ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2009 – 2010 - Lớp 12 THPT - Phần 6

Chia sẻ: 1111111 111 | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

511
lượt xem 273
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'đề thi chọn học sinh giỏi giải toán trên máy tính casio năm học 2009 – 2010 - lớp 12 thpt - phần 6', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2009 – 2010 - Lớp 12 THPT - Phần 6

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2009 – 2010 -Lớp 12 THPT ( Làm tròn 4 chữ số thập phân ) Bài 1: Tìm các số nguyên dương x và y sao cho x2 + 2y2 = 2009. si nx Bài 2: Cho hàm số f(x)= .Tính f(f(…f(f(2))…)) (có 2009 chữ f). x x2 + 2x + 3 Bài 3: Tìm điểm M trên đồ thị của hàm số y = cách đều hai trục toạ độ. 4x2 + 5 Bài 4: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi bình phương số đó ta được số tự nhiên có dạng 2009...2009 . Bài 5: Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Biết rằng P(1) = 8, P(2) = 18, P(3) = 32, P(4) = 50, P(5) = 72. Tính P(30). Bµi 6: Tìm các nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình: 3 3s inx − cos x + 2 = . 3s inx − cos x Bài 7: Cho dãy số (un) thoả mãn điều kiện sau: u1 = 1  u2 = −1 u = 2u − 3u  n+ 2 n+1 n Hãy tính tổng 22 số hạng đầu tiên của dãy số (un). x2 y2 Bài 8: Cho điểm A nằm tuỳ ý trên elíp (E): + = 1 và điểm B nằm tuỳ ý trên đường 16 9 thẳng 5x – 7y – 35 = 0.Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng AB. Bài 9: Ông A gửi tiết kiệm 100 triệu đồng với lãi suất không đổi r = 0,7% một tháng. Mỗi tháng ông A phải rút ra 1 triệu đồng để trả chi phí sinh hoạt. a) Hỏi số tiền ông A có được sau 1 năm là bao nhiêu? b) Hỏi sau bao nhiêu tháng (kể từ khi gửi tiền) thì ông A không thể rút ra được số tiền lớn hơn 90 triệu đồng? Bài 10: Cho tứ diện ABCD có AB = 1cm, AC = 2cm, AD=5cm. Và 2 1 ∠BAC = ∠CAD = ∠BAD = 400 . 3 2 Tính giá trị gần đúng thể tích của khối tứ diện ABCD.
CÁCH GIẢI, ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN CHO ĐIỂM Bài Cách giải Đáp số Điểm x = 2009 − 2y ≥ 0 ⇒ 0 < y ≤ 31 2 2 0→ Y 1 x = 21 2,0 Y = Y + 1: = ( X 2009 − 2Y 2 ) y = 28 Mode Mode Mode Mode 2 (sử dụng đơn vị radian) s n2 i →X 2 2 sn X i 0.8767 2,0 X= X Bấm dấu = nhiều lần (17 lần) cho đến khi được một số không đổi 0.876726215 x2 + 2x + 3 Giả sử M(x:y) ∈ ĐTHS y = cách đều hai trục 4x2 + 5 x2 + 2x + 3 M1(0,7024;0,7024) 3 toạ độ, tức là = x 2,0 4x2 + 5 M2(-0,4127;0,4127) Dùng lệnh SHIFT SOLVE (gán X=1 và gán X = 0.5) Bước 1: Tìm 4 chữ số tận cùng của số cần tìm x sao cho Có 6 số: x2 = .. .2009 . 3253,8253,1747, 4 Bước 2: Chèn vào giữa 2009đầu và 2009 cuối các số 0 rồi 2997,6747,7997. 2,0 các số 9(số các số 0 bằng số các số 9) Bước 3: Thử lại chỉ có 448253 thoả mãn bài toán Kết quả: 448253 P(1) = 8 =2.(1+1)2, P(2) =18 = 2(2+1)2, P(3) = 32 = 2(3+1)2, 5 P(4) = 50 = 2(4+1)2, P(5) = 72 = 2(5+1)2 P(30) = 14252522 2,0 Suy ra P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) + 2(x+1)2 t= 1 Đặt t= 3si x − cosx thì t + 2t− 3 = 0 ⇔  2 n t= −3 Vậy phương trình đã  x = 1800 + k3600 cho có các nghiệm là Khi t = 1 thì 3si x − cosx = 1 ⇔  n x = 1800 + k3600, 6  x ; 36 52' + k360 0 12" 0 2,0 x ≈ 36 52' + k360 0 12" 0  x = −900 + k3600 Khi t = -3 thì 3si x − cosx = −3 ⇔  n x = − 900 + k3600,  x ; −53 7' + k360 0 0 48" x ≈ − 5307' + k3600 48" 2 → D , → A, 1 → B, → X 1 − 0 S22 = 4092 7 2,0 D = D + 2:A = 2B − 3A :B = 2A − 3B :X = X + A + B
Vì đường thẳng ∆:5x – 7y – 35 = 0 cắt tia Ox và tia Oy’ nên điểm A thuộc góc phần tư thứ tư. 3 Gỉa sử A( A ; A )∈ ( ) xA > 0, A = − x y E, y 16 − xA 2 4 AB ngắn nhất khi B là hình chiếu vuông góc của A lên ∆ nên 5xA − 7yA − 35 1,0 AB = d(A, )= ∆ 52 + ( 7) − 2 21 5xA + 16 − xA 2 − 35 4 = 74 21 Xét hàm số f( )= 5x + x 16 − x2 − 35, < x ≤ 4 0 8 4 Ta có 21x 1,0 f'x)= 5− ( =0 4 16 − x2 (vì x >0) 80 ⇔ x = 29 ABmin ≈ 0.6975 21x 80 SHIFT d/dx 5− , )≈ −3,4565 < 0 4 16 − x2 29 f(0) = -14, f(80/29) = -6, f(4) = -15 nên −15 ≤ f( )≤ −6, x∈ ( 4] x ∀ 0; 6 Do đó AB nhỏ nhất bằng ≈ 0,6975 74 Sau n tháng ông A có số tiền là: C n = A( + r) − ( + r) −1 − ( + r) −2 − .. ( + r) − ( + r) 1 n 1 n 1 n .− 1 2 1 ( + r) − 1 1 n ( ) − =A 1+r n + ( + r)+ 1 1 ( + r)− 1 1 a) Sau 1 năm số tiền của ông A là: 9 ( + r) − 1 1 n 98,2651 triệu 1,0 C12 =A ( ) − 1+r n + ( + r)+ 1 ≈ 98, 1 2651 đồng ( + r)− 1 1 b) ( + r) − 1 1 n 36 tháng A( ) − 1+r n + ( + r)+ 1 = 90 ⇔ n ≈ 35, 1 4 1,0 ( + r)− 1 1
Lấy M là trung điểm của AC và lấy điểm N trên cạnh AD sao cho AN = 1. Ta có AB = AM = AN = 1 nên hình chiếu vuông góc của điểm A lên mp(BMN) trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN. ^ BM = AB2 + AM 2 − 2AB. . BAM = 2s n200 AM cos i BN = 2s n400,M N = 2s n300 = 1 i i BM + BN + M N p= 2 SBM N = p(p − BM ) p − BN ) p − M N ) ( ( 10 BM . . N BN M OB = , 4. BM N S 2,0 AK = d(A, BM N ) = AB2 − O B2 ( ) 1 Thể tích khối chóp A.BMN là V '= AK . BM N S 3 Gọi V là thể tích khối tứ diện ABCD thì V ' AB AM AN 1 1 1 0,0086 cm3 = . . = 1. . = V AB AC AD 2 5 10 V' V= ≈ 0,0086 10 ……………………………………………..Hết……………………………………………...
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO NĂM HỌC 2009 – 2010 -Lớp 12 THPT Bài 1: Tìm các số nguyên dương x và y sao cho x2 + 2y2 = 2009. si nx Bài 2: Cho hàm số f(x)= .Tính f(f(…f(f(2))…)) (có 2009 chữ f). x Bài 3: Tìm điểm M trên trục hoành cách đều hai điểm cực trị của đồ thị hàm số x2 + 2x + 3 y= . 4x2 + 5 Bài 4: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi bình phương số đó ta được số tự nhiên có dạng 2009...2009 . Bài 5: Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e. Biết rằng P(1) = 8, P(2) = 18, P(3) = 32, P(4) = 50, P(5) = 72. Tính P(30). Bài 6: Tìm các nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình: 3 3s inx − cos x + 2 = . 3s inx − cos x Bài 7: Cho dãy số (un) thoả mãn điều kiện sau: u1 = 1  u2 = −1 u = 2u − 3u  n+ 2 n+1 n Hãy tính tổng 22 số hạng đầu tiên của dãy số (un). x2 y2 Bài 8: Cho điểm A nằm tuỳ ý trên elíp (E): + = 1 và điểm B nằm tuỳ ý trên đường 16 9 thẳng 5x – 7y – 35 = 0.Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng AB. Bài 9: Ông A gửi tiết kiệm 100 triệu đồng với lãi suất không đổi r = 0,7% một tháng. Mỗi tháng ông A phải rút ra 1 triệu đồng để trả chi phí sinh hoạt. a) Hỏi số tiền ông A có được sau 1 năm là bao nhiêu? b) Hỏi sau bao nhiêu tháng (kể từ khi gửi tiền) thì ông A không thể rút ra được số tiền lớn hơn 90 triệu đồng? Bài 10: Cho tứ diện ABCD có AB = 1cm, AC = 2cm, AD=5cm. Và 2 1 ∠BAC = ∠CAD = ∠BAD = 400 . 3 2 Tính giá trị gần đúng thể tích của khối tứ diện ABCD.
ĐÁP ÁN Bài Cách giải Đáp số Điểm x = 2009 − 2y ≥ 0 ⇒ 0 < y ≤ 31 2 2 0→ Y 1 x = 21 2,0 Y = Y + 1: = ( X 2009 − 2Y 2 ) y = 28 Mode Mode Mode Mode 2 (sử dụng đơn vị radian) s n2 i →X 2 2 sn X i 0.8767 2,0 X= X Bấm dấu = nhiều lần (17 lần) cho đến khi được một số không đổi 0.876726215  −7 − 129 −2( x + 7x − 5) 4 2 x = y'= = 0⇔  8 ( x + 5) 4 2 2  −7 + 129 x =  8 −7 − 129 −7 + 129 A( ;yA ) B( , ;yB ) 3 8 8 2,0 x 2 + 2xA + 3 x 2 + 2x + 3 yA = A ,yB = B 2 B 4xA 2 + 5 4xB + 5 Giả sử điểm M(xM;0) ∈ Ox cách đều hai điểm A, B khi xA 2 − xB 2 + yA 2 − yB 2 M( -1,58 ; 0 ) M A = M B ⇔ xM = = −1 58 , xA − xB Bước 1: Tìm 4 chữ số tận cùng của số cần tìm x sao cho Có 6 số: x2 = .. .2009 . 3253,8253,1747, 4 Bước 2: Chèn vào giữa 2009đầu và 2009 cuối các số 0 rồi 2997,6747,7997. 2,0 các số 9(số các số 0 bằng số các số 9) Bước 3: Thử lại chỉ có 448253 thoả mãn bài toán Kết quả: 448253 P(1) = 8 =2.(1+1)2, P(2) =18 = 2(2+1)2, P(3) = 32 = 2(3+1)2, 5 P(4) = 50 = 2(4+1)2, P(5) = 72 = 2(5+1)2 P(30) = 14252522 2,0 Suy ra P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) + 2(x+1)2
t= 1 Đặt t= 3si x − cosx thì t + 2t− 3 = 0 ⇔  2 n t= −3 Vậy phương trình đã  x = 1800 + k3600 cho có các nghiệm là Khi t = 1 thì 3s n x − cosx = 1 ⇔  i x = 1800 + k3600, 6  x ; 36 52' + k360 0 12" 0 2,0 x ≈ 36 52' + k360 0 12" 0  x = −900 + k3600 Khi t = -3 thì 3s n x − cosx = −3 ⇔  i x = − 900 + k3600,  x ; −53 7' + k360 0 0 48" x ≈ − 5307' ( k∈ ¢ ) 48" 2 → D , → A, 1 → B, → X 1 − 0 S22 = 4092 7 2,0 D = D + 2:A = 2B − 3A :B = 2A − 3B :X = X + A + B Vì đường thẳng ∆:5x – 7y – 35 = 0 cắt tia Ox và tia Oy’ nên điểm A thuộc góc phần tư thứ tư. 3 Gỉa sử A( A ; A )∈ ( ) xA > 0, A = − x y E, y 16 − xA 2 4 AB ngắn nhất khi B là hình chiếu vuông góc của A lên ∆ nên 5x − 7yA − 35 1,0 AB = d(A, )= A ∆ 52 + ( 7) − 2 21 5xA + 16 − xA 2 − 35 4 = 74 21 Xét hàm số f( )= 5x + x 16 − x2 − 35, < x ≤ 4 0 8 4 Ta có 1,0 21x f'x)= 5− ( =0 4 16 − x 2 (vì x >0) 80 ⇔ x = ABmin ≈ 0.6975 29 21x 80 SHIFT d/dx 5− , )≈ −3,4565 < 0 4 16 − x2 29 f(0) = -14, f(80/29) = -6, f(4) = -15 nên −15 ≤ f( )≤ −6, x∈ ( 4] x ∀ 0; 6 Do đó AB nhỏ nhất bằng ≈ 0,6975 74
Sau n tháng ông A có số tiền là: C n = A( + r) − ( + r) −1 − ( + r) −2 − .. ( + r) − ( + r) 1 n 1 n 1 n .− 1 2 1 ( + r) − 1 1 n ( ) − =A 1+r n + ( + r)+ 1 1 ( + r)− 1 1 a) Sau 1 năm số tiền của ông A là: 98,2651 triệu 9 đồng ( + r) − 1 1 n 1,0 C12 =A ( ) − 1+r n + ( + r)+ 1 ≈ 98, 1 2651 ( + r)− 1 1 ( + r) − 1 1 n b) A( ) − 1+r n + ( + r)+ 1 = 90 ⇔ n ≈ 35, 1 4 36 tháng ( + r)− 1 1 1,0 Lấy M là trung điểm của AC và lấy điểm N trên cạnh AD sao cho AN = 1. Ta có AB = AM = AN = 1 nên hình chiếu vuông góc của điểm A lên mp(BMN) trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN. ^ BM = AB2 + AM 2 − 2AB. . BAM = 2s n200 AM cos i BN = 2s n400,M N = 2s n300 = 1 i i BM + BN + M N p= 2 SBM N = p(p − BM ) p − BN ) p − M N ) ( ( 10 BM . . N BN M OB = , 4. BM N S 2,0 AK = d(A, BM N ) = AB2 − O B2 ( ) 1 Thể tích khối chóp A.BMN là V '= AK . BM N S 3 Gọi V là thể tích khối tứ diện ABCD thì V ' AB AM AN 1 1 1 0,0086 cm3 = . . = 1. . = V AB AC AD 2 5 10 V' V= ≈ 0,0086 10