Đề thi học sinh giỏi lớp 11 môn Toán

Chia sẻ: Nguyen Bach Thang | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST

Báo xấu

1.132
lượt xem 308
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm giúp các bạn học sinh có tài liệu ôn tập những kiến thức cơ bản, kỹ năng giải các bài tập Toán nhanh nhất và chuẩn bị cho kì thi sắp tới tốt hơn. Hãy tham khảo đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 kèm đáp án.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi học sinh giỏi lớp 11 môn Toán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA ĐỀ THI CHÍNH THỨC THPT NĂM 2013 Môn:Toán Thời gian:180 phút Ngày thi thứ nhất: 11/01/2013 Bài 1(5,0 điểm):  2 1 1 20 y  sin x  2  cos 2 y    sin x cos 2 y x y Giải hệ phương trình sau:   2 1 2 1 20 x  sin y  sin 2 y  cos x  cos2 x  x y  Bài 2(5,0 điểm): a  1  1 Cho dãy số xác định như sau:  a 2 an1  3  n an , n  1  2 Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó Bài 3(5,0 điểm): Cho tam giác không cân ABC. Kí hiệu (I) là đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC và D,E,F là các tiếp điểm của (I) với BC,CA,AB. Đường thẳng qua E vuông góc BI cắt (I) tại K khác E, đường thẳng qua F vuông góc CI cắt (I) tại L khác F. Gọi J là trung điểm KL. a) Chứng minh D,I,J thẳng hàng b) Giả sử B,C cố định, A thay đổi sao cho tỷ số ABAC=k không đổi. Gọi M,N tương ứng là các giao điểm IE,IF với (I) (M khác E, N khác F). MN cắt IB,IC tại P,Q. Chứng minh đường trung trực PQ luôn qua 1 điểm cố định Bài 4(5,0 điểm): Cho trước một số số tự nhiên được viết trên một đường thẳng. Ta thực hiện các bước điền số lên đường thẳng như sau: tại mỗi bước, trước tiên xác định tất cả các cặp số kề nhau hiện có trên đường thẳng theo thứ tự từ trái qua phải, sau đó điền vào giữa mỗi cặp một số bẳng tổng của hai số thuộc cặp đó. Hỏi sau 2013 bước, số 2013 xuất hiện bao nhiêu lần trên đường thẳng trong các trường hợp sau: a) Các số cho trước là: 1 và 1000? b) Các số cho trước là: 1,2,...,1000 và được xếp theo thức tự tăng dần từ trái qua phải
Môn:Toán Thời gian:180 phút Ngày thi thứ hai: 12/01/2013 Bài 5: (7,0 điểm) Tìm tất cả hàm số f: R → R thỏa f(0) = 0; f(1) = 2013 và  x  y   f  f 2  x   f  f 2  y      f  x   f  y   f 2  x   f 2  y  đúng với mọi x, y  R, trong đó f2(x)=(f(x))2 Bài 6: (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) và D thuộc cung BC không chứa điểm A. Đường thẳng  thay đổi luôn đi qua trực tâm H của tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH và tam giác ACH tại M, N (M, N khác H) a)Xác định vị trí của đường thẳng  để diện tích tam giác AMN lớn nhất b)Kí hiệu d1 là đường thẳng qua M vuông góc DB, d2 là đường thẳng qua N vuông góc DC. Chứng minh giao điểm P của d1 và d2 luôn thuộc 1 đường tròn cố định Bài 7: (6,0 điểm) Tìm tất cả bộ sắp thứ tự (a, b, c, a′, b′, c′) thỏa mãn ab  a ' b '  1 mod 15 1    ac  a ' c '  1 mod 15   2   bc  b ' c '  1 mod 15   3 Với a, b, c, a′, b′, c′  {0,1...14}
LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2013 Bài 1(5,0 điểm):  2 1 1 20 y  sin x  2  cos 2 y  2   sin x cos y x y Giải hệ phương trình sau:   2 1 2 1 20 x  sin y  sin 2 y  cos x  cos2 x  x  y  Cách 1:
Cách 2:
Bài 2(5,0 điểm): a  1  1 Cho dãy số xác định như sau:  a 2 an1  3  n an , n  1  2 Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó
Bài 3(5,0 điểm): Cho tam giác không cân ABC. Kí hiệu (I) là đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC và D,E,F là các tiếp điểm của (I) với BC,CA,AB. Đường thẳng qua E vuông góc BI cắt (I) tại K khác E, đường thẳng qua F vuông góc CI cắt (I) tại L khác F. Gọi J là trung điểm KL. a) Chứng minh D,I,J thẳng hàng b) Giả sử B,C cố định, A thay đổi sao cho tỷ số ABAC=k không đổi. Gọi M,N tương ứng là các giao điểm IE,IF với (I) (M khác E, N khác F). MN cắt IB,IC tại P,Q. Chứng minh đường trung trực PQ luôn qua 1 điểm cố định Giải: a)
b)
Bài 4(5,0 điểm): Cho trước một số số tự nhiên được viết trên một đường thẳng. Ta thực hiện các bước điền số lên đường thẳng như sau: tại mỗi bước, trước tiên xác định tất cả các cặp số kề nhau hiện có trên đường thẳng theo thứ tự từ trái qua phải, sau đó điền vào giữa mỗi cặp một số bẳng tổng của hai số thuộc cặp đó. Hỏi sau 2013 bước, số 2013 xuất hiện bao nhiêu lần trên đường thẳng trong các trường hợp sau: a) Các số cho trước là: 1 và 1000? b) Các số cho trước là: 1,2,...,1000 và được xếp theo thức tự tăng dần từ trái qua phải Giải: a) Ta chỉ cần quan tâm đến các số ≤2013, tức là các số đầu mỗi hàng, còn các số >2013 không cần quan tâm: Đầu tiên ta viết 1..1000 Sau bước đầu là 1...1001...1000 Sau bước 2 là 1...1002...1001..2001...1000 Sau bước 3 là 1...1003...1002...2003.... Sau bước 4 là 1...1004...1003...2005...1002.. Sau bước 5 là 1...1005...1004...2007...1003.. Sau bước 6 là 1...1006...1005...2009..... Sau bước 7 là 1...1007...1006...2011..... Sau bước 8 là 1...1008...1007...2013..... Lúc này đã xuất hiện 1 số 2013, ta làm tiếp đến bước 1013 dãy sẽ trở thành: 1...2013...2012....4023..... Sau đó toàn bộ số hạng xuất hiện tr0ng dãy sẽ > 2013 và không còn 1 số 2013 nào được xuất hiện thêm nữa ! Vậy chỉ có 2 lần xuất hiện b) Xét cặp số bất kì n và n + 1. Khi đó thực hiện thao tác ta sẽ có số 2n + 1. Số này chỉ có thể tiếp tục thao tác với n hoặc n+1. Do đó các số tạo ra bằng thao tác sẽ có dạng an + b(n + 1) hay là xn .n + yn, xn, yn∈N*,xn − 1 ≥ yn. Khi đó, số số 2013 xuất hiện trên đường thẳng là tổng số các nghiệm (xn,yn) của pt xn .n + yn = 2013 với n chạy từ 1 đến 999. Vì mỗi giá trị của xn thoả mãn điều kiện trên tương ứng với 1 giá trị của yn nên ta chỉ cần tìm số giá trị có thể nhận được của xn.
Xét pt xn .n + yn = 2013 . Ta có Bài 5: (7,0 điểm) Tìm tất cả hàm số f: R → R thỏa f(0) = 0; f(1) = 2013 và  x  y   f  f 2  x   f  f 2  y      f  x   f  y   f 2  x   f 2  y  đúng với mọi x, y  R, trong đó f2(x)=(f(x))2
Bài 6: (7,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) và D thuộc cung BC không chứa điểm A. Đường thẳng  thay đổi luôn đi qua trực tâm H của tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH và tam giác ACH tại M, N (M, N khác H) a)Xác định vị trí của đường thẳng  để diện tích tam giác AMN lớn nhất b)Kí hiệu d1 là đường thẳng qua M vuông góc DB, d2 là đường thẳng qua N vuông góc DC. Chứng minh giao điểm P của d1 và d2 luôn thuộc 1 đường tròn cố định
Đề thi thử học sinh giỏi môn toán lớp 11
Đề số 20 Câu 1 ( 3 điểm ) x2 1)Vẽ đồ thị của hàm số : y = 2 2)Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm (2; -2) và (1 ; -4 ) 1) Tìm giao điểm của đờng thẳng vừa tìm đợc với đồ thị trên . Câu 2 ( 3 điểm ) a) Giải phơng trình : x  2 x 1  x  2 x 1  2 b)Tính giá trị của biểu thức S  x 1  y 2  y 1  x 2 với xy  (1  x 2 )(1  y 2 )  a Câu 3 ( 3 điểm ) Cho tam giác ABC , góc B và góc C nhọn . Các đờng tròn đờng kính AB , AC cắt nhau tại D . Một đờng thẳng qua A cắt đờng tròn đờng kính AB , AC lần l- ợt tại E và F . 1) Chứng minh B , C , D thẳng hàng . 2) Chứng minh B, C , E , F nằm trên một đờng tròn . 3) Xác định vị trí của đờng thẳng qua A để EF có độ dài lớn nhất . Câu 4 ( 1 điểm ) Cho F(x) = 2  x  1  x
a) Tìm các giá trị của x để F(x) xác định . b) Tìm x để F(x) đạt giá trị lớn nhất . Đề số 21 Câu 1 ( 3 điểm ) x2 1) Vẽ đồ thị hàm số y  2 2) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm ( 2 ; -2 ) và ( 1 ; - 4 ) 3) Tìm giao điểm của đờng thẳng vừa tìm đợc với đồ thị trên . Câu 2 ( 3 điểm ) 1) Giải phơng trình : x  2 x 1  x  2 x 1  2 2) Giải phơng trình : 2x  1 4x  5 x 2x  1 Câu 3 ( 3 điểm )
Cho hình bình hành ABCD , đờng phân giác của góc BAD cắt DC và BC theo thứ tự tại M và N . Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNC . 1) Chứng minh các tam giác DAM , ABN , MCN , là các tam giác cân . 2) Chứng minh B , C , D , O nằm trên một đờng tròn . Câu 4 ( 1 điểm ) Cho x + y = 3 và y  2 . Chứng minh x2 + y2  5