Khóa học Luyện giải đề môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Website: www.moon.vn
Truy cập Moon.vn để xem video giải chi tiết đề thi thử Đại học
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2014
Môn thi: TOÁN; khối A; A1; B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
Câu Đáp án Điểm
a) (1,0 điểm)
Với
3 2
2 4
m y x x
= − ⇒= + +
Tập xác định:
.
D
=
ℝ
Đạo hàm:
2
' 3 2
= +
;
y x
= ⇔ =
hoặc
2
3
x
= −
Hàm s
ố
đồ
ng bi
ế
n trên các kho
ả
ng
2
;
3
−∞ −
và
(
)
0;
+∞
; ngh
ị
ch bi
ế
n trên 2
;0
3
−
.
Hàm s
ố
đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
0
x
=
;
4
CT
y
=
,
đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i
2
3
x
= −
;
D
112
27
C
y
=
0,25
Gi
ớ
i h
ạ
n,
đ
i
ể
m u
ố
n:
lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞
Ta có
1 1
'' 6 2 '' 0 ; .
3 3
y x y x U
= + ⇒= ⇔ = − → −
0,25
B
ả
ng bi
ế
n thiên:
x −∞
2
3
−
0 +
∞
y’
+ 0 − 0 +
y
112
27
+∞
−∞ 4
0,25
Đồ
th
ị
hàm s
ố
có d
ạ
ng nh
ư
hình v
ẽ
:
0,25
b)
(1,0
đ
i
ể
m)
Câu 1
(2,0 đ)
Ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
(
)
C
và
Ox
là:
0,25
Khóa học Luyện giải đề môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Website: www.moon.vn
Truy cập Moon.vn để xem video giải chi tiết đề thi thử Đại học
( )
( )
(
)
( )
2
2 2
2 2;0
2 0 0
x A
x x x m
g x x x m x x m
= − ⇒−
⇔ + − − = ⇔
= − − = ⇒= +
Điều kiện để
(
)
C
cắt Ox tại 3 điểm phân biệt:
( )
( ) ( )
01 4 0
*
6
2 0
g x
m
m
g
∆ >
+ >
⇔
≠
− ≠
Khi đó, giả sử
(
)
(
)
1 2
;0 , ;0
B x C x
với
1 2
,
x x
là 2 nghiệm của phương trình
(
)
0
g x
=
.
Theo giả thiết ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2
1 2 1 1 2 2
4 2 2 20 4 4 4 0
x x x x x x
+ + + = ⇔ + + + =
(
)
(
)
1 1 2 2 1 2
4 4 4 0 4
x m x x m x x x m
⇔ + + + + + = ⇔ + = −
0,25
Kết hợp định lý Vi-et giải hệ ta có:
1
1 2
1 2 2
1 2 1 2
1
3
1
4
3
4
m
x
x x m
x x m x
x x m
x x m
− −
=
+ =
+
= ⇔ =
+ = −
=
0,25
(
)
(
)
2
1 4 9 4 4 0 2 ( )
m m m m m m tm
⇒+ + = ⇔ − + = ⇔ =
Kết luận: Vậy
2
m
=
là giá trị cần tìm.
Bình luận: Khi thầy chấm thi, đây là câu mà thầy thấy nhiều học sinh hay bị sai nhất. Đơn
giản bởi vì các bạn không nắm được tư tưởng chung của các bài toán về Tương giao của
hai đồ thị. Thầy xin nhấn mạnh lại để các em chú ý hơn trong lúc ôn tập. Bài toán tương
giao trong đề thi ĐH chỉ tập trung vào hai bài toán chính là HOÀNH ĐỘ GIAO ĐIỂM và
TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM, tuyệt nhiên không thể khác những gì thầy nhắc nhở. Trước khi xử lý
m ra sao thì hãy tìm đk trước nhé, tránh mất 0,25đ oan nhá! Hàm số năm 2013 rất là dễ,
nhưng nhìn chung vì dính đến tham số và nhiều bài còn đòi hỏi khả năng biện luận nên
nhiều bạn cũng vẫn lúng túng với các bài hàm số.
Thầy nhắc lại lần nữa, hãy ôn tập kĩ theo danh mục bài giảng khóa TỔNG ÔN TOÁN 2014
của thầy để đạt trọn vẹn 2đ hàm số nhá!
0,25
Điều kiện:
( )
π
cos 0
π, .
2
≠ ⇔ ≠ + ∈x x k k
Z
Ta có
(
)
(
)
( )
2
1 sin 5 2sin
3 5 3sin 2sin 3sin 2 3 3 cos
2sin 3 cos
x x
PT x x x x
x x
+ −
⇔ = ⇔ + − = +
+
0,25
( ) ( )
π π
cos2 3sin 2 3 sin 3 cos 4 0 cos 2 3cos 2 0
3 6
x x x x x x
⇔ − + − + = ⇔ + − + + =
0,25
2
π2π
π6
cos 1
6
π π π
2cos 3cos 1 0 2
π,
6 6 6
π1
cos π
6 2 2π
2
= − +
+ =
⇔ + − + + = ⇔ ⇔ = + ∈
+ =
= − +
ℤ
x k
x
x x x k k
x
x k
0,25
Câu 2
(1,0 đ)
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của phương trình là
( )
π2
π, .
6
= ± + ∈
ℤ
x k k
Bình luận:
V
ớ
i các ph
ươ
ng trình l
ượ
ng giác khi mà có xu
ấ
t hi
ệ
n
3
thì có
đế
n 51% là lo
ạ
i
ph
ươ
ng trình thu
ầ
n nh
ấ
t v
ớ
i sinx và cosx. M
ẫ
u s
ố
có
đ
k nên c
ũ
ng l
ư
u ý v
ề
cách lo
ạ
i nghi
ệ
m
Trong
đề
thi 2 n
ă
m g
ầ
n
đ
ây thì l
ượ
ng giác là câu SIÊU D
Ễ
, vì v
ậ
y th
ầ
y
đề
ngh
ị
các em ph
ả
i
ă
n
đượ
c t
ố
i
đ
a 1
đ
i
ể
m câu này, ít thì c
ũ
ng ph
ả
i 0.75 nhá! Hí hí
0,25
Câu 3
(1,0 đ)
Điều kiện:
0
y
≠
0,25
Khóa học Luyện giải đề môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Website: www.moon.vn
Truy cập Moon.vn để xem video giải chi tiết đề thi thử Đại học
Với ĐK trên ta có:
( ) ( )
3
32
2
2
3 2 2 3
22
4
4
2 1 20
2 1 20
1 4
11
4 4
4 2
x
xy x y
y x y y
y
x y y
x y
x xy y x
yy
+ + + =
+ + + =
⇔
+ + = + + + + = +
Đặt
3
2
4
2
x
u y
y
v x y
= +
= +
ta có:
( )
(
)
( )
2
22
1 20 4 1 20
3
5
44
u v v v v
u
u v u v
+ = − + =
=
⇔ ⇔
=
+ =
= −
0,25
Với
( )
33 3
23 2
44 5 0
5 5
9 37 27 0
32 3 2 3
2 3
xx y y
u y y y y
y
vx y x y
x y
+ − =
= + =
+ − + =
⇒⇔ ⇔
== − = −
+ =
0,25
( )
( )
2
1
1 10 27 0
5 2 13 4 13
2 3
5 2 13 4 13
x y
y y y y x
x y y x
= =
− + − =
⇔ ⇔ = − + ⇒= −
= −
= − − ⇒= +
Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm
( ) ( )
(
)
(
)
{
}
; : 1;1 , 4 13; 5 2 13 , 4 13; 5 2 13
− − + + − −x y
Cách 2: Dễ thấy y = 0 không thỏa mãn nên
( )
32
(1) 4 2 1 20
x
PT y x y
y
⇔ + + + =
Thay (2) lên ta được
(
)
( )
2 2
(1) 4 1 2 1 20
PT x xy y x y
⇔ + − + + + =
(
)
(
)
2 2 2
(1) 4 4 4 2 1 20 (2 ) 4 2 1 20
PT x xy y x y x y x y
⇔ + + − + + = ⇔ + − + − =
Đặ
t
2
2 ( 4)( 1) 20 3 2 3
t x y t t t x y
= + ⇒− + = ⇔ = ⇒+ =
. Các em t
ự
gi
ả
i n
ố
t nhé!
Bình luận:
V
ề
m
ặ
t pp thì cách 2 và cách 1 không khác nhau là m
ấ
y, tuy nhiên cách 2 là m
ộ
t
cách nhìn bài toán
ở
góc
đơ
n gi
ả
n h
ơ
n v
ớ
i
đ
a s
ố
h
ọ
c sinh. V
ớ
i v
ị
trí câu s
ố
3 trong
đề
thi
tuy
ể
n sinh, th
ầ
y khuyên các em khi ti
ế
p c
ậ
n không nên
đ
ao to búa l
ớ
n v
ớ
i nó, vì trong các
n
ă
m
đ
ã thi
Đạ
i h
ọ
c, th
ự
c s
ự
ph
ầ
n PT và h
ệ
PT ch
ư
a có câu nào th
ự
c s
ự
khoai c
ả
. V
ậ
y nên,
đị
nh h
ướ
ng ti
ế
p c
ậ
n bài toán là r
ấ
t quan tr
ọ
ng. N
ế
u PT hay h
ệ
PT n
ằ
m
ở
câu 6 thì hãy c
ẩ
n
th
ậ
n nhá các em!
0,25
Đặ
t:
1
ln
x t dx dt
x
= ↔ =
.
Đổ
i c
ậ
n:
1 0
1
x t
x e t
=
⇒
=
=
⇒
=
0,25
(
)
(
)
1 1
2
0 0
2 1 1
3 3
2 2
t t
t t
I dt dt
t t
− − +
− +
⇒
= =
− −
∫ ∫
0,25
( )
1
1
1 1 2
0
0 0
0
1
1 ln 2
2 2
dt
t dt t t t
t
= − + = − + −
−
∫ ∫
0,25
Câu 4
(1,0 đ)
1
ln 2
2
= − −
. Vậy
1
ln 2 .
2
I
= − −
Bình luận:
Câu này không có gì
để
nói nhi
ề
u v
ề
nó các em
ạ
!
0,25
Khóa học Luyện giải đề môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Website: www.moon.vn
Truy cập Moon.vn để xem video giải chi tiết đề thi thử Đại học
+) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Gọi
H MN BI
= ∩
(
)
(
)
SMN SBI SH
⇒∩ =
Do hai mặt phẳng
(
)
SMN
và
(
)
SBI
cùng vuông góc với
(
)
(
)
ABCD SH ABCD
⇒⊥
Dễ thấy, BH là hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng đáy, suy ra
0
60
SBH =
Gọi M và N lần lượt là trung điểm AB và BC, mà AB = 4CD nên suy ra
MN BD
⊥
tại H.
Xét tam giác BMN ta có:
2 2 2 2
1 1 1 5
5
a
BH
BH BM BN a
= + = ⇒=
Xét tam giác SBH lại có:
15
tan .tan 60
5
o
SH a
SBH SH BH
HB
=⇒= =
0,25
Ta có
( )
2
1 1 5
. 2 .
2 2 2 4
ABCD
a a
S CD AB BC a a
= + = + =
2 3
.
1 1 15 5 15
. . . .
3 3 5 4 12
S ABCD ABCD
a a a
V SH S⇒= = =
0,25
+) Tính kho
ả
ng cách gi
ữ
a SN và BD.
Do
( )
BB SH
BD SMN
BD MN
⊥
⇒⊥
⊥
D
ự
ng HK vuông góc SN suy ra HK là
đ
o
ạ
n vuông góc chung c
ủ
a SN và BD
(
)
,
d BD SN HK
⇒=
0,25
Câu 5
(1,0 đ)
Xét tam giác
BHN
∆
có:
2 2
2 2
5
4 5 10
a a a
HN BN BH= − = − =
Xét
SHN
∆
ta có
2 2 2 2 2 2
1 1 1 20 5 65 3
3 3 65
HK a
HK SH HN a a a
= + = + = ⇒=
V
ậ
y
( )
3
,
65
d BD SN a=
0,25
Câu 6
(1,0 đ)
S
ử
d
ụ
ng B
Đ
T ph
ụ
:
( )
2
2 2 2
x y z
x y z
y z x x y z
+ +
+ + ≥ + +
,
(Bất Đẳng Thức Cauchy – Schwarz)
0,25
Khóa học Luyện giải đề môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Website: www.moon.vn
Truy cập Moon.vn để xem video giải chi tiết đề thi thử Đại học
Theo Bunhiacopxki ta có:
( )
( )
2 2 2
2
. . .
. . .
x y z
y y z z x x x y z
y y z z x x
+ + + + ≥ + +
Suy ra điều phải chứng minh.
Áp dụng BĐT phụ trên ta có:
(
)
( )
2
2 2 2
1
a b c
a b c a b c
b c a ab bc ca ab bc ca
+ +
+ + = + + ≥ + +
Và:
(
)
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
222
2
ab bc ca
a b c a c b a c b
b c a abc bca cab abc a b c
+ +
+ + = + + ≥ + +
Nhân
(
)
(
)
1 & 2
theo vế
(
)
(
)
2
a b c ab bc ca
a b c
b c a abc
+ + + +
⇔ + + ≥
Suy ra:
(
)
(
)
( )( )
3
3
a b c ab bc ca abc
VT P
abc a b c ab bc ca
+ + + +
= ≥ + + + + +
0,25
Đặt:
( )( )
a b c ab bc ca
t
abc
+ + + +
=
.
Do
( )( )
AM-GM 2 2 23
3
3 .3 9 3
a b c ab bc ca abc a b c abc t
+ + + + ≥ = ⇒≥
( ) ( ) ( )
2
2
3 3 3 3
3 ' 2 0, 3
P f t t t f t t t
t t
⇒≥ = + ≥ ⇒= − > ∀ ≥
.
Suy ra hàm
(
)
f t
đồ
ng bi
ế
n trên
[
)
3;
+∞
.
0,25
V
ậ
y
(
)
(
)
(
)
Min
3 9 3
VT P f t f t f= ≥ ≥ = = + .
V
ậ
y phép ch
ứ
ng minh hoàn t
ấ
t.
Đẳ
ng th
ứ
c x
ả
y ra
a b c
⇔ = =
0,25
+) G
ọ
i
H
là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a
I lên d , IH c
ắ
t AB t
ạ
i K, IM c
ắ
t AB
t
ạ
i E.
Ta có
2 2
IH =
.
M
ặ
t khác
cos
IE IH
MIH
IK IM
= =
2 2
. . 4
IE IM IK IH IA R
⇒= = = =
(ta cũng có thể chứng minh
. .
IE IM IK IH
=
(phương tích) vì tứ
giác EMHK là tứ giác nội tiếp)
0,25
+) Theo giả thiết 4
2 2 2 2
2 2
IH IK KH=⇒= = ⇒= do đó K là trung điểm của IH.
Gọi
( ) ( )
(
)
( )
0 0;2
2 2
;2 3 ; 2 2 1 1
2 2; 4
2
t K
t
K t t d K d t t K
=⇒
−
−⇒= ⇔ = ⇔ − = ⇒
=⇒−
0,25
+) Với
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
0;2 : 2 0 1;1 1;3 : 1 3 4
K IH x y H I C x y
⇒−+=⇒−⇒ ⇒ − + − =
0,25
Câu 7.a
(1,0 đ)
+) Với
(
)
(
)
(
)
2; 4 : 6 0 3;3 7; 11
K IH x y H I−⇒− + = ⇒−⇒−
( ) ( ) ( )
2 2
: 7 11 4
C x y
⇒− + + =
V
ậ
y có hai
đườ
ng tròn th
ỏ
a mãn là
( ) ( )
2 2
1 3 4
x y
− + − =
và
( ) ( )
2 2
7 11 4
x y
− + + =
0,25
Câu 8.a
(1,0 đ)
Do
1
( ;2 2 ; )
M d M a a a
∈⇒−,
(
)
2
1 ;3 3 3 2
N d N b b b
∈⇒+ − − +
(1 ;1 2 3 ; 3 2 )
MN b a a b a b
⇒= + − + − − − +
.
0,25