≤ 5 sin α | cos α | Víi sinα = 1 ⇔ a = 1 th× MinA = - 3 ; víi = th× MaxA = 5 3 4 V. D¹ng 5: §æi biÕn sè ®a vÒ bÊt ®¼ng thøc tam gi¸c 1) Ph¬ng ph¸p: π  x; y; z > 0 A; B; C ∈ (0; ) th× ∃∆ABC :  a) NÕu  2 2 x + y 2 + z 2 + 2xyz = 1  x = cos A; y = cos B; z = cos C  π  x; y; z > 0 A; B; C ∈ (0; ) th× ∃∆ABC :  b) NÕu  2 x + y + z = xyz x = tgA; y = tgB; z = tgC  π  A; B; C ∈ (0; 2 )  x = cot gA; y = cot gB; z = cot gC x; y, z > 0  th× ∃∆ABC :  c) NÕu  xy + yz + zx = 1 A; B; C ∈ (0; π)   A B C x = tg ; y = tg ; z = tg   2 2 2 2. C¸c vÝ dô minh ho¹: VD1: Cho x, y, z > 0 vµ zy + yz + zx = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc. 111 S = + + − 3( x + y + z) xyz Gi¶i: α β γ  π ; y = tg ; z = tg víi α, β, γ ∈  0,  Tõ 0 < x, y, z < 1 nªn ®Æt x = tg  2 2 2 2 αβ βγ γα Do xy + yz + zx = 1 nªn tg tg + tg tg + tg tg =1 22 22 22 10
G.NTH β γ tg + tg α β βγ γ 2 = 1 ⇔ tg β + γ  = cot g α ⇔ tg  tg + tg  = 1 - tg tg ⇔ 2   2 2 1 − tg β tg γ tg α 2 2 2 2 2 2 22 2 β γ  π α βγπα α+β+ γ π ⇔ tg +  = tg +  ⇔ + = − ⇔ = ⇔ α+β+ γ = π 2 2 2 2 2222 2 2 α β γα β γ 111 + + − 3( x + y + z) = cotg + cotg + cotg -3  tg + tg + tg  S= 22 2 2 xyz 2 2 α α  β β  γ γ  α β γ  S =  cot g − tg  +  cot g − tg  +  cot g − tg  − 2 tg + tg + tg   2  2  2  2 2 2 2 2 2 α β γ S = 2(cotgα+cotgβ+cotgγ) - 2 tg + tg + tg  2 2 2 γ α β S = (cotgα+cotgβ-2tg ) + (cotgβ+cotgγ-2tg ) +(cotgα+cotgβ-2tg ) 2 2 2 sin(α + β) 2 sin γ 2 sin γ = = §Ó ý r»ng: cotgα + cotgβ = sin α. sin β 2 sin α. sin β cos(α − β) − cos(α + β) γ γ 4 sin cos 2 sin γ 2 sin γ 2 = 2 tg γ ⇒ cot gα + cot gβ − 2 tg γ ≥ 0 2 ≥ = = γ 1 − cos(α + β) 1 + cos γ 2 2 2 cos 2 2 1 T ®ã suy ra S ≥ 0. Víi x = y = z = th× MinS = 0 3 x y z 4 xyz + + = VD2: Cho 0 < x, y, z < 1 vµ 1− x 1− y 1− z (1 − x )(1 − y 2 )(1 − z 2 ) 2 2 2 2 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc S = x2 + y2 + z2 Gi¶i: α β γ  π ; y = tg ; z = tg víi α, β, γ ∈  0,  Do 0 < x, y, z < 1 nªn ®Æt x = tg  2 2 2 2 2x 2y 2z Khi ®ã tgα = ; tgβ = ; tgγ = vµ ®¼ng thøc ë gi¶ thiÕt 1− x2 1 − y2 1 − z2 2x 2y 2z 8xyz ⇔ ⇔ tgα+tgβ+tgγ = tgα.tgβ.tgγ + + = 1− x 1− y 1− z (1 − x )(1 − y 2 )(1 − z 2 ) 2 2 2 2 11
G.NTH tgα + tgβ ⇔ tgα + tgβ = - tgγ(1-tgα.tgβ) ⇔ = - tgγ ⇔ tg(α+β) = tg(-γ) 1 − tgα.tgβ  π Do α, β, γ ∈  0,  nªn α + β = π - γ ⇔ α + β + γ = π. Khi ®ã ta cã:  2 αβ βγ γα tg + tg tg + tg tg = 1 ⇔ xy + yz + zx = 1. MÆt kh¸c: tg 22 22 22 [ ] 1 ( x − y) 2 + ( y − z ) 2 + ( z − x ) 2 ≥ 0 (x2 + y2 + z2) - (xy + yz + zx) = 2 1 ⇒ S = x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx = 1. Víi x = y = z = th× MinS = 1 3  x , y, z > 0 x y z 9 + + ≤ VD3: Cho  . Chøng minh r»ng: S = x + y + z = 1 x + yz y + zx z + xy 4 Gi¶i:  π α β γ yz xz xy = tg víi α, β, γ ∈ = tg ; = tg ;  0,  §Æt  2 x 2 y 2 z 2 yz zx zx xy xy yz + +. Do =x+y+z=1 . . . x y y z z x αβ βγ γα nªn tg tg + tg tg + tg tg =1 22 22 22 α β γ πα β γ  β γ  π α ⇔ tg  +  = cotg ⇔ tg  +  = tg  −  ⇔ + = - 2 2 2 2 2 2 2222 2 α+β+ γ π = ⇔ α+β+ γ = π ⇔ 2 2 1  2 x  3   2y   2z x y z =  − 1 +  − 1 +  − 1  + + + S= x + yz y + zx z + xy 2  x + yz   y + zx   z + xy  2      xy  yz 1 − zx  1−  1− 1  x − yz y − zx z − xy  3 1  z + 3 y x+ = + = + + + 2  x − yz y + zx z + xy  2 2  1 + yz 1 + zx 1 + xy  2      z x y (cos + cosβ + cosγ) + = [(cosα + cosβ).1 − (cosα cosβ − sinα + sinβ)] + 31 3 1 = 2 22 2 12
G.NTH 1 1 ((cosα + cosβ)2 +1) + 1 (sin2 α + sin2 β) − cosα cosβ + 3 = 3 + 3 = 9 (®pcm) ≤ 2 2 2424   2 3. C¸c bµi to¸n ®a ra tr¾c nghiÖm Tríc khi t«i d¹y thö nghiÖm néi dung s¸ng kiÕn cña t«i cho häc sinh cña 2 líp 11A1 vµ 11A2 ë trêng t«i, t«i ®· ra bµi vÒ nhµ cho c¸c em, cho c¸c em chuÈn bÞ tríc trong thêi gian 2 tuÇn. Víi c¸c bµi tËp sau: Bµi 1:Cho a2 + b2 = 1. CMR: | 20a3 - 15a + 36b - 48b3| ≤ 13. Bµi 2:Cho (a-2)2 + (b-1)2 = 5. CMR: 2a + b ≤ 10. a; b ≥ 0 CMR: a4 + b4 ≥ a3 + b3 Bµi 3:Cho  a + b = 2  1  1  1  1  1  1  Bµi 4:Cho a; b ; c ≥ 1 CMR:  a −  b −  c −  ≥  a −  b −  c −   b  c  a  a  b  c x; y; z > 0 Bµi 5:Cho  2 CMR: x + y + z + 2 xyz = 1 2 2 1 a) xyz ≤ 8 3 b) xy + yz + zx ≤ 4 3 c) x2 + y2 + z2 ≥ 4 1 d) xy + yz + zx ≤ 2xyz + 2 1− x 1− y 1− z + + ≥3 e) 1+ x 1+ y 1+ z 1 1 2 ∀ a, b ∈ (0, 1] + ≤ Bµi 6:CMR: 1 + ab 1+ a2 1 + b2 Bµi 7:CMR: (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ≥ 9 (ab + bc + ca) ∀ a, b, c > 0 x , y, z > 0 x y z 33 + + ≥ Bµi 8:Cho  CMR : xy + yz + zx = 1 1− x 1− y 1− z 2 2 2 2 x , y, z > 0 x y z 3 + + ≤ Bµi 9:Cho  CMR : x + y + z = xyz 1+ x2 1 + y2 1 + z2 2 13
G.NTH  ,y z>0 x, 1 1 1 2x 2y 2z + + ≥ + + Bµi 10: Cho  CMR :  +yz zx 1 xy + = 1+x2 1+y2 1+z2 1+x2 1+y2 1+z2 14