Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán 8 năm 2017-2018 có đáp án - Trường THCS Tường Sơn

TRƯỜNG THCS TƯỜNG SƠN<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG<br /> NĂM HỌC: 2017 - 2018<br /> <br /> ĐỀ THI CHÍNH THỨC<br /> <br /> (Đề gồm 01 trang)<br /> <br /> MÔN THI: TOÁN 8<br /> Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)<br /> <br /> Câu 1 (4,0 điểm)<br /> <br /> 1  1<br />  1<br /> Cho biểu thức A= <br /> <br /> :<br /> 3x+2<br /> 3<br /> x<br /> <br /> 2<br /> <br />  3x+2<br /> a/ Nêu ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A.<br /> b/ Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên<br /> Câu 2 (6,0 điểm)<br /> Giải phương trình sau:<br /> a) x2  6 x  9  144<br /> b)<br /> <br /> x  19 x  23 x  82<br /> <br /> <br /> 5<br /> 1999 1995<br /> 700<br /> <br /> c) x3 - 3x2 + 4 = 0<br /> Câu 3 (4,0 điểm)<br /> a) Biết xy = 11 và x2y + xy2 + x + y = 240. Hãy tính x2 + y2<br /> b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x 2 + 2y2 + 2xy - 6x - 8y + 2027<br /> c) Chứng minh rằng a5  a 30 với mọi số nguyên a<br /> Câu 4 (6,0 điểm)<br /> Cho  ABC vuông ở A (AB < AC), đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng của<br /> A qua H. Đường thẳng kẻ qua D song song với AB cắt BC và AC lần lượt ở M<br /> và N. Chứng minh:<br /> a) Tứ giác ABDM là hình thoi.<br /> b) AM  CD .<br /> c) Gọi I là trung điểm của MC; chứng minh IN  HN.<br /> - HẾT Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm!<br /> Họ và tên thí sinh: ......................................................Số báo danh: .................<br /> <br /> 1<br /> <br /> ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM<br /> Câu<br /> 1<br /> (4 đ)<br /> <br /> Nội dung<br /> a<br /> <br /> b<br /> <br /> ĐKX Đ: x  <br /> <br /> a<br /> <br /> 2<br /> 3<br /> <br /> 1  1<br />  1<br /> A= <br /> <br /> :<br />  3x+2 3 x  2  3x+2<br /> 3 x  2  3x+2 3 x  2<br /> <br /> <br /> (3x+2)(3 x  2)<br /> 1<br /> 6x<br /> <br /> 3x  2<br /> 6x<br /> 2(3x  2)  4<br /> 4<br /> <br /> 2<br /> A=<br /> 3x  2<br /> 3x  2<br /> 3x  2<br /> Để A có giá trị nguyên thì 4 chia hết cho 3x-2<br /> 3x  2 1; 2; 4<br /> 3x-2<br /> x<br /> <br /> 2<br /> (6 đ)<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> -4<br /> <br /> <br /> 2<br /> 3<br /> <br /> (loại)<br /> <br /> -2<br /> 0<br /> <br /> -1<br /> 1<br /> 3<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> <br /> (loại)<br /> <br /> 2<br /> 4<br /> 3<br /> <br /> 4<br /> 2<br /> <br /> (loại)<br /> <br /> 3<br /> <br /> x 2  6 x  9  144<br />  (x  3) 2  144<br />  x  3  12<br /> <br />  x  3  12<br /> x  9<br /> <br />  x  15<br /> <br /> b<br /> <br /> x  19 x  23 x  82<br /> <br /> <br /> 5<br /> 1999 1995<br /> 700<br /> x  19<br /> x  23<br /> x  82<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 3  0<br /> 1999<br /> 1995<br /> 700<br /> x  2018 x  2018 x  2018<br /> <br /> <br /> <br /> 0<br /> 1999<br /> 1995<br /> 700<br /> 1<br /> 1 <br />  1<br />  ( x  2018) <br /> <br /> <br /> 0<br />  1999 1995 700 <br /> <br /> 1<br /> 1 <br />  1<br /> <br /> <br />  x – 2018 = 0 (vì <br />   0)<br />  1999 1995 700 <br />  x = 2018<br /> <br /> 2<br /> <br /> c<br /> <br /> x3  3x 2  4  0<br />  x3  1  3x 2  3  0<br />  ( x  1)( x 2  x  1)  3( x 2 - 1)  0<br />  ( x  1)( x 2  x  1)  3( x  1)(x-1)  0<br />  ( x  1)( x 2  x  1  3x+3)  0<br />  ( x  1)( x 2  4 x  4)  0<br />  ( x  1)( x  2) 2  0<br /> x 1  0<br />  x  1<br /> <br /> <br /> x  2  0<br /> x  2<br /> <br /> 3<br /> (4 đ)<br /> <br /> a<br /> <br /> Biết xy = 11 và x2y + xy2 + x + y = 240. Hãy tính x2 + y2<br /> x 2 y  xy 2  x  y  240<br />  xy (x  y)  x  y  240<br />  (x  y)(xy 1)  240<br />  (x  y)(11  1)  240<br />  x  y  20<br /> <br /> b<br /> <br /> Do đó: x2 + y2 = (x+ y)2 – 2xy = 202 – 2.11= 378<br /> P = x 2 + 2y 2 + 2xy - 6x - 8y + 2027<br /> <br /> =  x 2 + y 2 + 9 + 2xy - 6x - 6y  +  y 2 -2y+1 + 2017<br /> =  x + y - 3 +  y - 1 + 2017  2017<br /> P = 2017  x = 2; y = 1.<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> Vậy Pmin = 2017 khi x = 2; y = 1.<br /> c<br /> <br /> Chứng minh rằng a5  a 30 với mọi số nguyên a<br /> Ta có: a5  a  a(a 4 1)  a(a 2 1)(a 2  1)  (a 1)a(a  1)(a 2  1)<br /> Vì (a-1)a(a+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết<br /> cho 6. Suy ra a5  a 6 (1)<br /> Mặt khác:<br /> (a  1)a(a  1)(a 2  1)<br />  (a  1)a(a  1)(a 2  4  5)<br />  (a  1)a(a  1)(a 2  4)  (a  1) a(a  1).5<br />  (a  2)(a  1)a(a  1)(a  2)  (a  1) a(a  1).5<br /> <br /> Vì (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên<br /> chia hết cho 5 và (a-1)a(a+1).5 chia hết cho 5 nên<br /> (a  2)(a 1)a(a  1)(a  2)  (a 1)a(a  1).5 5 . Suy ra a5  a 5 (2)<br /> Vì (5; 6) = 1 nên từ (1) và (2) suy ra a5  a 30<br /> 3<br /> <br /> -Vẽ hình đúng<br /> <br /> 4<br /> (6 đ)<br /> <br /> A<br /> <br /> N<br /> <br /> B<br /> <br /> M<br /> <br /> H<br /> <br /> I<br /> <br /> C<br /> <br /> D<br /> <br /> a<br /> <br /> - Chứng minh AB // DM và AB = DM => ABDM là hình<br /> bình hành<br /> - Chỉ ra thêm AD  BM hoặc MA = MD rồi kết luận ABDM<br /> là hình thoi<br /> <br /> b<br /> <br /> - Chứng minh M là trực tâm của  ADC => AM  CD<br /> <br /> c<br /> <br />  MNC<br /> <br /> vuông tại N có NI là đường trung tuyến<br /> =>NI=MI=1/2MC =>  IMN cân tại I => INM  IMN<br /> Mà IMN  HMD (đ đ) => INM  HMD (1)<br />  AND<br /> <br /> vuông tại N có NH là đường trung tuyến<br /> =>NH=DH=1/2AD =>  HDN cân tại H => HND  HDN<br /> Mặt khác HMD  HDN  900 (vì  HDM vuông tại H)<br /> Suy ra INM + HND  900 hay IN  HN (đ.p.c.m)<br /> <br /> 4<br /> <br />