ĐỀ THI ĐẠI HỌC NĂM 2010 MÔN THI TOÁN - Đề số 10

Chia sẻ: Ba Xoáy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

99
lượt xem 13
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'đề thi đại học năm 2010 môn thi toán - đề số 10', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: ĐỀ THI ĐẠI HỌC NĂM 2010 MÔN THI TOÁN - Đề số 10

Trung tâm BDVH & LTĐH ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010 QUANG MINH Môn thi: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Đề số 10 I. PHẦN CHUNG (7 điểm) x+2 Câu I (2 điểm): Cho hàm số y = (1). 2x + 3 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại O. Câu II (2 điểm): (1 - 2sin x ) cos x =3 1) Giải phương trình: (1 + 2sin x )(1 - sin x ) 2 3 3x - 2 + 3 6 - 5x - 8 = 0 2) Giải hệ phương trình: p 2 3 x - 1) cos2 x.dx ò (cos Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I= 0 Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600 . Gọi I là trung điểm của AD. Hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Câu V (1 điểm): Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: x( x + y + z) = 3 yz . Chứng minh: ( x + y)3 + ( x + z)3 + 3( x + y )( x + z)( y + z) £ 5( y + z)3 II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) 1. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có giao điểm hai đường chéo AC và BD là điểm I(6; 2). Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng D: x + y - 5 = 0 . Viết phương trình đường thẳng AB. 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2 x - 2 y - z - 4 = 0 và mặt cầu (S) có phương trình: x 2 + y 2 + z2 - 2 x - 4 y - 6 z - 11 = 0 . Chứng minh rằng mặt phẳ ng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn. Xác định tâm và tính bán kính của đường tròn đó. Câu VII.a (1 điểm): Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình: z2 + 2 z + 10 = 0 . Tính giá trị của biểu thức: 2 2 A = z1 + z2 . 2. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm): 1) Trong mặt phẳ ng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 + 4 x + 4 y + 6 = 0 và đường thẳ ng D có phương trình: x + my - 2m + 3 = 0 . Gọi I là tâm đường tròn (C). Tìm m để D cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất. 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳ ng (P): x - 2 y + 2 z - 1 = 0 và hai đường thẳng D1, D2 có phương x +1 y z + 9 x -1 y - 3 z +1 trình D1: == , D2: = = . Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng D1 sao cho khoảng 1 1 6 2 1 -2 cách từ M đến đường thẳng D2 bằng khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P). Câu VII.b (1 điểm): Giải hệ phương trình: ìlog ( x 2 + y 2 ) = 1 + log ( xy) ï2 2 í x 2 - xy + y 2 ï3 = 81 î ============================ Trần Sĩ Tùng
Hướng dẫn: I. PHẦN CHUNG Câu I: 2) Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm. Tam giác OAB cân tại O nên tiếp tuyến song song với một trong hai đường thẳ ng y = x hoặc y = - x . -1 é x = -1 ( y0 = 1) Þ y¢ ( x0 ) = ±1 Û = ±1 Þ ê 0 ë x0 = -2 ( y0 = 0) (2 x0 + 3)2 ì x = -1 ì x = -2 · Với í 0 · Với í 0 Þ D: y = - x - 2 (nhận) Þ D: y = - x (loại) y0 = 1 î y0 = 0 î Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = - x - 2 . ì p ï x ¹ - 6 + m 2p ï 7p ï ì1 + 2sin x ¹ 0 + n2p Û íx ¹ Câu II: 1) Điều kiện: í 1 - sin x ¹ 0 6 î ï ï x ¹ p + p2p ï 2 î cos x - 2sin x.cos x = 3 Û cos x - sin 2 x = 3(sin x + cos 2 x ) PT Û 1 - sin x + 2sin x - 2sin 2 x é p ê x = 2 + k 2p (loaïi ) 3 1 1 3 æ pö æ pö cos2 x + sin 2 x = cos x - sin x Û cos ç 2 x - ÷ = cos ç x + ÷ Û ê Û ê x = - p + k 2p (nhaän) 2 2 2 2 6ø 3ø è è ê 18 3 ë 2p p Vậy PT có nghiệm: x = - + k . 18 3 ìu = 3 3 x - 2 ì 3 = 3x - 2 6 ï ï Þ íu2 2) Điều kiện: x £ . Đặt í . 5 ïv = 6 - 5 x ïv = 6 - 5 x î î ì 2 u + 3v = 8 ìu = -2 ì3 x - 2 = -2 Û x = -2 . Þí Ta có hệ PT: í 3 . Giải hệ này ta được í 2 v=4 î6 - 5 x = 16 î5u + 3v = 8 î Thử lại, ta thấy x = -2 là nghiệm của PT. Vậy PT có nghiệm x = -2 . p p 2 2 5 x .dx - ò cos2 x.dx = A – B. ò cos Câu III: I = 0 0 p p p 2 2 2 2 8 ò (1 - sin x ) 5 x.dx = ò cos4 x.cos x..dx = 2 ò cos d (sin x ) = ·A= 15 0 0 0 p p 2 2 1 p 2 ò cos x.dx = ò (1 + cos 2 x ).dx = 4 ·B= 20 0 8 p Vậy I = –. 15 4 3a2 Ta có: SBIC = S ABCD - SABI - SCDI Câu IV: Gọi E là trung điểm của AB Þ BC = a 5 . = 2 2SBIC 3a = Trong tam giác BIC, kẻ đường cao IF, ta có: IF = . BC 5 3a 3 Từ giả thiết Þ SI ^ (ABCD) Þ · = 60 0 Þ SI = IF.tan 60 0 = SFI 5 1 1 3 3a 2 3 15 3 V = SI .SABCD = . .3a = a. Þ Thể tích khối chóp S.ABCD: 3 3 5 5 Trần Sĩ Tùng
x 2 + xy + xz = 3 yz Þ ( x + y )2 + ( x + z)2 = 2( y + z)2 - ( y - z)2 Câu V: Xét điều kiện: 2 2 2 æ x+yö æ x+zö æ x+y x+zö ÷ = 2 -ç ÷ +ç - Þç ÷ (*) è y+zø è y+zø è y+z y+zø x+y x+z (u, v > 0). Từ (*) Þ u2 + v 2 = 2 - (u - v)2 Þ u2 + v 2 - uv = 1 (1) ,v= Đặt u = y+z y+z 3 3 æ x+yö æ x+zö æ x + y öæ x + z ö 3 3 ÷ + 3ç ÷ £ 5 Û u + v + 3uv £ 5 ÷ +ç Khi đó ta có: BĐT Û ç ÷ç è y+z ø è y+zø è y + z øè y + z ø Û (u + v)(u2 - uv + v 2 ) + 3uv £ 5 Û u + v + 3uv £ 5 (2) (do (1)) Mặt khác từ (1) ta có: uv = 1 - (u - v)2 £ 1 (3) 3 và (u + v)2 = 1 + 3uv £ 1 + (u + v )2 Þ (u + v )2 £ 4 Þ u + v £ 2 (4) 4 Từ (3) và (4) ta suy ra được điều cần chứng minh (2). II. PHẦN TỰ CHỌN 1. Theo chương trình chuẩn uu r Câu VI.a: 1) Giả sử E(a; 5 – a) Î D Þ IE = (a - 6;3 - a) uuur Gọi P là điểm đối xứng của E qua I Þ P(12 – a; a – 1), MP = (11 - a; a - 6) uuur uu r éa = 6 Ta có: MP.IE = 0 Û (11 - a)(a - 6) + (a - 6)(3 - a) = 0 Û ê a=7 ë uu r Đường thẳng đi qua M(1; 5) và nhận IE làm VTPT. uu r · Với a = 6 Þ IE = (0; -3) Þ Phương trình AB: y = 5 uu r · Với a = 7 Þ IE = (1; -4) Þ Phương trình AB: x - 4 y + 19 = 0 2) (S) có tâm I(1; 2; 3), bán kính R = 5 d ( I ,( P)) = 3 < R Þ (P) cắt (S) theo một đường tròn (C). Dễ xác định tâm đường tròn (C) là J(3; 0; 2) và bán kính là r = 4. Câu VII.a: PT có các nghiệm: z1 = -1 - 3i, z2 = -1 + 3i 2 2 Þ A = z1 + z2 = 20 2. Theo chương trình nâng cao 2. Câu VI.b: 1) (C) có tâm I(–2; –2), bán kính R = 1 1 1 IA.IB.sin · = R2 sin · £ R2 = 1 Ta có: SIAB = AIB AIB 2 2 2 · = 1 Û · = 90 0 Û DAIB vuông cân tại I Dấu "=" xảy ra Û sin AIB AIB ém = 0 -2 - 2m - 2m + 3 R = 1 Û 15m 2 - 8m = 0 Û ê Khi đó: d ( I , D ) = =1 Û 8 êm = 2 1 + m2 15 ë 2) Giả sử: M (-1 + t; t; -9 + 6t ) Î D1. (8t - 14)2 + (-14t + 20)2 + (t - 4)2 Khoảng cách từ M đến D2: d ( M , D2 ) = 3 11t - 20 Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P): d ( M ,( P )) = 3 (8t - 14)2 + (-14t + 20)2 + (t - 4)2 11t - 20 Từ đó ta có: = 3 3 ét = 1 Û 140t 2 - 352t + 212 = 0 Û ê 53 êt = ë 35 Trần Sĩ Tùng
53 æ 18 53 3 ö Þ Mç ; ; ÷ · Với t = 1 Þ M(0; 1; –3) · Với t = 35 è 35 35 35 ø Câu VII.b: Điều kiện: xy > 0 ì x 2 + y 2 = 2 xy ìx = y éx = y = 2 ï Hệ PT Û í 2 Ûí 2 Ûê ë x = y = -2 2 îx = 4 ï x - xy + y = 4 î vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: (2; 2), (–2; –2). ===================== Trần Sĩ Tùng