intTypePromotion=1

Đề Tài : Về sự tồn tại nhóm con chuẩn tắc tối đại trong vành chia

Chia sẻ: Nguyen Thi Bich Ngoc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:36

0
84
lượt xem
35
download

Đề Tài : Về sự tồn tại nhóm con chuẩn tắc tối đại trong vành chia

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong luận văn này, chúng tôi khảo sát sựu tồn tại của các nhóm con tối đại chuẩn tắc trên vành chia và một số tính chất của các nhóm này qua các bước sau: Cho D là một số chia hữu hạn chiều có tâm F, d'là nhóm hoán tử của nhóm nhând.Trong luận văn này chúng tôi sẽ chứng minh sự tồn tại của các nhóm con tối đại trong F có liên quan chặt chẽ đến sự tồn tại của chúng

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Đề Tài : Về sự tồn tại nhóm con chuẩn tắc tối đại trong vành chia

  1. ÑAÏI HOÏC QUOÁC GIA THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC KHOA HOÏC TÖÏ NHIEÂN -----o0o----- TRAÀN THANH LOÄC VEÀ SÖÏ TOÀN TAÏI NHOÙM CON CHUAÅN TAÉC TOÁI ÑAÏI TRONG VAØNH CHIA Chuyeân ngaønh: ÑAÏI SOÁ VAØ LYÙ THUYEÁT SOÁ Maõ soá: 60 46 05 LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ TOAÙN HOÏC NGÖÔØI HÖÔÙNG DAÃN KHOA HOÏC PGS.TS. Buøi Xuaân Haûi TP. HOÀ CHÍ MINH - 2011
  2. LÔØI CAÛM ÔN Trong nhöõng doøng ñaàu tieân cuûa luaän vaên naøy, toâi kính göûi nhöõng tình caûm toát ñeïp nhaát vaø loøng bieát ôn chaân thaønh cuûa mình ñeán PGS. TS. Buøi Xuaân Haûi, tröôûng boä moân Ñaïi Soá, khoa Toaùn-Tin hoïc, tröôøng Ñaïi hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân, Ñaïi Hoïc Quoác Gia thaønh phoá Hoà Chí Minh, ngöôøi thaày ñaõ daïy doã toâi trong nhöõng naêm ôû baäc Ñaïi hoïc, Cao hoïc, vaø cuõng laø ngöôøi ñaõ heát loøng taän tuïy höôùng daãn toâi hoaøn thaønh luaän vaên naøy. Xin ñöôïc khaéc ghi coâng ôn giaûng daïy cuûa taát caû caùc thaày coâ trong khoa Toaùn-Tin hoïc cuûa tröôøng Ñaïi hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân, Ñaïi Hoïc Quoác Gia thaønh phoá Hoà Chí Minh. Caùc thaày coâ ñaõ daønh cho toâi taát caû taám loøng ``ngöôøi thaày'' trong nhöõng naêm hoïc ôû baäc Ñaïi hoïc vaø Cao hoïc. Chính nhöõng kieán thöùc maø toâi tieáp thu ñöôïc töø thaày coâ trong suoát nhöõng naêm qua laø neàn taûng heát söùc quan troïng ñeå toâi coù theå hoaøn thaønh ñöôïc luaän vaên naøy. Toâi cuõng xin baøy toû loøng bieát ôn caùc thaày coâ trong Ban Giaùm Hieäu nhaø tröôøng, Ban Chuû Nhieäm khoa Toaùn - Tin hoïc, Phoøng Sau Ñaïi hoïc cuûa tröôøng Ñaïi hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân, Ñaïi Hoïc Quoác Gia thaønh phoá Hoà Chí Minh ñaõ nhieät tình giuùp ñôõ vaø taïo moïi ñieàu kieän thuaän lôïi cho toâi trong suoát quaù trình hoïc taäp Cao hoïc. Xin caûm ôn taát caû caùc baïn trong lôùp Cao hoïc Toaùn Ñaïi Soá khoùa 18 cuûa tröôøng Ñaïi hoïc Khoa Hoïc Töï Nhieân. Cuoái cuøng, toâi xin daønh taát caû nhöõng gì thaân thöông nhaát, trong ñoù coù loøng bieát ôn saâu laéng nhaát cho gia ñình vaø cuõng xin ñöôïc daønh taëng taát caû nhöõng coá gaéng, thaønh coâng naøy nhö moùn quaø tinh thaàn cho gia ñình cuûa toâi. Thaønh phoá Hoà Chí Minh, thaùng 5 naêm 2011 Taùc giaû Traàn Thanh Loäc
  3. MUÏC LUÏC 1 TOÅNG QUAN 3 2 KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN 6 2.1 AÙnh xaï Valuation .............................. 6 2.2 Ñaïi soá chia vaø vaønh chia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Nhoùm chia ñöôïc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4 Nhoùm Brauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 SÖÏ TOÀN TAÏI NHOÙM CON CHUAÅN TAÉC TOÁI ÑAÏI TRONG VAØNH CHIA 24 KEÁT LUAÄN 34 TAØI LIEÄU THAM KHAÛO 35
  4. Chöông 1 TOÅNG QUAN Trong luaän vaên naøy, chuùng toâi khaûo saùt söï toàn taïi cuûa caùc nhoùm con toái ñaïi chuaån taéc treân vaønh chia vaø moät soá tính chaát cuûa caùc nhoùm naøy qua caùc böôùc sau: Cho D laø moät ñaïi soá chia höõu haïn chieàu coù taâm F , D laø nhoùm hoaùn töû cuûa nhoùm nhaân D∗ = D − {0}. Trong luaän vaên naøy chuùng toâi seõ chöùng minh söï toàn taïi cuûa caùc nhoùm con toái ñaïi trong F ∗ coù lieân heä chaët cheõ ñeán söï toàn taïi cuûa chuùng trong D∗ . Böôùc ñaàu tieân cuûa quaù trình naøy laø khaûo saùt söï toàn taïi nhoùm con toái ñaïi treân caùc tröôøng soá hoïc nhö Q, R vaø C. Cuï theå, ta ñöôïc R ∗ laø nhoùm nhaân cuûa taäp caùc soá thöïc R chæ coù moät nhoùm con toái ñaïi lieân keát vôùi pheùp tính trò tuyeät ñoái treân R. Tröôøng hôïp khaû quan hôn ñoái vôùi tröôøng höõu tyû Q. Ta seõ chöùng minh raèng Q ∗ coù nhieàu nhoùm con toái ñaïi höõu haïn chieàu vôùi caùc valuation treân Q vaø sau ñoù ta seõ chöùng minh ñoái vôùi caùc tröôøng ñoùng ñaïi soá maø cuï theå laø tröôøng soá phöùc C seõ khoâng toàn taïi nhoùm con toái ñaïi. Tieáp theo, ta chöùng minh raèng neáu toàn taïi moät A laø cyclic ñaïi soá trung taâm ñôn treân tröôøng F , nghóa laø A cyclic vaø laø moät ñaïi soá Brauer treân F thì F ∗ seõ chöùa nhoùm con toái ñaïi. Töø ñoù, ta ñi ñeán keát luaän laø neáu F laø tröôøng ñòa phöông hoaëc tröôøng toaøn cuïc thì F ∗ seõ coù nhoùm con toái ñaïi vì caùc ñaïi soá Brauer cuûa F trong tröôøng hôïp naøy ñeàu cyclic. Sau ñoù, ta seõ khaûo saùt tieáp caùc tröôøng hôïp toàn taïi nhoùm con toái ñaïi treân tröôøng F vaø thaáy raèng neáu Br p (F ) khoâng taàm thöôøng, vôùi p laø soá nguyeân toá, thì khi F coù ñaëc tröng 0, coù ñaëc tröng p hay coù ñaëc tröng khaùc p nhöng chöùa taát caû caùc nghieäm caáp p cuûa 1 thì F ∗ chöùa nhoùm con toái ñaïi. Môû roäng keát quaû ñaït ñöôïc cho tröôøng, ta seõ thieát laäp söï lieân heä nhoùm con toái ñaïi treân tröôøng vôùi nhoùm con toái ñaïi chuaån taéc treân ñaïi soá chia D nhaän F laøm taâm. Môû ñaàu ta seõ ñöôïc keát quaû, neáu D laø vaønh chia type 2 vaø F coù moät valuation rôøi raïc thì trong D∗ seõ toàn taïi nhoùm con toái ñaïi, töø ñoù ta suy ra raèng neáu D laø F -ñaïi soá chia 3
  5. Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 4 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá höõu haïn chieàu thì D ∗ cuõng coù nhoùm con toái ñaïi. Sau ñoù, keát quaû seõ ñöôïc phaùt trieån thaønh F chæ caàn coù Krull valuation vaø nhoùm giaù trò cuûa noù coù nhoùm con toái ñaïi, khi ñoù moïi ñaïi soá chia höõu haïn chieàu D treân tröôøng F ñeàu coù nhoùm con chuaån taéc toái ñaïi. Töø tính chaát naøy, ta coù theå keát luaän laø trong moïi ñaïi soá chia D coù taâm F vôùi F laø tröôøng soá hoïc hay tröôøng ñòa phöông ñeàu toàn taïi nhoùm con chuaån taéc toái ñaïi. Tieáp theo, ta seõ xeùt tröôøng hôïp cuï theå vôùi D laø vaønh chia quaternion thöïc. Khi ñoù trong D∗ khoâng toàn taïi nhoùm con chuaån taéc toái ñaïi. Tuy nhieân neáu D laø vaønh chia khoâng giao hoaùn thì D ñöôïc xem laø Z (D) ñaïi soá chia neân ñöôïc döï ñoaùn laø seõ toàn taïi nhoùm con toái ñaïi trong D∗ . Cuoái cuøng ta seõ ñi ñeán ñònh lyù, vôùi D laø vaønh chia höõu haïn chieàu treân taâm F , neáu nhoùm G (D) khoâng cyclic thì moïi phaàn töû cuûa D ∗ ñöôïc chöùa trong moät nhoùm con chuaån taéc toái ñaïi; coøn ngöôïc laïi, neáu F ∗ toàn taïi nhoùm con toái ñaïi chöùa Z (D ) thì moïi phaàn töû cuûa D ∗ cuõng ñöôïc chöùa trong moät nhoùm con chuaån taéc toái ñaïi naøo ñoù. Ñeå thöïc hieän cuï theå caùc yù töôûng treân, phaàn coøn laïi cuûa luaän vaên naøy ñöôïc chia thaønh caùc phaàn cuï theå sau: Chöông 2: Chuùng toâi khaûo saùt moät soá kieán thöùc cô baûn sau: Phaàn 2.1: Phaàn naøy seõ trình baøy veà caùc ñònh nghóa vaø tính chaát cuûa aùnh xaï valuation treân tröôøng, cuï theå laø veà Krull valuation, valuation rôøi raïc, vaø p-adic valuation. Phaàn 2.2: Chuùng toâi seõ khaûo saùt veà ñaïi soá chia vaø vaønh chia cuøng moät soá tính chaát coù lieân quan cuûa caùc nhoùm nhaân hoaùn töû, coäng hoaùn töû cuûa vaønh chia. Phaàn 2.3: Chuùng toâi seõ tìm hieåu sô löôïc veà caùc nhoùm chia ñöôïc, nhoùm torsion vaø söï toàn taïi cuûa nhoùm con toái ñaïi treân nhoùm chia ñöôïc. Phaàn 2.4: Chuùng toâi ôû phaàn naøy seõ tìm hieåu cuï theå veà nhoùm Brauer treân tröôøng F vaø caùc tính chaát cuûa noù, moái lieân heä cuûa caùc ñaïi soá Brauer vôùi caùc F -ñaïi soá trung taâm ñôn vaø thaønh laäp caùc ñaïi soá Brauer cho tröôøng môû roäng E cuûa F . Vaø sau ñoù, chuùng toâi seõ tìm caùch thaønh laäp caùc F -ñaïi soá chia cyclic vaø moät soá tính chaát cuûa chuùng. Chöông 3: Döïa vaøo caùc keát quaû ñaït ñöôïc ôû nhöõng phaàn treân, chuùng toâi seõ tieán haønh khaûo saùt söï toàn taïi cuûa caùc nhoùm con chuaån taéc toái ñaïi treân tröôøng F vaø caùc ñaïi soá chia taâm F nhö yù töôûng ñaõ ñeà ra. Cuoái cuøng laø phaàn keát luaän cho luaän vaên vaø danh muïc caùc taøi lieäu tham khaûo. Luaän vaên naøy ñöôïc thöïc hieän döïa treân baøi baùo [1], nhöng caùc keát quaû trong [1] laïi ñöôïc trình baøy khaù vaén taét. Do ñoù, trong luaän vaên naøy, chuùng toâi seõ chöùng minh
  6. Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 5 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá vaø kieåm tra moïi thöù moät caùch chi tieát, roõ raøng vaø hôïp lyù nhaát.
  7. Chöông 2 KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN 2.1 AÙnh xaï Valuation Ñònh nghóa 2.1.1. Cho G laø moät nhoùm coù thöù töï, ta goïi G ∪ {∞} laø moät nhoùm xaï aûnh vôùi kí töï ∞ neáu noù thoõa ñieàu kieän sau: a) ∀a ∈ G, a < ∞; b) ∀a ∈ G, a + ∞ = ∞ + a = ∞. Ñònh nghóa 2.1.2. Cho F laø moät tröôøng vaø G ∪ {∞} laø moät nhoùm thöù töï xaï aûnh . AÙnh xaï υ : F → G ∪ {∞} ñöôïc goïi laø Krull valuation neáu noù thoõa caùc ñieàu kieän: a) υ (x) = ∞ neáu vaø chæ neáu x = 0; b) υ (xy ) = υ (x) + υ (y ), vôùi moïi x, y ∈ F ; c) υ (x + y ) min (υ (x) , υ (y )), vôùi moïi x, y ∈ F . Im (υ ) ñöôïc goïi laø nhoùm giaù trò. Heä quaû 2.1.3. Cho υ : F → G ∪ {∞} laø moät Krull valuation, khi ñoù ta coù caùc tính chaát sau: a) υ (1) = 0; b) υ a−1 = −υ (a), vôùi moïi a ∈ F ; c) υ (−a) = υ (a) ; 6
  8. Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 7 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá d) Neáu υ (a) = υ (b) thì υ (a + b) = min (υ (a) , υ (b)) vôùi moïi a, b ∈ F . Chöùng minh. (a) Ta coù υ (1) = υ (1.1) = υ (1) + υ (1) , suy ra υ (1) = 0. (b) Vì a.a−1 = 1 neân υ a.a−1 = υ (a) + υ a−1 = υ (1) = 0, vaø vì vaäy υ a − 1 = − υ (a ) . (c) Do υ (1) = 0 neân υ (1) = υ ((−1) . (−1)) = υ (−1) + υ (−1) = 0. Thaønh thöû υ (−1) = 0 vaø do ñoù υ (−a) = υ (−1) + υ (a) = υ (a) . (d) Giaû söû a, b ∈ F sao cho υ (a) = υ (b). Khoâng maát tính toång quaùt, giaû söû υ (a) < υ (b). Neáu υ (a + b) = min (υ (a) , υ (b)), nghóa laø υ (a + b) > min (υ (a) , υ (b)), thì υ (a + b) > min (υ (a) , υ (b)) > υ (a). Suy ra υ (a) = υ (a + b − b) min {υ (a + b) , υ (b)} > υ (a) . Ñieàu naøy laø voâ lyù neân υ (a + b) = min (υ (a) , υ (b)) . Ñònh nghóa 2.1.4. Cho υ : F → G ∪ {∞}, U ñöôïc goïi laø nhoùm chöùa taát caû caùc phaàn töû ñôn vò cuûa valuation υ neáu noù coù daïng U = {a ∈ F, υ (a) = 0} .
  9. Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 8 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá Ñònh nghóa 2.1.5. Giaù trò tuyeät ñoái treân tröôøng F laø moät aùnh xaï x → |x| töø F vaøo taäp caùc soá thöïc, sao cho vôùi moïi x, y ∈ F , a) |x| 0, ñaúng thöùc xaûy ra neáu vaø chæ neáu x = 0; b) |xy| = |x| |y |; c) |x + y| |x| + |y |. Giaù trò tuyeät ñoái ñöôïc goïi laø phi Archimed neáu c ñöôïc thay baèng ñieàu kieän maïnh hôn, c') |x + y| max (|x| , |y |) Ngöôïc laïi ta goïi F laø Archimed Ñònh nghóa 2.1.6. Valuation rôøi raïc cuûa F laø moät aùnh xaï υ : F → Z ∪ {∞}, sao cho vôùi moïi x, y ∈ F , ta coù: a) υ (x) = ∞ neáu vaø chæ neáu x = 0; b) υ (xy ) = υ (x) + υ (y ), vôùi moïi x, y ∈ F ; c) υ (x + y ) min (υ (x) , υ (y )), vôùi moïi x, y ∈ F . Moät valuation rôøi raïc seõ caûm sinh moät giaù trò tuyeät ñoái phi archimed bôûi coâng thöùc |x| = cυ(x) vôùi c laø haèng soá vaø 0 < c < 1. Ñònh nghóa 2.1.7. F laø tröôøng ñaày ñuû vaø coù valuation rôøi raïc ñöôïc goïi laø tröôøng ñòa phöông neáu vaø chæ neáu tröôøng cuûa caùc lôùp thaëng dö cuûa noù laø höõu haïn. Ñònh nghóa 2.1.8. Cho A laø moät vaønh coù ñôn vò. AÙnh xaïï ω : A → R+ = { r ∈ R : r 0} ñöôïc goïi laø chuaån neáu noù thoûa caùc ñieàu kieän sau: a) ω (x) = 0 neáu vaø chæ neáu x = 0, b) ω (xy) = ω (x) ω (y ) , ∀x, y ∈ A, c) ω (x + y ) ω (x) + ω (y ) , ∀x, y ∈ A.
  10. Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 9 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá Ñieàu kieän (c) ñöôïc goïi laø baát ñaúng thöùc tam giaùc. • ω ñöôïc goïi laø nöûa chuaån neáu ñieàu kieän (a) vaø (b) ñöôïc thay theá baèng caùc ñieàu kieän sau: a') ω (1) = 1, b') ω (xy) ω (x) ω (y ) , ∀x, y ∈ A. • ω ñöôïc goïi laø non-Archimedian neáu ñieàu kieän (c) ñöôïc thay theá baèng ñieàu kieän c') ω (x + y ) max {ω (x) , ω (y )} , ∀x, y ∈ R. Ñònh nghóa 2.1.9. Cho 0 = x ∈ Z, p-adic valuation cuûa x ñöôïc ñònh nghóa bôûi coâng thöùc υp (x) = max {r : pr |x } 0. Ñaëc bieät υp (0) = ∞. Ñònh nghóa 2.1.10. Cho a/b ∈ Q. Khi ñoù, p-adic valuation cuûa a/b ñöôïc cho bôûi a υp = υp (a) − υp (b) . b Ñònh nghóa neâu treân laø ñònh nghóa toát, nghóa laø neáu thì υp a a a a = = υp . b b b b Chöùng minh. Ta coù k1 pr l1 pr a a = = = k2 pt l2 pt b b vôùi r, t, r , t laø soá muõ cao nhaát cuûa p trong a, b, a , b . Suy ra gcd(k1 , p) = gcd(k2 , p) = gcd(l1 , p) = gcd(l2 , p) = 1. Töø ñoù daãn ñeán k1 l1 = k2 l2 vaø pr pr =t pt p hay pr−t = pr −t . Töø ñoù ta ñöôïc υp (a/b) = υp (a /b ).
  11. Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 10 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá Boå ñeà 2.1.11. Cho x, y ∈ Q. Khi ñoù υp coù caùc tính chaát sau: a) υp (x) = ∞ neáu vaø chæ neáu x = 0; b) υp (xy) = υp (x) + υp (y ); c) υp (x + y) min {υp (x) , υp (y )}, ñaúng thöùc xaûy ra neáu υp (x) = υp (y ) Chöùng minh. (a) Hieån nhieân. (b) Ta coù mrm l υp (xy) = υp p. p = r + l = υp (x) + υp (y ) . n n (c) Cho x, y laø caùc soá höõu tyû khaùc 0. Ñaët a c x = pr , y = ps b d vôùi a, b, c, d ∈ Z, p khoâng laø öôùc cuûa a, b, c, d, vaø r, s ∈ Z. Neáu r = s thì ac (ad + bc) x + y = pr = pr + bd bd töø ñoù ta ñöôïc υp (x + y ) r vì p khoâng laø öôùc cuûa bd. Giaû söû r = s, khoâng maát tính toång quaùt ta cho s > r. Khi ñoù ad + ps−r bc a c x + y = pr + ps−r = pr . b d bd Do s − r > 0 vaø p khoâng laø öôùc cuûa a.d neân υp (x + y ) = r = min {υp x, υp y } . Ñònh nghóa 2.1.12. Cho x ∈ Q, chuaån p-adic cuûa x ñònh nghóa bôûi coâng thöùc   p−υp x (x = 0) |x|p =  p−∞ (x = 0) . Boå ñeà 2.1.13. Haøm |.|p : Q → R+ coù caùc tính chaát
  12. Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 11 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá a) |x|p = 0 neáu vaø chæ neáu x = 0, b) |xy|p = |x|p |y |p , c) |x + y|p max |x|p , |y |p , ñaúng thöùc xaûy ra neáu |x| p = |y |p Töø caùc ñieàu kieän treân, ta thaáy |.|p laø moät chuaån phi Archimed treân Q. Chöùng minh. Xin tham khaûo trong [4] Boå ñeà 2.6. Ñònh nghóa 2.1.14. F laø tröôøng toaøn cuïc neáu noù laø tröôøng soá hoïc (môû roäng höõu haïn treânQ) hoaëc laø tröôøng ña thöùc moät bieán treân tröôøng höõu haïn (môû roäng höõu haïn cuûa Fq (T ) vôùi q naøo ñoù). 2.2 Ñaïi soá chia vaø vaønh chia Ñònh nghóa 2.2.1. Cho F laø moät tröôøng, A laø khoâng gian vector treân tröôøng F vôùi pheùp toaùn hai ngoâi töø A × A → A, kí hieäu laø ".". Khi ñoù, A ñöôïc goïi laø moät F -ñaïi soá neáu vôùi moïi x, y, z ∈ A vaø vôùi moïi a, b ∈ F , ta ñöôïc a) (x + y) .z = x.z + y.z ; b) x. (y + z ) = x.y + x.z ; c) (a.x) . (b.y) = (a.b) (x.y) . Hai ñaïi soá (A, .) vaø (B, .) treân F goïi laø ñaúng caáu neáu toàn taïi aùnh xaï ϕ : A → B sao cho vôùi moïi x, y ∈ A, ϕ (x.y) = ϕ (x) ϕ (y ) ; ϕ (x + y ) = ϕ (x ) + ϕ (y ) ; ϕ (nx) = nϕ (x) . Ñònh nghóa 2.2.2. Cho A laø ñaïi soá treân F . A ñöôïc goïi laø a) thay phieân neáu x (xy ) = (xx) y vaø x (yy) = (xy) y vôùi moïi x, y ∈ A, b) keát hôïp neáu x (yz) = (xy) z vôùi moïi x, y, z ∈ A, c) giao hoaùn neáu xy = yx vôùi moïi x, y ∈ A,
  13. Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 12 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá d) unital neáu toàn taïi phaàn töû ñôn vò 1 ∈ A sao cho x1 = 1x = x vôùi moïi x ∈ A. Neáu A laø unital thì phaàn töû ñôn vò 1 laø duy nhaát. Heä quaû 2.2.3. A laø ñaïi soá coù ñôn vò treân F thì F thuoäc taâm cuûa A. Chöùng minh. Hieån nhieân. Ñònh nghóa 2.2.4. Ñaïi soá A treân F ñöôïc goïi laø ñaïi soá chia neáu A khaùc khoâng vaø xy = 0 thì x = 0 hoaëc y = 0 vôùi moïi x, y ∈ A. Heä quaû 2.2.5. A laø moät ñaïi soá treân tröôøng F . A laø ñaïi soá chia neáu vaø chæ neáu A khaùc khoâng vaø vôùi moïi a, b ∈ A, a, b khaùc khoâng, phöông trình bx = a vaø yb = a coù duy nhaát nghieäm x, y ∈ A. Chöùng minh. (⇒) Cho b ∈ A, b = 0, vaø cho ϕ : A → A laø aùnh xaï tuyeán tính ñònh nghóa bôûi coâng thöùc ϕ (x) = bx. Neáu A laø F - ñaïi soá chia thì ker (ϕ) = {0} neân ϕ laø ñôn aùnh, maø A coù soá chieàu höõu haïn treân F neân suy ra ϕ laø song aùnh. Do ñoù phöông trình bx = a coù duy nhaát nghieäm. Töông töï, ta cuõng chöùng minh ñöôïc phöông trình yb = a cuõng coù duy nhaát nghieäm qua aùnh xaï y → yb. (⇐) Giaû söû xy = 0. Neáu x = 0 thì chöùng minh hoaøn taát. Ngöôïc laïi, neáu x = 0, thì toàn taïi duy nhaát y ∈ A sao cho xy = 0, maø x0 = 0 neân y = 0. Vaäy A laø ñaïi soá chia. Boå ñeà 2.2.6. Cho A laø ñaïi soá chia treân F , neáu A laø thay phieân thì A laø unital. Chöùng minh. Cho b ∈ A vaø b = 0. Do A laø ñaïi soá chia neân phöông trình yb = b coù nghieäm duy nhaát laø y = 1. Hôn nöõa, 1 (1b) = 1b. Vì A laø thay phieân neân 1 2 b = 1b suy ra 12 − 1 b = 0 vaø do ñoù 12 = 1. Ta laïi coù 1 (1x − x) = 12 x − 1x = 0. Do 1 = 0 neân 1x − x = 0, suy ra 1x = x. Töông töï ta ñöôïc x1 = x vôùi moïi x ∈ A. Do ñoù A laø unital. Ñònh nghóa 2.2.7. Valuation cuûa ñaïi soá chia D laø aùnh xaï υ : D ∗ → R thoõa caùc tính chaát: a) υ (ab) = υ (a) + υ (b) ; b) υ (a + b) min (υ (a) , υ (b)) . Ñònh nghóa 2.2.8. D ñöôïc goïi laø vaønh chia neáu noù laø unital vaø vôùi moïi a ∈ D khaùc khoâng, toàn taïi x ∈ D sao cho xa = ax = 1.
  14. Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 13 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá Heä quaû 2.2.9. Cho D laø vaønh chia, cho x laø phaàn töû khaùc khoâng trong D, neáu xy = zx = 1 thì y=z . Chöùng minh. Ta coù xy = 1 neân zxy = z , vaäy y = z . Heä quaû 2.2.10. Neáu D laø ñaïi soá chia vaø laø unital thì D laø vaønh chia. Chöùng minh. Do D laø ñaïi soá chia neân theo Heä quaû 2.2.5, phöông trình xy = 1 coù duy nhaát nghieäm treân D. AÙp duïng Heä quaû 2.2.9, ta ñöôïc xy = yx = 1, vaäy D laø vaønh chia. Ñònh nghóa 2.2.11. Cho D laø vaønh chia, ta ñaët a) nhaân hoaùn töû cuûa D laø phaàn töû coù daïng x −1 y −1 xy vôùi x, y ∈ D∗ ; b) coäng hoùa töû cuûa D laø caùc phaàn töû coù daïng ab − ba vôùi a, b ∈ D. Taäp goàm caùc nhaân hoaùn töû cuûa D kí hieäu laø D . Ñònh lyù 2.2.12. (Ñònh lyù Wedderburn "nhoû") Neáu D laø moät vaønh chia höõu haïn phaàn töû thì D laø tröôøng. Chöùng minh. Xin tham khaûo trong [2] trang 214. Boå ñeà 2.2.13. Moïi vaønh con höõu haïn cuûa vaønh chia D ñeàu laø tröôøng. Chöùng minh. AÙp duïng Ñònh lyù Weddernburn "nhoû" ta suy ra ñöôïc ñieàu caàn chöùng minh. Boå ñeà 2.2.14. Neáu D laø moät vaønh chia coù ñaëc tröng p > 0 vaø G laø nhoùm con höõu haïn cuûa D∗ , thì G laø cyclic. Chöùng minh. Do D coù ñaëc tröng p, ñaët F = Fp laø tröôøng coù caáp p trong D. Ñaët K= αi gi : αi ∈ F,gi ∈ G vì G, F coù höõu haïn phaàn töû neân K laø moät vaønh höõu haïn, suy ra K laø tröôøng. Vì G laø nhoùm con cuûa K ∗ neân G laø cyclic.
  15. Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 14 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá Boå ñeà 2.2.15. Cho D laø vaønh chia, neáu phaàn töû y ∈ D giao hoaùn vôùi taát caû caùc phaàn töû coäng hoaùn töû trong D thì y ∈ Z (D). Chöùng minh. Giaû söû toàn taïi y ∈ D giao hoaùn vôùi caùc phaàn töû coäng hoaùn töû cuûa D nhöng y ∈ Z (D), nghóa laø toàn taïi x ∈ D sao cho xy − yx = 0. Maø / x (yx − xy) = (xy) x − x (xy) neân suy ra (xy ) x − x (xy ) vaø xy − yx laø caùc phaàn töû coäng hoaùn töû neân giao hoaùn vôùi y . Thaønh thöû y (xy − yx) = (xy − yx) y ; yx (yx − xy ) = x (yx − xy ) y. Vì vaäy neân ta ñöôïc yx (yx − xy) = xy (yx − xy) . Do ñoù xy = xy , ñieàu naøy maâu thuaãn , vaäy y ∈ Z (D). Boå ñeà 2.2.16. Neáu D laø F -ñaïi soá chia, thì vôùi moïi x ∈ D ∗ , toàn taïi soá nguyeân döông n(x) sao cho xn(x) = rc, vôùi r ∈ F vaø c ∈ D . Chöùng minh. Xin tham khaûo trong[10]. Boå ñeà 2.2.17. Cho D laø moät vaønh chia, ta ñònh nghóa Z (D) = {x ∈ D|xy = yx, ∀y ∈ D } goïi laø taâm cuûa D. Neáu D laø vaønh chia khoâng giao hoaùn thì D ñöôïc sinh bôûi caùc phaàn töû coäng hoaùn töû vaø Z (D). Noùi caùch khaùc D ñöôïc sinh ra nhö moät Z (D) - ñaïi soá chia bôûi taát caû caùc phaàn töû coäng hoaùn töû. Chöùng minh. Neáu x ∈ Z (D) thì xy − yx = 0. Maø / x (xy − yx) = x (xy) − (xy) x laø phaàn töû thuoäc nhoùm coäng hoaùn töû cuûa D, suy ra x = (x (xy) − (xy) x) (xy − yx)−1 thuoäc veà nhoùm coäng hoaùn töû cuûa D. Vaäy D laø Z (D) - ñaïi soá chia sinh bôûi taát caû caùc phaàn töû coäng hoaùn töû.
  16. Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 15 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá Boå ñeà 2.2.18. D∗ = D\ {0}, neáu M laø nhoùm con chuaån taéc toái ñaïi cuûa D∗ thì D∗ /M ∼ Zp , vôùi p laø soá nguyeân toá. = Chöùng minh. Vì M laø nhoùm con chuaån taéc cuûa D ∗ neân D∗ /M coù daïng D∗ /M = M , xM, x2 M, ..., xnM, ... vôùi x ∈ D∗ \M . Goïi y laø phaàn töû khaû nghòch cuûa x trong D ∗ , nghóa laø xy = yx = 1 vaø y ∈ M . Do M laø nhoùm con toái ñaïi cuûa D ∗ neân / x, M = D ∗ , vì theá y = xn m, vôùi n laø soá töï nhieân döông vaø m ∈ M . Vaäy xy = 1 = xn+1 m, do ñoù xn+1 = m−1 ∈ M. Töø ñieàu treân ta ñöôïc D∗ /M = M , xM, x2 M, ..., xnM coù n+1 phaàn töû. Baây giôø ta seõ chöùng minh D ∗ /M ∼ Zp vôùi p nguyeân toá, nghóa laø chöùng minh = n + 1 = p. Giaû söû n + 1 khoâng laø soá nguyeân toá, goïi k laø öôùc thaät söï cuûa n + 1, nghóa laø t.k = n + 1 vôùi k laø soá nguyeân döông. Vaäy xt , M = D ∗ , do ñoù ta coù D∗ /M = M , xk M, x2k M, ..., xk(t−1) M coù t phaàn töû, suy ra t = n + 1, vaäy t = kt, vì vaäy k = 1, voâ lyù. Cho neân n + 1 = p laø soá nguyeân toá. Töø ñoù ta ñöôïc D∗ /M = M , xM, x2 M, ..., xp−1M ∼ Zp . =
  17. Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 16 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá 2.3 Nhoùm chia ñöôïc Ñònh nghóa 2.3.1. G ñöôïc goïi laø nhoùm chia ñöôïc neáu vôùi moïi x ∈ G vaø vôùi moïi soá nguyeân döông n, toàn taïi y ∈ G sao cho ny = x. Boå ñeà 2.3.2. a) Tích caùc nhoùm chia ñöôïc laø chia ñöôïc. b) Toång tröïc tieáp caùc nhoùm chia ñöôïc laø chia ñöôïc. c) AÛnh ñoàng caáu caùc nhoùm chia ñöôïc laø chia ñöôïc. Chöùng minh. (a) Cho x = (xα ) ∈ Gα , vôùi Gα chia ñöôïc. Moãi heä soá xα ñöôïc chia bôûi soá nguyeân döông n, nghóa laø toàn taïi y α sao cho nyα = xα. Do ñoù, (nyα ) = n (yα) = (xα) = x. Suy ra Gα chia ñöôïc. (b) Chöùng minh töông töï (a). (c) Cho f laø moät ñoàng caáu, ñaët y = f (x) vôùi x ∈ G, do G chia ñöôïc neân toàn taïi z ∈ G sao cho nz = x. Suy ra, y = f (x) = f (nz ) = nf (z ), vaäy f (G) chia ñöôïc. Boå ñeà 2.3.3. Cho G laø nhoùm giao hoaùn. Khi ñoù, (a) G khoâng coù nhoùm con toái ñaïi khi vaø chæ khi G chia ñöôïc, khi vaø chæ khi G = Gp (G laø p-chia ñöôïc), vôùi moïi p laø soá nguyeân toá. (b) Neáu G khoâng taàm thöôøng vaø coù soá muõ bò chaën, nghóa laø G n = 1 thì G khoâng chia ñöôïc (neân coù nhoùm con toái ñaïi). Chöùng minh.(i) Neáu G coù nhoùm con toái ñaïi M , thì G/M khoâng coù nhoùm con thaät söï. Vì vaäy, |G/M | = p, vôùi p laø soá nguyeân toá. Töø ñoù, Gp ⊆ M ⊂ G , neân G laø p-chia ñöôïc. Ngöôïc laïi, Neáu G = Gp , nghóa laø G/Gp laø khoâng gian vector khoâng taàm thöôøng treân tröôøng Z/pZ; vì theá G/Gp laø khoâng gian vector toái ñaïi thöïc söï. Töø ñoù, ta suy ra toàn taïi moät nhoùm con toái ñaïi thöïc söï treân G. (ii) Giaû söû G khoâng taàm thöôøng vaø G n = 1 thì G coù phaàn töû caáp nguyeân toá p vôùi p laø öôùc cuûa n. Neáu G chia ñöôïc, nghóa laø G = G p , töø ñoù G seõ coù phaàn töû caáp p m vôùi moãi soá döông m, do Gn = 1 neân ñieàu naøy laø voâ lyù, vaäy G khoâng chia ñöôïc. Boå ñeà 2.3.4. Cho G laø nhoùm nhaân abelian vaø M laø nhoùm con toái ñaïi cuûa G. Neáu M chia ñöôïc thì M laø nhoùm con toái ñaïi duy nhaát cuûa G.
  18. Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 17 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá Chöùng minh. Giaû söû toàn taïi M1 = M laø nhoùm con toái ñaïi cuûa G. Do M, M1 laø caùc nhoùm con toái ñaïi neân ta ñöôïc G = MM 1 vaø do ñoù G/M1 ∼ M/M ∩ M1 , nghóa = laø M ∩ M1 laø nhoùm con toái ñaïi cuûa M . Vì M chia ñöôïc neân M ∩ M 1 = 1. Do ñoù G/M1 ∼ M ∼ Cp , vôùi p laø soá nguyeân toá vaø Cp laø nhoùm cyclic coù p phaàn töû. Ñieàu naøy = = laø voâ lyù vì nhoùm coù höõu haïn phaàn töû laø khoâng chia ñöôïc, do ñoù M = M 1 . Ñònh nghóa 2.3.5. G ñöôïc goïi laø nhoùm torsion neáu moïi phaàn töû cuûa G coù caáp höõu haïn. Hôn nöõa, neáu moïi phaàn töû cuûa G coù caáp höõu haïn vaø bò chaën thì ta noùi G laø nhoùm torsion coù soá muõ bò chaën. Ñònh lyù 2.3.6. (Ñònh lyù Baer-Prufer) Cho G laø nhoùm abelian. Caùc phaàn töû cuûa G coù soá muõ bò chaën neáu vaø chæ neáu G laø toång tröïc tieáp cuûa caùc nhoùm cyclic coù caáp höõu haïn. Chöùng minh. xin tham khaûo trong [9] Ñònh lyù 4.3.5 trang 105. 2.4 Nhoùm Brauer Ñònh nghóa 2.4.1. Cho F laø tröôøng vaø A, B laø caùc F - ñaïi soá coù ñôn vò. Khi ñoù tích tensor cuûa A vaø B, kí hieäu A ⊗F B , laø moät F - ñaïi soá ñöôïc sinh bôûi caùc phaàn töû coù daïng a ⊗ b, vôùi a ∈ A, b ∈ B vaø thoõa caùc tính chaát: a) λ (a ⊗ b) = (λa) ⊗ b = a ⊗ (λb) ; b) (a ⊗ b) + (d ⊗ b) = (a + d) ⊗ b vaø (a ⊗ b) + (a ⊗ c) = a ⊗ (b + c) ; c) (a ⊗ b) (d ⊗ c) = ad ⊗ bc; vôùi moïi a, d ∈ A, b, c ∈ B vaø λ ∈ F . Cho A laø moät F -ñaïi soá coù ñôn vò vaø E laø tröôøng môû roäng treân F thì A ⊗ F E laø moät E - ñaïi soá vôùi pheùp toaùn nhaân ñöôïc ñònh nghóa nhö sau: x a i ⊗ bi = (ai ⊗ (xbi)) vôùi x, bi ∈ E vaøai ∈ A. Tính chaát naøy cho pheùp ta hình thaønh moät E - ñaïi soá moät caùch tröïc tieáp nhaát ñoái vôùi moïi môû roäng cuûa tröôøng F .
  19. Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 18 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá Boå ñeà 2.4.2. Cho Mi (F ) laø F -ñaïi soá vôùi Mi (F ) laø caùc ma traän coù kích thöôùc i × i treân tröôøng F , khi ñoù Mn (F ) ⊗F Mm (F ) ∼ Mmn (F ) = vôùi moïi m, n > 0. Chöùng minh . Xin tham khaûo trong [6], Boå ñeà 1.2. Boå ñeà 2.4.3. A laø moät F -ñaïi soá höõu haïn chieàu vaø coù ñôn vò, neáu A laø moät khoâng gian vector n chieàu treân F thì A ⊗F E cuõng laø moät khoâng gian vector n chieàu treân E vôùi E laø tröôøng môû roäng treân F . Chöùng minh. Cho S = {ai , i = 1...n} laø moät cô sôû cuûa A treân F thì S = {ai ⊗ 1, i = 1...n} cuõng laø moät cô sôû cuûa A ⊗ F E treân E neân soá chieàu cuûa A treân F vaø cuûa A ⊗ F E treân E laø baèng nhau. Boå ñeà 2.4.4. Neáu n laø soá nguyeân döông vaø E laø tröôøng môû roäng treân F thì Mn (F ) ⊗ E ∼ Mn (E ) . = Chöùng minh. xin tham khaûo trong [6] trang 2. Ñònh nghóa 2.4.5. Cho A laø moät F -ñaïi soá coù ñôn vò, ta noùi, A laø moät ñaïi soá Brauer neáu vaø chæ neáu A ⊗ F E ∼ Mn (E ) vôùi E laø môû roäng Galois naøo ñoù cuûa F . = Boå ñeà 2.4.6. Neáu A laø moät ñaïi soá Brauer cuûa F thì A coù höõu haïn chieàu treân F . Chöùng minh. Do A laø moät ñaïi soá Brauer neân toàn taïi moät môû roäng Galois E vaø moät soá n > 0 sao cho A ⊗F E ∼ Mn (E ) . = Theo Boå ñeà 2.4.4, soá chieàu cuûa A nhö moät khoâng gian vector treân F baèng vôùi soá chieàu cuûa A ⊗ F E nhö moät E khoâng gian vector, vì A ⊗F E ∼ Mn (E ) neân A ⊗F E = coù soá chieàu laø n2 , suy ra A cuõng coù soá chieàu laø n 2 neân höõu haïn chieàu. Cho A laø F - ñaïi soá höõu haïn chieàu vaø coù ñôn vò, ta coù caùc ñònh nghóa sau. Ñònh nghóa 2.4.7. A laø F -ñaïi soá ñôn neáu noù chæ chöùa hai ideal hai phía laø 0 vaø A. Ñònh nghóa 2.4.8. A laø F -ñaïi soá trung taâm neáu taâm cuûa noù laø F ; laø F -ñaïi soá trung taâm ñôn neáu noù vöøa laø F -ñaïi soá ñôn, vöøa laø F -ñaïi soá trung taâm.
  20. Luaän Vaên Thaïc Só Toaùn Hoïc trang 19 Chuyeân ngaønh Toaùn Ñaïi soá Ñònh lyù 2.4.9. Tích tensor cuûa caùc F -ñaïi soá trung taâm ñôn laø moät F -ñaïi soá trung taâm ñôn. Chöùng minh. Xin tham khaûo trong [6]. Ñònh lyù 2.4.10. Cho A laø moät F -ñaïi soá höõu haïn chieàu coù ñôn vò, khi ñoù A laø ñaïi soá trung taâm ñôn neáu vaø chæ neáu toàn taïi moät tröôøng môû roäng Galois höõu haïn chieàu E treân tröôøng F sao cho vôùi soá n > 0 naøo ñoù, ta coù A ⊗F E ∼ Mn (E ) . = Chöùng minh. Xin tham khaûo trong [6] Ñònh lyù 2.6. Boå ñeà 2.4.11. A laø F -ñaïi soá höõu haïn chieàu coù ñôn vò, A laø moät ñaïi soá Brauer neáu vaø chæ neáu A laø ñaïi soá trung taâm ñôn höõu haïn chieàu. Chöùng minh. A laø moät ñaïi soá Brauer neân theo ñònh nghóa ta ñöôïc A ⊗ F E ∼ = Mn (E ), vôùi E laø môû roäng höõu haïn treân F , aùp duïïng Ñònh lyù 2.4.11, A laø ñaïi soá trung taâm ñôn höõu haïn chieàu. Ngöôïc laïi, neáu A laø ñaïi soá trung taâm ñôn höõu haïn chieàu thì toàn taïi moät môû roäng Galois höõu haïn chieàu E treân F sao cho A ⊗ F E ∼ Mn (E ), töø = ñoù A laø moät ñaïi soá Brauer. Cho A, B laø caùc F -ñaïi soá trung taâm ñôn. A vaø B laø töông ñöông (A ∼ B ) neáu A ⊗ Mn (F ) ∼ B ⊗ Mm (F ) vôùi m, n naøo ñoù. Cho Br (F ) laø taäp hôïp taát caû caùc F -ñaïi = soá trung taâm ñôn vôùi modulo theo quan heä ∼, ñaây laø quan heä töông ñöông. Theo ñònh lyù 2.4.10, A ⊗F B laø F -ñaïi soá trung taâm ñôn. Hôn nöõa ta coù theå ñònh nghóa pheùp nhaân trong Br (F ). Neáu A ∼ A vaø B ∼ B thì A ⊗F B ∼ A ⊗F B . Ta laïi coù A ⊗F Mn (F ) ∼ A vaø Mn (F ) ∼ Mn (F ) vôùi moïi m, n >) neân Mn (F ) laø phaàn töû trung hoøa vôùi moïi n, vaø A ⊗F Aopp ∼ Mn (F ) vôùi Aopp laø taäp hôïp ñoái cuûa A (tham khaûo [5]), do ñoù Br (F ) laø moät nhoùm. Ñònh nghóa 2.4.12. Nhoùm goàm caùc lôùp töông ñöông cuûa caùc F -ñaïi soá trung taâm ñôn nhö treân vôùi pheùp toaùn nhaân ñöôïc goïi laø nhoùm Brauer cuûa F . Kí hieäu laø Br(F ). Ñònh lyù 2.4.13. (Ñònh lyù Wedderburn)Neáu A laø moät F -ñaïi soá ñôn höõu haïn chieàu thì toàn taïi moät ñaïi soá chia höõu haïn chieàu (nhö moät F -khoâng gian vector) vaø soá n döông sao cho A ∼ Mn (D). Hôn nöõa, D vaø n laø duy nhaát. = Chöùng minh. Xin tham khaûo trong [6] ñònh lyù 2.5.
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2