S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O Đ K L KỞ Ụ Ạ Ắ Ắ
TR NG THPT NGUY N HUƯỜ Ễ Ệ Đ THI TH Đ I H C Ề Ử Ạ Ọ
MÔN TOÁN NĂM 2012 - 2013
Th i gian làm bài: 180 phútờ.
PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH Ầ Ấ Ả (7.0 đi m)ể
Câu I (2.0 đi m)ể ) Cho hàm s ố
x 2
yx 1
−
=+
, có đ th (C).ồ ị
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm sả ự ế ẽ ồ ị ủ ố
2. Vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ th (C), bi t ti p tuy n t o v i hai đ ng ti m c nế ươ ế ế ủ ồ ị ế ế ế ạ ớ ườ ệ ậ
c a (C) m t tam giác có bán kính đ ng tròn n i ti p l n nh t.ủ ộ ườ ộ ế ớ ấ
Câu II (2.0 đi m)ể
1. Gi i ph ng trình: ả ươ
2
5x x
4 3 sin x cos x 2cos cos 3 sin 2x 3cos x 2
2 2 0
2sin x 3
− + + + =
−
2. Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ
( )
2
2
y 1
x 3y 2 y 4x 2 5y 3x
3
3 6.3 3 2.3
1 2. x y 1 3. 3y 2x
+
+ − + − −
+ = +
+ + − = −
Câu III (1.0 đi m) ể Tính tích phân:
1
x
2 2
3
4
e x
x 2 tan x dx
x cos x
π
π
� �
� �
� �
+ +
� �
� �
� �
� �
� �
Câu IV (1.0 đi m) ểCho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O; AC =
2a 3
, BD = 2a;
hai m t ph ng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc v i m t ph ng (ABCD). Bi t kho ng cách t đi mặ ẳ ớ ặ ẳ ế ả ừ ể
O đ n m t ph ng (SAB) b ng ế ặ ẳ ằ
a 3
4
, tính th tích kh i chóp S.ABCD theo a.ể ố
Câu V (1.0 đi m) ể Cho a, b, c là các s th c d ng có t ng b ng 1. Ch ng minh r ng: ố ự ươ ổ ằ ứ ằ
3
1 1 1 10
a b c
b c a 3
� �� �� � � �
+ + +
� �� �� � � �
� �� �� � � �
PH N RIÊNG Ầ ( 3.0 đi m)ể ( Thí sinh ch đ c làm m t trong hai ph n A ho c B ).ỉ ượ ộ ầ ặ
A.Theo ch ng trình chu n: ươ ẩ
Câu VI.a (2.0 đi m)ể
1. Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho hình thoi MNPQ có M(1; 2), ph ng trình NQ làặ ẳ ớ ệ ạ ộ ươ
x y 1 0− − =
. Tìm to đ các đ nh còn l i c a hình thoi, bi t r ng NQ = 2MP và N có tung đ âm. ạ ộ ỉ ạ ủ ế ằ ộ
2. Trong không gian v i h tr c t a đ vuông góc Oxyz, cho đi m ớ ệ ụ ọ ộ ể
. Vi t ph ng trìnhế ươ
m t ph ng ặ ẳ
( )
P
qua I c t các tr c t a đ Ox, Oy, Oz l n l t t i A, B, C sao cho I là tâm đ ngắ ụ ọ ộ ầ ượ ạ ườ
tròn ngo i ti p tam giác ABC.ạ ế
CâuVII. a (1.0 đi mể) Cho khai tri n: ể
( )
( )
2
10 2 2 14
o 1 2 14
1 2x x x 1 a a x a x ... a x+ + + = + + + +
. Hãy tìm giá trị
c a ủ
6
a
.
B. Theo ch ng trình nâng cao:ươ
Câu VI.b (2.0 đi m)ể
1. Trong m t ph ng v i h tr c t a đ vuông góc Oxy, cho hình bình hành ABCD tâm I, bi tặ ẳ ớ ệ ụ ọ ộ ế
A(0; 1) và B(3; 4) thu c parabol ộ
( )
2
P : y x 2x 1,= − +
đi m I n m trên cung AB c a (P) sao cho tamể ằ ủ
giác IAB có di n tich l n nh t. Tìm t a đ C và D.ệ ớ ấ ọ ộ
2. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, vi t ph ng trình m t ph ng (P) đi qua O, vuôngớ ệ ụ ọ ộ ế ươ ặ ẳ
góc v i m t ph ng (Q): ớ ặ ẳ
5x 2y 5z 0− + =
và t o v i m t ph ng (R): ạ ớ ặ ẳ
x 4y 8z 6 0− − + =
góc
o
45
.
CâuVII. b (1.0 đi m) ểCho khai tri n đa th c: ể ứ
( )
2013 2 2013
o 1 2 2013
1 2x a a x a x ... a x− = + + + +
. Tính t ng:ổ
0 1 2 2013
S a 2 a 3 a ... 2014 a= + + + +
...............................................H T...............................................Ế
Câu 1: 1, Kh o sát s bi n thiên c aả ự ế ủ hàm s ố
x 2
yx 1
−
=+
, có đ th (C).ồ ị
* T p xác đ nh: Dậ ị
{ }
\ 1R= −
,
( )
2
3
y 0, x D
x 1
= > ∀
+
* S bi n thiên:ự ế
+ Gi i h n: ớ ạ
xx 1 x 1
x
lim y lim y 1, lim y , lim y
+ −
− − −
+
= = = − = +
.
Đ th (C) cóồ ị ti m c n ngang là đ ng th ng y=1,ệ ậ ườ ẳ ti m c n đ ng là đ ng th ng x=-1ệ ậ ứ ườ ẳ
+ B ng bi n thiên: ả ế
x -
-1 +
y’ + +
y
+
1
1 -
+ Hàm s đ ng bi n trên kho ng ố ồ ế ả
( )
; 1− −
và
( )
1;− +
.
* Đ th :ồ ị
Đ th c t tr c tung t i đi m (0;-2), c t tr c hoành t i đi m (0; 2).ồ ị ắ ụ ạ ể ắ ụ ạ ể
Đ th (C) nh n giao đi m hai ti m c n I(-1; 1) làm tâm đ i x ngồ ị ậ ể ệ ậ ố ứ
Câu 1: 2, Vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ th (C……..ế ươ ế ế ủ ồ ị
PT ti p tuy n d có d ng ế ế ạ
( ) ( )
o
2
o
3 x 2
y x x x 1
x 1
−
= − + +
+
, (v i ớ
o
x
là hoành đ ti p đi m)ộ ế ể
Giao đi m c a d l n l t v i tc đ ng, tc ngang là: ể ủ ầ ượ ớ ứ
o
o
x 5
A 1; ;
x 1
� �
−
−
� �
+
� �
( )
o
B 2x 1;1+
o
o
6
IA ; IB 2x 2 IA.IB 12
x 1
= = + =�
+
Bán kính
2 2
IA.IB IA.IB IA.IB 6
rIA IB AB 2 IA.IB 2IA.IB 2 3 6
IA IB IA IB
= = =
+ + + +
+ + +
D u “=” x y ra khi và ch khi ấ ả ỉ
2
o o
IA IB x 1 3 x 1 3= + = = −� � �
V y ph ng trình ti p tuy n c n tìm là: ậ ươ ế ế ầ
y x 2 2 3= + −
ho c ặ
y x 2 2 3= + +
Câu 2: 1, Gi i ph ng trình : ả ươ
2
5x x
4 3 sin x cos x 2cos cos 3 sin 2x 3cos x 2
2 2 0
2sin x 3
− + + + =
−
y
I
-1 O
2
-2
1
x
Đi u ki n : ề ệ
3
sin x 2
Ph ng trình đã cho t ng đ ng v i ph ng trình:ươ ươ ươ ớ ươ
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2
2
2 3 sin 2x cos x cos3x cos 2x 3 sin 2x 3cos x 2 0
3 sin 2x 2cos x 1 cos3x cos x cos2x 1 2cos x 1 0
3 sin 2x 2cos x 1 4cos x.sin x 2sin x 2cos x 1 0
3 sin 2x 2cos x 1 2sin x 2cos x 1 2cos x 1 0
2cos x 1 3 sin 2x 2sin x 1 0 2cos x 1 3si
− − + + + =
+ − − − − + + =�
+ + + + + =�
+ + + + + =�
+ + + = +� �
( )
n 2x cos 2x 2 0− + =
( )
12
cos x x 2k
2cos x 1 0 23k
3 sin 2x cos 2x 2 0 cos 2x 1 x k
36
−
π
== + π
+ =
Ζ� � � �
π−π
� �
− + =
+ = − = + π
� �
� �
Đ i chi u đi u ki n ta đ c nghi m c a ph ng trình là:ố ế ề ệ ượ ệ ủ ươ
2
x k ; x k2 ;x k2 (k Z)
3 3
− π −π
= π = + π = + π
Câu 2: 2, Gi i h ph ng trình :ả ệ ươ
( )
2
2
y 1
x 3y 2 y 4x 2 5y 3x
3
3 6.3 3 2.3
1 2. x y 1 3. 3y 2x
+
+ − + − −
+ = +
+ + − = −
( )
( )
1
2
Đk:
x y 1 0+ −
(*)
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
2
4x 2 3y 3x y 4x 2 2y 3y 3x y 1 2y
4x 2 2y y x y 4x 2 2y
1 3 6.3 3 2.3 0
3 3 27 6.3 0 3 3 0 y 2x 1
− + − + − + − + +
− − −
+ − + =�
− + = − = = −� � �
Thay vào (2) ta có:
3
2
1 2 3x 2 3. 4x 3, x 3
+ − = −
Đ t ặ
3
a 3x 2 0;b 4x 3= − = −
ta có h ệ
2 3
1 2a 3b
4a 3b 1
+ =
− =
( )
( )
3
4
T ừ
( )
3b 1
3 a 2
=
=�
thay vào pt (4) ta đ c ượ
3 2
1
b 0 a 2
3b 9b 6b 0 b 1 a 1
5
b 2 a 2
−
= =�
− + = = =� �
= =�
+)
1
b 0;a 2
−
= =
không thõa mãn +)
a 1 x 1
b 1 y 1
= =
� �
� �
= =
� �
+)
11
5x
a4
29
b 2 y2
=
=
� �
� �
� �
==
K t h p đk (*) suy ra h có nghi m (x; y) là ế ợ ệ ệ
( )
11 9
1;1 , ;
9 2
� �
� �
� �
Câu 3: Tính tích phân:
1
x
2 2
3
4
e x
x 2 tan x dx
x cos x
π
π
� �
� �
� �
+ +
� �
� �
� �
� �
� �
Ta có:
1
12
x
x
2 2 2 2
3 3 3 3
4 4 4 4
e x 1 x
I x 2tan x dx e . dx dx 2x tan xdx
x cos x x cos x
π π π π
π π π π
� �
� �
� �
= + + = + +
� �
� �
� �
� �
� �
� � � �
(1)