Công thức nhị thức newton

Chia sẻ: Trần Thị Thủy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:15

Thêm vào BST

Báo xấu

317
lượt xem 18
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Với các công thức nhị thức newton sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập củng cố lại kiến thức và kỹ năng giải bài tập để chuẩn bị cho các kỳ thi sắp tới đạt được kết quả mong muốn. Mời các bạn tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Công thức nhị thức newton

CúNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON 1/ Hoán v , ch nh h p và t h p: Hoán v Ch nh h p T h p n ≥ 1 n! 1 ≤ k ≤ n n! 0 ≤ k ≤ n Pn = n ! , v i  An = k ,v i  Cn = k ,v i  n ∈ ℕ (n − k )!  n, k ∈ ℕ k !(n − k )!  n, k ∈ ℕ * * An = k !Cn k k n ! = n(n − 1)(n − 2)...2.1 n ! = n(n − 1)! An = 1 1 Cn = Cn = 1 0 n 0! = 1 An = n ! n Cn − k = Cn n k k− Cn −11 + Cn −1 = Cn k k Pn = An n S cách ch n ra t p h p con g m S cách x p n ph n t vào n v S cách ch n k ph n t trong k ph n t trong t p h p g m n trí có th t n ph n t có th t ph n t không th t 2/ Công th c nh th c Newton: nh * Công th c: n (a + b)n = ∑ Cn a n − k b k = Cn a n + Cn a n −1b + Cn a n − 2b 2 + ... + Cn −1ab n −1 + Cn b n k 0 1 2 n n k =0 * Tính ch t: - Trong khai tri n (a + b) n có ( n + 1) s h ng - T ng s mũ c a a và b trong m i s h ng b ng n - S h ng th k + 1 trong khai tri n nh th c là: Tk +1 = Cn a n − k b k k minh tu n — thpt m ng bi Trang 1 ôn thi ih c
D NG 1: PH TRÌNH, NG TRÌNH, H PH PH TRÌNH NG TRÌNH VÀ B T PH TRÌNH NG TRÌNH I/ PH NG PHÁP GI I TOÁN - S d ng các công th c v hoán v , ch nh h p và t h p - Chú ý cách bi n ñ i d ng: n ! = n( n − 1)! , n ! = n( n − 1)(n − 2)! ,… II/ VÍ D MINH H A VD 1: Gi i các phương trình sau: a. C x4 + Cx6 = 2Cx 5 b. C 1 + 6C x2 + 6C x = 9 x 2 − 14 x x 3 Gi i x ≥ 6 a. ðK:  x ∈ ℕ x! x! x! PT ⇔ + = 2. 4!( x − 4)! 6!( x − 6)! 5!( x − 5)! x( x − 1)( x − 2)( x − 3)  ( x − 4)( x − 5) 2( x − 4)  ⇔ 1 + − =0 24  30 5  ( x − 4)( x − 5) 2( x − 4) x = 7 ⇔ 1+ − = 0 ⇔ x 2 − 21x + 98 = 0 ⇔  30 5  x = 14 K t h p v i ñi u ki n, ta có: x = 7 ho c x = 14 x ≥ 3 b. ðK:  x ∈ ℕ x! x! x! PT ⇔ + 6. + 6. = 9 x 2 − 14 x ⇔ x + 3 x( x − 1) + x( x − 1)( x − 2) = 9 x 2 − 14 x 1!( x − 1)! 2!( x − 2)! 3!( x − 3)! ⇔ x + (3 x 2 − 3 x) + ( x3 − 3 x 2 + 2 x) = 9 x 2 − 14 x ⇔ x3 − 9 x 2 + 14 x = 0 ⇔ x( x 2 − 9 x + 14) = 0 x = 2 ⇔ x 2 − 9 x + 14 = 0 ⇔  x = 7 K t h p v i ñi u ki n, ta có: x = 7 VD 2: Gi i các b t phương trình sau: 1 2 6 3 a. Ax + 5 Ax2 − 21x ≤ 0 3 b. A2 x − Ax2 ≤ C x + 10 2 x Gi i x ≥ 3 a. ðK:  x ∈ ℕ x! x! BPT ⇔ + 5. − 21x ≤ 0 ⇔ x( x − 1)( x − 2) + 5 x( x − 1) − 21x ≤ 0 ( x − 3)! ( x − 2)! ⇔ ( x3 − 3 x 2 + 2 x) + (5 x 2 − 5 x) − 21x ≤ 0 ⇔ x3 + 2 x 2 − 24 x ≤ 0 ⇔ x( x + 6)( x − 4) ≤ 0 ⇔ x≤4 K t h p v i ñi u ki n, ta có: x = 3 ho c x = 4 minh tu n — thpt m ng bi Trang 2 ôn thi ih c
x ≥ 3 b. ðK:  x ∈ ℕ 1 (2 x)! x! 6 x! BPT ⇔ . − ≤ . + 10 ⇔ x(2 x − 1) − x( x − 1) ≤ ( x − 1)( x − 2) + 10 2 (2 x − 2)! ( x − 2)! x 3!( x − 3)! ⇔ (2 x 2 − x) − ( x 2 − x) ≤ ( x 2 − 3 x + 2) + 10 ⇔ −3 x + 12 ≥ 0 ⇔ x ≤ 4 K t h p v i ñi u ki n, ta có: x = 3 ho c x = 4 2 Ax + 5Cx = 90  y y VD 3: Gi i h phương trình:  y 5 Ax − 2C x = 80 y  Gi i x ≥ y ðK:   x, y ∈ ℕ *  x!  = 20 (1) 2 A + 5C = 90  y y 2 A + 5C = 90  y  A = 20  y  ( x − y )! y HPT ⇔  y ⇔ y ⇔ y ⇔ x x x x x 5 Ax − 2Cx = 80 C x = 10 C x = 10 y     x! = 10 (2)  y !( x − y )!  20 Thay (1) vào (2), ta có: = 10 ⇔ y ! = 2 ⇔ y = 2 y! x!  x = −4 Thay vào (1), ta có: = 20 ⇔ x( x − 1) = 20 ⇔ x 2 − x − 20 = 0 ⇔  ( x − 2)! x = 5 K t h p v i ñi u ki n, ta có: x = 5 , y = 2 D NG 2: CH NG MINH TH NG TH C, TÍNH GIÁ TR C A BI U TH C I/ PH NG PHÁP GI I TOÁN 1 - N u trong t ng có ch a Cn , ta khai tri n (ax + b) n r i l y tích phân hai v . k k +1 - N u trong t ng có ch a kCn , ta khai tri n (ax + b) n r i l y ñ o hàm hai v . k - N u trong t ng không có ch a m t trong hai s h ng trên, ta khai tri n (ax + b) n r i ch n x . - N u trong t ng có ch a ch s không ñ y ñ , ta ñ t t ng b sung r i tính t ng, hi u. II/ VÍ D MINH H A An +1 + 3 An 4 3 VD 1: Tính giá tr c a bi u th c M = , bi t r ng Cn +1 + 2Cn+ 2 + 2Cn +3 + Cn2+ 4 = 149 2 2 2 (n + 1)! Gi i ðK: n ∈ ℕ* (n + 1)! 2(n + 2)! 2(n + 3)! (n + 4)! Ta có: Cn2+1 + 2Cn + 2 + 2Cn +3 + Cn + 4 = 149 ⇔ 2 2 2 + + + = 149 2!(n − 1)! 2!n ! 2!(n + 1)! 2!(n + 2)! minh tu n — thpt m ng bi Trang 3 ôn thi ih c
(n + 1)n (n + 4)(n + 3) ⇔ + (n + 2)(n + 1) + (n + 3)(n + 2) + = 149 2 2 ⇔ (n 2 + n) + 2(n 2 + 3n + 2) + 2(n 2 + 5n + 6) + (n 2 + 7 n + 12) = 298 n = 5 ⇔ 6n 2 + 24n − 270 = 0 ⇔   n = −9 K t h p v i ñi u ki n, ta có: n = 5 A6 + 3 A5 360 + 3.60 3 4 3 Do ñó: M = = = 6! 720 4 32012 + 1 VD 2: Ch ng minh r ng: C2012 + 22 C2012 + 24 C2012 + ... + +22012 C2012 = 0 2 4 2012 2 Gi i Ta có: (1 + x) 2012 = C2012 + C2012 x + C2012 x 2 + C2012 x3 + ... + C2012 x 2012 0 1 2 3 2012 Cho x = 2 ta ñư c: 32012 = C2012 + 2C2012 + 2 2 C2012 + 23 C2012 + ... + 22012 C2012 0 1 2 3 2012 (1) Cho x = −2 ta ñư c: 1 = C2012 − 2C2012 + 22 C2012 − 23 C2012 + ... + 22012 C2012 0 1 2 3 2012 (2) L y (1) c ng (2) v theo v , ta có: 32012 + 1 = 2 C2012 + 2 2 C2012 + 24 C2012 + ... + 2 2012 C2012  ⇒ ñpcm  0 2 4 2012  VD 3: Tính t ng S = C2012 + 2C2012 + 3C2012 + ... + 2013C2012 0 1 2 2012 Gi i Ta có: (1 + x) 2012 = C2012 + C2012 x + C2012 x 2 + C2012 x3 + ... + C2012 x 2012 0 1 2 3 2012 ⇒ x(1 + x)2012 = C2012 x + C2012 x 2 + C2012 x3 + C2012 x 4 + ... + C2012 x 2013 0 1 2 3 2012 L y ñ o hàm hai v , ta có: ' '  x(1 + x)2012  = C2012 x + C2012 x 2 + C2012 x 3 + C2012 x 4 + ... + C2012 x 2013     0 1 2 3 2012  ⇒ (1 + x)2012 + 2012 x(1 + x) 2011 = C2012 + 2C2012 x + 3C2012 x 2 + ... + 2013C2012 x 2012 0 1 2 2012 Cho x = 1 ta ñư c: 22012 + 2012.22011 = C2012 + 2C2012 + 3C2012 + ... + 2013C2012 0 1 2 2012 ⇒ C2012 + 2C2012 + 3C2012 + ... + 2013C2012 = 2014.2 2011 0 1 2 2012 V y: S = 2014.22011 32 − 2 2 1 33 − 23 2 3n +1 − 2n +1 n VD 4: Tính t ng S = Cn + 0 Cn + Cn + ... + Cn 2 3 n +1 Gi i Ta có: (1 + x) n = Cn + Cn x + Cn2 x 2 + Cn x 3 + ... + Cn x n 0 1 3 n b b L y tích phân hai v , ta ñư c: ∫ (1 + x) n dx = ∫ ( Cn + Cn x + Cn x 2 + Cn x3 + ... + Cn x n ) dx 0 1 2 3 n a a b b (1 + x) n +1  0 1 1 1 2 1  ⇒ =  Cn x + Cn x 2 + Cn x3 + ... + Cn x n +1  n n +1 a  2 3 n +1 a minh tu n — thpt m ng bi Trang 4 ôn thi ih c
32 − 22 1 33 − 23 2 3n +1 − 2n +1 n 4n +1 − 3n +1 Cho b = 3, a = 2 ta ñư c: Cn + 0 Cn + Cn + ... + Cn = 2 3 n +1 n +1 4n +1 − 3n +1 V y: S = n +1 1 0 1 1 1 2 1 VD 5: Tính t ng S = Cn + Cn + Cn + ... + n Cn 2 3 4 n+2 Gi i * Ta có: (1 + x) n = Cn + Cn x + Cn x 2 + Cn x3 + ... + Cn x n ⇒ x(1 + x) n = Cn x + Cn x 2 + Cn x 3 + Cn x 4 + ... + Cn x n +1 0 1 2 3 n 0 1 2 3 n 1 1 ∫ x(1 + x) dx = ∫ ( Cn x + Cn x + Cn x + Cn x + ... + Cn x ) dx n 0 1 2 2 3 3 4 n n +1 L y tích phân hai v , ta ñư c: (1) 0 0 1 ∫ x(1 + x) n * Tính: dx 0  x = 0 t = 1 ð t t = 1 + x ⇒ dt = dx và  ⇒ . Do ñó: x = 1 t = 2 2 1 2 2 n +1  t n+2 t n +1  n.2n +1 + 1 ∫ x(1 + x) dx = ∫ (t − 1)t dt = ∫ (t − t ) dt =  − = n n n  0 1 1  n + 2 n + 1  1 ( n + 1)( n + 2) L i có: 1 1 ∫ (C 0 n x + C x + C x + C x + ... + C x 1 2 n 2 3 n 3 4 n n n n +1 ) dx =  1 Cn0 x2 + 1 Cn1 x3 + 1 Cn2 x4 + ... + n + 2 Cnn xn+2   2 3 4 1  0 0 1 0 1 1 1 1 = Cn + Cn + Cn2 + ... + n Cn 2 3 4 n+2 * V y t (1), ta có: 1 0 1 1 1 2 1 n.2n +1 + 1 S = Cn + Cn + Cn + ... + Cn = n 2 3 4 n+2 (n + 1)(n + 2) VD 6: Ch ng minh r ng: 2.1Cn + 3.2Cn + 4.3Cn + ... + n(n − 1)Cn = n(n − 1)2n − 2 2 3 4 n Gi i Ta có: (1 + x) n = Cn + Cn x + Cn2 x 2 + Cn x 3 + ... + Cn x n 0 1 3 n L y ñ o hàm hai v , ta ñư c: n(1 + x) n −1 = Cn + 2Cn x + 3Cn x 2 + ... + nCn x n −1 1 2 3 n Ti p t c l y ñ o hàm hai v , ta ñư c: n(n − 1)(1 + x)n − 2 = 2.1Cn + 3.2Cn x + ... + n(n − 1)Cn x n − 2 2 3 n Cho x = 1 ta ñư c: 2.1Cn + 3.2Cn + ... + n(n − 1)Cn = n(n − 1)2 n − 2 (ñpcm) 2 3 n minh tu n — thpt m ng bi Trang 5 ôn thi ih c
TÌM D NG 3: TÌM H S C A Xk TRONG KHAI TRI N NH TH C NEWTON I/ PH NG PHÁP GI I TOÁN - S d ng công th c khai tri n nh th c Newton - S h ng th k + 1 trong khai tri n nh th c (a + b) n là: Tk +1 = Cn a n − k b k k n n k - S d ng công th c: ∑ Cnk (a + b)k = ∑ Cnk ∑ Ckm a k −mbm k =0 k =0 m=0 - S d ng tính ch t c a lũy th a v i s mũ th c: aα + β = aα .a β a −n 1 = n aα .bα = (ab)α α a a aα − β = aα  a  α m aβ =  n am = a n bα  b  (aα ) β = aαβ II/ VÍ D MINH H A VD 1: Tìm s h ng không ch a x trong khai tri n các nh th c sau: 12 7 1   1  a.  + x  v i x > 0 b.  3 x + 4  v i x > 0 x   x Gi i 12 12 − k ( ) k k 1  12 k 1 k 12 12 k −12 + a. Ta có:  + x  = ∑ C12   x = ∑ C12 x k −12 x 2 = ∑ C12 x k k 2 x  k =0  x k =0 k =0 k Do yêu c u c a bài toán, nên ta có: k − 12 + = 0 ⇔ 3k − 24 = 0 ⇔ k = 8 2 12! V y s h ng không ch a x là: C12 = 8 = 495 8!4! 7 k7− k 7−k k  1  ( )  1  7 7−k 7 k 7 − − b. Ta có:  3 x + 4  = ∑ C7 k 3 x 4  = ∑ C7k x 3 x 4 = ∑ C7 x 3 4 k  x  k =0  x  k =0 k =0 7−k k Do yêu c u c a bài toán, nên ta có: − = 0 ⇔ −7 k + 28 = 0 ⇔ k = 4 3 4 7! V y s h ng không ch a x là: C74 = = 35 3!4! VD 2: Tìm h s c a x 7 trong khai tri n nh th c (2 − 3 x)2 n , trong ñó n là s nguyên dương th a mãn 2 +1 ñ ng th c: C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2 nn+1 = 1024 1 3 5 Gi i Ta có: (1 + x) 2 n +1 = C2 n +1 + C2 n +1 x + C2 n +1 x 2 + C2 n +1 x3 + ... + C2 n +1 x 2 n +1 0 1 1 3 2 n +1 Cho x = 1 ta có: C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1 = 22 n +1 0 1 1 3 2 n +1 (1) 2 n +1 Cho x = −1 ta có: C2 n +1 − C2 n +1 + C2 n +1 − C2 n +1 + ... − C2 n +1 = 0 0 1 1 3 (2) minh tu n — thpt m ng bi Trang 6 ôn thi ih c
L y (1) tr (2) v theo v , ta ñư c: 2 C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1  = 22 n +1  1 3 5 2 n +1  2 n +1 ⇒ C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2 n +1 = 22 n 1 3 5 Do ñó: 22 n = 1024 ⇔ 2n = 10 ⇔ n = 5 10 10 Vì v y: (2 − 3 x)10 = ∑ C10 210− k (−3 x) k = ∑ C10 210− k (−3)k x k k k k =0 k =0 Theo yêu c u c a bài toán, ta có: k = 7 10! 3 7 H s c a x 7 trong khai tri n (2 − 3 x)10 là: C10 210 −7 (−3)7 = − 7 .2 .3 = −2099520 7!3! 9 VD 3: Tìm h s c a x5 trong khai tri n thành ña th c c a bi u th c: P = 1 + x(2 − x 2 )    Gi i 9 Ta có: P = 1 + x(2 − x 2 )  = 1 + (2 x − x3 )  = ∑ C9k (2 x − x 3 )k 9 9     k =0 9 k 9 k = ∑ C9k ∑ Ckm (2 x) k − m (− x 3 )m = ∑ C9k ∑ Ckm (−1)m 2k − m x k + 2 m k =0 m =0 k =0 m =0  m = 0, k = 5 Theo yêu c u c a bài toán, ta có: k + 2m = 5 , trong ñó: 0 ≤ k ≤ 9, 0 ≤ m ≤ k . Do ñó:   m = 1, k = 3 V y h s c a x5 là: C9 C50 (−1)0 25 + C9 C3 (−1)1 22 = 4032 − 1008 = 3024 5 3 1 VD 4: Tìm h s c a x 7 trong khai tri n c a bi u th c: P = x 2 (1 − 2 x)7 − x(2 x 3 + 1)12 Gi i 7 12 7 12 Ta có: P = x 2 ∑ C7k (−2 x) k − x ∑ C12 (2 x 3 )12− m = ∑ C7 (−2)k x k + 2 − ∑ C12 212 − m x 3(12 − m ) +1 m k m k =0 m=0 k =0 m =0 k + 2 = 7 k = 5 Theo yêu c u c a bài toán, ta có:  ⇔ 3(12 − m) + 1 = 7 m = 10 V y, h s c a x 7 là: C7 (−2)5 − C12 2 2 = −408 5 10 VD 5: Tìm h s c a x8 trong khai tri n thành ña th c c a bi u th c: P = ( x 2 − 1)5 (2 + x)7 Gi i 5 7 Ta có: P = ( x 2 − 1)5 (2 + x)7 = ∑ C5k (−1)k x10 − 2 k .∑ C7m 27 − m x m k =0 m=0 k = 1, m = 0 k = 2, m = 2 Theo bài ra: (10 − 2k ) + m = 8 ⇔ 2k − m = 2 , trong ñó: 0 ≤ k ≤ 5, 0 ≤ m ≤ 7 . Do ñó:  k = 3, m = 4  k = 4, m = 6 V y, h s c a x8 là: C5 (−1)1.C7 27 + C52 (−1)2 .C7 25 + C5 (−1)3 .C74 23 + C54 (−1) 4 .C7 21 = 3350 1 0 2 3 6 minh tu n — thpt m ng bi Trang 7 ôn thi ih c
D NG 4: TÌM H TÌM S L N NH T TRONG M T kHAI TRI N NH TH C I/ PH NG PHÁP GI I TOÁN D ng toán: Trong m t khai tri n thành ña th c P( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n . Hãy tìm h s l n nh t trong các h s a0 , a1 , a2 ,..., an . Cách gi i: - Xét b t phương trình: ak − ak +1 < 0 và nghi m c a bpt này thư ng có d ng k < k0 . Do k ∈ ℕ nên k = 0,1, 2,..., k0 . - T ñó suy ra: ak ≥ ak +1 ⇔ k ≥ k0 . ð n ñây, x y ra hai kh năng: + N u ak = ak +1 ⇔ k = k0 . Khi ñó, ta có: a0 < a1 < a2 < ... < ak0 = ak0 +1 > ak0 + 2 > ... > an . Lúc này có hai h s l n nh t là: ak0 và ak0 +1 + N u ak = ak +1 vô nghi m. Khi ñó, ta có: a0 < a1 < a2 < ... < ak0 < ak0 +1 > ak0 + 2 > ... > an . Lúc này có duy nh t m t h s l n nh t là: ak0 +1 II/ VÍ D MINH H A VD 1: Xét khai tri n: (3 x + 2)9 = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a9 x9 . Tìm h s l n nh t trong các h s a0 , a1 , a2 ,..., a9 Gi i 9 9 Ta có: (2 + 3 x)9 = ∑ C9k 29− k (3x )k = ∑ C9k 29− k 3k x k ⇒ ak = C9k 29− k 3k , trong ñó: k = 0,1, 2,...,9 k =0 k =0 9! 9! Xét b t phương trình: ak < ak +1 ⇔ C9k 29− k 3k < C9k +1 28− k 3k +1 ⇔ 2. < 3. k !(9 − k )! (k + 1)!(8 − k )! 2 3 ⇔ < ⇔ 2(k + 1) < 3(9 − k ) ⇔ k < 5 ⇔ k = 0,1, 2, 3, 4 9 − k k +1 Do ñó: ak = ak +1 ⇔ k = 5 ak > ak +1 ⇔ k = 6, 7,8,9 Vì v y: a0 < a1 < a2 < a3 < a4 < a5 = a6 > a7 > a8 > a9 V y, h s l n nh t là: a5 = a6 = ak = C9 2435 = 489888 5 VD 2: Tìm h s l n nh t trong các h s c a các s h ng trong khai tri n (1 + 2 x)30 Gi i 30 Ta có: (1 + 2 x )30 = ∑ C30 2 k x k = a0 + a1 x + a2 x + ... + a30 x30 ⇒ ak = 2k C30 , trong ñó k = 0,1, 2,..., 30 k k k =0 minh tu n — thpt m ng bi Trang 8 ôn thi ih c
30! 30! Ta có: ak < ak +1 ⇔ 2k C30 < 2k +1 C30+1 ⇔ k k < 2. k !(30 − k )! (k + 1)!(29 − k )! 1 2 59 ⇔ < ⇔k< ⇔ k = 0,1, 2,...,19 30 − k k + 1 3 T ñó, suy ra: ak > ak +1 ⇔ k = 20, 21,...,30 Do ñó: a0 < a1 < ... < a19 < a20 > a21 > ... > a30 V y, h s l n nh t trong khai tri n là: a20 = 220 C30 20 TÌM D NG 5: TÌM H S VÀ CÁC S MÃN H NG TH A MÃN I U KI N NÀO Ó VD 1: Cho (1 + x) n = a0 + a1 x + ... + an x n . Tìm k và n , bi t r ng 36ak −1 = 8ak = 3ak +1 Gi i n Ta có: (1 + x) n = ∑ Cn x k = a0 + a1 x + ... + an x n . Do v y: ak = Cn k k k =0 k −1 k +1 36Cn −1 = 8Cn  k k Do ñó: 36ak −1 = 8ak = 3ak +1 ⇔ 36C n = 8C = 3C k n n ⇔ k k +1 (1) 8Cn = 3Cn   n, k ∈ ℕ * ðK:  n ≥ k + 1  n! n!  9 2 36. (k − 1)!(n − k + 1)! = 8. (n − k )!k !  n − k +1 = k 11k − 2n = 2 k = 2   Khi ñó: (1) ⇔  ⇔ ⇔ ⇔ 8. n! = 3. n!  8 = 3 11k − 3n = −8 n = 10  (n − k )!k !  (k + 1)!(n − k − 1)! n − k k +1  ( ) 9 VD 2: Tìm các s h ng nguyên trong khai tri n 3+ 3 2 Gi i 9 9−k k  1  ( ) 1 9 9 Ta có: 3+ 2 3 =  3 2 + 2 3  = ∑ C9k 3 2 2 3   k =0 k ⋮ 3 9−k k  k = 3 Theo bài ra, ta có: C 3 k 2 2 là s nguyên ⇔ 9 − k ⋮ 2 ⇔  3 k = 9 9 0 ≤ k ≤ 9  V y trong khai tri n trên có hai s h ng nguyên là: C9 3321 = 4536 và C9 30 23 = 8 3 9 VD 3: Tìm s nguyên dương bé nh t n sao cho trong khai tri n (1 + 2 x)n có hai h s liên ti p có t s 3 b ng . 7 Gi i n Ta có: (1 + 2 x) n = ∑ Cn 2k x k ⇒ H s c a hai s h ng liên ti p là: ak = 2k Cn và ak +1 = 2k +1 Cn +1 k k k k =0 minh tu n — thpt m ng bi Trang 9 ôn thi ih c
ak 2k C k k +1 3 k +1 Ta có: = k +1 n +1 = = ⇔ 6n = 13k + 7 ⇔ n = 2k + 1 + ak +1 2 Cn k 2(n − k ) 7 6 k nhoû nhaát Vì n, k ∈ ℕ , do ñó n bé nh t ⇔  ⇔ k = 5 . Khi ñó: n = 12 k + 1⋮ 6 V y: n = 12 BæI TẬP VẬN DỤNG ¼ NHỊ THỨC NEWTON Bài 1: Ch ng minh r ng: a. Pn − Pn−1 = (n − 1) Pn −1 b. 1 + P + 2 P2 + 3P3 + ... + (n − 1) Pn −1 = Pn 1  n +1 n Bài 2: Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n ta ñ u có: n ! ≤    2  Bài 3: Ch ng minh r ng v i m i n, k ∈ ℕ và 2 ≤ k < n ta ñ u có: k− n+ n +1 a. An = An−1 + kAn −11 k k b. An+ k2 + An+ k = k 2 An + k n 1 1 1 1 n −1 Bài 4: Ch ng minh r ng v i m i n ∈ ℕ và n ≥ 2 ta ñ u có: 2 + 2 + 2 + ... + 2 = A2 A3 A4 An n k− Bài 5: Cho n, k ∈ ℕ và 2 ≤ k ≤ n . Ch ng minh r ng: k (k − 1)Cn = n(n − 1)Cn − 22 k Bài 6: Cho n, k ∈ ℕ và 4 ≤ k ≤ n . Ch ng minh r ng: Cnk + 4Cnk −1 + 6Cn − 2 + 4Cn −3 + Cn − 4 = Cnk+ 4 k k k k +1 Bài 7: Cho k ∈ ℕ và 0 ≤ k ≤ 2008 . Ch ng minh r ng: C2009 + C2009 ≤ C2009 + C2009 k 1004 1005 Bài 8: Cho n, k ∈ ℕ và 0 ≤ k ≤ n . Ch ng minh r ng: C2 n + k C2 n− k ≤ (C2nn ) 2 n n Bài 9: Cho m, n ∈ ℕ và 0 < m < n . Ch ng minh r ng: a. mCn = nCn −−1 m m 1 b. Cnm = Cn −−1 + Cn −−21 + ... + Cm −1 + Cm −1 m 1 m m m −1 n +1  1 1  1 Bài 10: Cho n, k ∈ ℕ* và k ≤ n . Ch ng minh r ng:  k + k +1  = k n + 2  Cn +1 Cn +1  Cn 2007 − Bài 11: Ch ng minh r ng: C2008C2008 + C2008C2007 + ... + C2008C2008− kk + ... + C2008 C10 = 1024.22008 0 2007 1 2006 k 2007 Bài 12: Cho n là s nguyên dương, ch ng ming r ng: 2 Cn C3 Cn n( n + 1) Cn + 2. 1 1 + 3. n + ... + n. nn−1 = 2 Cn Cn Cn 2 Bài 13: Cho n là s nguyên dương, ch ng ming r ng: 0 Cn C1 C2 Cn n 1 1 + 2n + 3n + ... + n +1 = Cn + 2 Cn + 3 Cn + 4 C2 n + 2 2 Bài 14: Ch ng minh r ng: a. C50Cn + C5Cn −1 + ... + C5 Cn −5 = Cn +5 , v i 5 ≤ k ≤ n k 1 k 5 k k b. C2nn = (Cn ) 2 + (Cn ) 2 + (Cn ) 2 + ... + (Cn ) 2 0 1 2 n minh tu n — thpt m ng bi Trang 10 ôn thi ih c
2 2 2 2  Cn   C n   C n  0 1 2  Cn  n Bài 15: Tính t ng: S =   +  +  + ... +    1   2   3   n +1  1 1 1 1005  1 1 1  Bài 16: Ch ng minh r ng: 1 + 2 + ... + 2009 =  1 + 2 + ... + 2008  C 2009 C 2009 C 2009 2009  C2008 C2008 C2008  Bài 17: Gi i các phương trình sau: a. Cn = 5Cn 3 1 b. C14 + C14+ 2 = 2C14+1 n n n c. 3Cn +1 + nP2 = 4 An 2 2 d. Cn2+1 − An − 4n3 = ( A2 n )2 2 1 x !− ( x − 1)! 1 e. = f. Px Ax + 72 = 6( Ax2 + 2 Px ) 2 ( x + 1)! 6 1 1 1 g. x − x = x h. C 1 + 6C x2 + 6C x = 9 x 2 − 14 x 3 C4 C5 C6 Bài 18: Gi i h phương trình:  4 5 2 Cn −1 − Cn −1 < 4 An − 2 3  Ax2 + C y = 22  3  a.  3 b.   Ay + Cx = 66 2  C n − 4 ≥ 7 A3  n +1 15 n +1  2 Axy + 5Cxy = 90  5C xy − 2 = 3Cxy −1  c.  y d.  y y −1 5 Ax − 2Cx = 80 C x = C x y   Bài 19: Gi i b t phương trình: Pn + 4 15 a. < b. Ax + 5 Ax2 ≤ 21x 3 Pn Pn + 2 Pn −1 n− Cn −13 1 1 2 6 3 c. 4 < d. A2 x − Ax2 ≤ C x + 10 An +1 14 P3 2 x An +1 + 3 An 4 3 Bài 20: Tính giá tr c a bi u th c M = , bi t r ng: Cn +1 + 2Cn + 2 + 2Cn +3 + Cn2+ 4 = 149 2 2 2 (n + 1)! Bài 21: Tìm s nguyên dương n > 1 th a mãn: 2 Pn + 6 An − Pn An = 12 2 2 Bài 22: Tìm s k ∈ {1; 2;3;...; 2005} sao cho C2005 ñ t giá tr l n nh t. k Bài 23: Tìm h s c a x5 trong khai tri n thành ña th c c a: x(1 − 2 x)5 + x 2 (1 + 3x )10 18  x 4 Bài 24: Tìm s h ng ñ c l p v i x trong khai tri n:  +  2 x Bài 25: Tìm h s c a x5 trong khai tri n thành ña th c c a: (2 x + 1) 4 + (2 x + 1)5 + (2 x + 1) 6 + (2 x + 1)7 n  1  n +1 Bài 26: Tìm h s c a x trong khai tri n  3 + x 5  , bi t r ng: Cn + 4 − Cn +3 = 7( n + 3) 8 n x  ( ) 7 Bài 27: Tìm s h ng h u t trong khai tri n nh th c: 3 16 + 3 ( ) 124 Bài 28: Trong khai tri n sau ñây có bao nhiêu s h ng h u t : 3−4 5 minh tu n — thpt m ng bi Trang 11 ôn thi ih c
7  1  Bài 29: Tìm s h ng không ch a x trong khai tri n:  3 x + 4  , v i x > 0  x n  − 28  Bài 30: Trong khai tri n  x 3 x + x 15  hãy tìm s h ng không ph thu c vào x , bi t r ng:   Cnn + Cn −1 + Cn − 2 = 79 n n Bài 31: Bi t r ng t ng các h s trong khai tri n ( x 2 + 1) n b ng 1024. Hãy tìm h s c a x12 trong khai tri n ñó. n  1 Bài 32: Tìm s nguyên dương n > 5 , bi t r ng trong khai tri n  x +  thành ña th c ñ i v i bi n x  2 thì h s c a x 6 b ng b n l n h s c a x 4 . n n n −1 n −1 n  x −1 −  x 0 x −1  1 x −1   −3  x n −1  x −1  −3  x  −x  Bài 33: Cho:  2 2 + 2 3  = Cn  2 2  + Cn  2 2   2  + ... + Cn  2 2   2  +C 2 3  n n              Bi t r ng Cn = 5Cn và s h ng th tư b ng 20n . Tìm n và x . 3 1 10 1 2  Bài 34: Cho  + x  = a0 + a1 x + ... + a9 x 9 + a10 x10 . Tìm s h ng ak l n nh t. 3 3  Bài 35: Cho (1 + 2 x )n = a0 + a1 x + ... + an x n , trong ñó n ∈ ℕ8 và các h s a0 , a1 ,..., an th a mãn ñ ng a1 a2 a th c: a0 + + 2 + ... + n = 4096 . Tìm s l n nh t trong các s a0 , a1 ,..., an . 2 2 2n 18  1  Bài 36: Tìm s h ng không ch a x trong khai tri n nh th c  2x + 5  , v i x > 0  x n  1  Bài 37: Tìm h s c a s h ng ch a x 26 trong khai tri n nh th c Newton c a  4 + x 7  , bi t r ng:  x  C2 n+1 + C2 n+1 + ... + C2 n +1 = 2 20 − 1 1 2 n Bài 38: Tìm s h ng ch a x10 trong khai tri n nh th c Newton c a (2 + x) n , bi t r ng: 3n Cn − 3n−1 Cn + 3n− 2 Cn − 3n −3 Cn + ... + (−1) n Cn = 2048 0 1 2 3 n Bài 39: Tìm h s c a s h ng ch a x 7 trong khai tri n thành ña th c c a (2 − 3 x) 2 n , bi t r ng: 2 +1 C2 n +1 + C2 n +1 + C2 n +1 + ... + C2 nn+1 = 1024 1 3 5 Bài 40: Tìm h s c a x8 trong khai tri n thành ña th c c a ( x 2 + 2) n , bi t r ng: An − 8Cn + Cn = 49 3 2 1 Bài 41: Tìm h s c a x 2 trong khai tri n thành ña th c c a (2 − 3 x)5 (1 + x) 4 Bài 42: Tìm h s c a x3 trong khai tri n thành ña th c c a ( x + 3)6 (1 + x)12 Bài 43: G i a3n −3 là h s c a x3n−3 trong khai tri n thành ña th c c a ( x 2 + 1) n ( x + 2) n . Tìm s nguyên dương n sao cho a3n−3 = 26n . Bài 44: Tìm h ng t ch a x 20 trong khai tri n thành ña th c c a (1 + x + x 3 + x 4 )10 Bài 45: Tìm h s c a x 2 trong khai tri n thành ña th c c a P = ( x 2 + x − 1) 6 Bài 46: Tìm h s c a x 4 trong khai tri n thành ña th c c a P = (1 + x + 3 x 2 )10 minh tu n — thpt m ng bi Trang 12 ôn thi ih c
Bài 47: Tìm h s c a x8 trong khai tri n thành ña th c c a (1 + x 2 (1 − x) ) 8  6  Bài 48: Tìm h ng t không ch a x trong khai tri n  1 + + x   x  Bài 49: Tìm s nguyên dương n th a mãn ñ ng th c C2 n + C2 n + ... + C2 n −1 = 2048 1 3 2n Bài 50: Ch ng minh r ng: 316 C16 − 315 C16 + 314 C16 − ... + C16 = 216 0 1 2 16 Bài 51: Ch ng minh r ng: a. 2n Cn + 2n −1 Cn + 2n− 2 Cn + ... + Cn = 3n 0 1 2 n b. 3n Cn − 3n−1 Cn + 3n − 2 Cn + ... + (−1) n Cnn = 2n 0 1 2 Bài 52: Tính các t ng sau ñây: a. S = C2 n + 32 C2 n + 34 C2 n + ... + +32 n C2 n 0 2 4 2n b. C2 n − 3C2 n + 32 C2 n − 33 C2 n + ... + ( −3) n C2 n 0 2 4 6 2n Bài 53: Tìm s nguyên dương n sao cho: Cn + 2Cn + 4Cn + ... + 2n Cn = 243 0 1 2 n Bài 54: Ch ng minh r ng: a. Cn + 2Cn + 3Cn + ... + nCn = n.2n −1 1 2 3 n b. Cn − 2Cn + 3Cn − ... + (−1) n −1 nCn = 0 1 2 3 n c. 2n −1 Cn − 2.2n − 2 Cn + 3.2n −3 Cn − ... + ( −1) n −1 nCn = n 1 2 1 n d. 2.1Cn + 3.2Cn + 4.3Cn + ... + n( n − 1)Cn = n( n − 1)2n − 2 2 3 4 n Bài 55: Cho ( x − 2)100 = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + a100 x100 . Tính: a. a97 b. S = a0 + a1 + ... + a100 c. M = a1 + 2a2 + 3a3 + ... + 100a100 Bài 56: Ch ng minh r ng, v i n ∈ ℕ và n > 2 ta có: n ( Cn + 2Cn2 + 3Cn3 + ... + nCnn ) < n ! 1 1 Bài 57: Ch ng minh r ng: a. 1.2Cn + 2.3Cn + ... + (n − 1)nCn = n(n − 1)2n− 2 2 3 n b. 1.2Cn − 2.3Cn + ... + ( −1) n − 2 ( n − 1)nCn = 0 2 3 n c. 2n −1 Cn + 3.2 n − 2 Cn + 3.4.2n − 4 Cn + ... + ( n − 1)nCn = n(n − 1)3n − 2 2 3 4 n d. 2n −1 Cn2 − 3.2n − 2 Cn + 3.4.2 n− 4 Cn − ... + (−1)n − 2 (n − 1)nCn = n(n − 1) 3 4 n Bài 58: Ch ng minh r ng: a. 3Cn + 4Cn + ... + (n + 3)Cn = 2 n−1 (6 + n) 0 1 n b. 3Cn − 4Cn + ... + (−1)n (n + 3)Cn = 0 0 1 n Bài 59: Tìm s nguyên dương n sao cho: 2 n +1 C2 n +1 − 2.2C2 n +1 + 3.22 C2 n +1 − 4.23 C2 n +1 + ... + (2n + 1).22 n C2 n +1 = 2005 1 2 3 4 Bài 60: Áp d ng khai tri n nh th c Newton c a ( x 2 + x)100 , ch ng minh r ng: 99 100 199 0 1 1 1 100  1  100C100   − 101C100   + ... + 200C100   =0 2 2 2 Bài 61: Cho n ∈ ℕ và n ≥ 2 . 1 a. Tính tích phân: I = ∫ x 2 (1 + x3 ) n dx 0 minh tu n — thpt m ng bi Trang 13 ôn thi ih c
1 0 1 1 1 2 1 2n +1 − 1 b. Ch ng minh r ng: Cn + Cn + Cn + ... + Cn = n 3 6 9 3( n + 1) 3( n + 1) Bài 62: Tính t ng: 2 2 − 1 1 23 − 1 2 2n +1 − 1 n a. S = Cn + 0 Cn + Cn + ... + Cn 2 3 n +1 b. S = Cn − 2Cn + 3Cn − 4Cn + ... + ( −1) n −1 nCn 1 2 3 4 n Bài 63: Ch ng minh r ng: 1 1 ( −1) n n +1 n 1 + ( −1) n a. 2Cn − .22 Cn + .23 Cn − ... + 0 1 2 .2 Cn = 2 3 n +1 n +1 1 1 1 (−1) n b. (−1)n Cn + (−1)n +1 Cn + ... + 0 Cn = n 2 n +1 n +1 1 1 1 2 1 1 c. Cn − Cn + Cn − ... + (−1) n 0 Cn = n 2 3 n +1 n +1 1 Bài 64: a. Tính tích phân: I = ∫ x(1 − x)19 dx 0 1 0 1 1 1 2 1 18 1 19 b. Tính t ng: S = C19 − C19 + C19 − ... + C19 − C19 2 3 4 20 21 1 Bài 65: a. Tính tích phân: I = ∫ x(1 − x 2 ) n dx 0 1 0 1 1 1 2 ( −1) n n 1 b. Tính t ng: S = Cn − Cn + Cn − ... + Cn = 2 4 6 2n + 2 2( n + 1) Bài 66: Ch ng minh r ng: 1 0 1 1 1 2 1 2n +1 ( n 2 + n + 2) − 2 a. Cn + Cn + Cn + ... + Cn = n 3 4 5 n+3 ( n + 1)(n + 2)( n + 3) 1 1 1 3 1 5 1 2n 22 n − 1 b. C2 n + C2 n + C2 n + ... + C2 n −1 = 2 4 6 2n 2n + 1 Bài 67: Trong khai tri n ña th c: (2 x + 1) n ( x + 2) n = a2 n x 2 n + a2 n −1 x 2 n −1 + ... + a1 x + a0 . Tìm s nguyên dương n , bi t r ng: a2 n −1 = 160 . Bài 68: Trong khai tri n ña th c: 1 − x + 2(1 − x) 2 + 3(1 − x)3 + ... + n(1 − x)n = a0 + a1 x + ... + an x n . Tính 1 7 1 h s a8 , bi t r ng n ∈ ℕ* và th a mãn: 2 + 3= Cn Cn n Bài 69: Tìm s nguyên dương n th a mãn: 3Cn − 2.32 Cn + 3.33 Cn − ... + ( −1) n n.Cn = 33792 1 2 3 n 1 3 1 5 (−1)n −1 2 n Bài 70: Tính t ng: S = C2 n − C2 n + C2 n − ... + n −1 C2 n −1 1 3 9 3 Bài 71: Trong khai tri n ña th c: (1 − x + x 2 − x 3 ) 4 = a0 + a1 x + ... + a12 x12 . Tính h s a7 . 10  1  Bài 72: Tìm h s c a x 10 trong khai tri n thành ña th c c a:  1 + + x3  , v i x ≠ 0 .  x  minh tu n — thpt m ng bi Trang 14 ôn thi ih c
Bài 73: Tìm n ∈ N * và x ∈ ℝ bi t r ng: Cn + Cn = 2Cn và s h ng th tư trong khai tri n thành ña 1 3 2 n  1  th c c a  2 x −1 +  b ng 2010n .  2  3 x Bài 74: Tính các t ng sau: 1 0 2 1 22 2 23 3 2 2012 a. S = C2012 − C2012 + C2012 − C2012 + ... + 2012 C2012 1.2 2.3 3.4 4.5 2013.2014 22 2 23 3 2 2012 2012 b. S = C2012 − C2012 + 0 1 C2012 − C2012 + ... + C2012 3 4 2013 2 2 2  C 0   C1   Cn  Bài 75: Tính t ng: S =  n  +  n  + ... +  n   1   2   n +1 12  1 Bài 76: Tìm h s c a x trong khai tri n thành ña th c c a:  1 − x 4 −  8  x Bài 77: Tìm n ∈ N * và x ∈ ℝ bi t r ng t ng c a s h ng th ba và th năm b ng 135, còn t ng c a ba n  1 −x  h s c a ba s h ng cu i b ng 22 trong khai tri n thành ña th c c a  2 x + 2 2    Bài 78: Tìm h s c a x8 trong khai tri n thành ña th c c a ( x 2 − 2) n , bi t r ng An + Cn = 8Cn + 49 3 1 2 Bài 79: Tìm h s c a x 6 trong khai tri n ( x 2 − x − 1) n , bi t r ng: C2 n +1 + C22n +1 + ... + C2 n +1 = 220 − 1 1 n Bài 80: Tìm h s c a x11 trong khai tri n ( x 2 + 2) n (3x 2 + 1) n , bi t: C22n − 3C2 nn−1 + ... + 32 n C2 n = 1024 n 2 0 minh tu n — thpt m ng bi Trang 15 ôn thi ih c