Đề thi chuyên toán Quang Trung 2009-2010 có đáp án đề chung

Chia sẻ: Trần Bá Trung3 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

131
lượt xem 29
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi chuyên toán Quang Trung 2009-2010 có đáp án đề giúp các em học sinh có tài liệu ôn tập, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập một cách thuận lợi, dể dàng và tự kiểm tra đánh giá kết quả học tập của mình. Tác giả hy vọng tài liệu có ích cho các bạn tham khảo

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi chuyên toán Quang Trung 2009-2010 có đáp án đề chung

S GD- T BÌNH PH C KÌ THI TUY N SINH VÀO TR NG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG N M H C 2009-2010 CHÍNH TH C MÔN THI: TOÁN ( CHUNG) Th i gian: 120 phút (không k th i gian giao ) Bài 1 (2 i m) a) Tính A = 8 − 2 15 − 8 + 2 15 + 12 b) Gi i ph ng trình: x − 1 − x = −3 Bài 2 (2 i m) Cho ph ng trình b c hai: − x 2 + 2mx − 2m + 3 = 0 , (v i m là tham s ). a) Xác nh m ph ng trình có hai nghi m x1 , x2 tho − x1 + 2 x1 x2 − x2 = 10 b) Xác nh m ph ng trình có hai nghi m âm phân bi t. Bài 3 (2 i m) Nhà H ng có m t khu v n tr ng cây b p c i. V n c ánh thành nhi u lu ng, m i lu ng c tr ng cùng m t s cây b p c i. H ng tính r ng: n u t ng thêm 8 lu ng rau, nh ng m i lu ng tr ng ít i 3 cây thì toàn v n s gi m i 54 cây. N u gi m i 4 lu ng, nh ng m i lu ng tr ng t ng thêm 2 cây thì toàn v n s t ng thêm 32 cây. H i v n nhà H ng có bao nhiêu cây b p c i. Bài 4 (3,5 i m) Cho tam giác nh n ABC n i ti p trong ng tròn tâm O. Phân giác trong c a góc A c t BC t i D và c t ng tròn t i E. G i K, M l n l t là hình chi u c a D trên AB và AC. a) Ch ng minh r ng t giác AMDK n i ti p ng tròn. b) Ch ng minh r ng tam giác AKM cân. c) Cho BAC = α . Ch ng minh r ng MK = AD.sin α . d) Ch ng minh r ng S AKEM = S ABC , v i S AKEM và S ABC l n l t là di n tích c a t giác AKEM và tam giác ABC. Bài 5 (1 i m) 3x 2 + 5 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P = x2 + 1 H t H và tên thí sinh: ……………………….. S báo danh: ……………… H và tên giám th 1: ………………………………. Ch kí: …………. H và tên giám th 1: ………………………………. Ch kí: ………….
S GIÁO D C VÀ ÀO T O T NH BÌNH PH C TR NG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG H NG D N GI I THI VÀO TR NG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG MÔN TOÁN CHUNG N M H C 2009-2010 Bài 1 (2 i m) a) Tính A = 8 − 2 15 − 8 + 2 15 + 12 Gi i ( ) ( ) 2 2 Ta có: A = 5 − 2 5. 3 + 3 − 5 + 2 5. 3 + 3 + 2 3 = 5− 3 − 5+ 3 +2 3 = 5− 3− ( ) 5+ 3 +2 3 =0 b) Gi i ph ng trình: x − 1 − x = −3 Gi i x≥3 x−3≥ 0 x≥3 +) PT ⇔ x − 1 = x − 3 ⇔ ⇔ ⇔ x = 5 (N ) x − 1 = ( x − 3) 2 x 2 − 7 x + 10 = 0 x = 2 ( L) +) KL: Ph ng trình ã cho có m t nghi m là x = 5. Bài 2 (2 i m) Cho ph ng trình b c hai: − x 2 + 2mx − 2m + 3 = 0 , (v i m là tham s ). a) Xác nh m ph ng trình có hai nghi m x1 , x2 tho − x1 + 2 x1 x2 − x2 = 10 Gi i +) Ph ng trình có hai nghi m x1 , x2 ⇔ ∆ ' = m − 2m + 3 ≥ 0 ⇔ (m − 1) 2 + 2 ≥ 0 , (luôn úng v i m i m). 2 x1 + x2 = 2m +) Theo nh lí Viet ta có: . x1.x2 = 2m − 3 Thay vào gi thi t − x1 + 2 x1.x2 − x2 = 10 ta có: −2m + 2(2m − 3) = 10 ⇔ 2m = 16 ⇔ m = 8 +) i chi u v i i u ki n có nghi m ta có giá tr m th a mãn bài toán là m = 8. b) Xác nh m ph ng trình có hai nghi m âm phân bi t. Gi i ∆' > 0 m 2 − 2m + 3 > 0 m∈ R +) Ph ng trình có hai nghi m âm phân bi t ⇔ S < 0 ⇔ 2m < 0 ⇔ m < 0 ⇔ m∈∅ . P>0 2m − 3 > 0 3 m> 2 Bài 3 (2 i m) Nhà H ng có m t khu v n tr ng cây b p c i. V n c ánh thành nhi u lu ng, m i lu ng tr ng c cùng m t s cây b p c i. H ng tính r ng: n u t!ng thêm 8 lu ng rau, nh ng m i lu ng tr ng ít i 3 cây thì toàn v n s" gi m i 54 cây. N u gi m i 4 lu ng, nh ng m i lu ng tr ng t!ng thêm 2 cây thì toàn v ng s" t!ng thêm 32 cây. H#i v n nhà H ng có bao nhiêu cây b p c i. Gi i +) G i x là s lu ng rau và y là s cây trên m t lu ng rau, i u ki n x, y là các s nguyên d ng. +) Ta có s cây trên v n rau ban u là x.y. +) N u t ng thêm 8 lu ng rau, nh ng m i lu ng tr ng ít i 3 cây thì toàn v n s gi m i 54 cây Ta có ph ng trình: ( x + 8)( y − 3) = xy − 54 ⇔ −3x + 8 y = 30 , (1).
+) N u gi m i 4 lu ng rau, nh ng m i lu ng tr ng t ng thêm 2 cây thì toàn v n s t ng thêm 32 cây Ta có ph ng trình: ( x − 4)( y + 2) = xy + 32 ⇔ x − 2 y = 20 , (2). −3 x + 8 y = −30 x = 50 +) T (1) và (2) ta có h ph ng trình ⇔ , (tho mãn i u ki n). .x − 2 y = 20 y = 15 +) KL: V n rau nhà H ng có 750 cây b p c i. Bài 4 (3,5 i m) Cho tam giác nh$n ABC n i ti p trong ng tròn tâm O. Phân giác trong c%a góc A c t BC t&i Dc t ng tròn t&i E. G$i K, M l'n l t là hình chi u c%a D trên AB và AC. a) Ch(ng minh r ng t( giác AMDK n i ti p ng tròn. b) Ch(ng minh r ng tam giác AKM cân. c) Cho BAC = α . Ch(ng minh r ng MK = AD.sin α . d) Ch(ng minh r ng S AKEM = S ABC , v i S AKEM và S ABC l'n l t là di n tích c%a t( giác AKEM và tam giác ABC. Gi i A a) Ch(ng minh r ng t( giác AMDK n i ti p ng tròn. Xét t giác AKEM ta có AKE + AME = 900 + 900 = 1800 t giác AMDK n i ti p ng tròn ng kính AD, có tâm là trung i m I c a AD. I O M b) Ch(ng minh r ng tam giác AKM cân. H Trong ng tròn ngo i ti p t giác AMDK ta có: = , K (vì theo gt ta có AD là phân giác c a ) B C D Mà AD là ng kình ⊥ và AD i qua trung m H c a KM ∆ cân nh A. E c) Cho BAC = α . Ch(ng minh r ng MK = AD.sin α . +) Trong ng tròn ngo i ti p t giác AKDM ta có = , (góc n i ti p và góc tâm cùng ch n m t cung), mà = = =α . +) Xét tam giác vuông IKH ta có: = α , mà = , = MK = AD.sin α , ( pcm) d) Ch(ng minh r ng S AKEM = S ABC , v i S AKEM và S ABC l'n l t là di n tích c%a t( giác AKEM và tam giác ABC. Cách 1 +) Vì t giác AKEM có hai ng chéo vuông góc nên = = α , (1). +) M t khác ta có ∆ ∆ − = ⇔ = . Thay k t qu này vào (1) ta có = α= ∆ , ( pcm).
Cách 2 A +) G i B’ là i m i x ng v i B qua AE, vì AE là phân giác c a góc A nên ta có ∆ =∆ − − = T giác DECB’ n i ti p (vì + = + = + + = + + O M H B' = = ). K +) T giác DECB’ n i ti p = mà AB = AB’ B D C nên ta có = . +) Vì t giác AKEM có hai ng chéo vuông góc nên = = α E = α= ∆ , ( pcm). Cách 3 +) Ta có ∆ = ∆ + ∆ = + +) M t khác ta có = = . Do ó ∆ = + +) M t khác ta c ng có h th c + = , (b n c t ch ng minh). Do ó ∆ = = = α , (1). +) Vì t giác AKEM có hai ng chéo vuông góc nên = = α , (2). T (1) và (2) ta có S AKEM = S ABC , ( pcm). Cách 4 +) G i AX là ng cao c a tam giác ABC, g i Y là giao i m c a AX v i ng th ng qua E và song song v i BC. G i K’ và A M’ l n l !t là hình chi u c a E trên AB và AC = = . +) M t khác ta có K’M’ chính là ng th ng Simson c a tam giác ABC i v i i m E, do ó K’M’ i qua trung i m I c a O M BC. M t khác AY ⊥ BC và K’M’ ⊥ AE nên ta có = H K M' D X Do ó = = = ⇔ = B C K' Hay S AKEM = S ABC , ( pcm). Y E
Cách 5 +) G i B’, C’ l n l !t là hình chi u c a E trên AB và AC, g i F và F’ l n l !t là hình chi u c a E trên DK và DM. D" th#y EFKB’ và EF’MC’ là hai hình ch$ nh%t b&ng nhau = . = + + +) Ta có A = + + Do ó ch ng minh = ta ch c n ch ng minh + = + , (*) +) Mà (*) ⇔ + = + O ⇔ + = (**), (Vì EF = EF’ và DK = DM). M +) M t khác ta có hai tam giác vuông EB’B và EC’C H b&ng nhau (vì EB’ = EC’ và = cùng bù v i K C' ) D B = F' F C +) Ta có BK + CM = BK + CC’ + C’M B' = BK + BB’ + C’M = KB’+C’M = EF + EF’ = 2EF V%y (**) úng bài toán !c ch ng minh. E Bài 5 (1 i m) 3x 2 + 5 Tìm giá tr l n nh)t c%a bi u th(c P = x2 + 1 Gi i +) K: x ∈ R 3 x 2 + 5 ( 3 x + 3) + 2 3 ( x + 1) + 2 2 2 2 +) Ta có: P = 2 = = = 3+ 2 x +1 x +1 2 x +1 2 x +1 1 2 +) Ta có x2 ≥ 0, ∀x ∈ R x2 +1 ≥ 1, ∀x ∈ R ≤ 1, ∀x ∈ R ≤ 2, ∀x ∈ R . Do ó x +1 2 x +1 2 2 P = 3+ 2 ≤ 5, ∀x ∈ R . x +1 +) V%y giá tr l n nh#t c a P là 5, t !c khi x = 0. H t GV: Ph&m V!n Quý, Tr ng THPT chuyên Quang Trung