Đề thi HSG cấp tỉnh THCS năm 2017 môn Toán - Sở GD&ĐT Quảng Ninh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TỈNH QUẢNG NINH<br /> <br /> KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS NĂM 2017<br /> Môn thi: TOÁN - Bảng A<br /> Ngày thi: 03/03/2017<br /> Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề<br /> (Đề thi này có 01 trang)<br /> <br /> ĐỀ THI CHÍNH THỨC<br /> <br /> Bài 1. (3,5 điểm)<br /> Cho biểu thức A <br /> <br /> 5 x 4<br /> 3 2 x<br /> x 2<br /> (với x  0; x  16; x  1)<br /> <br /> <br /> x 5 x  4<br /> x 4<br /> x 1<br /> <br /> a) Rút gọn biểu thức A.<br /> b) Tìm giá trị của x để A  1 .<br /> Bài 2: (5,0 điểm)<br /> a) Giải phương trình: x2  2 x  2 x x  3  9  x  3 .<br /> <br />  x  y  xy  5<br /> <br /> b) Giải hệ phương trình: <br /> <br /> 2<br /> 2<br /> 3x  y  2 xy  4 y  3<br /> <br /> Bài 3: (2,5 điểm)<br /> Tìm số tự nhiên n sao cho n chỉ thỏa mãn hai trong ba tính chất sau:<br /> 1) n  8 là số chính phương.<br /> 2) n  3 là số chính phương.<br /> 3) n chia hết cho 9.<br /> Bài 4: (7,0 điểm)<br /> Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC. Gọi A là một điểm cố định trên nửa đường tròn<br /> ( A  B; C ), D là điểm chuyển động trên AC . Hai đoạn thẳng BD và AC cắt nhau tại M, gọi K<br /> là hình chiếu của M trên BC.<br /> a) Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADK.<br /> b) Khi D di chuyển trên AC ( D  C ), chứng minh đường thẳng DK luôn đi qua một điểm cố<br /> định.<br /> BD.EM<br /> c) Đường thẳng qua A, vuông góc với BC cắt BD ở E. Chứng minh<br /> có giá trị không<br /> AM<br /> đổi khi D di chuyển trên AC ( D  A ).<br /> Bài 5: (2,0 điểm)<br /> Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  x  1  14 x  15x 2 với 1  x <br /> <br /> 1<br /> .<br /> 15<br /> <br /> -----------------Hết---------------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.<br /> - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.<br /> Họ và tên thí sinh:.....................................................Số báo danh...............................<br /> Chữ kí giám thị 1:..........................................Chữ kí giám thị 2....................................<br /> <br /> W: www.hoc247.net<br /> <br /> F: www.facebook.com/hoc247.net<br /> <br /> T: 098 1821 807<br /> <br /> Trang | 1<br /> <br /> Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> HƯỚNG DẪN GIẢI<br /> Sơ lược bài giải<br /> <br /> Bài<br /> <br /> A<br /> <br /> Câu a<br /> 2,0 đ<br /> Bài<br /> 1<br /> 3,5đ<br /> <br /> <br /> <br /> 5 x 4<br /> <br /> <br /> <br /> 32 x<br /> <br /> x 4<br /> <br /> x 2<br /> x 1<br /> <br />  x  1<br /> 5 x  4   2 x  3 x  1   x  2 <br /> <br />  x  4 x  1<br />  x  13 x  1  3 x  1<br /> =<br />  x  1 x  4 x  4<br /> x 4<br /> <br /> Điểm<br /> <br /> x 4<br /> <br /> <br /> <br /> 1,0<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> 3 x 1<br /> 2 x 5<br /> 1  0 <br /> 0<br /> x 4<br /> x 4<br /> Có 2 x  5  0<br /> 2 x 5<br /> Nên<br />  0  x  4  0  x  4  0  x  16<br /> x 4<br /> Kết hợp với điều kiện xác định ta tìm được 0  x  16; x  1<br /> A 1<br /> <br /> Câu b<br /> 1,5 đ<br /> <br /> (nếu không chỉ đủ kq là 0  x  16; x  1 thì không cho điểm bước<br /> này)<br /> ĐK: x  3<br /> <br /> 0,5<br /> 0,25<br /> 0,25<br /> 0,5<br /> 0,25<br /> <br /> x2  2 x  2 x x  3  9  x  3<br />  x2  2 x x  3  x  3  x  x  3  12  0<br /> <br /> <br /> <br />  x x3<br /> <br /> Bài<br /> 2<br /> 5,0đ<br /> <br /> Câu a<br /> 2,5 đ<br /> <br />   x <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> x  3  12  0<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  x  3  4  x<br />  x  x 3  4 x  x 3 3  0  <br />  x 3  3 x<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 1<br />  2<br /> <br /> Giải (1): Ta có x  3  VP  4  x  1, VT  0 . Vậy (2) vô<br /> nghiệm<br /> <br /> 0,5<br /> 0,5<br /> <br /> x  3<br /> <br /> Giải (2): (2)  <br /> <br /> 2<br /> x  3  x  6x  9<br /> <br /> x  3  x2  6 x  9<br />  x2  7 x  6  0 .<br /> được x1  1 ( nhận); x2  6 (loại)<br /> Vậy phương trình có nghiệm x  1<br /> <br /> 0,75<br /> <br /> 3x 2  y 2  2 xy  4 y  3  4 x 2   x  y   4 y  3<br /> 2<br /> <br />  4 x 2  4 x  1   x  y   4( x  y )  4<br /> 2<br /> <br />   2 x  1 =  x  y  2 <br /> 2<br /> <br /> W: www.hoc247.net<br /> <br /> F: www.facebook.com/hoc247.net<br /> <br /> T: 098 1821 807<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 2<br /> <br /> Trang | 2<br /> <br /> Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> (nếu hs đưa về pt bậc hai ẩn y tham số x tính được  thì được<br /> 0,5đ)<br /> <br /> Câu b<br /> 2,5đ<br /> <br /> 2 x  1  x  y  2<br /> x  y 1<br /> <br /> <br />  2 x  1   x  y  2  y  3  3x<br /> TH1: x  y  1 thay vào pt x  y  xy  5<br /> ta có y2 + y + 4 = 0<br />   12  4.4  0 nên phương trình vô nghiệm<br /> TH2: y  3  3x thay vào pt x  y  xy  5 ta có 3x2  x  8  0<br /> <br /> <br /> 1  97<br /> 5  97<br />  y1 <br />  x1 <br /> 6<br /> 2<br />  = (-1)2 + 4.3.8 = 97 > 0  <br /> <br /> 1  97<br /> 5  97<br />  y2 <br />  x2 <br /> 6<br /> 2<br /> <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,75<br /> <br /> Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là:<br /> <br />  1  97 5  97   1  97 5  97 <br /> ;<br /> ;<br /> <br />  ;<br /> <br /> 2   6<br /> 2 <br />  6<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Giả sử tìm được n thỏa tc3 ta đi chứng minh n không thỏa tính<br /> chất 1; 2.<br /> <br /> Bài<br /> 3<br /> 2,5đ<br /> <br /> n 9  n 3  n  8 chia cho 3 dư 2,<br /> mà một số chính phương chỉ chia cho 3 dư 0 hoặc 1(*)<br />  n  8 không phải là số chính phương. vậy n không thỏa tc1<br /> n 9  n 3 n 3 3<br /> n 9 mà 3 không chia hết cho 9  n  3 không chia hết cho 9<br /> Mà mọi số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9(**)<br /> nên n  3 không là số chính phương vậy n không thỏa tc2.<br /> n không thỏa tc 1,2 nên trái giả thiết.<br /> (hs cần chứng minh (*) và (**) nếu không chứng minh thì trừ<br /> 0,25 đ cho cả hai phần này)<br /> Ta đi tìm n thỏa mãn tc 1,2 (cho hs 0,75đ nếu làm được phần này<br /> mà không lập luận phần trên)<br /> n  8  p 2<br /> <br /> (p; k  N)  p2  k 2  11  ( p  k )( p  k )  11<br /> 2<br /> n  3  k<br /> <br /> <br /> Đặt <br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,75<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Do p,k  N  p  k  N ; p  k  Z ; p  k  p  k ;<br />  p  k  11  p  6<br /> <br /> p  k 1<br /> k  5<br /> <br /> Kết hợp với (1)  <br /> <br /> Vậy n  28<br /> (hs có thể làm bài tập này bằng cách xét 3TH mỗi TH chỉ đúng 2<br /> trong 3 tc; mỗi phần đúng được 0,75đ)<br /> <br /> W: www.hoc247.net<br /> <br /> F: www.facebook.com/hoc247.net<br /> <br /> T: 098 1821 807<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> Trang | 3<br /> <br /> Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> D<br /> A<br /> M<br /> <br /> E<br /> <br /> B<br /> <br /> K<br /> <br /> O<br /> <br /> C<br /> <br /> Câu a<br /> 2đ<br /> I<br /> <br /> a. Tứ giác MKCD nội tiếp  MDK  MCK<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> ADB  ACB<br /> (hai góc nội tiếp (O) cùng chắn AB )  MDK  MDA hay DM là<br /> phân giác của tam giác ADK.<br /> Tương tự chứng minh được AM là phân giác của tam giác ADK.<br /> Vậy M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADK.<br /> b. Đường thẳng qua A vuông góc với BC cắt DK tại I.<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Lại có tứ giác MDCK nội tiếp  KMC  KDC .<br /> Câu b<br /> 2,5đ<br /> <br /> 0,5<br /> <br />  AI MK  IAC  KMC<br /> <br /> Bài<br /> 4<br /> 7,0đ<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Vậy IAC  IDC  tứ giác ADCI nội tiếp hay I   O cố định, mà<br /> I  đường thẳng qua A cố định, vuông góc với BC cố định. Vậy I<br /> cố định hay DK qua I cố định.<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> <br /> <br /> c. Có: EAM  KDC , AME  DKC  DMC<br /> <br /> <br /> <br /> Vậy hai tam giác AEM và DCK đồng dạng <br /> <br /> AM DK<br /> <br /> ME KC<br /> <br /> Xét hai tam giác KDB và KCA có KCA  KDB , KAC  KBD <br /> Bài c<br /> 2,5đ<br /> <br /> hai tam giác KDB và KCA đồng dạng <br /> <br /> DK DB<br /> <br /> KC CA<br /> <br /> BD.EM<br /> AM DB<br /> <br /> <br />  CA  hằng số.<br /> AM<br /> ME CA<br /> BD.EM<br /> Vậy<br /> không phụ thuộc vào vị trí của D trên cung AC.<br /> AM<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> 1,0<br /> <br /> Vậy<br /> <br /> A  x  1  14 x  15x 2  x  ( x  1)(1  15x)<br /> 3 A  3x  9( x  1)(1  15x)<br /> W: www.hoc247.net<br /> <br /> F: www.facebook.com/hoc247.net<br /> <br /> T: 098 1821 807<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> Trang | 4<br /> <br /> Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai<br /> <br /> Bài<br /> 5<br /> 2,0đ<br /> <br /> với 1  x <br /> <br /> 1<br /> có 9( x  1)  0 và 1  15x  0<br /> 15<br /> <br /> Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số<br /> 9( x  1) và 1  15x không âm<br /> Có<br /> <br /> 9( x  1)  (1  15 x)<br /> 9( x  1)(1  15 x) <br />  5  3x<br /> 2<br /> <br /> 3 A  3x  5  3x  3 A  5  A <br /> <br /> 5<br /> 3<br /> <br /> Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi<br /> <br /> 9( x  1)  1  15 x  24 x  8  x <br /> Vây giá trị lớn nhất của A là<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 0,5<br /> <br /> 0,25<br /> <br /> 1<br /> 3<br /> <br /> 5<br /> 1<br /> đạt được khi x <br /> 3<br /> 3<br /> <br /> 0,25<br /> 0,25<br /> <br /> 1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi<br /> tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới cho điểm tối đa.<br /> 2. Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm. Tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi<br /> tiết.<br /> 3. Có thể chia nhỏ điểm thành phần nhưng không dưới 0,25 điểm và phải thống nhất<br /> trong cả tổ chấm. Điểm toàn bài là tổng số điểm toàn bài đã chấm, không làm tròn.<br /> ............................. Hết ...........................<br /> <br /> W: www.hoc247.net<br /> <br /> F: www.facebook.com/hoc247.net<br /> <br /> T: 098 1821 807<br /> <br /> Trang | 5<br /> <br />