Đẳng thức lượng giác đến bất đẳng thức đại số P2

Chia sẻ: Trần Bá Trung4 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

317
lượt xem 119
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

" Đẳng thức lượng giác đến bất đẳng thức đại số P2 " để giúp các em học sinh có tài liệu ôn tập, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập toán học một cách thuận lợi và tự kiểm tra đánh giá kết quả học tập của mình

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đẳng thức lượng giác đến bất đẳng thức đại số P2

G.NTH Khi ®ã: (1) ⇔ S = sinα + cosα(4sinβ + 3cosβ) ≤ 26 Ta cã: S ≤ sinα + cosα (4 2 + 32 )(sin 2 β + cos 2 β) = sin α + 5 cos α ≤ (12 + 52 )(sin 2  + cos 2  ) = 26 ⇒ (®pcm) 1 IV. D¹ng 4: Sö dông c«ng thøc 1+ tg2 = cos 2 α 1. Ph¬ng ph¸p:  π π a) NÕu x ∈ R vµ bµi to¸n chøa (1+x2) th× ®Æt x = tgα víi α ∈  − ,   2 2  π π b) NÕu x ∈ R vµ bµi to¸n chøa (x2+m2) th× ®Æt x = mtgα víi α ∈  − ,   2 2 2. C¸c vÝ dô minh ho¹: 3x 4x 3 VD1: Chøng minh r»ng: S = − ≤1 1 + x2 (1 + x 2 )3 Gi¶i:  π π 1 §Æt x = tgα víi α ∈  − ,  ⇒ 1 + x 2 = , khi ®ã biÕn ®æi S ta cã:  2 2 cos α S = |3tgα.cosα - 4tg3α.cos3α| = |3sinα - 4sin3α| = |sin3α| ≤ 1 (®pcm) 3 + 8a 2 + 12a 4 VD2: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = (1 + 2a 2 ) 2 Gi¶i:  π π 3 + 4 tg 2 α + 3tg 4 α §Æt a 2 = tgα víi α∈ − ,  th× ta cã: A =  2 2 (1 + tg 2 α) 2 3 cos 4 α + 4 sin 2 α cos 2 α + 3 sin 4 α = = 3(sin 2 α + cos 2 α) 2 − 2 sin 2 α cos 2 α (cos α + sin α) 2 2 2 sin 2 2α 5 1 sin 2 2α 0 =3- ⇒ = 3− ≤ A = 3− ≤ 2− =3 2 2 2 2 2 π 1 5 Víi α = 0 ⇒ a = 0 th× MaxA = 3 ; Víi α = ⇒ a = th× MinA = 4 2 2 (a + b)(1 − ab) 1 VD3: Chøng minh r»ng: ≤ ∀ a, b ∈ R (1 + a 2 )(1 + b 2 ) 2 Gi¶i: 8
G.NTH (a + b )(1 − ab) (tgα + tgβ)(1 − tgαtgβ) §Æt a = tgα, b = tgβ. Khi ®ã = (1 + a )(1 + b ) 2 2 (1 + tg 2 α)(1 + tg 2β) sin(α + β) cos α. cos β − sin α. sin β = cos 2 α cos 2 β. . cos α. cos β cos α. cos β sin[2(α + β)] ≤ (®pcm) 1 1 = sin(α + β) cos(α + β) = 2 2 | a −b | | b−c| | c −a | VD4: Chøng minh r»ng: + ≥ ∀ , b,c a (1+a2)( +b2) (1+b2)( +c2) 1 1 (1+c2)( +a2) 1 Gi¶i: §Æt a = tgα, b = tgβ, c = tgγ. Khi ®ã bÊt ®¼ng thøc ⇔ | tg α − tg β | | tg β − tg γ | | tg γ − tg α | ⇔ + ≥ (1 + tg 2 α )(1 + tg 2 β ) (1 + tg 2 β )(1 + tg 2 γ ) (1 + tg 2 γ )(1 + tg 2 α ) sin(α − β) sin(β − γ ) sin( γ − α) ⇔ cos α cos β. + cos β cos γ. ≥ cos γ cos α. cos α. cos β cos β. cos γ cos γ. cos α ⇔ |sin(α-β)|+|sin(β-γ)| ≥ |sin(γ-α)|. BiÕn ®æi biÓu thøc vÕ ph¶i ta cã: |sin(γ-α)|= |sin[(α-β)+(β-γ)]| = |sin(α-β)cos(β-γ)+sin(β-γ)cos(α-β)| ≤ |sin(α-β)cos(β-γ)|+|sin(β-γ)cos(α-β)|=|sin(α-β)||cos(β-γ)|+|sin(β-γ)||cos(α-β)| ≤ |sin(α-β)|.1 + |sin(β-γ)|.1 = |sin(α-β)| + |sin(β-γ)| ⇒ (®pcm) VD5: Chøng minh r»ng: ab + cd ≤ (a + c)(b + d ) (1) ∀a , b, c, d > 0 Gi¶i: cd (1) ⇔ ab + cd ≤1⇔ 1 + ab ≤1 ( a + c )( b + d ) ( a + c )( b + d )  c  b  c  b  1 +  1 +   1 +  1 +   a  d   a  d  c d  π §Æt tg2α= , tg2β= víi α,β ∈  0,  ⇒ BiÕn ®æi bÊt ®¼ng thøc a b  2 1 tg2α.tg2β ⇔ + = cos2 α cos2 β + sin2 α sin2 β ≤ 1 (1 + tg α)(1 + tg β) 2 2 (1 + tg α)(1 + tg β) 2 2 ⇔ cosα cosβ + sinα sinβ = cos(α-β) ≤ 1 ®óng ⇒ (®pcm) c d DÊu b»ng x¶y ra ⇔ cos(α-β) = 1 ⇔ α=β ⇔ = a b 6a + 4 | a 2 − 1 | VD6: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = a2 +1 9
G.NTH Gi¶i: α α α α 6 tg + 4 | tg 2 − 1 | 2 tg tg 2 − 1 α 2 2 + 4. 2 §Æt a = tg . Khi ®ã A = 2 = 3. 2 α α α tg 2 + 1 1 + tg 2 tg 2 + 1 2 2 2 A = 3sin α + 4 |cosα| ≥ 3 sinα + 4.0 = 3sinα ≥ 3.(-1) = -3 Sö dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy - Schwarz ta cã: A2 = (3sinα + 4 |cosα|)2 ≤ (32 + 42)(sin2α + cos2α) = 25 ⇒ A ≤ 5 sin α | cos α | Víi sinα = 1 ⇔ a = 1 th× MinA = - 3 ; víi = th× MaxA = 5 3 4 V. D¹ng 5: §æi biÕn sè ®a vÒ bÊt ®¼ng thøc tam gi¸c 1) Ph¬ng ph¸p:  π x; y; z > 0 A; B; C ∈ (0; ) a) NÕu  2 th× ∃∆ABC :  2  x + y 2 + z 2 + 2xyz = 1 x = cos A; y = cos B; z = cos C   π x; y; z > 0 A; B; C ∈ (0; ) b) NÕu  th× ∃∆ABC :  2 x + y + z = xyz x = tgA; y = tgB; z = tgC   π A; B; C ∈ (0; 2 )  x; y, z > 0 x = cot gA; y = cot gB; z = cot gC  c) NÕu  th× ∃∆ABC :  xy + yz + zx = 1  A; B; C ∈ (0; π)   A B C  x = tg ; y = tg ; z = tg  2 2 2 2. C¸c vÝ dô minh ho¹: VD1: Cho x, y, z > 0 vµ zy + yz + zx = 1. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc. 1 1 1 S = + + − 3( x + y + z) x y z Gi¶i: α β γ  π Tõ 0 < x, y, z < 1 nªn ®Æt x = tg ; y = tg ; z = tg víi α, β, γ ∈  0,  2 2 2  2 α β β γ γ α Do xy + yz + zx = 1 nªn tg tg + tg tg + tg tg =1 2 2 2 2 2 2 10
G.NTH β γ tg + tg α β γ β γ 2 = 1 ⇔ tg β + γ  = cot g α ⇔ tg  tg + tg  = 1 - tg tg ⇔ 2   2 2 2 2 2 1 − tg β tg γ tg α 2 2 2 2 2 2 β γ  π α β γ π α α+β+ γ π ⇔ tg +  = tg +  ⇔ + = − ⇔ = ⇔ α+β+ γ = π 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 α β γ  α β γ S= + + − 3( x + y + z) = cotg + cotg + cotg -3  tg + tg + tg  x y z 2 2 2  2 2 2  α α  β β  γ γ  α β γ S =  cot g − tg  +  cot g − tg  +  cot g − tg  − 2 tg + tg + tg   2 2  2 2  2 2  2 2 2  α β γ S = 2(cotgα+cotgβ+cotgγ) - 2 tg + tg + tg   2 2 2 γ α β S = (cotgα+cotgβ-2tg ) + (cotgβ+cotgγ-2tg ) +(cotgα+cotgβ-2tg ) 2 2 2 sin(α + β) 2 sin γ 2 sin γ §Ó ý r»ng: cotgα + cotgβ = = = sin α. sin β 2 sin α. sin β cos(α − β) − cos(α + β) γ γ 4 sin cos 2 sin γ 2 sin γ 2 2 = 2 tg γ ⇒ cot gα + cot gβ − 2 tg γ ≥ 0 ≥ = = 1 − cos(α + β) 1 + cos γ γ 2 2 2 cos 2 2 1 T ®ã suy ra S ≥ 0. Víi x = y = z = th× MinS = 0 3 x y z 4 xyz VD2: Cho 0 < x, y, z < 1 vµ + + = 1− x 1− y 1− z 2 2 2 (1 − x )(1 − y 2 )(1 − z 2 ) 2 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc S = x2 + y2 + z2 Gi¶i: α β γ  π Do 0 < x, y, z < 1 nªn ®Æt x = tg ; y = tg ; z = tg víi α, β, γ ∈  0,  2 2 2  2 2x 2y 2z Khi ®ã tgα = ; tgβ = ; tgγ = vµ ®¼ng thøc ë gi¶ thiÕt 1− x2 1 − y2 1 − z2 2x 2y 2z 8xyz ⇔ + + = ⇔ tgα+tgβ+tgγ = tgα.tgβ.tgγ 1− x 1− y 1− z 2 2 2 (1 − x )(1 − y 2 )(1 − z 2 ) 2 11
G.NTH tgα + tgβ ⇔ tgα + tgβ = - tgγ(1-tgα.tgβ) ⇔ = - tgγ ⇔ tg(α+β) = tg(-γ) 1 − tgα.tgβ  π Do α, β, γ ∈  0,  nªn α + β = π - γ ⇔ α + β + γ = π. Khi ®ã ta cã:  2 α β β γ γ α tg tg + tg tg + tg tg = 1 ⇔ xy + yz + zx = 1. MÆt kh¸c: 2 2 2 2 2 2 (x2 + y2 + z2) - (xy + yz + zx) = 1 2 [ ] ( x − y) 2 + ( y − z ) 2 + ( z − x ) 2 ≥ 0 1 ⇒ S = x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx = 1. Víi x = y = z = th× MinS = 1 3  x , y, z > 0 x y z 9 VD3: Cho  . Chøng minh r»ng: S = + + ≤ x + y + z = 1 x + yz y + zx z + xy 4 Gi¶i: yz α xz β xy γ  π §Æt = tg ; = tg ; = tg víi α, β, γ ∈  0,  x 2 y 2 z 2  2 yz zx zx xy xy yz Do . + . +. . =x+y+z=1 x y y z z x α β β γ γ α nªn tg tg + tg tg + tg tg =1 2 2 2 2 2 2 β γ  α β γ  π α β γ π α ⇔ tg  +  = cotg ⇔ tg  +  = tg  −  ⇔ + = - 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 α+β+ γ π ⇔ = ⇔ α+β+ γ = π 2 2 x y z 1  2 x   2y   2z  3 S= + + =  − 1 +  − 1 +  − 1  + x + yz y + zx z + xy 2  x + yz   y + zx   z + xy  2        yz 1 − zx xy   1− 1−  1  x − yz y − zx z − xy  3 1  x + y z + 3 =  + + + = + 2  x − yz y + zx z + xy  2 2  1 + yz 1 + zx 1 + xy  2      x y z  (cos + cosβ + cosγ) + = [(cosα + cosβ).1 − (cosα cosβ − sinα + sinβ)] + 1 3 1 3 = 2 2 2 2 12
G.NTH 1 1 ≤ ((cosα + cosβ)2 +1) + 1 (sin2 α + sin2 β) − cosα cosβ + 3 = 3 + 3 = 9 (®pcm) 2 2  2  2 4 2 4  3. C¸c bµi to¸n ®a ra tr¾c nghiÖm Tríc khi t«i d¹y thö nghiÖm néi dung s¸ng kiÕn cña t«i cho häc sinh cña 2 líp 11A1 vµ 11A2 ë trêng t«i, t«i ®· ra bµi vÒ nhµ cho c¸c em, cho c¸c em chuÈn bÞ tríc trong thêi gian 2 tuÇn. Víi c¸c bµi tËp sau: Bµi 1:Cho a2 + b2 = 1. CMR: | 20a3 - 15a + 36b - 48b3| ≤ 13. Bµi 2:Cho (a-2)2 + (b-1)2 = 5. CMR: 2a + b ≤ 10. a; b ≥ 0 Bµi 3:Cho  CMR: a4 + b4 ≥ a3 + b3 a + b = 2  1  1  1  1  1  1  Bµi 4:Cho a; b ; c ≥ 1 CMR:  a −  b −  c −  ≥  a −  b −  c −   b  c  a  a  b  c x; y; z > 0 Bµi 5:Cho  2 CMR: x + y + z + 2 xyz = 1 2 2 1 a) xyz ≤ 8 3 b) xy + yz + zx ≤ 4 3 c) x2 + y2 + z2 ≥ 4 1 d) xy + yz + zx ≤ 2xyz + 2 1− x 1− y 1− z e) + + ≥ 3 1+ x 1+ y 1+ z 1 1 2 Bµi 6:CMR: + ≤ ∀ a, b ∈ (0, 1] 1+ a2 1 + b2 1 + ab Bµi 7:CMR: (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ≥ 9 (ab + bc + ca) ∀ a, b, c > 0 x , y, z > 0 x y z 3 3 Bµi 8:Cho  CMR : + + ≥ xy + yz + zx = 1 1− x 1− y 1− z 2 2 2 2 x , y, z > 0 x y z 3 Bµi 9:Cho  CMR : + + ≤ x + y + z = xyz 1+ x2 1 + y2 1 + z2 2 13
G.NTH  ,y z>0 x , 1 1 1 2x 2y 2z Bµi 10: Cho  CMR : + + ≥ + +  +yz zx 1 xy + = 1+x2 1+y2 1+z2 1+x2 1+y2 1+z2 14