Đề thi chọn HSG lớp 9 môn Toán năm học 2015 - 2016 - Sở GD&ĐT Vĩnh Phúc

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> VĨNH PHÚC<br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2015-2016<br /> ĐỀ THI MÔN: TOÁN<br /> Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề<br /> <br /> Câu 1. (2,0 điểm)<br />  x 4<br /> <br /> 1<br /> <br />  <br /> <br /> 2 x 5<br /> <br /> Cho biểu thức A  <br /> <br />  : 1 <br /> <br /> x  2  <br /> x  2 <br />  x4<br /> a) Rút gọn biểu thức A<br /> b) Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.<br /> Câu 2. (2,0 điểm)<br /> a) Giải phương trình :  x  1 x  2  x  6  x  3  45x2<br /> b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn : x  x2  x  1  4y  1<br /> Câu 3. (1,0 điểm)<br /> Cho các số nguyên x, y thỏa mãn 3x  2y  1. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức<br /> H  x2  y2  xy  x  y  2<br /> <br /> Câu 4. (3,0 điểm)<br /> Cho hai điểm A, B phân biệt, lấy điểm C bất kỳ thuộc đoạn AB sao cho<br /> 3<br /> AB; tia Cx vuông góc với AB tại C. Trên tia Cx lấy hai điểm D, E phân<br /> 4<br /> CE CA<br /> biệt sao cho<br /> <br />  3 . Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC và đường tròn<br /> CB CD<br /> 0  AC <br /> <br /> ngoại tiếp tam giác BEC cắt nhau tại điểm H (H không trùng với C)<br /> a) Chứng minh rằng ADC  EBC và ba điểm A, H, E thẳng hàng<br /> b) Xác định vị trí của C để HC  AD<br /> c) Chứng minh rằng khi điểm C thay đổi thì đường thẳng HC luôn đi qua một<br /> điểm cố định<br /> Câu 5. (1,0 điểm)<br /> Cho ba số thực không âm x, y, z thỏa mãn x  y  z  2. Chứng minh rằng<br /> x  2y  z   2  x  2  y  2  z <br /> <br /> Câu 6<br /> Trên mặt phẳng cho 5 điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng<br /> hàng và không có bốn điểm nào cùng thuộc một đường tròn. Chứng minh rằng tồn<br /> tại một đường tròn đi qua ba điểm trong năm điểm đã cho và hai điểm còn lại có<br /> đúng một điểm nằm bên trong đường tròn.<br /> <br /> ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 9 VĨNH PHÚC NĂM 2015-2016<br /> Câu 1<br /> <br /> x  0<br /> <br /> x  0<br /> <br /> a) Điều kiện x  4  0<br /> x  4<br /> <br /> 2<br /> x<br /> <br /> 5<br /> 1 <br /> 0<br /> <br /> x 2<br /> <br /> Ta có: A <br /> <br /> 2<br /> <br /> b) Để x, A <br /> <br /> <br /> <br /> x 3<br /> x4<br /> <br />  : <br /> <br /> x 3<br /> x 2<br /> <br /> A<br /> <br /> 2<br /> 2 x<br /> <br /> thì 2  x là ước của 2. Suy ra 2 <br /> 1<br /> - 1<br /> 1<br /> 9<br /> 2<br /> - 2<br /> <br /> 2 x<br /> <br /> x<br /> A<br /> <br /> x nhận các giá trị 1;  2<br /> <br /> 2<br /> 0<br /> 1<br /> <br /> - 2<br /> 16<br /> - 1<br /> <br /> Câu 2<br /> a) Phương trình tương đương: (x2  7x  6).(x2  5x  6)  45x2<br /> Nhận thấy x=0 không là nghiệm của phương trình<br /> 6<br /> 6<br /> <br /> Phương trình đã cho tương đương với  x   5 <br />  x   7   45<br /> <br /> <br /> x<br /> <br /> <br /> <br /> x<br /> <br /> <br /> <br /> 6<br /> x<br /> <br /> Đặt t  x   1, ta được t 2  81  0  t  9<br /> 6<br /> x<br /> 6<br /> Với t = - 9 ta có x   10  0  x2  10x  6  0  x  5  19<br /> x<br /> <br /> Với t = 9 , ta có x   8  0  x2  8x  6  0  x  4  10<br /> <br /> Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm x  4  10;x  5  19<br /> b) x  x2  x  1  4y  1   x  1  x2  1  4y<br /> Do x, y   x,y  0<br /> Nếu x= 0 thì y=0 suy ra (0;0) là nghiệm của phương trình đã cho<br /> Nếu x > 0  y  0  x  1 chẵn , đặt x  2k  1, k  0<br /> Khi đó  k  1  2k 2  2k  1  4y1<br /> Do 2k 2  2k  1 là số lẻ, suy ra k = 0 nên x= 1; y=1<br /> Suy ra (1;1) là nghiệm của phương trình đã cho<br /> Vậy phương trình đã cho có nghiệm (x;y) là (0;0) và (1;1)<br /> <br /> Câu 3<br /> Do x, y <br /> <br /> và 3x + 2y = 1 suy ra x, y trái dấu<br /> <br /> 3x  2y  1  y  x <br /> <br /> 1 x 1 x<br /> <br />  t<br /> 2<br /> 2<br /> <br />  x  1  2t;y  3t  1<br /> <br /> Khi đó H  t 2  3t  t  1<br /> Nếu t  0  H   t  1  2  2, dấu “=” xảy ra khi t = 1<br /> 2<br /> <br /> Nếu t CD;<br /> <br /> CE CA<br /> <br />  3 ;DCA  BCE  900<br /> CB CD<br /> <br /> Suy ra hai tam giác Adc, EBC đồng dạng , suy ra ADC  EBC (1)<br /> Do tứ giác AHDC nội tiếp, suy ra AHC  ADC (2)<br /> Do tứ giác BCHE nội tiếp, suy ra EBC  CHE  1800 (3)<br /> Từ (1) (2) (3) suy ra AHC  CHE  1800 suy ra ba điểm A, H, E thẳng hàng<br /> b) Ta có : tan ADC <br /> <br /> AC<br />  3  ADC  600  EBC  600<br /> CD<br /> <br /> Do AD  HC  ACH  ADC  600<br /> Lại có tứ giác BCHE nội tiếp, suy ra AEB  HCA  600<br /> Suy ra ABE đều nên C là trung điểm AB<br /> c) Do AHB  900 nên H thuộc đường tròn đường kính AB cố định<br /> Kéo dài HC cắt đường tròn đường kính AB tai điểm thứ hai I (I khác H)<br /> Suy ra AHI  600 nên I cố định<br /> Vậy HC luôn đi qua I cố định khi C thay đổi trên đoạn AB<br /> Câu 5<br /> Đặt x  y  2a;y  z  2b; z  x  2c  a, b,c  0;a  b  c  2<br /> Bất đẳng thức trở thành a  b  4abc<br /> Ta có: 2  a  b  c  2 a  b  c . Dấu “=” xảy ra khi a+b=c<br />  1   a  b  c  a  b   a  b  c  4abc<br /> 2<br /> <br /> a  b<br /> 1<br /> <br /> <br /> a  b <br /> Dấu “=” xảy ra  a  b  c  <br /> 2<br /> a  b  c  2<br /> c  1<br /> <br /> <br /> Vậy x  2y  z  2  x 2  y 2  z <br /> x  y  y  z  1<br /> x  z  1<br /> <br /> <br /> Dấu “=” xảy ra  z  x  2<br /> y  0<br /> x  y  z  2<br /> <br /> <br /> Câu 6.<br /> <br /> Từ 5 điểm có 4+3+2+1=10 đoạn thẳng tạo thành. Do đó có ít nhất một đoạn thẳng<br /> có độ dài nhỏ nhất. Giả sử 5 điểm A, B, C, D, E và hai điểm A, B có độ dài AB<br /> nhỏ nhất. Khi đó 3 điểm C, D, E còn lại có hai khả năng sau:<br /> TH1: cả ba điểm này nằm cùng phía trong nửa mặt phẳng bờ AB<br /> <br /> A<br /> <br /> B<br /> <br /> C<br /> <br /> E<br /> D<br /> <br /> Vì không có 4 điểm nào cùng thuộc một đường tròn nên C, D, E nhìn AB với các<br /> góc nhọn khác nhau. Giả sử ACB  ADB  AEB khi đó đường tròn đi qua 3 điểm A,<br /> B, D chứa điểm C bên trong và điểm E bên ngoài<br /> TH2: có một điểm khác phía hai điểm kac sở hai nửa mặt phẳng bờ AB. Giả sử E<br /> khác phía hai điểm C, D<br /> <br /> E<br /> A<br /> <br /> B<br /> <br /> C<br /> <br /> D<br /> <br />