Đề tham khảo tuyển sinh đại học năm 2010 - Môn Toán Khối A-B-D-V (Đề 02)

Chia sẻ: Nguyen Dinh Huy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

582
lượt xem 297
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tham khảo của trung tâm BDVH & LTĐH, giúp cho việc luyện thi đại học của các bạn được củng cố hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề tham khảo tuyển sinh đại học năm 2010 - Môn Toán Khối A-B-D-V (Đề 02)

Trung tâm BDVH & LTĐH ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010 THÀNH ĐẠT Môn thi: TOÁN – Khối A–B–D–V Đề số 2 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) I. PHẦN CHUNG (7 điểm) 1 3 8 Câu I (2 điểm): Cho hàm số y = x - x2 - 3x + (1) 3 3 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Lập phương trình đường thẳng d song song với trục hoành và cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB cân tại O (O là gốc toạ độ). Câu II (2 điểm): 1 1) Giải phương trình: (1 - 4 sin 2 x ) sin 3 x = 2 p 2) Giải phương trình: x 2 - 3 x + 1 = - tan x2 + x2 + 1 6 2 5 Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I= ò (x + x 2 ) 4 - x 2 dx -2 Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy góc 60 0 . Gọi M là điểm đối xứng với C qua D, N là trung điểm của SC. Mặt phẳng (BMN) chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó. Câu V (1 điểm): Cho x, y, z là các số dương thoả mãn x 2 + y 2 + z2 = 1 . Chứng minh: x y z 3 3 P= + + ³ y 2 + z2 z2 + x 2 x2 + y2 2 II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) 1. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): ( x - 1)2 + ( y + 2)2 = 9 và đường thẳng d: x + y + m = 0 . Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) sao cho tam giác ABC vuông (B, C là hai tiếp điểm). 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với mặt phẳng (Q): x + y + z = 0 và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng 2. n Câu VII.a (1 điểm): Tìm hệ số của x 8 trong khai triển nhị thức Niu–tơn của ( x 2 + 2 ) , biết: An - 8Cn + C1 = 49 (n Î N, n > 3). 3 2 n 2. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: x - y - 1 = 0 và hai đường tròn có phương trình: (C1): ( x - 3)2 + ( y + 4)2 = 8 , (C2): ( x + 5)2 + ( y - 4)2 = 32 Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc d và tiếp xúc ngoài với (C1) và (C2). x y-2 z 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; –1; 1), đường thẳng D: = = và mặt phẳng (P): 1 2 2 x - y + z - 5 = 0 . Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A, nằm trong (P) và hợp với đường thẳng D một góc 450 . ìlg2 x = lg2 y + lg2 ( xy ) ï Câu VII.b (1 điểm): Giải hệ phương trình: í 2 ïlg ( x - y ) + lg x .lg y = 0 î ============================ Trần Sĩ Tùng
Hướng dẫn: I. PHẦN CHUNG Câu I: 2) Giả sử phương trình đường thẳng d: y = m. 1 3 8 PT hoành độ giao điểm của (C) và d: x - x 2 - 3 x + = m Û x 3 - 3 x 2 - 9 x + 8 - 3m = 0 (1) 3 3 Để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho DOAB cân tại O thì (1) phải có x1, – x1, x2 (x1, –x1 là hoành độ của A, B) Þ x1, x2 là các nghiệm của phương trình: ( x 2 - x1 )( x - x2 ) = 0 Û x 3 - x2 x 2 - x1 x + x1 x2 = 0 (2) 2 2 2 ì x2 = 3 ì x1 = ±3 ï 2 19 Đồng nhất (1) và (2) ta được: í x1 = 9 Û ï x2 = 3 . Kết luận: d: y = - ï . ï x 2 x = 8 - 3m í 3 î 1 2 ïm = - 19 ï î 3 Câu II: 1) Nhận xét: cosx = 0 không phải là nghiệm của PT. Nhân 2 vế của PT với cosx, ta được: æp ö PT Û 2sin 3 x (4 cos3 x - 3cos x ) = cos x Û 2sin 3 x .cos3 x = cos x Û sin 6 x = sin ç - x÷ è2 ø p k 2p p k 2p Û x= + Ú x= + 14 7 10 5 3 2) PT Û x 2 - 3 x + 1 = - x 4 + x 2 + 1 (1) 3 Chú ý: x 4 + x 2 + 1 = ( x 2 + x + 1)( x 2 - x + 1) , x 2 - 3 x + 1 = 2( x 2 - x + 1) - ( x 2 + x + 1) 3 Do đó: (1) Û 2( x 2 - x + 1) - ( x 2 + x + 1) = - ( x 2 + x + 1)( x 2 - x + 1) . 3 2 + x +1 = ( + x +1) 2 2 x2 - x + 1 Chia 2 vế cho x x và đặt t = ,t>0 x2 + x +1 é -3 êt =
2 x 2 + (1 - x 2 ) + (1 - x 2 ) 3 2 2 ³ 2 x (1 - x 2 )2 Û 3 2 x 2 (1 - x 2 )2 £ 3 3 2 x 3 3 2 x 3 3 2 Û x (1 - x 2 ) £ Û ³ x Û ³ x (1) 3 3 1 - x2 2 y 2 + z2 2 y 3 3 2 z 3 3 2 · Tương tự ta có: ³ y (2), ³ z (3) z2 + x 2 2 x 2 + y2 2 x y z 3 3 2 3 3 · Từ (1), (2), (3) Þ + + ³ ( x + y 2 + z2 ) = y 2 + z2 z2 + x 2 x2 + y2 2 2 3 Dấu "=" xảy ra Û x = y = z = . 3 II. PHẦN TỰ CHỌN 1. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a: 1) (C) có tâm I(1; –2), bán kính R = 3. Vì các tiếp tuyến AB, AC vuông góc nên ABIC là hình vuông có cạnh bằng 3 Þ IA = 3 2 . Giả sử A(x; –x – m) Î d. IA2 = 18 Û ( x - 1)2 + (- m - x + 2)2 = 18 Û 2 x 2 - 2(3 - m) x + m 2 - 4m - 13 = 0 (1) ém = 7 Để chỉ có duy nhất một điểm A thì (1) có 1 nghiệm duy nhất Û D¢ = -m 2 + 2m + 35 = 0 Û ê . ë m = -5 2) PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng: Ax + By + Cz = 0 (với A2 + B 2 + C 2 ¹ 0 ). · Vì (P) ^ (Q) nên: 1. A + 1.B + 1.C = 0 Û C = - A - B (1) A + 2B - C · d ( M ,( P )) = 2 Û = 2 Û ( A + 2 B - C )2 = 2( A2 + B2 + C 2 ) (2) 2 2 2 A +B +C 2 (3) éB = 0 Từ (1) và (2) ta được: 8 AB + 5B = 0 Û ê ë8 A + 5B = 0 (4) · Từ (3): B = 0 Þ C = –A. Chọn A = 1, C = –1 Þ (P): x - z = 0 · Từ (4): 8A + 5B = 0. Chọn A = 5, B = –8 Þ C = 3 Þ (P): 5 x - 8 y + 3z = 0 . 8n(n - 1) Câu VII.a: Ta có: An - 8Cn + C1 = 49 Û n(n - 1)(n - 2) - 3 2 n + n = 49 Û n3 - 7n 2 + 7n - 49 = 0 Û n = 7 . 2 7 ( x 2 + 2)n = ( x 2 + 2)7 = å C7 x 2(7-k ) 2k . Số hạng chứa k x 8 Û 2(7 - k ) = 8 Û k = 3. k =0 Þ Hệ số của x là:8 C7 .23 3 = 280 . 2. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b: 1) Gọi I, I1, I2, R, R1, R2 lần lượt là tâm và bán kính của (C), (C1), (C2). Giả sử I(a; a – 1) Î d. (C) tiếp xúc ngoài với (C1), (C2) nên II1 = R + R1, II2 = R + R2 Þ II1 – R1 = II2 – R2 Û (a - 3)2 + (a + 3)2 - 2 2 = (a - 5)2 + (a + 5)2 - 4 2 Û a = 0 Þ I(0; –1), R = 2 Þ Phương trình (C): x 2 + ( y + 1)2 = 2 . r r r r 2) Gọi ud , uD , nP lần lượt là các VTCP của d, D và VTPT của (P). Giả sử ud = (a; b; c ) (a2 + b2 + c 2 ¹ 0) . r r · Vì d Ì (P) nên ud ^ nP Þ a - b + c = 0 Û b = a + c (1) (· ) · d , D = 450 Û a + 2 b + 2c = 2 Û 2(a + 2 b + c )2 = 9(a 2 + b2 + c 2 ) (2) 2 3 a +b +c 2 2 2 éc = 0 Từ (1) và (2) ta được: 14c2 + 30 ac = 0 Û ê ë15a + 7c = 0 · Với c = 0: chọn a = b = 1 Þ PTTS của d: { x = 3 + t; y = -1 - t; z = 1 · Với 15a + 7c = 0: chọn a = 7, c = –15, b = –8 Þ PTTS của d: { x = 3 + 7t; y = -1 - 8t; z = 1 - 15t . Trần Sĩ Tùng
Câu VII.b: Điều kiện: x > y > 0. ìlg2 x = lg2 y + (lg x + lg y )2 ï ìlg y (lg x + lg y ) = 0 Hệ PT Û í Û í 2 2 ïlg ( x - y) + lg x.lg y = 0 î îlg ( x - y ) + lg x .lg y = 0 ìlg y = 0 ìlg x + lg y = 0 Û í 2 (1) hoặc í 2 (2) îlg ( x - y ) = 0 îlg ( x - y ) + lg x .lg y = 0 ìy = 1 ìx = 2 · (1) Û í Ûí . î x -y =1 îy = 1 ì 1 ì 1 ïy = ì 1 ìx = 2 ïy = x ï ï x ïy = ï · (2) Û í Ûí æ 2 ö Û í x Û íy = 1 ïlg2 æ x - 1 ö + lg x.lg 1 = 0 ç ÷ ïlg2 ç x - 1 ÷ = lg2 x ï x2 = 2 ï ï è xø x ï è x ø î î 2 î î æ 1 ö Kết luận: Hệ có nghiệm: (2; 1) và ç 2; ÷. è 2ø ===================== Trần Sĩ Tùng