Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán - THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An [2009 - 2010]

Chia sẻ: Trần Bá Phúc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

262
lượt xem 65
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu " Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán - THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An [2009 - 2010] " giúp các em học sinh có tài liệu ôn tập, cá đề thi thử, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập, đề thi một cách thuận lợi và tự kiểm tra đánh giá kết quả học tập của mình.Chúc các bạn học tốt.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề Thi Học Sinh Giỏi Toán - THPT Đặng Thúc Hứa - Nghệ An [2009 - 2010]

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN KỲ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA NĂM HỌC : 2009 - 2010 GV: Trần Đình Hiền MÔN THI : TOÁN - LỚP 12 Thời gian làm bài : 180 phút Câu I: 1 1 sin 2 x 1) Giải phương trình : 1 sin 2 x cos x sin x 2 2 cos x sin x 5 y.sin x 2) Cho x,y > 0 thỏa mãn x 2y . Chứng minh rằng : cos( x y ) . 4 x.sin y Câu II: mxy 1 y2 8y 1) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm : 2 y 2 ( x 3) 2 1 y2 my 16 y 2 0 1 2 k 2007 2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 C2008 2) Tính tổng : S ... ... , 1.2 2.3 3.4 ( k 1)( k 2) 2008.2009 2009.2010 (k N, 0 k 2008). Câu III: x y 1) Cho x,y 0 và x2 + y2 = 1 .Tìm GTNN, GTLN của P 2 2 y 1 x 1 1 2 2) Cho dãy số (un) với u1 = 1 và un 1 un , với n N, n 2 . Chứng minh dãy số (un) hội 2 un tụ và tính lim un. Câu IV: 1 1 1) Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(2; - 1) và cos A ; cos B . Tìm tọa độ đỉnh C. 2 10 2) Cho hình chóp S.ABC , M là một điểm bên trong tam giác ABC. Qua M vẽ những đường thẳng lần lượt song song với các cạnh SA, SB, SC cắt các mặt SBC, SCA, SAB theo thứ tự tại A’, B’, C’. MA ' MB ' MC ' a) Chứng minh rằng: có giá trị không đổi khi M thay đổi khi M di động trong SA SB SC tam giác ABC. b) Xác định M để MA’.MB’.MC’ có giá trị lớn nhất. Câu V: f ( x ) f ( y ) f ( xy ) Cho hàm số f: R R thỏa mãn điều kiện x y 2, x, y R 3 Hãy tính giá trị f(2009). …………..Hết …………..
HD: I.1) Đặt t = cosx - sinx, | t | 2, 1 2 III.1) Đặt t = xy, 0 t . P = f(t) = ? 1 t2 2 sinxcosx = ; PT t =0; 1 2 sin( x 2 y ) s III.2) C/m: un > 0 n N*, và c/m un+1 2. I.2) BĐT x 2y x C/m: un+1 - un < 0. sin x Dãy số giảm bị chặn dưới suy ra hội tụ. Xét hs f ( x ) , hàm số nghịch biến trên 1 1 x Giải sử L = limun. Giải PT L L k’(0;+ ). 2 L L 2 II.1) HPT chuyển về đt và đường tròn(C). HPT IV.1) Tính SinA, sinB = ?, sin C = sin(A + B) = có nghiệm d (I , ) R ? Áp dụng ĐL sin . suy ra AC = ?, BC = ? Gọi C(x;y). Giải HPT k C2008 k 2 C2010 IV.2) II.2) C1) Định lí Talet ( k 1)( k 2) 2009.2010 V SA '.SB '.SC ' C2: Tỷ số thể tích SA ' B ' C ' VSABC SA.SB.SC V. Cho x = y = 0 f(0) = ? Cho y = 0 f(x) = ?
SỞ GD & ĐT NGHỆ AN KỲ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA NĂM HỌC : 2009 - 2010 GV: Trần Đình Hiền MÔN THI : TOÁN - LỚP 12 Thời gian làm bài : 180 phút Câu I: 1) Giải phương trình : x 2 3 x x3 x2 4 1 2) Tìm m để phương trình : 4 sin 4 x cos4 x (3 2m ) cos 2 x 1 - m 0 có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn ; . 6 4 Câu II: 2010 k 2 1) Tính tổng S = k C2010 k 0 2) Gieo đồng thời 3 con xúc xắc. Người chơi thắng cuộc nếu có ít nhất 2 con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm. Tính xác suất để trong 3 ván người chơi đó thắng ít nhất là 2 ván. a b c 3) Cho a,b,c 0 thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. CMR: 1 2 1 bc 1 ca 1 ab Câu III: 1 1 4 1) Chứng minh rằng: a) sin tan x x, x 0; ; b) 2 2 1 2 , x 0; 4 sin x x 2 a 2) Cho tam giác ABC có 3ha b c . Chứng minh rằng tam giác ABC đều. 2 3) Cho phương trình: x n x n 1 ... x 1 0 . Chứng tỏ rằng với mỗi n nguyên dương phương trình có đúng 1 nghiệm dương xn và tìm lim xn. Câu IV: 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi C’ là trung điểm của cạnh SC. Mặt phẳng SB S ( ) qua AC’ cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại B’ , D’ . Đặt x ;y . Chứng minh rằng: SB ' S ' 4 1 1 3 3 x y 2 2) Cho tam giác ABC đều cạnh a, trên đường thẳng d vuông góc với mp(ABC) tại A lấy điểm S, đặt SA = x, (x > 0). Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC . Gọi P là giao điểm của hai đường thẳng d và HK. a) CMR: HK (SBC). b) Tìm x để thể tích khối tứ diện SBCP nhỏ nhất. 3) Cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 - 2x - 2y - 14 = 0, (C2): x2 + y2 - 4x + 2y - 20 = 0. Viết phương trình đường thẳng sao cho đường thẳng cắt (C1) tại A,B và cắt (C2) tại M,N thỏa mãn AB 2 7, MN 8 . Câu V: 2 Tìm đa thức P(x) , biết P 2 x2 P( x ) , x R. ………… Hết ……….
SỞ GD & ĐT NGHỆ AN KỲ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA NĂM HỌC : 2009 - 2010 GV: Trần Đình Hiền MÔN THI : TOÁN - LỚP 12 Thời gian làm bài : 180 phút Câu I: n n 1) a) Lập công thức tính các tổng: A sin k;B cos ak , trong đó (an) là cấp số cộng với công k 1 k 1 3 5 sai d. Từ đó tính P cos cos cos . 7 7 7 2 3 b) Tính A sin 2 sin 2 sin 2 7 7 7 2) a) Giải phương trình: tanx + tan2x = - sin3x.cos2x. b) Tìm m để phương trình m(sinx + cosx + 1) = 1 + sin2x có nghiệm thuộc đoạn 0; . 2 x sin x sin B 3) a) Cho tam giác ABC có A > B > C. Tìm GTNN của hàm số y 1. x sin C x sin C 2 2 2 2y 3 2 b) Cho x,y,z > 0 thỏa mãn xz - zy - xy = 1. Tìm GTLN của P 1 x2 1 y2 1 z2 Câu II: 1) a) Cho khai triển P = (1 x ) (1 x )2 .... (1 x ) 2009 a0 a1 x .... a2009 x 2009 . Tính a10. b) Tính tổng S C3 2C4 3C53 .... 2008C2010 . 3 3 3 2) Chọn ngẫu nhiên một vé xổ số có 5 chữ số. Tính xác suất để số vé không có số 1 hoặc không có số 5. 3) Chứng minh rằng phương trình sau có đúng 1 nghiệm: x5 - x2 - 2x - 1 = 0. Câu III: 1 x 3 sin x 0 1) Cho hàm số f ( x ) x . Tính f’(x) và chứng minh f’(x) liên tục tại điểm x = 0. 0 x 0 2 xn 2) Cho dãy số (xn) với 0 < x1 < 1 và xn 1 xn . Chứng minh rằng dãy số (xn) có giới hạn là a n và khi đó lim n(a - xn) = a2 . 3) Cho hàm số y = f(x) = x3 - 3x + 2 có đồ thị (C). Giả sử M,N,P là ba điểm thẳng hàng và cùng thuộc đồ thị (C). Các tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M,N,P cắt đồ thị (C) lần lượt tại M’,N’,P’. Chứng minh M’, N’, P’ thẳng hàng. Câu IV: x2 y2 x2 y2 1) Cho hai elíp: ( E1 ) : 2 1; ( E2 ) : 2 1 , (a > b > 0). Từ điểm M trên (E2) kẻ hai a b2 4a 4b2 tiếp tuyến đến (E1) , hai tiếp tuyến này cắt (E2) tại N, P. Chứng minh đường thẳng NP là tiếp tuyến của (E1). 2) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Dựng đoạn thẳng MN với M AC’, N B’D’ và MN// A’D. 3) Cho tứ diện SABC có SA = SB = SC = a và SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau. a) Xác định mặt phẳng (P) sao cho tổng diện tích hình chiếu của các mặt của tứ diện SABC lên mặt phẳng (P) đạt GTLN. b) Gọi , , lần lượt là góc tạo bởi mp(P) với (SBC), (SCB), (SAB). Chứng minh + + < . x 1 Câu V: Tìm hàm số f , biết f ( x ) f 1 x , với x ≠ 0, 1. x …………Hết………….