Đề thi học sinh giỏi lớp 11 năm 2011-2012 môn Toán - Sở GD&DT Long An

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> LONG AN<br /> <br /> Kỳ thi chọn HSG giải Toán, Lý, Hoá, Sinh trên MTCT<br /> Môn TOÁN khối 11, năm học 2011-2012<br /> Ngày thi: 05/02/2012<br /> Thời gian: 90 phút (không kể phát đề)<br /> <br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> Chú ý:<br /> - Các giá trị phải tính ra số thập phân, lấy chính xác 5 chữ số thập phân không làm tròn;<br /> - Thí sinh phải ghi tóm tắt cách giải hay công thức tính.<br /> <br /> Bài 1. Tính gần đúng nghiệm (độ, phút, giây) của phương trình 4cos 2 x  3cos x  1<br /> 2sin x  3cos x  1<br /> cos x + 2<br /> æ 1 ö æ1 ö÷<br /> Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm P ççç0; ÷<br /> ÷;Q ç ;1÷ và đường thẳng Δ<br /> è 12 ø÷ èçç13 ø÷<br /> <br /> Bài 2. Tính gần đúng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y <br /> <br /> có phương trình x + y = 0 . Tìm điểm M trên Δ sao cho tổng MP + MQ nhỏ nhất.<br /> n<br /> 1  C0n 2C1n 3C2n<br /> nCnn 1  n  1 Cn <br /> Bài 4. Tính tổng S <br />  1  1  1  ...  1 <br />  , biết:<br /> A3<br /> An<br /> A1n 1 <br /> 2012  A1 A 2<br /> <br /> C0n  C1n  C2n  211 .<br /> <br /> Bài 5. Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng<br /> <br /> 2012 cm. Kéo dài BC về phía C một đoạn<br /> <br /> 2012 cm, kéo dài BD về phía D một đoạn DF =<br /> <br /> CE =<br /> <br /> 2012 cm. Gọi M là trung<br /> <br /> điểm của AB. Tính diện tích của thiết diện tạo bởi tứ diện với mặt phẳng (MEF).<br /> Bài 6. Tìm cặp số ( x, y) nguyên dương với x nhỏ nhất thỏa phương trình:<br /> 3<br /> <br /> 156 x 2  807  (12 x ) 2  20 y 2  52 x  59<br /> <br /> Bài 7. Tìm hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển của biểu thức:<br /> 8<br /> <br /> <br /> x <br /> 2<br /> 3<br /> <br /> x<br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 5 <br /> <br /> <br /> Bài 8. Cho dãy số (un) thỏa mãn điều kiện sau:<br /> <br /> u1  2012<br /> <br /> u2   2012<br /> u  2u  3u<br /> n 1<br /> n<br />  n  2<br /> Tính gần đúng giá trị tổng 20 số hạng đầu tiên của dãy số (un).<br /> ìï ( x + y)(1+ xy) = 5xy<br /> Bài 9. Giải hệ phương trình : ïí 2<br /> 2<br /> 2 2<br /> <br /> ïïî ( x + y )(1 + x y ) = 49x 2 y2<br /> <br /> Bài 10. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O) bán kính R=4,20 cm,<br /> AB=7,69 cm, BC=6,94 cm, CD=3,85 cm. Tìm độ dài cạnh còn lại và tính diện tích<br /> của tứ giác ABCD.<br /> ---------------------------- HẾT ------------------------------Họ và tên thí sinh:………………………………………………. Số báo danh:……………<br /> Thí sinh không được sử dụng tài liệu.<br /> Giám thị không giải thích đề thi.<br /> <br /> SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> LONG AN<br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> Bài<br /> <br /> 1<br /> <br /> Kỳ thi chọn HSG giải Toán, Lý, Hoá, Sinh trên MTCT<br /> Môn Toán khối 11, năm học 2011-2012<br /> HƯỚNG DẪN CHẤM<br /> <br /> Tóm tắt cách giải<br /> Đặt t = cosx thì  1  t  1 và cos 2 x  2 cos 2 x  1  2t 2  1<br /> Phương trình đã cho trở thành 8t 2  3t  3  0<br /> 3  105<br /> Giải phương trình này ta được t1,2 <br /> (thỏa đk)<br /> 16<br /> Sau đó giải các phương trình cos x  t1 và cos x  t2<br /> <br /> Kết quả<br /> 630 4 '4, 4"<br />  k 3600<br /> 145053'13, 68"<br /> <br /> Điểm<br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br />  k 3600<br /> <br /> 2sin x  3cos x  1<br /> về pt: 2sinx + (3–y)cosx = 2y + 1<br /> cos x+ 2<br /> 2<br /> 2<br /> 5  61<br /> 5  61<br /> Pt có nghiệm khi 22   3  y    2 y  1 <br />  y<br /> 3<br /> 3<br /> 5  61<br /> + ymax <br /> khi x là nghiệm của pt: 2sinx + (3–ymax)cosx = 2ymax + 1<br /> 3<br /> 5  61<br /> + ymin <br /> khi x là nghiệm của pt: 2sinx + (3–ymin)cosx = 2ymin + 1<br /> 3<br /> Q<br /> Gọi P’ là điểm đx với P qua   M  P'Q  <br /> P<br /> æ 1 1 ö÷ æ 1 ö÷<br /> ; ÷; P 'ç; 0÷<br /> Gọi I là trung điểm PP’ Þ I çççM<br /> è 24 24 ø÷ ççè 12 ø÷<br /> uuur æ25 ö<br /> I<br /> 25<br /> 1<br /> P 'Q = çç<br /> ;1÷<br /> ;<br /> P<br /> 'Q<br /> :<br /> x<br /> y<br /> +<br /> =<br /> 0<br /> ÷<br /> çè156 ø÷<br /> 156<br /> 12<br /> P'<br /> <br /> Ta biến đổi y <br /> <br /> 2<br /> <br /> 3<br /> <br /> ymax  0, 93674<br /> ymin  4, 27008<br /> <br /> x M = - 0, 07182<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> y M = 0, 07182<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> 23376,84649<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> 335,33333<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> x = 11,00000<br /> y = 29,00000<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> Ta có C0n  C1n  C2n  211  n  20<br /> 4<br /> <br /> 2<br /> 20<br /> C020 2C120 3C 20<br /> 20C19<br /> 21C20<br /> n<br /> <br /> <br /> <br /> ...<br /> <br /> <br /> A11<br /> A12<br /> A13<br /> A120<br /> A121<br /> <br /> 220<br /> 2012<br /> <br /> 20<br />  C020  C120  C 220  ...  C20<br /> 20  2 . Vậy S =<br /> <br /> 2<br /> a<br /> a Þ NI = (I là trung điểm NP)<br /> 3<br /> 3<br /> a 13<br /> ME = BE 2 + BM 2 - 2BE.BM cos 600 =<br /> A<br /> 2<br /> 1<br /> a 13<br /> M<br /> MN = ME =<br /> P<br /> 3<br /> 6<br /> <br /> Đặt a =<br /> <br /> 5<br /> <br /> 2012 . Ta có: NP =<br /> <br /> Trong tam giác vuông MNI ta có:<br /> a<br /> MI = MN - NI =<br /> 2<br /> 1<br /> a2<br /> Vậy SMNP = MI.NP = (cm 2 )<br /> 2<br /> 6<br /> Ta có :<br /> 2<br /> <br /> 3<br /> <br /> I<br /> <br /> N<br /> <br /> B<br /> <br /> D<br /> <br /> 2<br /> <br /> F<br /> <br /> C<br /> <br /> E<br /> <br /> 156 x 2  807  (12 x ) 2  20 y 2  52 x  59<br /> <br /> 20 y 2  3 156 x 2  807  (12 x ) 2  52 x  59<br /> 6<br /> 3<br /> <br /> Suy ra :<br /> <br /> y<br /> <br /> 156 x 2  807  (12 x ) 2  52 x  59<br /> 20<br /> <br /> Dùng máy Casio FX 570ES:<br /> <br /> 3<br /> <br /> Khai báo : X = X + 1 : Y=<br /> <br /> 156X 2 + 807 + (12X) 2 - 52X - 59<br /> 20<br /> <br /> CALC: 0  X<br /> Nhấn “=” cho đến khi màn hình hiện Y là số nguyên dương thì dừng.<br /> <br /> Đặt a  3 ; b  2 ; c  <br /> <br /> 1<br /> 5<br /> <br /> 8<br /> <br /> a  x 2  b  cx    C80a 8  C18a 7  x 2  b  cx    ... <br /> 3<br /> <br /> 7<br /> <br /> 4<br /> <br /> C38a 5  x 2  b  cx    C84a 4  x 2  b  cx    ...  C88  x 2  b  cx  <br /> <br /> 8<br /> <br /> 3260, 72569<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> 3037423,05118<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> 3<br /> <br /> Ta thấy x chỉ có trong các số hạng C a  x  b  cx   và<br /> 3 5<br /> 8<br /> <br /> 8<br /> <br /> 2<br /> <br /> 4<br /> <br /> C84a 4  x 2  b  cx   với hệ số tương ứng là C83a 5 3bc2 và C84a 4 b 4<br /> Vậy hệ số của số hạng chứa x 8 là : C83a 5 3bc 2 + C84a 4 b 4<br /> Khai báo: (Dùng máy Casio FX 570ES)<br /> 8<br /> <br /> 9<br /> <br /> D  D  2 : A  2B  3A : B  2A  3B : X  X  A  B<br /> CALC: 2  D, 2012  A,  2012  B, 0  X<br /> Nhấn “=” cho đến khi D = 20. Đọc kết quả ở biến X<br /> Ta thấy x = y = 0 là nghiệm của hệ phương trình.<br /> ìï<br /> 1<br /> 1<br /> ïï x + + y + = 5<br /> ïï<br /> x<br /> y<br /> Với x ¹ 0 ; y ¹ 0 , hệ đã cho  í<br /> .<br /> ïï 2 1<br /> 1<br /> 2<br /> ïï x + 2 + y + 2 = 49<br /> x<br /> y<br /> ïî<br /> 1<br /> 1<br /> Đặt u = x + , v = y + hệ trở thành<br /> x<br /> y<br /> ïìï u + v = 5<br /> ïì u = 7<br /> ïì u = - 2<br /> Þ ïí<br /> Úïí<br /> í 2<br /> 2<br /> ïïî u + v = 53 ïîï v = - 2 ïîï v = 7<br /> <br /> æ 7 ± 3 5 ö÷ æ7 ± 3 5<br /> ç<br /> ÷<br /> Từ đó hệ có nghiệm ççç- 1;<br /> ;÷; ç<br /> çè<br /> 2 ø÷ ççè<br /> 2<br /> <br /> ö<br /> ÷<br /> 1÷<br /> ÷<br /> ø÷<br /> <br /> - 1, 00000<br /> 6,85410<br /> <br /> ïìï x =<br /> í<br /> ïïî y =<br /> ìïï x =<br /> í<br /> ïïî y =<br /> <br /> 6,85410<br /> - 1, 00000<br /> <br /> - 1, 00000<br /> 0,14589<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> 0,14589<br /> - 1, 00000<br /> <br /> D<br /> <br /> O<br /> <br /> 1<br /> <br /> Tương tự : BOC  2sin ( BC / 2 R )<br /> 10<br /> <br /> ïìï x =<br /> í<br /> ïïî y =<br /> ìïï x =<br /> í<br /> ïïî y =<br /> <br /> C<br /> <br /> sin ACB  AB / 2 R  ACB  sin 1 ( AB / 2 R )<br /> <br />  AOB  2sin 1 ( AB / 2 R)<br /> <br /> x = y = 0, 00000<br /> <br /> DA  4, 29329<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> S ABCD  29,64389<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> B<br /> A<br /> <br /> COD  2sin 1 (CD / 2 R)<br /> 0<br /> <br /> AOD  360  ( AOB  BOC  COD ) , DA  2 R sin<br /> <br /> S ABCD <br /> <br /> AOD<br /> 2<br /> <br /> 1 2<br /> R (sin AOB  sin BOC  sin COD  sin AOD)<br /> 2<br /> <br /> Ghi chú:<br /> - Sai chữ số thập phân cuối cùng trừ 0,2 điểm;<br /> - Sai chữ số thập phân thứ tư về trước cho 0,0 điểm kết quả. Chấm hướng giải đúng 0,2 điểm;<br /> - Không nêu tóm tắt cách giải trừ 0,2 điểm.<br /> <br /> SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO<br /> LONG AN<br /> ĐỀ CHÍNH THỨC<br /> <br /> Kỳ thi chọn HSG giải toán-lý-hoá-sinh trên MTCT<br /> Môn thi: Toán Khối: 11 – GDTX<br /> Ngày thi: 05-02-2012<br /> Thời gian 90 phút (không kể phát đề)<br /> <br /> Chú ý: + Tất cả các giá trị gần đúng lấy 5 chữ số thập phân không làm tròn.<br /> + Khi làm bài thí sinh phải ghi tóm tắt cách giải, hoặc có thể ghi bước tính toán cuối cùng để<br /> ra kết quả.<br /> <br /> Bài 1. Tính gần đúng giá trị của biểu thức:<br /> tan x  sin x<br /> f(x) =<br /> , biết x = 420<br /> 2<br /> tan x  2<br /> 2<br /> 2<br /> Bài 2. Tính gần đúng giá trị a,b,c nếu đường tròn x  y  ax  by  c  o đi qua ba<br /> điểm M(-3;4), N(-5;7), P(4;5)<br /> Bài 3. Tính gần đúng tất cả các nghiệm ( bằng độ, phút, giây ) của phương trình:<br /> 2cos2x + 5cosx = 1<br /> Bài 4. Tính gần đúng tất cả các nghiệm ( bằng độ, phút, giây ) của phương trình:<br /> 5sinx – 4cosx = 13<br /> 2<br /> 2<br /> Bài 5. Tính gần đúng toạ độ giao điểm M, N của đường tròn x  y  10 x  5 y  30<br /> và đường thẳng qua hai điểm A(-4; 6), B(5; -2)<br /> Bài 6. Tính gần đúng nghiệm của hệ phương trình:<br /> 5<br /> <br /> 3x  2y  2x  3y  1  0<br /> <br /> <br /> 1<br /> 9x  6y <br /> 40<br /> <br /> 4x  6y<br /> 9<br /> <br /> <br /> 5<br /> Bài 7. Tính gần đúng hệ số của số hạng chứa x trong khai triển  x 2   .<br /> x <br /> <br /> 9<br /> <br /> Bài 8. Trong một lớp học có 21 học viên nam và 17 học viên nữ. Cần chọn 7 học viên đi<br /> tham gia chiến dịch mùa hè xanh của đoàn viên, trong đó có 4 học viên nam và 3<br /> học viên nữ. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách chọn?<br /> Bài 9. Cho tam giác ABC có các cạnh a=22cm, b=15cm, c=20cm.<br /> a/ Tính gần đúng góc C (độ, phút, giây)<br /> b/Tính gần đúng diện tích tam giác ABC.<br /> Bài 10. Tìm số dư trong phép chia 201236 cho 1975.<br /> Hết.<br /> .<br /> <br /> SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO Kỳ thi chọn HSG giải toán-lý-hoá-sinh trên MTCT<br /> LONG AN<br /> Môn thi: Toán Khối: 11 – GDTX<br /> Ngày thi: 05-02-2012<br /> HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC KHỐI 11<br />  Ghi chú:<br /> .Tất cả các giá trị gần đúng lấy 5 chữ số thập phân không làm tròn, nếu sai chữ số thập phân thứ 5<br /> thì trừ 0,2đ, sai chữ số thập phân thứ 4 thì trừ 0,4đ. Sai 1 trong những chữ số còn lại thì chấm điểm<br /> tóm tắt cách giải theo hướng dẫn chấm.<br /> . Nếu kết quả đúng và có tóm tắt cách giải (không cần giống hướng dẩn chấm) thì chấm trọn điểm.<br /> . Nếu kết quả đúng mà không có tóm tắt cách giải thì trừ 0,1 điểm cho cả câu.<br /> . Nếu kết quả không đúng thì chấm phần tóm tắt cách giải theo hướng dẫn chấm.<br /> (Các cách giải khác hợp lý, đúng, chấm theo thang điểm tương đương).<br /> <br /> Tóm tắt cách giải<br /> <br /> Kết quả<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> Bài 1:Tính tóan thông thường<br /> <br /> 3a  4b  c  25<br /> Bài 2: Hệ pt 5a  7b  c  74<br /> 4a  5b  c  41<br /> <br /> <br /> (0,5đ)<br /> <br /> Bài 3:<br /> Biến đổi phương trình trở thành<br /> 2<br /> 4cos x+5cosx-3=0<br />  Cosx=<br /> <br /> 13<br /> 41<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> a  0, 04347<br /> b  16, 30434<br /> c  40,34782<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> x  63042’16” +k3600<br /> x  -63042’16” +k3600<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> x  72055’47” +k3600<br /> x  184023’23” +k3600<br /> <br /> 0.5<br /> 0.5<br /> <br />  5  73<br /> (0,5đ)<br /> 8<br /> <br /> 13<br /> Bài 4: Biến đổi pttt sin(x-  )=<br /> với<br /> 41<br /> 5<br /> cos  =<br /> 41<br /> <br /> sin  <br /> <br /> f(420)= 0,55840<br /> <br /> (0,5đ)<br /> <br />